E 681. Les nombres japonais **** On dit qu’un entier naturel N est de type Jn

E 681. Les nombres japonais ****

On dit qu’un entier naturel N est de type J

si N peut être écrit en utilisant une fois et une fois seulement chacun des nombres 1, 2, 3…, n dans l’ordre, ces nombres étant utilisés comme opérandes avec les opérateurs +, -, ×, /, racine carrée, exponentiation, factorielle (notée !), et les parenthèses ( et ). La concaténation est interdite.

Ainsi, 2011 est de type J

puisque Démontrer que 2017 est de type J

pour tout entier naturel

* en hommage au cinéaste japonais Takeshi Kitano Solution proposée par Michel Lafond:

On vérifie que :

Cela prouve que 2017 est de type J

pour

Pour on se ramène à l’un des 4 cas ci-dessus en utilisant autant de fois que nécessaire l’identité

Exemple pour prouver que 2017 est de type J

on écrira :

Simple curiosité : tous les entiers ci-dessous sont de type J4 J’en ai peut-être oublié.

Trouvé sur Wikipédia :

Le problème de Takeshi Kitano

Le cinéaste japonais Takeshi Kitano proclame haut et fort son intérêt pour les

mathématiques. Dans l'installation qu'il a réalisée à la fondation Cartier à l'occasion de l'exposition « Mathématiques, un dépaysement soudain », il soumet un problème numérique aux visiteurs :

Retrouvez 2011 en écrivant, dans l'ordre, les premiers nombres entiers, séparés par tout opérateur à votre convenance, qu'il s'agisse d'additions, soustractions, multiplications, divisions, mais aussi racines carrées, exposants, factorielles… mais sans concaténer les chiffres.

Le but est de trouver la formule la plus courte.

Problème de Takeshi Kitano

Lors de l'exposition «"Mathématiques, un dépaysement soudain" à la Fondation Cartier en octobre 2011, le cinéaste japonais Takeshi Kitano a proposé un défi numérique aux visiteurs :

Trouvez la formule la plus courte permettant de calculer 2011 en écrivant, dans l'ordre, les premiers nombres entiers, séparés par des opérateurs (+, -, *, /, racines carrées, exposants, factorielle).

Lui-même propose : (1 + 2 + 3)⁴ + (5 × 6 × 7 × 8) – (9 × 10 × 11) + 12 + 13 = 2011

Ce jeu, à énoncé simple, avait eu du succès pendant l’exposition.

Le résultat le plus court, trouvé par ordinateur, a été : (1+2) !! + (3 !)⁴ - 5

Voir aussi : Tangente. Num. 143. p. 48-48. Variations autour d'un problème.

Pour en savoir plus : http://fkaplan.wordpress.com/2011/10/24/la-reponse-est-2011/

Le jeu de Takeshi Kitano s’appelle « The Answer is 2011 ». Les règles sont simples 1. Le joueur peut utiliser les nombres 1, 2, 3. 4, 5, etc. dans l’ordre.

2. Entre ces nombres il peut placer des opérateurs mathématiques comme +, -, *, /, racine carrée et factorielle.

3. Il faut créer la formule la plus courte (utilisant le moins de nombre).

C’est donc une sorte de compétition.

Les visiteurs de l’exposition peuvent tenter d’inventer des formules courtes par l’intermédiaire d’une installation technique désignée par David Lynch. Nous avons conçu l’écran tactile (un de nos spécialités chez OZWE) et le programme qui permet de jouer au jeu. Le tout a été installé la semaine dernière par notre équipe. Je suis passé dimanche il y avait déjà près de 50 formules dont certaines plus courtes que la solution proposée par Kitano. Quel succès ! Cela ne m’étonne qu’à moitié car pendant les dernières semaines où nous avons travaillé sur le projet, j’ai pu constater à quel point ce jeu, si simple en apparence, pouvait être addictif.

Cela a commencé par Laurent qui un matin a écrit sur notre tableau blanc : ((1*2^3)*4*5+6*7+8-9)*10 - 11 + 12 = 2011.

Du coup Stéphane a proposé une formule plus longue mais typique du mode de pensée d’un informaticien : 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 … – 4020 + 4021 = 2011

Alors que tout le monde se perdait dans les racines et les factorielles, Cris est venue avec une solution toute simple, à simplement neuf chiffres : (1+2+3+4)*(5*6*7-8) - 9 = 2011

Stéphane fut le premier à passer la barre des 7 chiffres -1 + 2*(3+4^5) - 6*7 = 2011

Alors que nous debuggions les derniers petits problèmes dans l’interface, Giancarlo Lucchini, un des mathématiciens qui participe à l’exposition a décidé de rentrer dans la compétition. Alors que l’exposition n’était même pas ouverte, nous assistions à une improbable joute mathématique franco-suisse initiée par un cinéaste japonais.

La barre des six fut atteinte, en utilisant en particulier les doubles factorielles : ((1+2)!!)*3-4! – Racine (5^6) = 2011 À une pause-café à l’EPFL, je racontais tout ça à Quentin Bonnard, un de mes doctorants. Il haussa les épaules et me dit que l’espace de recherche ne devait pas être immense et qu’il suffisait de programmer un algorithme pour trouver toutes les solutions. Ce qu’il fit la nuit suivante. En quelques heures seulement il avait passé la barre jusque-là infranchissable des 5 chiffres (1+2)!! + (3!)^4 – 5 = 2011

Écœurement du côté des mathématiciens poètes. La force brute de la machine, la même qui avait vexé Kasparov sur le terrain des échecs, empêchait une fois de plus le plaisir de l’inventivité humaine. Triste époque où la force de la machine nous rappelle chaque jour que nous ne sommes pas si doué pour les jeux mathématiques.