Université de Picardie Jules Verne 2011-2012
Faculté des Sciences L2 Théorie des Graphes
Feuille d'exercices 8.
Exercice 1 Le graphe G est-il connexe ? Quelle est la distance entre a et f ? a
g b
f c
e d
Exercice 2 Un robot se promène sur le graphe ci-contre. Partant d'un sommet quelconque s, appelé sommet de stockage, il doit déposer un cube sur chacun des autres sommets. Il possède susamment de cubes sur le sommet de stockage, mais ne peut transporter qu'un cube à la fois (il doit donc repasser par le sommet de stockage avant de livrer un autre cube). Calculer, pour chacun des sommets du graphe, le trajet minimum que doit parcourir le robot si ce sommet est sommet de stockage. Quel est le meilleur sommet de stockage ?
Exercice 3 Un jeu de plage se joue avec 2 cailloux blancs et 3 cailloux noirs. Les 2 joueurs jouent à tour de rôle selon la règle suivante : à chaque tour on peut soit retirer un seul caillou, soit retirer 2 cailloux de couleurs diérentes. le joueur qui gagne est celui qui ramasse les derniers cailloux.
1) Représenter tous les enchanements possibles du jeu à l'aide d'un graphe orienté. Une étape du jeu sera représentée par un couple (i, j), où i désigne le nombre de cailloux blancs restants et j le nombre de cailloux noirs restants.
2) Quel est le nombre minimum de coups d'une partie ? Donner un exemple de partie réalisant ce nombre de coups.
3) Alice et Bob jouent ensemble. Alice commence et retire un caillou blanc et un caillou noir.
Bob peut-il gagner ? Si oui, que doit-il jouer pour être sûr de gagner ? 1
Exercice 4 Le graphe ci-contre représente un réseau routier (avec des sens interdits) ; chaque nombre au dessus d'une arête est la longueur de la route en km. Quel est l'itinéraire le plus court qui relie E à S ?
A D
E B G S
C F
4 4
3 2
1
2
6 2
3 5
2
7
1 1
Exercice 5 Chercher un chemin de poids minimum de A à S dans le graphe ci-contre :
A S
10 4
7 3
5
6
3 20
32
2
1
5
4 8
18
7 9
30
Exercice 6 Appliquer l'algorithme de Dijkstra pour trouver la distance (valuée) du sommet A à tous les autres sommets du graphe orienté ci-dessous :
2
D B
C I
K
E H
L J
A
F
G
33 15
30
23 5
19 61
15 19
46 48
26
40
32 10
30
20 35
9
4
5 1
16
20
3
