sujet bac-STL-chimieDE LABO-juin 2009-FRANCE2009-AVEC correction-

(1)

SCIENCES ET TECHNOLOGIQUES DE LABORATOIRE CHIMIE DE LABORATOIRE ET DE PROCEDES INDUSTRIELS

Exercice 1

On considère l’équation différentielle : ^{2 '}^y ^{ }^y ^{0 ( )}^E Où l’inconnue ^yest une fonction définie dérivable sur R. 1. Résoudre l’équation différentielle ^{( )}^E

2. On note ^f la solution de l’équation différentielle ^{( )}^E vérifiant ^f ^{'(0) 2}^ Montrer que la fonction ^f est définie sur Rpar ( ) 2 ₂

x

f x  e^

3. On note M la valeur moyenne de la fonction^f sur l’intervalle ^{[ 0 ;2 ]}. Calculer M .On donnera la valeur exacte de M et son arrondi à ₁₀^¹près .

4. La courbe représentative de la fonction ^f sur l’intervalle ^{[ 0 ;2 ]}est donnée par l’un des trois graphiques suivants :

2 2

3

0 1

1

x y

²

2 3

0 1

1

x y

²

2 3

0 1

1

x y

Graphique 1 Graphique 2 Graphique 3

Quel est le graphique qui donne la courbe représentative de la fonction ^f sur l’intervalle ^{[ 0 ;2 ]} ? On explicitera le raisonnement qui a conduit au choix de ce graphique .

Exercice 2

On note i le nombre complexe de module 1 et dont l’argument est 2

 .

On considère les points A ,B et C d’affixes respectives : z_A 3 i 3 ; zB zA ; z_C 2. 1. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres ^z_A ; ^z_B et ^z_C.

2. Ecrire les nombres complexes zAetzB sous forme exponentielle . 3. Placer les points A,B et C sur une figure .

4. Déterminer l’affixe du point A'symétrique du point A par rapport au point C.

5. Montrer que les points ^{A B A}^{, , '}et Oappartiennent à un même cercle de centre C . On précisera le rayon de ce cercle .

6. Dans cette question toute trace de recherche , même incomplète , ou d’initiative même infrectueuse Sera prise en compte dans l’évaluation .

Montrer que la droite (AC) est une médiane du triangle OAB.

PROBLEME 9points

(2)

Soit ^f la fonction définie sur R par f x( ) x e^^x

On noteC la courbe représentative de la fonction ^f dans un repère orthonormal



^{O i j}^{; ;}^{ }



( unité graphique 2 cm ).

1. Déterminer la limite de la fonction ^f en 

2. Vérifier que, pour tout nombre réel ^x, ^{f x}^{( )}^^e^^x



^xe^x^¹



En déduire la limite de la fonction en ^.

3. On note ^f ^'la fonction dérivée de la fonction ^f sur R. a. Calculer ^{f x}^{'( )}.

b. Résoudre l’équation ^{f x}^{'( ) 0}^ . Que peut-on en déduire pour la courbe C . c. Etudier le signe de la fonction ^f ^'surR.

d. Etudier le tableau de variations de la fonction ^f ( on indiquera les limites ).

4.

a. Montrer que la droited’équation ^{y x}^ est asymptote à la courbeC . b. Déterminer la position relative de la courbeC et de la droite . c. Tracer la courbe C et la droite.

5. Calcul d’aire

a. Déterminer une primitiveFde la fonction ^f sur R.

b. SoitSla partie du plan limitée par la courbeC , l’axe des abscisses , l’axe des ordonnées et la droite d’équation x2.

Soit Al’aire , exprimée en unités d’aire, de la partieS. Calculer la valeur exacte de A puis son arrondi à 10^²près .

Correction Exercice 1

(3)

1. 1

2 ' 0 ' 0

y   y y 2y , donc l’équation différentielle ^{( )}^E est de la forme ^{y ay}^'^ ^⁰avec 1 a 2. et a pour solution de la forme y ke ^ax, où kest constante réelle .

donc ^{( )}^E a pour solution : y ke ^₂^x .

2. ^f est solution de l’équation ^{( )}^E , vérifiant ^f^{(0) 2}^ donc ( ) ₂

x

f x ke^ . f(0)ke⁰  k 2, puisque _e⁰ _₁et par conséquent ( ) 2 ₂

x

f x  e^ .

3. ² ² ² ^{/ 2} ^{/ 2} ²

0 0 0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) 2 2

2 0 2 2

b x x

M a f x dx f x dx f x dx e dx e

b a

   

 



 







 



  

 

1 0 1 1

2 2 2 1 2 1 1, 264

M e e e

e

   

         , ^M ^^1,3 valeur arrondie à ₁₀^¹près.

4. la fonction ^f est définie et dérivable sur Ret on a : 1 ^{/ 2} ^{/ 2} '( ) 2

2

x x

f x  e^ e^

     .(

 

êâx ^'^âeâx⁾

On sait que la fonction _x__e^axest strictement positive sur R, donc ^{f x}^{'( ) 0}^ et par conséquent est strictement décroissante sur R, ce résultat nous conduit à éliminer le graphique 3

deux méthodes pour écarter le graphique 1. en effet :

1. ^f ^'(0)^{ }¹et l’équation de la tangente T en 0 a pour équation ^y^ ^f ^'(0)(^x^{ }⁰⁾ ^f⁽⁰⁾^{  }^x ². En construisant la tangente on constate qu’elle coupe le graphique 1 en deux points , donc elle n’est tangente au graphique 1

2. Calculons ^{1/ 2} 2

(1) 2 1, 21 1

f e

e

     , or sur le graphique 1 ^f^{(1) 1}^ ce qui permet d’éliminer le graphique 1 .

par conséquent le graphique qui donne la courbe représentative de la fonction ^f sur l’intervalle ^{[ 0 ;2 ]}, est le graphique 2.

Exercice 2

1. z_A 3 i 3 ,zAest de la forme zA a bi donc ^z^A ^ ^a²^^b² ^ ³²^

 

³ ² ^ ^{9 3}^{ } ^{12 2 3}^

zAet zBzAsont deux nombres complexes conjugués , donc ils ont même module et on a : ^z_B ^^{2 3} ^z_C ^² donc ^z_C ^².

Soit _A^arg^z_A . _Aest défini par cos sin

A A

a z b z



 



 



, donc

3 3

cos 2 3 2

3 1

sin 2 3 2

A



  



  



.

Par conséquent arg 2

A zA 6 k où k Z

      .

Comme z_B z_A, on déduit que arg arg arg 2

A 6

B zB z zA  k où k Z

          .

C 2

z  est un nombre réel positif ,donc _C ^arg^z_C  ^{0 2}^k ^{où k Z} .

2. 2 3; 2 3 cos sin 2 3 ^{/ 6}

6 6 6

A i

z        i      e^

2 3; 2 3 cos sin 2 3 ^{/ 6}

6 6 6

B i

z     i   e_^ . 3. Voir graphique .

4.

(4)

Le point A’ est le symétrique du point A par rapport au point C signifie que : ^z^_AC ^^z_CA^_' Donc z_C z_Az_A_'z_C  z_A_'2z_Cz_A   2 2 3 i 3 4 3  i 3 1 i 3. 5. ^OC ^ ^z_C ^² ; AC  z^_AC  z_Cz_A . Or z_Cz_A 3 i 3 2 1  i 3 , donc ^AC^ ¹²^

 

³ ² ^ ^{4 2}^ , et comme ^z^_AC ^^z_CA^_', on a : AC AC' 2

BC z^_BC  z_Cz_B .Or z_Cz_B   2 3 i 3  1 i 3. ^BC^

 

^¹ ²^

 

³ ² ^ ^{1 3}^{ } ^{4 2}^ ^.

On conclut que : OCACBC CA ' 2 et par conséquent les point O A B et A, , ' appartiennent a un même cercle de centre de centre C et de rayon 2.

6. De la question précédente , on déduit que le point C est équidistant des points O , A et B , donc C est le point d’intersection des médiatrices du triangle OAB.

Il nous reste à montrer que le triangle OAB est un triangle ( isocèle en A ou équilatéral ).

On sait que OA z_A 2 3 ; OB z_B 2 3 ; il nous reste à calculer AB

3 3 3 3 2 3

B A

z^AB z z  i  i   i , donc AB 2 3i 2 3, on déduit donc que le triangle ABC est un triangle équilatéral .or dans un triangle équilatéral les droites remarquables ( médianes, médiatrices, hauteurs et bissectrices sont confondues). Par conséquent la droite ⁽^AA^')est une médiane du triangle OAB.

2 3 4 5 6

-1 -2

-3

2 3

-1

-2

-3

0 1

1

x y

A

O C J

A' B

Problème

(5)

1. Soit^f la fonction définie sur R par f x( ) x e^^x lim_x x

   et 0

lim 0 0

ax x

e si a

si a



 

   ici a  1 0, lim ^x 0

x e^

  , donc par somme des limites on obtient lim ( )

x f x

  .

2. on a pour tout réel ^x : ^e^^x



^xe^x^{ }¹



ê^^x^^xe^x^ê^^x ^^xe^{ }^{x x}^ê^^x ^^xe⁰^ê^^x^{ }^{x e}^^x ^ ^{f x}^{( )}

lim_x x

   et lim ^x 0

x xe

  vu formulaire et _x^lim_



^xe^x^{ }¹



¹^lim_x_^e^^x ^{ }, donc par produit des limites, on obtient lim ( )

x f x

  .

3. ^f est définie et dérivable sur comme somme des fonctions définies et dérivables sur Ret on a pour tout réel ^x f x'( ) 1 e^^x.

b. f x'( ) 0  1 e^^x  0 e^^x  1 lne^^x ln1 0  x eln   0 x 0, donc ^{f x}^{'( ) 0}^ a une seule solution :x0 .

on déduit que la fonction ^f admet un extremum en x0 et la courbeC admet en ^M^{(0; (0))}^f une tangente parallèle à l’axe des abscisses ( ^a^ ^f ^{'(0) 0}^ ).

c. signe de f x'( ) 1 e^^x :

f x'( ) 0  1 e^^x   0 e^^x   1 e^^x  1 lne^^x ln1 0  x eln   0 x 0

De même : f x'( ) 0  1 e^^x   0 e^^x   1 e^^x  1 lne^^x ln1 0  x eln   0 x 0. Donc

x  0 

'( )

f x ^ 0 + d. tableau de variations

Sur ^]^{ }^{;0 [} : ^{f x}^{'( ) 0}^ ; donc la fonction ^f est strictement décroissante sur l’intervalle ^]^{ }^{;0 [}. Sur ^{]0 ;}^^[ : ^{f x}^{'( ) 0}^ ; donc la fonction ^f est strictement croissante sur l’intervalle ^{]0 ;}^^[. On déduit le tableau de variation de la fonction ^f

x  0 

'( )

f x ^ 0 + ( )

f x

 

1 (0) 0 0 0 1 1

f  e    .

4. on pose g x( ) f x( )x ; donc _{g x}_{( )}_{ }_{x e}^^x_{ }_{x e}^^x,

^lim



^{( )}



^lim ^{( )} ^lim ^x ⁰

x f x x x g x x e^

       , vu formulaire .

On déduit que la droite  d’équation ^{y x}^ est une asymptote oblique à la courbeC au voisinage de . b. f x( ) x e^^x. On sait que la fonction _x__e^axest strictement positive pour tout réel a et tout réel ^x donc pour tout réel a et tout réel ^x : ^{f x}^{( )}^{ }^x ⁰ ou encore ^{f x}^{( )}^^x , cela signifie que la courbe C de la fonction ^f est au dessus de la droite pour tout réel ^x.

c. voir courbe ci-dessous 5. Calcul d’aire :

a) f x( ) x e^^x

(une primitive de_e^axest ^{prim e}

 

âx ^ ¹_aêâx et une primitive de ^x est ² 2

x : ^{prim x}

 

ⁿ ^ _n¹_₁^xⁿ^¹^:ⁿ^¹⁾

(6)

On déduit une primitive de^{f x}^{( )}surR et on a : ^{( )} ²



¹



2 x x

F x  e^ a  . b.

Soit A l’aire , exprimée en cm² , de la partie S du plan limitée par la courbeC , l’axe des abscisses , L’axe des ordonnées et la droite d’équation x2.

La courbeC est au dessus de l’axe des abscisses , donc ^{f x}^{( ) 0}^ ( somme de deux fonctions positives ).

En appliquant la formule d’aires à l’aide du calcul intégral et on a : ^A^^



₀² ^{f x dx}^{( )} ^^^{u a}^. ^⁴



₀² ^{f x dx}^{( )} ^⁴



^{F x}^{( )}



²₀ ^⁴



^F⁽²⁾^^F⁽⁰⁾



^cm²

2² ² 1₂

(2) 2

F 2 e

e

     et 0² ⁰

(0) 1

F  2 e   , donc 1₂ 1₂ ²

4 2 ( 1) 4 3

A cm

e e

   

         .

Soit 1₂ ²

4 3 4 2,86 11, 44

A cm

e

 

     

  ,valeur arrondie à 10^²près.

c.

C

 2 3 4 5

-1 -2

2 3 4 5

0 1

1

x y