CHAPITRE 12 : GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE
Objectifs
3.330 [S] Connaître et utiliser les sections du cube et du pavé droit par un plan parallèle à une face ou une arête.
3.331 [S] Connaître et utiliser les sections du cylindre de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à son axe.
3.332 [–] Connaître et utiliser les sections du cône de révolution et d'une pyramide par un plan parallèle à la base.
3.333 [S] Connaître et représenter la sphère et ses grands cercles ; Connaître la nature de la section d'une sphère par un plan.
3.334 [–] Repérer des points sur une sphère à partir de leurs coordonnées géographiques.
I.
SPHÈRE ET BOULE
a) Définitions
Une Sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM = R.
Une Boule de centre O et de rayon R est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM ≤ R.
• Un cercle de centre O et de rayon R est appelé un grand cercle de la sphère.
• On peut considérer qu'un cercle est vide (exemple une balle de tennis) alors qu'une boule est pleine (exemple une boule de pétanque).
• Un diamètre de la sphère est un segment qui joint deux points de la sphère et qui passe par le centre.
b) Propriétés
Aire d'une sphère de rayon R : 4 π R² Volume d'une boule de rayon R : 4
3πR3 c) Coordonnées géographiques
Les coordonnées géographiques d'un point sur la surface terrestre sont des mesures d'angles appelées longitude et latitude.
La latitude est une valeur angulaire, expression du positionnement nord- sud d'un point sur Terre. Plus la latitude s'écarte de 0°, plus on s'éloigne du plan de l'équateur.
La longitude est une valeur angulaire, expression du positionnement est- ouest d'un point sur Terre.
La longitude est donc une mesure angulaire sur 360° par rapport à un méridien de référence, avec une étendue de -180° à +180°, ou
respectivement de 180° ouest à 180° est.
Le méridien de référence est le méridien de Greenwich (qui sert aussi de référence pour les fuseaux horaires).
Exemple : les coordonnées géographiques de New York sont : ( 74°O ; 41°N)
II.
SECTIONS PLANES DE SOLIDES
Définition : On appelle section d'un solide par un plan l'intersection de ce solide avec ce plan.
a) Parallélépipède rectangle
La section d'un parallélépipède rectangle par un plan est un rectangle.
b) Cylindre
La section d'un cylindre par un plan parallèle à l'axe La section d'un cylindre par un plan perpendiculaire
est un rectangle. à l'axe est un cercle.
c) Pyramide et cône
Plan parallèle à la base
La section d'un cône par un plan parallèle à la base La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est un cercle qui est une réduction du cercle de base. est un polygone qui est une réduction du polygone de
base.
d) Sphère
OH < R OH = R
La section d'une sphère par un plan est un cercle. Si la distance entre le centre de la sphère et le plan La section d'une boule par un plan est un disque. est égale au rayon de la sphère, alors il n'y a qu'un
seul point d'intersection. On dit que le plan est On peut trouver le rayon HA du cercle de section tangent à la sphère.
en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle OHA rectangle en H.
