D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Test 02 : Terminale STG GRH
1 Test 02 Terminale STG GRH 55 minutes – calculatrice autorisée
Problème Les parties A, B et C sont indépendantes.
Le tableau ci-dessous présente la part en pourcentage des dépenses des ménages français consacrée à l’alimentation et celle consacrée aux services de santé.
Par exemple, dans le tableau précédent, les dépenses alimentaires en 1970,
représentent 26% des dépenses des ménages français.
Partie A.
1. a. Représenter, dans un repère orthogonal, le nuage de points d’abscisse le rang de l’année et d’ordonnée la part en
pourcentage des produits alimentaires en prenant pour unités graphiques : 1 cm pour 5 unités sur l’axe des abscisses, 0,5 cm pour une unité sur l’axe des ordonnées.
b. Justifier qu’une approximation affine est envisageable.
c. L’aspect du nuage conduit à choisir pour ajustement affine la droite
D
1 qui passe par les points A(0 ;31,31) et B(30 ;18,77).Prouver que
D
1 a pour équationy = − 0, 418 x + 31, 31
et construire la droiteD
1 dans le repère précédent.d. En utilisant l’ajustement précédent, estimer graphiquement la part en pourcentage des dépenses alimentaires des ménages français en 2005.
2. a. Sur le même graphique que précédemment, construire le nuage de points d’abscisse le rang de l’année et d’ordonnée la part en pourcentage des services de santé.
b. Déterminer les coordonnées du point moyen
G
2 de ce nuage et placer ce point sur le graphique.c. L’aspect du nuage conduit à choisir pour ajustement affine la droite
D
2 passant parG
2 et admettant comme coefficient directeur 0,123. Déterminer une équation deD
2 et la tracer.3. a. Déterminer graphiquement le point d’intersection de
D
1 etD
2.b. Déterminer par le calcul les coordonnées du point d’intersection de
D
1 etD
2 à 0,1 près.c. Quelles prévisions fondées sur les ajustements précédents, l’abscisse de ce point d’intersection permet-elle de réaliser ? Partie B.
1. Déterminer une équation de la droite des moindres carrés permettant d’exprimer la part des produits alimentaires en fonction du rang de l’année.
2. Reprendre alors la question A1d.
Partie C.
1. Déterminer le taux d’évolution de la part des produits alimentaires dans les ménages français entre 1960 et 1995.
2. En déduire le taux d’évolution annuel moyen de cette part (arrondi à 0.01%).
3. Reprendre alors la question A1d.
Années 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995
Rang de l’année 0 5 10 15 20 25 30 35
Part des produits alimentaires (en %)
33,3 29,6 26 23,5 21,4 20,7 19,2 18,2
Part des services de santé (en %) 6 6,1 6,9 7,8 7,7 8,4 9,5 10,3
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Corrigé Test 01 – Terminale GRH
Problème EXERCICE 1
1. a.
Voir graphique.
b. Le point A(0 ;31,31) est sur
D
1car ses coordonnées vérifient l’équation de
D
1. Si x = 0 : 0, 418 0− × +31, 31=31, 31.
De même, Si x = 30 :
− 0, 418 30 31, 31 ... 18, 77 × + = =
donc B(30 ;18,77) est lui aussi surD
1. Comme il existe une seule droite qui passe par deux points donnés,
D
1est la droite (AB) et l’équation proposée est la bonne.
c. 2005 = 1960 + 45 donc l’année 2005 correspond au rang 45.
Graphiquement, on peut estimer que la part des dépenses alimentaires sera environ de 12,5%.
2. a. Voir graphique.
b. Les coordonnées du point moyen
G
2de ce nuage de 8 points sont données par la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées : on trouve
G
2( 17,5; 7,8375 )
. c. Cherchons l’équation affine de la droite
D
2passant par
G
2et admettant comme coefficient directeur 0,123.
Elle est du type y = 0,123x + b. Comme les coordonnées de
G
2vérifient cette équation, nous avons 7,8375 = 0,123 * 17,5 + b donc b = 7,8375 - 0,123 * 17,5 = 5,685.
Ainsi
D
2: y = 0,123 x + 5, 685
: pour la tracer, on utilise le fait qu’elle passe parG
2et C(0 ; 5,685).
3. a. Graphiquement le point d’intersection de
D
1et
D
2a pour coordonnées environ (47 ; 11,5).
b. Par le calcul, on doit résoudre le système suivant :
0, 418 31, 31 0, 418 31, 31
0,123 5, 685 0, 418 31, 31 0,123 5, 685
0, 418 47, 4 31, 31 11, 5 0, 418 31, 31
25, 625
47, 4 0, 418 0,123 5, 685 31, 31
0, 541
y x y x
y x x x
y x y
x x x
= − + = − +
⇔
= + − + = +
= − × + ≈
= − +
⇔ ⇔ −
= ≈
− − = −
−
.Années 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995
Rang de l’année 0 5 10 15 20 25 30 35
Part des produits alimentaires (en %)
33,3 29,6 26 23,5 21,4 20,7 19,2 18,2
Part des services de santé (en %) 6 6,1 6,9 7,8 7,7 8,4 9,5 10,3
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On obtient donc le point de coordonnées (47,4 ; 11, 5), ce qui est cohérent avec la lecture graphique.
4. c. Le rang 47,4 correspond à l’année « 2007,4 » soit le mois de Mars 2007.
Ainsi, courant 2007, selon notre ajustement, on peut prévoir que la part des dépenses
alimentaires sera identique à la part des dépenses pour les services de santé (environ 11,5% des dépenses du ménage).
Partie B
1. Par la méthode des moindres carrés, on trouve comme droite d’ajustement D : y= −0.418x+31.31 (cad la droite D1).
2. Pour x = 45, on trouve y= −0.418 45 31.31 12.5× + ≈ ce qui correspond à la lecture graphique du A1d.
Partie C
1. Le taux d’évolution est donné par
18.2 33.3 33.3 0.45
t= − ≃−
soit environ 45% de baisse entre 1960 et 2005.
2. Entre 1960 et 2005 on a 35 évolutions donc
( )
1+t 35 = −1 0.45⇔ =t 0.55351 −1≃−1.69% soit en moyenne 1.69% de baisse annuelle.3. 10 ans plus tard, on peut estimer la part alimentaire des ménages à 33.3× −
(
1 1.69%)
45≃15.46% environ.En conclusion, ce problème propose trois méthodes différentes pour estimer une évolution sur 45 ans : on constate que les résultats sont différentes mais restent proches.