A4919-Une algébrique,deux diophantiennes
Q1 Résoudre l'équation algébrique en x réel : 8x−18x= 18x−27x. Q2 Résoudre l'équation diophantienne en x et y entiers positifs: x2+26455 = 2y.
Q3 L'entier x positif ajouté à 10 puis à 4000 donne respectivement le pre- mier terme et le septième terme d'une suite d'entiers formant une progression géométrique dont la raison est un nombre rationnel. Déterminer le quatrième terme de la suite.
Solution proposée par Daniel V caru, Pites,ti, Roumanie.
Q1.
On obtient8x−2·18x+ 27x= 0 ⇔ 278x
−2· 188x
+ 1 = 0⇔ 323x
− 2 322x
+ 1 = 0. Notons 32x not
= X. On obtient l´equationX3−2X2+ 1 = 0 ⇔X3−X2−X2+X−X+ 1 = 0⇔(X−1) X2−X−1
= 0 ⇒X1 = 1, X2= 1+
√5
2 , X3=1−
√5
2 <0. On trouve 32x
= 1⇔x= 0et 32x
=1+
√5
2 ⇔
x= log3
2
1+√ 5 2
.
Q2. On obtient la solutionx= 1011ety= 20.
Q3. On obtientx+ 4000 = (x+ 10)·p
q
6
⇒p= 3, q= 2, x= 374.
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