Exercices Alternatifs
La d´ erivation vue comme une application lin´ eaire
°2001 Fr´ed´ericc Le Roux(copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).
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Alg`ebre lin´eaire.DEUG premi`ere ann´ee. Angle p´edagogique : Langage.
Objectifs et commentaires. L’alg`ebre lin´eaire dans les espaces fonctionnels pose de redoutables probl`emes aux ´etudiants. En particulier, celui du type d’objets manipul´e, parce que les objets ont souvent un double statut (`a la fois fonction ET vecteur par exemple). Suggestion : ne pas faire comme si il n’y avait pas de probl`eme, et qu’il suffisait d’appliquer les d´efinitions comme d’habitude...
On consid`ere la question suivante :
“Soit E l’espace vectoriel de dimension 2 engendr´e par les fonctions sin et cos.
Calculer le d´eterminant de l’application “d´erivation” de E dansE.”
a. Pr´eciser la question en relevant toutes les affirmations implicites ou ambig¨ues1, et r´ediger un ´enonc´e d’exercice d´etaill´e.
b. Montrer les affirmations implicites.
c. R´epondre `a la question.
d. Donner l’inverse de cette application “d´erivation” par deux m´ethodes diff´erentes.
1Par exemple, faudrait-il pr´eciser dans quelle base il faut faire le calcul ?
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