Licence de mathématiques

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Licence de mathématiques Université de Brest L3 : Topologie et analyse fonctionnelle DMTH5TOP 2012–2013

Examen du 8 janvier 2013. Durée : 3h.

Les documents, calculatrices et téléphones portables ne sont pas autorisés.

Les cinq exercices sont indépendants.

Exercice I

SoitE=C[z]leC-espace vectoriel des polynômes en la variablez. Pour toutf =^q^d_k=0akz^k œ Eon pose :

ÎfÎ = ^ÿ^d

k=0|ak|. 1.Montrer que Î Î définit une norme surE.

2. Prouver que B^Õ(0,1) = {f œ E : ÎfÎ Æ 1} n’est pas compacte. (Considérer les zⁿ pour nœN.)

Exercice II

Soient (X, d) un espace métrique compact et f : X æX une application continue telle que d(f(x), f(x^Õ)) =d(x, x^Õ) pour tousx, x^ÕœX. SinœN, on notefⁿ lan-ième itérée def. 1. a.SoitxœX. Montrer qu’il existe une suite(fⁿ^p(x))pœN, extraite de(fⁿ(x))nœN, telle que :

plimæŒfⁿ^p+1^≠ⁿ^p(x) =x.

b.En déduire que xœf(X).

2.Conclure quef est une isométrie deX dans X.

Exercice III

On rappelle que si(Y,”) est un espace métrique compact, alors :

≠ l’espaceC(Y,C)des fonctions continues surY est un espace vectoriel normé complet pour ÎfÎ_Œ = sup_x_œ_Y |f(x)|;

≠ une fonction K œ C(Y,C) est uniformément continue, c’est à dire : pour tout ‘ > 0, il existe–>0tel que”(y, y^Õ)Æ–, y, y^ÕœY, implique |K(y)≠K(y^Õ)|Æ‘.

Soit (X, d) un espace métrique compact. On munit X ◊[0,1] de la distance d_Œ définie par d_Œ((x, t),(x^Õ, t^Õ)) = max{d(x, x^Õ),|t≠t^Õ|}. On fixe une application continueK :X◊[0,1]æC. Pour toutf œE=C([0,1],C), on définit une applicationu(f) :XæC en posant :

u(f)(x) =ˆ 1

0 K(x, t)f(t)dt.

1. a.Prouver queu(f)œF =C(X,C).

TSVP

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2.On prend iciX = [0,1].

a.Soit ⁄ œR. Montrer qu’il existe une constanteŸ >0 telle que si |⁄| < Ÿ, alors : pour tout gœE, il existe une unique fonctionf œE telle que f =g+⁄u(f). (Appliquer le théorème du point fixe.)

b. Démontrer que pour ⁄ comme en a, l’application idE≠⁄u : E æE, f ‘æf ≠⁄u(f), est linéaire et inversible.

Exercice IV

1. Soit f : [0,1] æ [0,1] une fonction continue. Montrer que f possède un point fixe. (Par l’absurde, considérerU={t :f(t)> t}etV ={t :f(t)< t}.)

2.SoitS¹={(x, y)œR² : x²+y²= 1}le cercle unité de R²(muni de la distance euclidienne).

a.Donner une application continueg:S¹ æS¹ qui ne possède pas de point fixe.

b. Déduire de la question 1 que S¹ ne peut pas être homéomorphe à un segment [a, b] de R (avec≠Œ< a < b <+Œ).

Exercice V

SoitE=C([0,1],R)leR-espace vectoriel des fonctions continues sur[0,1], normé parÎfÎ_Œ = sup_t_œ_[0,1]|f(t)|. On définit la suite de fonctions polynômes (pn)nœN µ E par pn(t) = (1≠t²)ⁿ (on a doncp₀(t) = 1). On pose

A=^;^ÿ^d

n=0

anpn : an œR, dØ0^<.

1.Montrer queAest une sous-algèbre de E qui sépare les points de[0,1]. (Utiliser la fonction p1.) En déduire queAest dense dansE.

2.Soitf œE. On suppose que´₁

0 f(t)pn(t)dt= 0 pour toutnØ0.

a.Prouver que 0Æ

ˆ ₁

0 f(t)²dt=^-^-^-_-ˆ ₁

0 f(t)(f(t)≠g(t))dt --

--ÆÎf≠gÎ_Œ ˆ ₁

0 |f(t)|dt pour toutgœA.

b.Démontrer que´1

0 f(t)²dt= 0et en conclure que f= 0.

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Examen du 12 juin 2013. Durée : 3h.

Les quatre exercices sont indépendants.

Exercice I

Soient(F1, d1), (F2, d2)deux espace métriques. On munit le produitF1◊F2 de la distance d((x1, x2),(y1, y2)) = max{d1(x1, y1), d2(x2, y2)}.

On désigne parﬁ₁:F₁◊F₂æF₁,ﬁ₁((x1, x₂)) =x₁, la première projection.

1. a.On suppose que(F2, d₂) est compact. Montrer que ﬁ₁ est une application fermée, c’est à dire : siAµF1◊F2 est fermé alors ﬁ1(A) l’est aussi.

b.Donner un exemple dansR² =F1◊F2 d’un sous-ensemble ferméAtel queﬁ1(A)n’est pas fermé.

2.On rappelle que le graphe d’une applicationf :F1 æF2 est défini par (f) ={(x, f(x)) :xœF1}µF1◊F2. a.Prouver que sif est continue, alors (f) est fermé dansF1◊F2.

b.Donner un exemple d’application non continuef :RæR dont le graphe est fermé.

c.On suppose que (F2, d2) est compact et que le graphe de f est fermé. Démontrer que f est continue.

Indication : siXµF2est fermé, on introduira le sous-ensembleA= (F1◊X)ﬂ (f)deF1◊F2.

Notations. Dans toute la suite de l’examen on pose I = [0,1] µ R et on note E = C(I,R) le R-espace vectoriel des fonctions continues deI versR. On rappelle queE peut être muni de deux normes en posant, pourf œE :

ÎfÎ_Œ= sup

tœI |f(t)|, ÎfÎ₁=ˆ 1

0 |f(t)|dt.

On désigne parE1, resp.E_Œ, leR-espace vectoriel normé(E,Î Î₁), resp. (E,Î Î_Œ).

Exercice II

On définit un sous-espace vectorielF deE en posantF ={ÏœE : Ï(0) = 0}.

1.Soitf œE. Expliciter une suite de fonctions(fn)nØ1µF telles queÎfnÎ_Œ ÆÎfÎ_Œ et fn(0) = 0, fn(1/n) =f(1/n), fn(t) =f(t) pour 1

n ÆtÆ1.

2.En déduire que F est dense dansE1.

TSVP

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Exercice III

On noteB_Œ={f œE : ÎfÎ_Œ Æ1}la boule fermée de centre 0et rayon1dans E_Œ. 1. a.Soient ÏœE et x0 œI tels que Ï(x0)>1. À l’aide de la continuité de Ï enx0, montrer qu’il existe un intervalleK µIde longueur¸>0tel queÏ(x)Ø ¹₂(1 +Ï(x0))pour toutxœK. b.En déduire queÎÏ≠ÂÎ1Ør= ^¸₂(Ï(x0)≠1)pour toutÂ œBŒ.

Indication : on utilisera l’inégalité´

I|Ï(t)≠Â(t)|dtØ´

K

--|Ï(t)|≠|Â(t)|^-^-dt.

2. a.Démontrer queB_Œ est un sous-ensemble fermé et borné dans E₁.

Indication : pour montrer queB_Œest fermé on établira à l’aide de la question 1que le complé- mentaire deBŒ est ouvert dansE1.

b.Prouver queB_Œ n’est pas compact dansE1.

Indication : on pourra introduire, pour tout n Ø 2, la fonction continue fn qui vaut 0 sur [0,¹₂≠_n¹], est affine sur[¹₂≠ _n¹,¹₂]et vaut 1sur[¹₂,1].

Exercice IV

Soit n œ N. On fixe n+ 1 éléments a0, . . . , an deux à deux distincts dans I. Un polynôme P œR[X]sera identifié à la fonction polynomialet‘æP(t)surI. On noteRⁿ[X]le sous-espace vectoriel deEformé des fonctions polynomiales de degréÆn. On rappelle que siµ0, . . . , µnœR, il existe un unique polynôme L œ Rⁿ[X] tel que L(aj) = µj pour j = 0, . . . , n (le polynôme d’interpolation de Lagrange).

1. a.Vérifier que

P ‘æN(P) = max{|P(aj)| : 0ÆjÆn} est une norme surRⁿ[X].

b.En déduire l’existence deCnœR^ú+ tel queÎPÎ_Œ ÆCnN(P)pour toutP œRⁿ[X].

2.On fixef œE et‘>0. Démontrer qu’il existe un polynômeQœR[X]tel que : (i)Îf≠QÎ_ŒÆ‘;

(ii) Q(aj) =f(aj) pourj= 0, . . . , n.

Indication : on commencera par justifier l’existence de Q0 œ R[X] tel queÎf≠Q0Î_Œ Æ _1+C^‘ _n puis on prendraQ=Q₀+L, oùLest un polynôme d’interpolation de Lagrange.

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Examen du 9 janvier 2014. Durée : 3h.

Les exercices et le problème sont indépendants.

Exercice 1

Soit E = C¹([0,1],R) le R-espace vectoriel des fonctions continûment dérivables sur [0,1].

Pourf, gœE, on pose

(f|g) =f(0)g(0) +ˆ ₁

0 f^Õ(t)g^Õ(t)dt.

1. Montrer que ( | ) est un produit scalaire sur E. On noteÎfÎ = ¹f(0)²+´1

0 f^Õ(t)²dt²

12 la norme associée.

2.Démontrer queÎfÎ_Œ= sup_x_œ_[0,1]|f(x)|ÆÔ2ÎfÎpour toutfœE. (On utilisera les inégalités

´1

0 |f^Õ(t)|dtÆ¹´1

0 f^Õ(t)²dt²

12 eta+bÆÔ

2(a²+b²)¹² poura, bœR+.)

3.Prouver que les normesÎ Î_Œ etÎ Îne sont pas équivalentes. (Considérer fn(t) = _n¹sin(nﬁt) pournœN^ú.)

Exercice 2

Soient (E, d), (F,”) deux espaces métriques etf : (E, d) æ(F,”)une application continue.

On suppose queE est compact et non vide.

1.Soit(Kn)nœN une suite décroissante (pour l’inclusion) de fermés non vides deE.

a.Montrer que^unœNKn est un compact non vide deE.

b. On suppose que y = f(xn) œ F avec xn œ Kn pour tout n. En considérant une valeur d’adhérence de la suite(xn)n, prouver que y=f(a)avec aœ^unœNKn.

c.En déduire que : (i) ^‹

nœN

f(Kn) =f^{3 ‹}

nœN

Kn

4; (ii) ^‹

nœN

f(Kn)est un compact non vide deF .

2.Donner un exemple avec E = F = R montrant que la conclusion de la question1.c (i) est fausse si l’on ne suppose pas queE est compact.

3. On suppose (E, d) = (F,”) et l’on note fⁿ = f¶f¶· · ·¶f (n fois) la n-ième itérée de f. Construire à l’aide desfⁿ et de la question1un sous-ensembleAcompact non vide dansEtel quef(A) =A.

TSVP

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SoitK=RouCet(E,Î Î) unK-espace vectoriel normé ; la distance associée à la norme est notéed(x, y) =Îx≠yÎ.

Soit Ï: E æK une forme linéaire non nulle. On pose H = KerÏ. On rappelle que H est un hyperplan de E et l’on fixe a œ E tel que Ï(a) = 1, de sorte que E = H üKa : tout xœ E s’écritx= (x≠Ï(x)a) +Ï(x)a.

1.Vérifier queH est un sous-espace vectoriel deE et en déduire que siH n’est pas fermé dans E, il est dense dans E.

2.Montrer que siÏest continue alorsH est fermé.

3.On suppose dans cette question queH est fermé.

a. Montrer que a+H = Ï^≠¹(1) est fermé dans E. En déduire l’existence de fl > 0 tel que B^Õ(0,fl)fl(a+H) =ÿ. (On noteB^Õ(0,fl) la boule fermée de centre0et de rayon fl.)

b. Démontrer que |Ï(x)| Æ 1 pour tout x œ B^Õ(0,ﬂ). (On pourra raisonner par l’absurde et considérery= _Ï(x)¹ x.)

c.En déduire que Ïest continue.

4.On suppose queÏest continue et l’on désigne parÎÏÎla norme subordonnée deÏ, i.e.ÎÏÎ= sup^Ó^|^Ï(z)_Î_z_Î^| :zœEr{0}^Ô. On rappelle que sizœE,d(z, H) = infyœHd(z, y)est la distance de z àH.

a.Prouver que

ÎÏÎ= sup

hœH

⁄œK^ú

|⁄| Îh+⁄aÎ et en déduire que :ÎÏÎ= 1

d(a, H).

b.Soitz=h+Ï(z)a, hœH, un élément deE. Démontrer que d(z, H) =|Ï(z)|d(a, H) = |Ï(z)|

ÎÏÎ . II

On désigne par C0 le R-espace vectoriel formé des suites x = (xn)nœN de nombres réels tels que lim

næŒxn = 0.

1. a.Vérifier (rapidement) queÎxÎ= sup_n_œN|xn| définit une norme surC0. Pourx= (xn)n œC0 on pose :

Ï(x) =⁺^ÿ^Œ

n=0

1

2ⁿxn=x0+1 2x1+ 1

2²x2+· · ·

b.Montrer queÏ:C0æR est une forme linéaire continue pourÎ Îet queÎÏÎ Æ2.

c.Démontrer queÎÏÎ= 2. (On pourra prendrexn=kⁿ.)

2.Soit xœ C0 tel queÎxÎ= 1. Démontrer que |Ï(x)| <2. (Soit 0< Á< 1; introduire n₀ Ø1 tel que|xn|ÆÁ pournØn0 et majorerÏ(x) =^q_n<n₀ ₂¹nxn+^q_n_Ø_n₀ ₂¹nxn.)

3.SoitH= KerÏetz œErH. Démontrer qu’il n’existe pas dehœHtel qued(z, h) =d(z, H).

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Examen du 11 juin 2014. Durée : 3h.

Les exercices et le problème sont indépendants.

Dans les exercices 1, 2 et 3 on désigne par (E, d) un espace métrique.

Exercice 1

1.SoitO un ouvert de (E, d). Démontrer que pour toute partieB deEon aOﬂBµOﬂB.

2.Donner un exemple de deux intervalles A, B de R tels que B est ouvert et AﬂB n’est pas contenu dansAﬂB.

3. Donner un exemple de deux ouverts A, B de R tels que les parties AflB, AflB, AflB, AflB etAflB sont toutes différentes.

Exercice 2

SoientK un sous-ensemble compact de(E, d)et r un réel strictement positif.

On poseF = ^t_x_œ_KB^Õ(x, r) oùB^Õ(x, r) est la boule fermée de centre xet rayon r. Démontrer queF est fermé dans (E, d).

Exercice 3

Soit(Kn)nœN une suite décroissante de compacts de(E, d), i.e.Kn+1µKn, etA=^u_n_œNKn. SoitO un ouvert de (E, d) contenantA. Démontrer qu’il existe un entiermtel queKmµO.

Indication : On pourra raisonner par l’absurde et introduire la suite de partiesKnﬂ^cO, nœN, où^cO est le complémentaire deO dansE.

Exercice 4

Sif : [0,1]æ[0,1]est une fonction continue, on définit l’ensemble des points fixes def par (f) ={aœ[0,1] :f(a) =a}.

1.Pourquoi l’ensemble (f)est-il fermé dansR?

2.SoitF µ[0,1]un fermé non vide. Rappeler la définition de la distanced(x, F)dexàF, puis démontrer qu’il existe une fonction continue de[0,1]dans lui-même telle queF = (f).

Indication : SiaœF, introduire la fonctionf définie par f(x) =

Y_ ] _[

x+d(x, F) si 0ÆxÆa, x≠d(x, F) si a < xÆ1.

TSVP

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de la normeÎfÎ_Œ = sup⁾|f(x)|:xœ[≠⁄,⁄]^*. On pose :

C⁄=⁾ÏœC([≠⁄,⁄],R) : Ï(0) = 0et ÎÏÎ_Œ Æ1^*.

1.Vérifier queC⁄est un fermé non vide de l’espace vectoriel norméC([≠⁄,⁄],R). En déduire que C⁄ est un espace métrique complet pour la distance induite, donnée par d⁄(Ï,Â) =ÎÏ≠ÂÎ_Œ pourÏ,ÂœC⁄.

On noteF une fonction continue de[≠1,1]◊[≠1,1]versR telle que : (i) F(0,0) = 0;

(ii) il existekœ]0,1[tel que^-^-F(x, y^Õ)≠F(x, y)^-^-Æk|y^Õ≠y|pour tousx, y, y^Õœ[≠1,1].

2. Expliquer pourquoi la condition (ii) est satisfaite lorsque la dérivée partielle ^ˆF_ˆy existe et vérifie^-^-_-^ˆF_ˆy(u, v)^-^-_-Æk <1pour tous(u, v)œ[≠1,1]◊[≠1,1].

3.Soit Ïœ C⁄. Vérifier que l’on définit un élémentT(Ï)œ C([≠⁄,⁄],R), tel queT(„)(0) = 0, en posant :

’xœ[≠⁄,⁄], T(Ï)(x) =F(x,Ï(x)).

4.Montrer qu’il existefl>0tel que|F(x,0)|Æ1≠k pour|x|Æflet en déduire qu’alorsÏœCfl

impliqueT(Ï)œCﬂ.

5. On fixe fl comme en 4; on peut donc définir l’application T : Ï ‘æ T(Ï) de Cfl dans lui- même. Démontrer queT est contractante et qu’il existe une unique fonctionf œ Cfl telle que f(x) =F(x, f(x))pour toutxœ[≠fl,fl].

6. Soient g œ C([≠1,1],R) telle que g(0) = 0 et k œ]0,1[. Montrer qu’il existe fl > 0 et une unique fonctionf œCfl telle quef(x) =ksin^!g(x) +f(x)^"pour toutxœ[≠fl,fl].