D288. Incursion en Ovalie
SoitIl’intersectionABTCD,Γ2le cercle circonscrit `aP EIF, de centreO.
Les diagonalesDB etAC recoupentΓ2 enJ etK.
H est l’intersection de la m´ediatrice deJ K avecΓ2 (du mˆeme cot´e que I).
Gest le sym´etrique deI par rapport `aOH.
EF,J K et GI sont parall`eles entre elles, et perpendiculaires `aP G etOH.
P I est bissectrice deKP J\ (ouCP B.\
1/Q intersection deEC etF B appartient `a QG
Les trianglesAP B etCP D sont semblables. On a donc: BE
BA = CF CD Introduisons le pointRde I intersection des parall`eles `a AB men´ee par C et
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a DC men´ee par B. R est sym´etrique de I par rapport `a M, donc sur la parall`eleP G`a OM.
Les faisceaux B(C, Q, P, R)et C(B, Q, P, R) sont en homographie puisque Rcorrespond aux points `a l’infini surABet CD, et comme la droiteBCest sa propre homologue,P,Qet Rsont align´es et aussi align´es avec G.
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2/OH coupeAD et BC en leurs milieux N etM
On a vu ci-dessus queM,Oet Hsont align´es sur la m´ediatrice deEF. Or M, N et O sont aussi align´es: c’est la propri´et´e de la ”droite des milieux d’un quadrilat`ere complet” appliqu´ee `aABCD.
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