Pôle physique - ICM 1A
Mars 2021
S. Drapier, G. Kermouche, N. Moulin
Centre Science des Matériaux et des Structures & LGF UMR CNRS 5307 École des Mines de Saint-Étienne
158, cours Fauriel ; CS 62362 42023 Saint-Étienne Cedex 2
Ce support de cours a été réalisé dans le cadre du cours de Mécanique des Milieux Continus (MMC) en 1re année de l’École des Mines de Saint-Étienne. L’objectif de ce cours est d’introduire les concepts de base de la Mécanique des Milieux Continus et leur interprétation physique. Les différents concepts seront illustrés par divers exemples issus de la mécanique des solides. Le polycopié débute par la notion de cinématique d’un milieu continu à travers l’étude de son mouvement puis de ses déformations. C’est l’occasion de revenir sur plusieurs notions d’algèbre tensoriel indispensables dans le cadre de ce cours. La notion de contrainte associée aux équations de bilan est ensuite introduite. Cette quantité centrale en mécanique est ensuite liée aux déformations grâce à un modèle de comportement. Nous nous limiterons aux modèles de comportements élastiques linéaires dans le cadre de ce cours. Le calcul variationnel appliqué à la mécanique des milieux continus est ensuite introduit. Cet outil mathématique puissant permet de caractériser l’équilibre mécanique à partir de l’étude de formes intégrales, et de déterminer des solutions (en déplacements ou contraintes) à partir de fonctionnelles de nature énergétique.
Enfin, le cas particulier des solides élancés comme celui des poutres est présenté. Grâce à des hypothèses simplificatrices fortes liées à des considérations géométriques (longueur très grande devant les dimensions des sections transverses), l’équilibre mécanique 3D du solide peut être re- formulé comme un problème 1D, permettant ainsi de simplifier grandement la résolution du problème.
Ce cours fait suite à ceux donnés par Roland Fortunier et Helmut Klöcker. Les auteurs les remercient chaleureusement pour les avoir autorisés à reprendre certains éléments de leur notes de cours.
iii
iv
1 Cinématique 1
1.1 Introduction, définitions et hypothèses principales . . . 2
1.2 Mouvement d’un système matériel . . . 2
1.3 Description du mouvement . . . 5
1.4 Déplacement, vitesse et accélération . . . 5
1.5 Lignes caractéristiques. . . 7
1.6 Mouvements stationnaires . . . 10
1.7 Équations de conservation. . . 11
1.7.1 Dérivée particulaire d’une fonction . . . 11
1.7.2 Dérivée particulaire d’une intégrale de volume . . . 14
1.7.3 Conservation de la masse . . . 15
1.7.4 Bilan de la quantité de mouvement. . . 16
2 Déformations 19 2.1 Gradient de la transformation . . . 20
2.2 Transport de quantité élémentaires . . . 22
2.3 Tenseurs des dilatations et des déformations . . . 24
2.3.1 Tenseurs des dilatations . . . 24
2.3.2 Tenseurs des déformations . . . 27
2.4 Décomposition polaire . . . 32
2.5 Taux de déformation . . . 33
2.6 Hypothèse des Petites Perturbations (HPP) . . . 34
2.6.1 Tenseurs des déformations en HPP . . . 35
2.6.2 Décomposition polaire. . . 37
2.6.3 Équations de compatibilité . . . 39
3 Contraintes 43 3.1 Du vecteur contrainte au tenseur des contraintes . . . 45
3.2 Conditions aux limites . . . 48
3.3 Équations d’équilibre . . . 48 v
vi
3.3.1 Description globale . . . 48
3.3.2 Equilibre des forces . . . 48
3.3.3 Equilibre des moments . . . 49
3.4 Propriétés locales du tenseur des contraintes . . . 50
3.4.1 Contraintes normale et tangentielle . . . 50
3.4.2 Contraintes principales . . . 51
3.4.3 Contrainte moyenne et déviateur . . . 52
3.4.4 Contraintes équivalentes . . . 53
3.4.5 États particuliers de contrainte . . . 54
4 Mécanique des solides déformables élastiques 59 4.1 A propos du comportement mécanique des matériaux . . . 60
4.2 L’essai de traction . . . 60
4.2.1 Cinématique de l’essai de traction . . . 61
4.2.2 Courbe rationnelle de traction . . . 62
4.3 Loi de comportement élastique linéaire . . . 64
4.3.1 Loi de Hooke généralisée . . . 64
4.3.2 Énergie de déformation élastique (potentiel élastique) . . . 64
4.3.3 Relations de symétrie - élasticité linéaire isotrope . . . 66
4.3.4 Retour vers l’essai de traction. . . 67
4.3.5 Relations entre les coefficients d’élasticité . . . 68
4.3.6 Un pas vers la thermoélasticité linéaire . . . 69
4.4 Résolution des problèmes de mécanique du solide élastique . . . 71
4.4.1 Rappel des équations . . . 71
4.4.2 Méthode de résolution en déplacement . . . 72
4.4.3 Méthode de résolution en contrainte . . . 72
4.5 Principe de superposition et unicité de la solution . . . 73
4.6 Cas de l’élasticité plane . . . 74
5 Principes variationnels 77 5.1 Attrait du calcul variationnel en MMC . . . 77
5.2 Notions de calcul variationnel . . . 79
5.2.1 Extremum d’une intégrale. . . 79
5.2.2 Indépendance des formes dey dans la fonctionnelle I . . . 81
5.2.3 Condition de minimisation d’Euler-Lagrange . . . 82
5.2.4 Conditions aux limites . . . 85
5.3 Équilibre mécaniquevia les principes variationnels . . . 88
5.3.1 Liens entre équilibre et principe de Hamilton . . . 88
5.3.2 Équivalence entre équations d’équilibre et principe de Hamilton pour un sys- tème conservatif . . . 92
5.4 Principe des Puissances Virtuelles . . . 94
5.4.1 Généralités . . . 94
5.4.2 Le PPV comme méthode de caractérisation de l’équilibre . . . 96
5.4.3 Principe des travaux virtuels . . . 97
5.5 Encadrement de la solution . . . 98
5.5.1 Approche en déplacements . . . 99
5.5.2 Approche en contraintes . . . 100
5.5.3 Encadrement . . . 101
6 Théorie des poutres 103 6.1 De la MMC à la théorie des poutres . . . 104
6.1.1 Cadre de la Résistance des Matériaux . . . 105
6.1.2 Équilibre mécanique : équilibre extérieur et équilibre intérieur . . . 105
6.1.3 Définition d’un poutre . . . 106
6.1.4 Grandeurs physiques d’intérêt . . . 108
6.1.5 Cas particulier des poutres à plan moyen chargées dans ce plan . . . 108
6.2 Approche purement statique de l’équilibre d’une poutre . . . 109
6.2.1 Torseur des efforts . . . 109
6.2.2 Identification des efforts internes par transport des efforts extérieurs . . . 115
6.2.3 États de contraintes associés . . . 117
6.2.4 Simplifications dans le cas des poutres à plan moyen chargées dans ce plan . 120 6.3 Théorie complète des poutres avec cisaillement dite deTimoshenko . . . 121
6.3.1 Cinématique . . . 121
6.3.2 Bilan partiel de la théorie des poutres . . . 126
6.3.3 Dualité des contraintes et déformations généralisées . . . 126
6.3.4 Conditions aux limites . . . 129
6.4 Résolution par intégration des équations d’équilibre intérieur . . . 129
6.4.1 Calcul des efforts internes - Équations d’équilibre . . . 130
6.4.2 Calcul des déplacements/rotations et des contraintes . . . 136
6.5 Bilan de la théorie des poutres de Timoshenko . . . 138
6.5.1 Théorie dans un cas général . . . 138 6.5.2 Simplifications dans le cas des poutres à plan moyen chargées dans ce plan . 140
viii
Table des annexes 143
Annexe A Algèbre tensorielle 145
A.1 Notation d’Einstein . . . 146
A.2 Symboles de Kronecker et de Levi-Civia . . . 146
A.3 Vecteurs . . . 146
A.4 Tenseurs . . . 147
A.4.1 Tenseurs d’ordre 2 . . . 147
A.4.2 Tenseurs d’ordre n . . . 149
A.4.3 Changement de base, invariants et base principale . . . 149
A.4.4 Produit tensoriel . . . 151
A.4.5 Produit contracté . . . 152
A.5 Analyse tensorielle . . . 153
A.5.1 Gradient . . . 153
A.5.2 Divergence . . . 154
A.5.3 Laplacien . . . 154
A.5.4 Rotationnel . . . 155
A.5.5 Autres formules . . . 155
A.5.6 Intégration par partie et transformations d’intégrales . . . 156
1.
Cinématique
Sommaire
1.1 Introduction, définitions et hypothèses principales . . . . 2
1.2 Mouvement d’un système matériel . . . . 2
1.3 Description du mouvement . . . . 5
1.4 Déplacement, vitesse et accélération . . . . 5
1.5 Lignes caractéristiques. . . . 7
1.6 Mouvements stationnaires. . . . 10
1.7 Équations de conservation. . . . 11
1.7.1 Dérivée particulaire d’une fonction . . . . 11
1.7.2 Dérivée particulaire d’une intégrale de volume . . . . 14
1.7.3 Conservation de la masse . . . . 15
1.7.4 Bilan de la quantité de mouvement. . . . 16
1
1.1 Introduction, définitions et hypothèses principales
La mécanique des milieux continus (MMC) s’attache à décrire le mouvement et les dé- formations de milieux matériels (par exemple fluides ou solides) à une échelle grande devant les distances inter-moléculaires. Ainsi dans une approche MMC, il ne sera pas possible de prendre en compte les discontinuités existantes à l’échelle microscopique. Par hypothèse, un milieu continu sera donc considéré comme un milieu dont le comportement macroscopique peut être décrit en supposant la matière répartie sur tout le domaine qu’il occupe, et non, comme dans la réalité, concen- trée dans une partie de volume très petite [CNM13]. Cela signifie que les propriétés de la matière (densité, propriétés mécaniques, . . .) sont continues. La validité de l’hypothèse de milieu continu, qui dépend de l’échelle d’observation, peut être mise en défaut dans le cas de matériaux possédant des microstructures dont l’échelle caractéristique est au-delà du micromètre (matériaux composites, milieux granulaires . . .). C’est aussi le cas des gaz raréfiés, par exemple, où la diminution du nombre de molécules dans le milieu fausse les effets de moyenne, et ne permet plus l’emploi d’un modèle de type milieu continu.
Suite à cette définition d’un milieu continu et des hypothèses sous-jacentes, ce chapitre a pour objectif de présenter lacinématique1 d’un milieu continu dans le but d’introduire une description mathématique du milieu et de ses propriétés.
1.2 Mouvement d’un système matériel
On suppose que le milieu continu, ou système mécanique, S de volumeV, est composé d’une infinité de petits éléments de matière appelés points matériels2. Chaque point matériel qui le compose occupera différentes positions au cours du temps t. L’étude d’un domaine matériel impose que l’on procède à sa description et à son repérage tout au long de son évolution au cours du temps. Lanotion de référentiel lié à l’observateurdoit être introduite. Le référentiel, notéR, lié à l’observateur représente l’ensemble des points animés du mouvement de corps rigide de l’observateur.
Un mouvement de corps rigide, ou mouvement rigidifiant, est un mouvement dans lequel les longueurs et les angles sont conservés. Pour effectuer les repérages spatiaux des points matériels dans un référentiel R, on utilise une base vectorielle associée à un point origine O. On obtient ainsi un repèreR, classiquement un repère cartésien orthonormé. Ce repère, animé du mouvement de corps rigide du référentiel R, permet de matérialiser ce référentiel. Le caractère intrinsèque vis-à-vis du changement de référentiel est appelé principe d’objectivité d’une grandeur ou d’une loi. Cette notion dépasse le cadre de ce cours, et nous renvoyons le lecteur à des références plus complètes [BW08,CNM13,Sal05].
Au cours du mouvement, le système S adopte alors une série de configurations Ct au cours du temps t. Pour simplifier, nous considérerons ici la configuration courante ou actuelle Ct et la configuration de référence C0 (Figure 1.1). Cette dernière étant décrite à un instant t0
qualifié d’instant initial, et pris par convention comme origine des temps (t0 = 0) ; on parle dans ce cas de configuration initiale. La configuration utilisée pour représenter des grandeurs (forces, déplacements . . . ) définit le type d’analyse réalisée. Si toutes les grandeurs sont représentées dans
1. Les vitesses mises en jeu sont très faibles devant la vitesse de la lumière.
2. La notion de « matériel » fait référence à la « masse » qui sera introduite par la suite.
1.2. Mouvement d’un système matériel 3
C0, le type d’analyse est dit lagrangien. Inversement, si toutes les grandeurs sont représentées dans Ct, le type d’analyse est dit eulérien. Souvent, par abus de langage, on parle de configurations lagrangienneoueulérienne.
Figure 1.1: Configurations d’un milieu continuS.
Une configuration deS est décrite par l’ensemble des positions de ses particules, ou points matériels, dans le référentiel. Dans la configuration de référence C0, ce repérage est réalisé par le vecteur position−−→
OP d’un point matériel fixe P, noté aussi−→
X, qui donne la position de chaque particule deS à l’instantt0 à partir de l’origineOd’un repèreR= (O,−→e1,−→e2,−→e3)lié au référentiel R, et donné par3 :
−−→ OP =−→
X =X1−→e1+X2−→e2+X3−→e3=Xi−→ei (1.1) où(X1, X2, X3)sont les coordonnées ditesmatérielleset(−→e1,−→e2,−→e3)forme une base orthonormée directe cartésienne. Le repèreR ainsi formé est souvent orthonormé sans que ce soit une nécessité.
Dans la configuration courante Ct, ce même point matériel occupe désormais la positionP0 dont le vecteur position−−→
OP0, aussi noté−→x, est donné par :
−−→OP0 =−→x =x1−→e1+x2−→e2+x3−→e3=xi−→ei (1.2) où(x1, x2, x3) sont les coordonnées ditesspatiales. On fait le choix, ici, de travailler dans le même système de coordonnées pour les différentes configurationsC0etCt. On adopte également la conven- tion d’écriture suivante : les lettres capitales seront utilisées pour désigner les quantités relatives àC0
(configuration lagrangienne), et les lettres minuscules, celles relatives àCt(configuration eulérienne).
Le déplacement des particules, autrement ditla loi de mouvement, est définie par l’évolution de la position −→x (des coordonnées spatiales) d’un point matériel (identifié par ses coordonnées
3. En mathématiques et en physique, laconvention de sommation d’Einsteinounotation d’Einsteinest un raccourci de notation utile pour la manipulation des équations concernant des coordonnées. Selon cette convention, quand l’indice d’une variable apparaît deux fois dans un terme, on sous-entend la sommation sur toutes les valeurs que peut prendre cet indice. Cet indice est dit muet. Par exemple,y=cixisignifiey=P3
i=1cixi.
matérielles−→
X) au cours du temps, tel que :
−
→x = −→ φ(−→
X , t) ou
xi = φi(X1, X2, X3, t) i∈ {1,2,3}
(1.3)
où les xi, respectivementφi, sont les composantes dans R de −→x, respectivement −→
φ. Par abus de notation, on pourra trouver la notation−→x =−→
φ(−→
X , t) =−→x(−→
X , t). Les coordonnées matérielles sont invariantes dans le temps, c’est donc une information intrinsèque de la particule (−→
φ(−→
X ,0) = −→ X).
Par contre, les coordonnées spatiales−→x de la particule évoluent dans le temps.
D’un point de vue mathématique, la transformation−→
φ est une fonction vectorielle bijec- tive. Autrement dit, à chaque point matériel−→
X ne correspond qu’un seul point spatial image à tout instantt. De même, deux points matériels différents ne peuvent aboutir à la même position spatiale au même instant. Étant donné la bijection qui existe entre les coordonnées matérielles et spatiales, on peut inverser la relation (1.3), et écrire :
−
→X = −→
φ−1(−→x , t) ou
Xi = φ−1i (x1, x2, x3, t) i∈ {1,2,3}
(1.4)
La connaissance de la transformation−→
φ, ou de son inverse, définit alors complètement le mouvement.
Il existe cependant quelques restrictions mathématiques4 pour garantir l’existence de −→ φ et −→
φ−1 :
• −→ φ(−→
X ,0) =−→
X puisque −→
X est le vecteur position à l’instant initial t= 0,
• −→
φ ∈C1, la fonction−→
φ est continue et sa dérivée est continue par rapport aux variables d’espaces et de temps,
• −→
φ est biunivoque,
• le jacobien de la transformationest positif en tout point et à tout instant.
On appellematrice jacobienne de l’application−→ φ(−→
X , t)la matrice3×3obtenue à l’aide des neuf dérivées partielles
∂xi
∂Xj
i,j=1,2,3
. Le jacobien est donc le déterminant de la matrice jacobienne, et s’écrit :
J = det
"
∂−→ φ(−→
X , t)
∂−→ X
#
>0 (1.5)
Les conditions de régularité imposées à la fonction −→ φ (et−→
φ−1) entraînent d’une part la continuité de J par rapport aux variables −→
X et t, et d’autre part, que J est non nul, fini et garde un signe constant. De plus, à t = 0, on a −→x(−→
X , t)|t=0 = −→
X, d’où J(−→
X ,0) = 1. Cette quantité a une interprétation physique importante que nous rencontrerons à plusieurs reprises dans la suite de ce document, en particulier lors de l’étude des déformations au chapitre 2. En effet, les éléments de volume dV = dX1dX2dX3 dans la configuration initiale et dv =dx1dx2dx3 dans la configuration courante sont liés par la relationdv =J dV (cela correspond à la formule de changement de variable dans une intégrale triple). Autrement dit, la quantité scalaireJ représente ladilatation volumique au voisinage d’une particule entre l’instant initial et l’instant courantt.
4. Ces conditions peuvent être assouplies dans certaines situations : voisinage d’une fissure, glissement dans un solide, chocs. . . La prise en compte de surfaces de discontinuité dépasse largement le cadre de ce cours.
1.3. Description du mouvement 5
1.3 Description du mouvement
Compte tenu de la relation biunivoque qui existe entre les coordonnées matérielles et spa- tiales (Éq. (1.3)), il est possible d’opter pour différentes descriptions. Nous nous intéressons ici aux deux descriptions classiques du mouvement d’un milieu continu, la description lagrangienne ou matérielle, et la description eulérienneouspatiale.
La première est classiquement utilisée en mécanique des solides pour lesquels on connaît la configuration initiale du système qui joue le rôle de configuration de référence (par exemple, l’état non déformé d’un solide). Dans ce cas, on utilise le couple(−→
X , t)de variables indépendantes, aussi appelé variables de Lagrange pour décrire le mouvement. La fonction −→
φ(−→
X , t) représente la description lagrangienne du mouvement du milieu continu, où les trois fonctions φi(−→
X , t), i ∈ {1,2,3} sont appeléesinconnues de Lagrange.
En mécanique des fluides, par exemple, on est surtout intéressé par l’évolution des positions des particules et on ne connaît pas leur position initiale. On opte alors pour une description eulérienne et le couple(−→x , t)de variables indépendantes, aussi appelévariables d’Euler, est utilisé pour décrire le mouvement. La description eulérienne du mouvement implique de connaître à chaque instant t et pour tout point dit « fixe », la vitesse −→v de la particule qui passe en ce point à cet instant. On appelleinconnues d’Eulerles trois fonction scalaires vi(−→x , t), i∈ {1,2,3} composantes de−→v qui seront décrites dans le prochain paragraphe.
1.4 Déplacement, vitesse et accélération
Maintenant que la transformation−→ φ(−→
X , t)du milieu continu est bien définie, il est commode d’introduire les notions de déplacement, vitesse et accélération d’une particule.
Entre l’instant initial t0 et l’instant courant t, le vecteur déplacement −→ U(−→
X , t) d’un point matériel (Figure1.1) s’écrit :
−
→U(−→
X , t) =−→x −−→ X =−→
φ(−→
X , t)−−→
X (1.6)
Dans le référentielR, la vitesse est décrite par la dérivée temporelle de la loi de mouvement (1.3). Autrement dit en description matérielle, la vitesse d’une particule à l’instant test donnée par l’expression :
−
→V(−→
X , t) = ∂−→ φ(−→
X , t)
∂t =−→˙
φ(−→ X , t) ou
Vi(X1, X2, X3, t) = ∂φi(X1, X2, X3, t)
∂t = ˙φi(X1, X2, X3, t) i∈ {1,2,3}
(1.7)
La vitesse matérielle −→ V(−→
X , t) correspond à la vitesse au temps t de la particule qui se trouvait en
−
→X au temps t=t0.
Souvent il est souhaitable de connaître le champs de vitesse en coordonnées spatiales −→x. Connaissant la fonction−→
φ−1(−→x , t), il est possible d’exprimer la vitesse en description spatiale, telle que :
−
→v(−→x , t) =−→ V(−→
X , t) =−→
V(φ−1(−→x , t), t) (1.8)
Physiquement, cette vitesse spatiale−→v(−→x , t) représente la vitesse de la particule−→
X qui à l’instant tse trouve au point de l’espace de coordonnée−→x, ou point géométrique −→x.
De même, l’accélération de la particule en description matérielle s’écrit :
−
→A(−→
X , t) = −→˙ V(−→
X , t) = ∂−→ V(−→
X , t)
∂t = ∂2−→ φ(−→
X , t)
∂t2 ou
Ai(X1, X2, X3, t) = V˙(X1, X2, X3, t) = ∂2φi(X1, X2, X3, t)
∂t2 i∈ {1,2,3}
(1.9)
et comme pour le champs de vitesse, connaissant la fonction −→
φ−1(−→x , t), il est possible d’exprimer l’accélération en description spatiale, telle que :
−
→a(−→x , t) =−→ A(−→
X , t) =−→
A(φ−1(−→x , t), t) (1.10) Exemple 1.1:
On considère un solide soumis à un mouvement de rotation de vitesse angulaire ω constante, décrit par l’expression (d’après [OdS17]) :
( x1 = Rsin(ωt+ϕ)
x2 = Rcos(ωt+ϕ) (1.11)
Question : Donner l’expression de la vitesse du solide en description matérielle (lagrangienne) et spatiale (eulérienne).
Solution : La relation (1.11) peut être réécrite de la manière suivante : ( x1 = Rsin(ωt+ϕ) =Rsin(ωt) cosϕ+Rcos(ωt) sinϕ
x2 = Rcos(ωt+ϕ) =Rcos(ωt) cosϕ−Rsin(ωt) sinϕ
A l’instant initial t0 = 0, on a, d’après (1.11), X1 = Rsinϕ et X2 = Rcosϕ. On peut donc écrire la loi de mouvement sous la forme :
( x1 = X1cos(ωt) +X2sin(ωt) x2 = −X1sin(ωt) +X2cos(ωt) et la relation inverse :
( X1 = x1cos(ωt)−x2sin(ωt) X2 = x1sin(ωt) +x2cos(ωt)
1.5. Lignes caractéristiques 7
La vitesse en description matérielle s’écrit :
−
→V(−→
X , t) = ∂−→ φ(−→
X , t)
∂t =
∂x1
∂t = −X1ωsin(ωt) +X2ωcos(ωt)
∂x2
∂t = −X1ωcos(ωt)−X2ωsin(ωt)
En remplaçant les expressions de X1 et X2 de la relation inverse de la loi de mouvement, la vitesse en description spatiale s’écrit :
−
→v(−→x , t) =−→ V(−→
X , t) =−→
V(φ−1(−→x , t), t) =
( ωx2
−ωx1
1.5 Lignes caractéristiques
Il est possible de définir trois types de lignes caractéristiques lors du mouvement d’un milieu continu : les trajectoires, les lignes d’émissions et les lignes de courant.
Trajectoires Au cours de la transformation du milieu continu, chaque point matériel va se déplacer et avoir sa propretrajectoire. Cette trajectoire est définie par l’évolution de la position−→x de ce point matériel au cours du temps (Figure 1.2). Pour cette raison, on dit que la description lagrangienne (ou matérielle) est une description par trajectoire. La loi de mouvement (Eq. 1.3), −→x = −→
φ(−→ X , t), décrit formellement l’ensemble des trajectoires de tous les points matériels. L’équation paramétrique de paramètre t de la trajectoire d’une particule décrite par ses coordonnées matérielles −→
X s’écrit donc :
−
→x(t) =φ(−→
X , t) −→
X étant fixé (1.12)
Le vecteur vitesse −→ V(−→
X , t) = ∂−→ φ(−→
X , t)
∂t est tangent à la trajectoire de la particule au point
−
→x =φ(−→ X , t).
Figure1.2: Trajectoire d’un point matériel décrit par ses coordonnées matérielles à l’instant initial t0.
En description eulérienne, la vitesse −→v(−→x , t) permet de reconstituer la fonction −→ φ de la relation de mouvement (1.3), et donc les trajectoires des points matériels, par intégration au cours du temps du système différentiel suivant, auquel on associe une condition initiale :
∂−→ φ(−→
X , t)
∂t = −→v(−→ φ(−→
X , t), t)
−
→φ(−→
X ,0) = −→ X
(1.13)
Ce problème peut s’écrire sous la forme différentielle suivante :
d−→x(t)
dt = −→v(−→x(t), t)
−
→x(0) = −→ X
(1.14)
Sous réserve que le vecteur vitesse −→v(−→x , t) est suffisamment régulier, l’intégration dans le temps du système différentiel précédent permet de déterminer pour chaque condition initiale une solution unique sous la forme de l’expression (1.3).
Toutefois, comme la vitesse eulérienne −→v(−→x , t) d’un point matériel dépend de sa position courante −→x, elle-même fonction de sa position initiale et du temps, l’intégration en temps peut s’avérer délicate.
Exemple 1.2:
Reprenons l’exemple du solide soumis à un mouvement de rotation de vitesse angulaire ω constante, décrit par la relation (1.11) p. 6. Nous venons d’établir l’expression du champs de vitesse eulérien −→v(−→x , t) donné par :
(
v1(−→x , t) = ωx2
v2(−→x , t) = −ωx1
Question :Retrouver, par résolution du système différentiel (1.14), la loi de mouvement décrite précédemment.
Solution : La vitesse en description spatiale s’écrit : d−→x(t)
dt =−→v(−→x , t)⇒
dx1(t)
dt = v1(−→x , t) =ωx2
dx2(t)
dt = v2(−→x , t) =−ωx1
En dérivant la seconde équation et en utilisant l’expression de la première équation, on obtient : d2x2(t)
dt2 =−ωdx1(t)
dt =−ω2x2(t) ⇒ x002 +ω2x2 = 0
L’équation caractéristique de cette équation différentielle du second ordre s’écrit r2 +ω2 = 0 et ses solutions caractéristiques sont rj = ±iω, avec j ∈ {1,2}. La solution (réelle) est de la forme :
x2(t) =C1cos(ωt) +C2sin(ωt) avec C1, C2∈R
1.5. Lignes caractéristiques 9
oùC1 et C2 sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales. La solution pour x1(t) est obtenue à partir de l’expressiondx2/dt=−ωx1, d’oùx1 =−dx2/ωdt, et donc :
( x1(C1, C2, t) = C1sin(ωt)−C2cos(ωt) x2(C1, C2, t) = C1cos(ωt) +C2sin(ωt) En prenant en compte les conditions initiales suivantes :
−
→x(C1, C2,0) =−→ X =
(
x1(C1, C2,0) = −C2=X1
x2(C1, C2,0) = C1 =X2
On retrouve bien l’expression de la loi de mouvement postulée initialement (Eq. 1.11), qui n’est rien d’autre que l’équation des trajectoires :
( x1 = X1cos(ωt) +X2sin(ωt) x2 = −X1sin(ωt) +X2cos(ωt)
Lignes d’émission Lorsque que l’on marque toutes les particules passant par un point géométrique M fixe au cours du temps, les positions de ces particules à tout instant ultérieur t > t0 décrivent les lignes d’émissionde ce point.
L’équation paramétrique de paramètre τ de cette courbe géométrique s’obtient à partir de la loi de mouvement (Eq.1.3) et de son inverse (Eq.1.4), en suivant la particule−→
X qui, passant au point géométriqueM à l’instantτ, se trouve en−→x à l’instanttsur la ligne d’émission :
−
→x(t) =−→ φ(−→
φ−1(−→xM, τ), t) t0 ≤τ ≤t (1.15)
La Figure1.3permet d’illustrer cette définition qui n’est pas très intuitive. Toutefois, il s’agit d’une courbe qu’il est souvent très facile de mettre en évidence expérimentalement. En mécanique des fluides, par exemple, le filet coloré produit par une source colorante au sein d’un écoulement de fluide correspond à une ligne d’émission.
Lignes de courant On appelleligne de courant, à un instant donnét∗fixé, la courbe géométrique qui admet en chacun de ses points une tangente parallèle au vecteur vitesse en ce point et à cet instantt∗ (Figure1.4). En général, une ligne de courant est différente d’une trajectoire puisque cette dernière admet en chacun de ses points des tangentes parallèles à des vecteurs vitesses correspondant à des instants différents.
Par extension, on pourra introduire la notion de surface de courant et de tube de courant.
Lasurface de courantdécrit, à un instantt∗ fixé, une surface telle que le vecteur vitesse en chacun de ses points appartienne au plan tangent en ce point. On appelletube de courantune surface de courant constituée par des lignes de courant s’appuyant sur un contour fermé.
Figure1.3: Lignes d’émissionvs. trajectoires.
Figure1.4: Lignes de courant à l’instant donnét∗ fixé (trajectoires de deux particules en pointillés).
1.6 Mouvements stationnaires
Le mouvement d’un milieu continu est qualifié de stationnaireou permanentdans Rsi le champs de vitesse en description spatiale−→v(−→x , t) est indépendant du tempst, on a donc :
−
→v(−→x , t) =−→v(−→x) ⇔ ∂−→v(−→x , t)
∂t = 0 (1.16)
En conséquence, comme les champs de vitesse n’évoluent pas dans le temps :
• les lignes de courant sont statiques,
• les trajectoires coïncident avec les lignes de courant,
• les lignes d’émission coïncident également avec les lignes de courant.
En description spatiale, l’indépendance vis-à-vis du temps t suppose que, pour un même point de l’espace, une propriété (par exemple la densité) ne varie pas dans le temps. Mais cela n’implique pas que, pour une même particule, cette propriété ne varie pas dans le temps (la description matérielle peut dépendre du temps). Reprenons l’expression (1.16), si −→v(−→x , t) est stationnaire, alors −→v(−→x , t) = −→v(−→x) = −→v(−→x(−→
X , t)) = −→ V(−→
X , t). Prenons l’exemple de deux particules identifiées par −→
X1 et −→
X2 dont les densités associées varient au cours du temps (Figure
1.7. Équations de conservation 11
1.5). Leur densités respectives coïncideront quand elles se trouveront au même point−→x (à différents instants t1 et t2). On peut donc écrire ρ(¯ −→
X1, t1) = ¯ρ(−→
X2, t2) = ρ(−→x). Autrement dit, pour un observateur extérieur au milieu, la densité au niveau d’un point fixe−→x est constante.
Figure 1.5: Mouvement de deux particules avec une densité stationnaire.
On peut définir d’autres types de mouvement comme les mouvements plans, de révolution, etc.. Il est même possible de combiner les différents types de mouvement (mouvement plan station- naire) mais nous renvoyons le lecteur aux références [CNM13] ou [Sal05] pour plus de détails.
1.7 Équations de conservation
Les équation de base de la mécanique des milieux continus résultent de l’écriture de lois de bilan. Ces lois de la physique ne sont pas mises en défaut si l’on reste dans le cadre des hypothèses de la physique classique (vitesse faible devant celle de la lumière, taille de système raisonnable) et sont toujours vérifiées quelle que soit la nature du milieu (solide, fluide ou gazeux). Il existe plusieurs lois de bilans ; les quatre lois de bilan utiles en mécanique sont :
— la conservation de la masse,
— le bilan de la quantité de mouvement,
— le bilan du moment cinétique,
— le bilan de l’énergie.
Nous nous limiterons dans le cadre de ce chapitre à l’étude de la conservation de la masse et au bilan de la quantité de mouvement.
Pour écrire ces équations de bilan, il est important de prendre en compte le mouvement du solide. Compte-tenu des différentes descriptions possibles (matérielle, spatiale), la représentation d’une grandeur dans l’une ou l’autre de ces configurations change parfois sa valeur, et souvent sa vitesse de variation. Nous allons donc introduire ici la notion de dérivée particulaire pour des fonctions et pour les intégrales mises en jeu dans les lois de bilan.
1.7.1 Dérivée particulaire d’une fonction
On considère une grandeur physiqueλdéfinie par un champs scalaire sur le domaine matériel (par exemple la masse volumique). La grandeur λ(−→x , t) en un point géométrique et à un instant
donnés correspond également à la valeur de cette grandeur attachée à la particule qui se trouve à ce point en cet instant, qu’on noteΛ(−→
X , t). Cela revient à écrire le passage de cette grandeur de la configuration spatiale à la configuration matérielle :
λ(−→x , t) = Λ(−→
X , t) (1.17)
à partir de la loi de mouvement (1.3) et de son inverse (1.4).
En description spatiale, la dérivée temporelle eulérienne, ou dérivée locale, s’effectue en un point de l’espace donné. Autrement dit, c’est une dérivée temporelle à −→x fixé. La dérivée temporelle eulérienne deλ(−→x , t) en description spatiale s’écrit donc :
Dérivée eulérienne :∂λ(−→x , t)
∂t (1.18)
La dérivée particulaire, également appelée dérivée matérielleou lagrangienne, consiste à dériver par rapport au temps une grandeur attachée à une particule matérielle, en suivant cette particule dans son mouvement. La dérivée particulaire, notéed(•)/dt est donc une dérivation tem- porelle à −→
X fixé et non plus −→x donné comme pour la dérivée eulérienne. Connaissant la quantité Λ(−→
X , t), sa dérivée particulaire s’exprime :
Dérivée particulaire :dΛ(−→ X , t)
dt = ∂Λ(−→ X , t)
∂t (1.19)
Dans certains ouvrages, cette dérivée particulaire est aussi notéeD(•)/Dt.
Les dérivées locale (eulérienne) et particulaire (lagrangienne) sont reliées. En effet, en rap- pelant queλ(−→x , t) =λ(−→x(−→
X , t), t) = Λ(−→
X , t), on peut écrire : dλ(−→x(−→
X , t), t)
dt = ∂Λ(−→ X , t)
∂t
qui peut se réécrire de la manière suivante (en description spatiale) : dλ(−→x , t)
dt = dλ(−→x(−→ X , t), t) dt
= ∂λ(−→x , t)
∂t + ∂λ(−→x , t)
∂−→x
∂−→x(−→ X , t) dλ(−→x , t) ∂t
dt
| {z }
dérivée particulaire
= ∂λ(−→x , t)
∂t
| {z }
dérivée eulérienne
+−−→
grad λ(−→x , t)· −→v(−→x , t)
| {z }
convection
(1.20)
En notation indicielle, on pourra écrire : dλ
dt = ∂λ
∂t +λ,jvj j∈ {1,2,3}
où la notation,j désigne la dérivation par rapport à la variable spatialexj.
Le dernier terme correspond à unedérivée convectiveliée à un transport de masse. Autre- ment dit, si il n’y a pas de convection (−→v(−→x , t) = 0), le dernier terme de (1.20) disparaît.
1.7. Équations de conservation 13
Exemple 1.3:
Question : Connaissant la loi de mouvement suivante :
−
→x =φ(−→ X , t) =
x1 = X1+X2t+X3t x2 = X2+ 2X3t x3 = X3+ 3X1t
,
donner l’expression de la dérivée matérielle d’une grandeurλ(−→x , t) = 3x1+ 2x2+ 3t.
Solution : La loi de mouvement permet de donner l’expression de la grandeur en description spatiale, notéeΛ(−→
X , t) : Λ(−→
X , t) = 3(X1+X2t+X3t) + 2(X2+ 2X3t) + 3t
= 3X1+ 3X2t+ 7X3t+ 2X2+ 3t La dérivée matérielle s’écrit donc :
∂Λ(−→ X , t)
∂t = 3X2+ 7X3+ 3
Il est possible de calculer cette quantité en utilisant la dérivée particulaire de cette gran- deur en description spatiale :
dλ(−→x , t)
dt = ∂λ(−→x , t)
∂t +−−→
grad λ(−→x , t)· −→v(−→x , t) où
∂λ(−→x , t)
∂t = 3, −→v(−→x , t) = ∂−→x
∂t =
X2+X3
2X3 3X1
, −−→
grad λ(−→x , t) =
3 2 0
, L’expression de la dérivée matérielle en description matérielle s’écrit :
dλ(−→x , t)
dt = 3X2+ 7X3+ 3
On vérifie bien que les deux expressions de la dérivée matérielle sont identiques pour les deux descriptions :
∂Λ(−→ X , t)
∂t = dλ(−→x , t) dt
On vient de présenter la dérivée matérielle d’une fonction scalaire attachée à une particule suivie dans son mouvement, autrement dit sa dérivée particulaire. Cette dérivée matérielle peut être appliquée à des fonctions vectorielles (ou tensorielles). Prenons par exemple l’accélération d’une particule dans un champ de vitesse. Si on connaît l’expression du champ de vitesse en description
spatiale, alors on peut écrire à partir de (1.20) :
−
→a(−→x , t) = d−→v(−→x , t)
dt = ∂−→v(−→x , t)
∂t +grad−→v(−→x , t)· −→v(−→x , t) ai = dvi
dt = ∂vi
∂t +vi,j·vj i, j ∈ {1,2,3}
Cette expression donne directement l’expression de l’accélération en description spatiale. On note la présence du terme d’advection qui implique que l’accélération devient une fonction non linéaire de la vitesse. On reviendra un peu plus loin sur la nature du termegrad−→v(−→x , t)(ou en notation indicielle vi,j).
1.7.2 Dérivée particulaire d’une intégrale de volume
On considère maintenant un domaine matériel D de frontière ∂D occupant à l’instant t la positionDtet la positionD0à l’instant initial. CommeDest un domaine matériel, celui-ci se déplace mais contient toujours les mêmes particules. De plus, comme c’est un domaine matériel, aucun flux de matière ne traverse sa frontière∂D.
Nous allons calculer la dérivée particulaire, autrement dit la vitesse de variation, de l’intégrale de volume de la fonction scalaireλ(−→x , t) = Λ(−→
X , t) : I(t) =
Z
Dt
λ(−→x , t)dv (1.21)
Pour calculer cette intégrale, une des manières de procéder est de passer en représentation lagrangienne pour réaliser la dérivée partielle par rapport au temps puis de repasser en description eulérienne. On écrit donc :
dI dt =
Z
D0
dΛ
dtJ+ ΛdJ dt
dV (1.22)
en rappelant quedv =J dV, oùJ est le jacobien de la transformation.
En description lagrangienne, d dt et ∂
∂t sont équivalentes. De plus, on peut écrire que dJ dt = J div−→v. Ainsi, la relation (1.22) s’écrit :
dI dt =
Z
D0
dΛ
dtJ+ ΛJ div−→v
dV (1.23)
La vitesse de variation de cette intégrale de volume en description eulérienne est alors donnée par l’expression :
dI dt =
Z
Dt
dλ
dt +λdiv−→v
dv (1.24)
En utilisant, l’expression de la dérivée particulaire vue précédemment et la relation : div(λ−→v) = λdiv−→v +−−→
gradλ· −→v (ou en notation indicielle : (λvi),i = λvi,i+λ,ivi), la dérivée particulaire de l’intégrale de volume peut se réécrire de la manière suivante :
dI dt =
Z
Dt
∂λ
∂t +div(λ−→v)
dv (1.25)
1.7. Équations de conservation 15
En utilisant le théorème de Green-Ostrogradski, ou théorème de la divergence, l’équation précédente peut-s’écrire d’une autre manière :
d dt
Z
Dt
λ(−→x , t)dv
| {z }
dérivée particulaire
= Z
Dt
∂λ
∂tdv
| {z }
instationnarité
+ Z
∂Dt
λ−→v · −→n ds
| {z }
convection
(1.26)
où−→n est la normale unitaire sortante au domaine matérielDt. L’extension de (1.25) au cas où −→
λ est une fonction vectorielle est immédiate en appliquant les résultats précédents à chaque composante de −→
λ dans une base cartésienne orthonormée. On obtient le résultat suivant :
−
→I(t) = Z
Dt
−
→λ(−→x , t)dv (1.27)
d−→ I dt =
Z
Dt
∂−→ λ
∂t +−→
div(−→ λ ⊗ −→v)
!
dv (1.28)
où le résultat du produit tensoriel −→
λ ⊗ −→v est un tenseur du second ordre.
1.7.3 Conservation de la masse
Considérons un domaine matériel D de frontière ∂D occupant à l’instant t la position Dt. Le domaine matériel est formé d’un ou plusieurs constituants non miscibles et on exclut l’existence de réactions chimiques au sein du milieu. Leprincipe de conservation de la masse s’énonce de la manière suivante :la masse de tout domaine matériel reste constante si on suit ce domaine dans son mouvement. On a donc :
dm(Dt) dt = d
dt Z
Dt
ρ(−→x , t)dv
= 0 ∀t (1.29)
avecρ(−→x , t) la masse volumique (en description eulérienne).
En utilisant la formule donnant la dérivée particulaire d’une intégrale de volume (1.24), on obtient la formulation intégrale ou globale de la conservation en description eulérienne suivante :
d dt
Z
Dt
ρ(−→x , t)dv
= Z
Dt
dρ
dt +ρ div−→v
dv= 0 ∀t (1.30)
Le principe de conservation de la masse doit être vérifié pour tout point→−x du domaineDt. On en déduit la forme locale de l’équation de conservation de la masse en description eulérienne :
dρ
dt +ρ div−→v = 0 ∀−→x ∈ Dt,∀t (1.31) En utilisant la relationdiv(ρ−→v) =ρdiv−→v+−−→
gradρ·−→v (ou en notation indicielle(ρvi),i =ρvi,i+ρ,ivi), on peut réécrire l’équation locale sous la forme :
∂ρ
∂t +div(ρ−→v) = 0 ∀−→x ∈ Dt,∀t (1.32)
On peut exprimer le principe de conservation de la masse en écrivant qu’à tout instant la masse associée au domaine matériel Dt est égale à la masse associée au même domaine dans la configuration initiale D0. En désignant par ρ0(−→
X) et ρ(−→x , t) les masses volumiques du milieu respectivement dans sa configuration initiale et courante, on peut écrire :
m(D0) =m(Dt) (1.33)
d’où la relation : Z
D0
ρ0(−→ X)dV =
Z
Dt
ρ(−→x , t)dv (1.34)
En utilisant la relation de mouvement (1.3) et l’expression dv =J dV, on peut écrire l’inté- grale précédente surD0. On obtient :
Z
D0
ρ0(−→
X)−ρ(−→ φ(−→
X , t), t)J
dV = 0 (1.35)
Comme cette relation doit être vérifiée en tout point du domaineD0, on en déduit laforme lagran- gienne de la conservation de la masse:
ρ0(−→
X) =J ρ(−→ φ(−→
X , t), t) ∀−→
X ∈ D0,∀t (1.36)
Cette équation signifie que la densité est inversement proportionnelle au changement de volume.
1.7.4 Bilan de la quantité de mouvement
L’équation de conservation de la masse décrite précédemment permet d’exprimer simplement la dérivée particulaire d’une intégrale prise par rapport à une distribution de massedm=ρdv. Pour illustrer ce calcul, nous pouvons calculer la dérivée particulaire de la quantité de mouvement d’un domaine matérielDt :
−
→P = Z
Dt
−
→v(−→x , t)dm= Z
Dt
ρ(−→x , t)−→v(−→x , t)dv (1.37) où le vecteur−→
P est laquantité de mouvementassociée àDtà l’instantt, aussi appelérésultante cinétique.
En utilisant la relation précédente (Eq. 1.28), on peut calculer la dérivée particulaire du vecteur−→
P, on obtient : d−→
P dt =
Z
Dt
∂(ρ−→v)
∂t +−→
div(ρ−→v ⊗ −→v)
dv (1.38)
= Z
Dt
ρ
∂−→v
∂t +−→
div(−→v ⊗ −→v)
| {z }
=ddt→−v
+−→v ∂ρ
∂t +div(ρ−→v)
| {z }
=0
dv (1.39)
= Z
Dt
ρd−→v dt dv=
Z
Dt
ρ−→a dv (1.40)
où−→a(−→x , t) est le vecteur accélération en description spatiale.
1.7. Équations de conservation 17
Le bilan de la quantité de mouvement introduit une quantité centrale en mécanique qui est la contrainte. Compte tenu de l’importance de cette quantité, nous ne développerons pas plus l’expression précédente ici, et renvoyons au chapitre 3 dédié aux contraintes.
2.
Déformations
Sommaire
2.1 Gradient de la transformation . . . . 20 2.2 Transport de quantité élémentaires . . . . 22 2.3 Tenseurs des dilatations et des déformations . . . . 24 2.3.1 Tenseurs des dilatations . . . . 24 2.3.2 Tenseurs des déformations . . . . 27 2.4 Décomposition polaire . . . . 32 2.5 Taux de déformation . . . . 33 2.6 Hypothèse des Petites Perturbations (HPP) . . . . 34 2.6.1 Tenseurs des déformations en HPP . . . . 35 2.6.2 Décomposition polaire. . . . 37 2.6.3 Équations de compatibilité . . . . 39
19
L’objectif de ce chapitre est d’introduire la notion de déformation du milieu continu qui se produit lors du passage d’une configuration de référence (souvent la configuration initiale) à la configuration courante. Dans le cadre de ce cours de MMC, l’Hypothèse des Petites Perturbations permettra de simplifier grandement les équations.
2.1 Gradient de la transformation
On considère le point matériel P dans la configuration de référence C0 qui occupe, après transformation, la position spatialeP0 dans la configurationCt. Une particule matérielle M, respec- tivement M0, située au voisinage de P, respectivement de P0, permet de définir les deux vecteurs élémentairesd−→
X et d−→x, respectivement dans C0 et Ct (Figure 2.1), tel que : ( d−→
X = −−→
OM−−−→ OP d−→x = −−−→
OM0−−−→
OP0 (2.1)
Figure2.1: Illustration de la transformation du milieu continu.
Lors de la transformation −→
φ (loi de mouvement (Eq. 1.3)), le vecteur élémentaire d−→ X de- vient :
d−→x =−−−→
OM0−−−→
OP0 =−→ φ(−→
X+d−→
X , t)−−→ φ(−→
X , t) (2.2)
On définit alors letenseur gradient de la transformation comme :
F(−→
X , t) = grad(−→ φ(−→
X , t)) ou
Fij = ∂xi
∂Xj
i, j∈ {1,2,3}
(2.3)
Les composantes Fij du tenseur du second ordre F, dans une base associée à des coordonnées cartésiennes, correspondent aux neuf dérivées partielles des grandeursx1, x2, x3 par rapport aux trois
2.1. Gradient de la transformation 21
variablesX1, X2, X3, autrement dit la matrice jacobienne introduite par la relation (1.5). Les éléments de cette matrice sont l’expression des composantes deF dans une base cartésienne orthonormée mais F est bien un tenseur du second ordre par nature. On rappelle que le déterminant deF, notéJ, est appelé jacobien de la transformation.
En tenant compte du caractère infinitésimal du vecteur élémentaire d−→
X, on peut écrire le développement de Taylor au premier ordre ded−→x (Eq. 2.2) :
d−→x = F(−→
X , t)·d−→ X ou
dxi = ∂xi
∂XjdXj =FijdXj i, j∈ {1,2,3}
(2.4)
Les composantes de F sont sans dimension physique puisqu’elles font intervenir des rapports de longueur.
Letenseur gradient de la transformationF, appelé encoreapplication linéaire tangente, transforme un vecteur infinitésimal de la configuration de référence d−→
X en un vecteur infinitésimal d−→x de la configuration actuelle. Il permet donc de relier localement les configurations C0 et Ct. Il suppose implicitement que la transformation du matériau est continue, c’est-à-dire qu’il ne se forme pas de trou ni d’interface dans le milieu. La formation de trous et d’interfaces résulte par exemple de phénomènes d’endommagement du matériau au cours de la transformation, mais ceci sort du cadre de ce cours.
CommeJ est non nul, le tenseurF est inversible et son inverse, notéF−1, s’écrit en fonction des coordonnées spatiales :
F−1(−→x , t) = grad(−→ φ−1(−→
X , t)) ou
Fij−1 = ∂Xi
∂xj i, j∈ {1,2,3}
(2.5)
Les composantes deF peuvent être calculées à partir du champs de déplacement. En utilisant la relation (1.6) :−→x =−→
X +−→ U(−→
X , t), on peut écrireF de la manière suivante :
F(−→
X , t) = I +grad(−→ U(−→
X , t)) Fij = δij+ ∂Ui
∂Xj
i, j∈ {1,2,3} (2.6) oùI est le tenseur identité, dont les composantes δij sont telles que δij = 1 si i=j, et δij = 0 si i6=j.δij est le symbole de Kronecker.
Lorsque le tenseur gradient de la transformationF est identique en tout point du domaine matériel entre les configurationsC0 etCt, on dit que la transformation est homogène, et on écrit :
−
→x =−→ φ(−→
X , t) =F(t)·−→
X+−→c(t) (2.7)
où−→c est un vecteur à préciser.
Si on s’intéresse maintenant au déplacement d’un corps de manière rigide, le mouvement s’écrit :
−
→x =R(t)·−→
X +−→c(t) (2.8)
oùRreprésente la rotation rigide du corps et le vecteur−→c représente la translation rigide. Le tenseur R est un tenseur orthogonal c’est-à-dire que sa transposée coïncide avec son inverse :
R·RT =RT ·R=I (2.9)
Le gradient d’une telle transformation est clairementF =R. Autrement dit, pour un mouvement de corps rigide, le tenseurF n’est pas nul mais égal au tenseur des rotations.
Exemple 2.1:
Prenons l’exemple de la transformation suivante qui, pour un instant donné, s’écrit :
−
→x =−→ φ(−→
X , t) =
x1 = X1−AX3 x2 = X2−AX3
x3 = −AX1+AX2+X3
(2.10)
Question : Calculer le gradient de la transformationF et son inverse F−1. Vous pourrez alors vérifier queF ·F−1 =I.
Solution : Le gradient de la transformationF s’écrit :
F =
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
=
1 0 −A
0 1 −A
−A A 1
On peut inverser la loi de mouvement (2.10) ci-dessus et écrire :
−
→X =−→
φ−1(−→x , t) =
X1 = 1 +A2
x1−A2x2+Ax3 X2 = A2x1 1−A2
x2+Ax3
X3 = Ax1−Ax2+x3 L’inverse du tenseur gradient de la transformation F−1 s’écrit alors :
F−1 ≡
∂X1
∂x1
∂X1
∂x2
∂X1
∂x3
∂X2
∂x1
∂X2
∂x2
∂X2
∂x3
∂X3
∂x1
∂X3
∂x2
∂X3
∂x3
=
1 +A2 −A2 A A2 1−A2 A
A −A 1
On peut alors facilement vérifier queF ·F−1=I.
2.2 Transport de quantité élémentaires
On s’intéresse ici au transport de quantités élémentaires(Figure 2.2) comme :
2.2. Transport de quantité élémentaires 23
• un vecteur élémentaired−→
X1 au voisinage du point matérielM,
• une surface élémentairedS, ou élément de surface, construit à partir de deux vecteurs élémentaires d−→
X1 et d−→
X2 issus de M,
• un volume élémentaire dV, ou élément de volume, construit à partir de trois vecteurs élémentaires d−→
X1,d−→
X2 et d−→
X3 issus de M, lors de la transformation.
(a) (b) (c)
Figure 2.2: Transport convectif de vecteur (a), surface (b) et volume (c) élémentaires.
Nous avons vu au paragraphe précédent que le transport d’un vecteur élémentaire se fait directement par l’application linéaire tangente de la transformation (Figure 2.2(a)), ou à l’aide du gradient des déplacements, et s’écritd−→x1 =F ·d−→
X1= (I+grad−→ U(−→
X , t))·d−→ X1.
Les volumesdV deC0 etdv deCt, associés respectivement aux trois vecteurs élémentaires d−→
X1,d−→ X2,d−→
X3 deC0, et d−→x1,d−→x2,d−→x3 deCt, sont donnés par les produits mixtes : ( dV = [d−→
X1, d−→ X2, d−→
X3] = (d−→ X1∧d−→
X2)·d−→ X3 dv = [d−→x1, d−→x2, d−→x3] = (d−→x1∧d−→x2)·d−→x3
(2.11)
En utilisant l’équation de transport des vecteurs élémentaires, on constate quedv etdV sont reliés entre eux sous la forme (Figure2.2(c)) :
dv = [d−→x1, d−→x2, d−→x3]
= [F ·d−→
X1, F ·d−→
X2, F·d−→ X3]
= det(F·d−→
X1, F ·d−→
X2, F ·d−→ X3)
= det(F·(d−→ X1, d−→
X2, d−→ X3))
= (detF)
| {z }
=J
det(d−→ X1, d−→
X2, d−→ X3)
| {z }
=dV
(2.12)
autrement dit :
dv=J dV avec J = detF >0 (2.13) On comprend ici pourquoi le jacobien de la transformationJ est aussi appelédilatation volumique.
On considère dans C0, une surface élémentaire caractérisée par un vecteur d−→
S = d−→ X1 ∧ d−→
X2 = −→
N dS, où −→
N est le vecteur unitaire normal à cette surface élémentaire, et dS son aire.
