partieln°1BTS-GO-1°Année-2009-2010

(1)

Partiel n° 1 BTS GO 1^ère année mathématiques 2009-2010 Exercice 1 :8 points ( les parties A et B sont indépendantes)

A. On désigne par E un nombre réel de l’intervalle ]0 ; 3[.

On considère la fonction f définie sur R, paire, périodique de période 5, telle que :

0 1

( ) (3 ) 2 3 1 2

3 2 5 / 2

E t si t

f t E t E si t

si t

   

     

   On se place dans le cas où E = 2.

1. Préciser l’écriture de f(t) sur chacun des intervalles ^{[ 0;1[},^{[1; 2[} et [ 2 ;5 / 2 ]. 2. Représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle ^{[ 5;10]}^ .

B. La fonction échelon unité ( notée U ^{( )}^t ) définie pour tout ^tsurRpar : ( ) 0 , 0

( ) 1, 0

t si t

  

  

 U U

2 3

-

2

0 



x y

e(t)

1°. Préciser l’expression de e^{( )}^t pour tout ^tdans chacun des intervalles suivants :^]^{ }^;0[ ; ^{[0; [}^ ;

^{[ ; 2 [}^{ } et ^{[2 ;}^{ }^[

2°. Montrer que pour tout réel ^t, e^{( )}^t peut s’écrire sous la forme : e^{( )}^t ^tU ^{( ) 2(}^t  ^t ^{) (}U ^t    ^{) (}^t ^{2 ) (}U ^t ^{2 )}.

Exercice 2 : 3 points

On considère la fonctionf définie surRpar : f t( ) 2 1 cos 2  

 

t . a. La fonction^f est périodique. En donner la plus petite période.

Démontrer que^f est une fonction paire . b. Etudier les variation de la fonction ^f .

c. Représenter la fonction^f sur l’intervalle ^[^{ }^{; ]}. Exercice 3 : 9 points.

Soit la fonction numériquesdéfinie par :

2

( ) 0 0 ;

( ) 1 0 1

( ) 3 (1 2 ) 1 2

( ) (1 2 ) 2

t t t

s t si t

s t t e si t

s t t e e si t

s t e e e si t



  

     



     

    



On rappelle que la notation f a( ^)représente la limite de la fonction f lorsque la variable t tend vers a par valeurs supérieures : ⁽ ⁾ t a^{lim ( )}

t a

f a^ f t



 . De même, ( ) lim ( )

t at a

f a^ f t



 .

1. Calculer s(1 )^ , s(1 )^ , s(2 )^ , s(2 )^ . Que peut-on en conclure pour la fonction s lorsque t = 1 et t = 2?

2.

a. Calculer ^{s t}^{'( )} sur chacun des intervalles ^{] 0 ;1[}, ^{]1; 2 [} et ^{] 2 ;}^^[ . b. Déterminer le signe de ^{s t}^{'( )}sur l’intervalle : ^{] 0 ;1[}, ^{]1; 2 [} et ^{] 2 ;}^^[.

(2)

c. Calculer la valeur exacte de ^s^{(ln(1 2 ))}^ ^e . Déterminer _t^{lim ( )}_^{s t} et dresser le tableau de variation de la fonction s sur ^{] 0 ;}^^[.

3. Calculer s'(0 )^ , s'(1 )^ , s'(1 )^ ,s'(2 )^ , s'(2 )^ .On admet que ces nombres sont respectivement les coefficients directeurs des demi-tangentes à droite et à gauche aux points d’abscisse 1 et d’abscisse 2 de la courbe  représentative de la fonction s

4. On se place dans le plan rapporté à un repère orthogonal



^{O i j}^{; ;}^{ }



d’unités graphiques 5 cm sur l’axe des abscisses et 20 cm sur l’axe des ordonnées.

a. Recopier et compléter le tableau suivant dans lequel les valeurs numériques seront données à 10^² près.

t 0,2 0,5 0,8 1 1,2 1,4 1,6 2 2,5 3 3,5

( ) s t

b. Tracer alors les tangentes ou demi-tangentes à la courbe représentative de la fonction s au points : 0 ; 1 et 2 . tracer alors la courbe .

0 0,2 0,1

x y

(3)

Exercice 1.

A. E2, on obtient 2 0 1

( ) 1 1 2

3 2 5 / 2

t si t

f t t si t

si t

  

   

   2. Représentation graphique

-5 -4 -3 -2 -1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4

0 1 1

x y

La droite d’équation ⁵

x2k où kest un entier relatif , est un axe de symétrie B1°. D’après la définition, le graphique de la fonction ^t^{e t}^{( )}est

( ) 0 0

( ) [0; [

( ) 2 [ ; 2 [

( ) 0 2

e t si t e t t si t

e t t si t

e t si t

  

   

       

   



Retrouvons les résultats précédents en donnant les valeurs de ^tU ^{( )}^t ,^²⁽^t^{ }^{) (}U ^t^{ }⁾et ⁽^t^{ }^{2 ) (}U ^t^{ }^{2 )}dans un tableau de valeurs puis en faisant leur somme .

t  0  _2 

( )

tU t 0 0 ^t ^ ^t 2 t

2(t ) (t )

  U   0 0 0 0 2(t )  2 2(t )

(t 2 ) (U t 2 ) 0 0 0 0 0 0 t 2

Somme e^{( )}^t 0 0 ^t ^   t 2 0 0

La représentation graphique de^f , l’échelon unité permet de définir « en une ligne » une fonction « définie par morceaux ».

B.2°.La fonction e est une combinaison linéaire de trois fonctions . e^{( )}^t ^tU ^{( ) 2(}^t  ^t ^{) (}U ^t    ^{) (}^t ^{2 ) (}U ^t ^{2 )}

Exercice 2

a. f t⁽   2 ) 2 1 cos 2 

 

t 2

 

  2 1 cos 2

^

t     4

^

 2 1 cos 2

^{ }

t   f t( ) Donc ^f est périodique de période 2.

f t⁽   ) 2 1 cos 2 

 

t 

 

  2 1 cos 2



t     2



 2 1 cos 2

 

t   f t( )

Donc f est périodique de période^. De plus f est une fonction paire ( puisque tcost est paire et on a : f( ) 2 1 cos( 2 ) t



  t



2(1 cos(2 )) t  f t( ) ) .







2 3

2

-

0 



x y

2 3

-

2

0 



x y

(4)

b. f t( ) 2 1 cos 2  

 

t  ; f t'( ) 4sin 2

 

t

Si ^t^^{[0; / 2]}^ : ²^t^^{[0 ; ]}^ et ^{sin(2 ) 0}^t ^ , donc ^{f t}^{'( ) 0}^ sur ^{[0; / 2]}^ Si ^t^{ }^{[ / 2; ]}^ : ²^t^{  }^{[ ; 2 ]} et ^{sin(2 ) 0}^t ^ , donc ^{f t}^{'( ) 0}^ sur ^{[ / 2; ]}^ ^

t 0 / 2 ^ '( )

f t + 0 ^ ( )

f t

4

0 0

Le maximum de ^f est atteint en x / 2 et vaut ^f^{( / 2) 4}^ ^ et elle a un minimum égal à 0 en x0 et ^x^{ }.

^^/2 ³^^/4 ^

2 3 4 5

0 /4

1

x y

/2 3/4 

-/4 -/2

-3/4 -

2 3 4

0 /4

1

x y

Exercice 3

Si t0, on a : ^{s t}^{( ) 0}^ .

Si 0 t 1, on a s t( )  t 1 e^^t

Si 1 t 2 s t( )  t 1 e^^t  2 2e^{ }^t ¹   0 t 3 e^^t(1 2 ) e Si t2 s t( )  t 3 e^^t(1 2 ) e   t 3 e^{ }^t ² e^^t(1 2 e e ²) d’où

1. on a : s(1 )^   2 e^¹(1 2 ) e   2 e^¹2e^{ }^{1 1}  2 e^¹2e⁰  2 e^¹ 2 e^¹ s(1 ) 1 1^   e^¹e^¹

2

0 0 0 0

1 0 1

( ) 3 (1 2 ) 1 2

(1 2 ) 2

t t t

si t

t e si t

s t t e e si t

e e e si t



   

    

       

(5)

On déduit que s(1 )^ s(1 )^ e^¹ et que s est continue en t 1.

De la même façon : s(2 )^ e^²(1 2 e e ²)e²2e^¹1 et s(2 )^   1 e^²(1 2 ) e   1 e^²2e^¹ Donc s(2 )^ s(2 )^   1 e^²2e^¹et la fonction s est continue en t 2.

2. calculons la dérivée ^{s t}^{'( )} :

2

0 0

1 0 1

'( ) 1 (1 2 ) 1 2

(1 2 ) 2

t t t

si t

e si t

s t e e si t

e e e si t



 

   

     

   



Etudions le signe de la dérivée ^{s t}^{'( )} si 0 t 1. Supposons que ^{s t}^{'( ) 0}^ ;

On a alors 1e^^t(1 2 ) 0 e   1 e^^t(1 2 ) e ^^e^^t ^_{1 2}¹ _e ^{  }^t ^ln^_{1 2}¹ _e^^{ }^t ^{ln 1 2}



^ ^e



On obtient de manière analogue ^{s t}^{'( ) 0}^ si ^t^^{ln 1 2}



^ ^e



^.

1.c. Calculons ^s



^{ln 1 2}



^ ^e

 

^:



^{ln 1 2}

  

^{ln(1 2 ) 3} ^{ln(1 2 )}(1 2 ) ln(1 2 ) 3 ¹ (1 2 ) ln(1 2 ) 2 1 2

s e e e e e e e e

e

 

             

 _t^{lim ( )}_^{s t} ^_t^lim_^e^^t^{(1 2}^ ^{e e}^ ²^{) 0}^

On déduit le tableau de variations de s 3. on a :

1 1 1

1 1

'(1 ) 1 (1 2 ) 1 2 1

'(1 ) 1

s e e e e

s e

   

 

         

  



. Donc s'(1 )^ s'(1 )^¹ par conséquent

les deux demi- tangentes à droite et à gauche ent1ne sont pas alignées ( n’ont pas le même coefficient directeur) la courbe admet un point anguleux ; la fonction s n’est pas dérivable en t 1.

En revanche : '(2 )1 2 ¹2(1 2 ²) 2 ² 2 ¹ 1 2 ² 12 ¹ 1

'(2 ) 1 (1 2 ) 1 (1 2 ) 2 1

s e e e e e e e

s e e e e e e

     

    

            

          

 . Donc s'(2 )^ s'(2 )^¹

par conséquent les deux demi-tangentes à droite et à gauche en t 1 sont alignées ( même coefficient directeur ) la fonction s est dérivable en t2.

4.

t 0,2 0,5 0,8 1 1,2 1,4 1,6 2 2,5 3 3,5

( )

s t 0,37 0,14 -0,01 -0,10 -0,13 -0,08 -0,05 -0,03

t 1 ^{ln 1 2e}



^



²

'( )

s t  0 +

t 0 1 ^{ln 1 2e}



^



² ^

'( )

s t + ^ 0 + +

( ) s t

0

e^1

ln(1 2 ) 2 e 

0

(6)

2 3 4

0,2 0,3 0,4

-0,1

-0,2

0 1

0,1

x y

1°. Préciser l’expression de e( )t pour tout tdans chacun des intervalles suivants :] ;0[ ; [0;1[ ; [1;2[ ; [2;3[et [3;[

2°. Montrer que pour tout réel t, e( )t peut s’écrire sous la forme :

5 1

( ) ( ) ( 1) ( 1) 2( 2) ( 2) ( 3) ( 3)

2 2

         

t t t t t t t t t

e

U U U U .

e(t)

2 3

1

-0,5

0 1

0,5

x y

Soit f la fonction définie sur R par f x( ) cos(2 ) 2sin x  x.

On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( ; ; ) i j  . 1° Vérifier que l'on peut réduire l'ensemble d'étude de ^f à l'intervalle ^{[ 0; 2 ]} . 2° Démontrer que, pour tout réel x, ^{f x}^{'( )}est du signe de : 2 cos( )(1 2sin( ))x  x Etudier les variations de ^f sur ^{[ 0; 2 ]} et dresser son tableau de variation.

Donner les valeurs exactes des extrema, et préciser en justifiant s'il s'agit de minimum ou de maximum.

3° Démontrer que la courbe C admet la droite d'équation x_2

pour axe de symétrie.

4° Déterminer une équation de la tangente T à C au point d'abscisse 0.

(7)

Etudier la position de C par rapport à T sur^{[ 0; / 6]} .

Exercice 2

1°.^f est périodique de période 2 ; f x⁽ ^{2 ) cos(2}  x^{4 ) 2sin(}  x2 ) cos(2 ) 2sin( )  x  x  f x( ) 2°. f x^{'( )} 2sin(2 ) 2cos( )x  x  4sin( )cos( ) 2cosx x  x2cos( )(1 2sin( ))x  x

3°.^{cos( ) 0}^x ^ sur [0; / 2] [3 / 2;2 ]    et ^{cos( ) 0}^x ^ sur ^[^^^{/ 2; / 2]}^ .

^{1 2sin} ⁰ ^sin ¹ ² ² ⁵

2 6 6 6 6

x x ^x  k ou x   k ^x  ou x ^

             

  

Donc 1 2sin( ) 0 x  sur[0; / 6] [5 / 6;2 ]    et 1 2sin( ) 0 x  sur[ / 6;5 / 6]  D’où le tableau de variation

x 0 ^{/ 6} / 2 5 / 6 3 / 2 2

cosx 1 + _{3 / 2} + 0  _ _{3 / 2}  0 + 1

1 2sin x 1 + 0  -1  0 + 3 + 1

'( )

f x + 0  0 + 0  0 +

( ) f x

1

3

2 1

3

2 3

 

cos 2 2sin cos 2 2cos cos(2 ) 2cos

2 2 2

f^ x^ ^ ^ x^^ ^ x^   x  x  x  x

 

cos 2 2sin cos 2 2cos cos(2 ) 2cos

2 2 2

f^ x^ ^ ^ x^^ ^ x^   x  x  x  x On en déduit que

2 2

f x f x

  

   

   et par conséquent la courbe C admet la droite d'équation^x^^^{/ 2} pour axe de symétrie.

4°. ^f^{(0) 1}^ et ^f^{'(0) 2}^ . Equation de la tangente ^y^ ^f^'0)(^x^{ }⁰⁾ ^f^{(0) 2(}^ ^x^{  }^{0) 1 2}^x^¹. g x^{( )} f x^{( ) (2} x 1) cos(2 ) 2sin( ) 2x  x  x1 ; g x^{'( )} 2sin(2 ) 2cos( ) 2x  x 

Pour 0 x / 6 , ^{0 2} ^x^{/ 3} on a :0 sin(2 ) ³ 3 2sin(2 ) 0

x 2 x

       et

0 cos( ) 1 0 2cos( ) 1

x 2 x

     ,  3 2 0 2   g x'( ) 0 1 2   :  3 2 g x'( ) 1

(8)

Donc pour tout réel ^x tel que : 0 x / 6 : ^{g x}^{'( ) 0}^ .g est donc décroissante sur ^{[0; / 6]}^ pour tout réel ^x^^{[0; / 6]}^ , on a : ^{g x}^{( )}^^g^{(0) 0}^ et enfin C est en dessous deT sur^{[0; / 6]}^ .

/3 /2 2/3 5/6  7/6 4/3 3/2 5/3 11/6 2

-/6 -/3 -/2 -2/3 -5/6 -

2

-1

-2

-3

0 /6 1

x y