E n c o n s i d é r a n t les c a u s e s d e s a c c i d e n t s , o n t r o u v e q u e 5o p o u r I O O d e s c a s p r o v i e n n e n t e x c l u s i v e m e n t et 9 p o u r 100, e n partie d e la propre faute de la victime. U n p o u r c e n t a g e r e l a t i v e m e n t é l e v é , 18 p o u r 100, d o i t être a t t r i b u é à la n é g l i - g e n c e o u m a n q u e d e r é f l e x i o n d ' a u t r u i .
T é m o i n l ' e x e m p l e d é j à cité, o ù u n a i d e - m o n t e u r e n c l a n c h a , c o n t r a i r e m e n t à u n o r d r e d o n n é , la station d e t r a n s f o r m a t i o n p e n d a n t q u e le m o n t e u r y travaillait e n c o r e .
V o i c i e n c o r e u n a u t r e e x e m p l e :
U n a i d e - m o n t e u r a v a i t r e ç u l'ordre d e travailler d a n s u n e station d e d i s t r i b u t i o n à h a u t e t e n s i o n . P o u r u n e r a i s o n q u e l - c o n q u e , il q u i t t a u n m o m e n t s o n travail. E n t r e t e m p s u n i n c i - d e n t i m p r é v u n é c e s s i t a la m i s e e n s e r v i c e d e la partie d'installa- t i o n e n r é p a r a t i o n . L o r s q u e l ' a i d e - m o n t e u r r e v i n t à s o n travail, il i g n o r a i t q u e les c o n d u i t e s étaient s o u s c o u r a n t et fut f o u d r o y é a u s s i t ô t qu'il t o u c h a u n d e s fils. U n a u t r e o u v r i e r était juste- m e n t e n train d e b a r r e r la partie d e l'installation q u i v e n a i t d'être m i s e s o u s c o u r a n t , m a i s s'était r e n d u d a n s u n local a d j a - c e n t p o u r c h e r c h e r d u m a t é r i e l , à ^l'instant o ù la v i c t i m e s e r e n d a i t à s o n travail.
D a n s u n a u t r e c a s , u n m o n t e u r et u n a i d e - m o n t e u r étaient o c c u p é s à faire d e s c o n n e x i o n s d a n s u n e s t a t i o n d e t r a n s f o r m a - t i o n d é c l a n c h é e . U n e fois le travail t e r m i n é , le m o n t e u r , e n q u i t t a n t la s t a t i o n , o r d o n n a à s o n a i d e d e r a m a s s e r les o u t i l s , m a i s n é g l i g e a d e r e m e t t r e e n p l a c e les grilles d e p r o t e c t i o n . M a l h e u r e u s e m e n t le c o u r a n t fut e n c l a n c h é e n c e m o m e n t p a r le s u r v e i l l a n t d e l'usine a v a n t q u e le m o n t e u r e n ait d o n n é l'ordre. L o r s q u e l ' a i d e - m o n t e u r v o u l u t p r e n d r e u n fil à p l o m b , s u s p e n d u à u n i s o l a t e u r d e r r i è r e le t a b l e a u , il e n t r a e n c o n t a c t a v e c d e s parties s o u s t e n s i o n et fut t u é .
. E n c o n s i d é r a n t les t e n s i o n s a u x q u e l l e s les a c c i d e n t s s e s o n t p r o d u i t s , o n t r o u v e :
J u s q u ' à 2 D 0 v o l t s , 10 c a s ; soit 29 p o u r 100 ( e n 1905, 2 1 p o u r 100).
E n t r e 25o et 1000 volts, 5 c a s ; soit îb p o u r 100 ( e n 1905^
1 1 p o u r 100).
P l u s d e 1000 volts, 19 c a s : soit 5 6 p o u r 100 (en 1905, 68 p o u r 100).
C e t t e a n n é e é g a l e m e n t , il y a lieu d e s i g n a l e r le n o m b r e rela- t i v e m e n t é l e v é d ' a c c i d e n t s c a u s é s p a r la b a s s e t e n s i o n , il atteint, c o m m e l ' a n n é e p r é c é d e n t e , le d o u b l e d e c e u x à t e n s i o n m o y e n n e . U n c a s est s u r t o u t i n t é r e s s a n t , p a r c e q u ' i l réfute l ' o p i n i o n q u e le c o u r a n t c o n t i n u à b a s s e t e n s i o n n e p e u t a v o i r u n effet m o r t e l .
U n m o n t e u r était o c c u p é s u r u n p o t e a u à a t t a c h e r d e s fils a u x i s o l a t e u r s . A u n m o m e n t d o n n é il e n t r a e n c o n t a c t a v e c d e u x c o n d u c t e u r s d e p o l a r i t é s différentes ( c o u r a n t c o n t i n u à 220 v o l t s ) , p o u s s a u n cri et s'affaissa i n a n i m é d a n s la c e i n t u r e .
O n d é p r é c i e e n c o r e t r o p s o u v e n t le d a n g e r q u e les c o u r a n t s à b a s s e t e n s i o n p r é s e n t e n t p o u r b i e n d e s p e r s o n n e s .
A j o u t o n s e n c o r e q u ' a u c u n d e s a c c i d e n t s , a v e c c o u r a n t à b a s s e t e n s i o n , n'est a r r i v e d a n s u n l o c a l i m p r é g n é d e l i q u i d e s c o n - d u c t e u r s .
D a n s t5 a c c i d e n t s o n a e s s a y é d e r a p p e l e r la v i c t i m e à la v i e et d a n s 2 a v e c s u c c è s .
B . Dégâts matériels. — P a r m i les 8 c a s d e d é g â t s m a t é r i e l s , 5 p e u v e n t être r a m e n é s à d e s installations d é f e c t u e u s e s o u a u m a u v a i s f o n c t i o n n e m e n t d e s a p p a r e i l s d e p r o t e c t i o n .
D a n s u n c a s , u n c â b l e s o u t e r r a i n fut d é t é r i o r é p a r u n e forte p e r t e à la terre, s u r v e n u e p a r suite d ' u n d é f a u t d ' i s o l e m e n t . L e c o u r a n t p é n é t r a d a n s u n e c o n d u i t e d ' e a u p o s é e d i r e c t e m e n t c o n t r e l ' a r m a t u r e d u c â b l e et l ' e n d o m m a g e a . Il est p r o b a b l e q u e le c â b l e a v a i t été e n d o m m a g é l o r s d e la p o s e m ê m e d e l à c o n d u i t e d ' e a u .
D a n s u n a u t r e c a s , u n c o u r t - c i r c u i t s'était d é c l a r é d a n s u n e c o n d u i t e d ' é c l a i r a g e ( c o r d o n s o u p l e ) . L ' i s o l a t i o n d u c o r d o n s ' e n f l a m m a et le f e u s e c o m m u n i q u a à la p a r o i e n b o i s . Il n e fut p a s p o s s i b l e d e d é t e r m i n e r d ' u n e m a n i è r e c e r t a i n e le d é b i t d e s c o u p e - c i r c u i t s .
L e t r o i s i è m e c a s est c e l u i o ù la r é s i s t a n c e d ' u n e l a m p e à arc s ' é c h a u f f a , p r o b a b l e m e n t à c a u s e d u m a u v a i s f o n c t i o n n e m e n t d e la l a m p e , à tel p o i n t q u e la p o u t r e d u p l a f o n d , c o n t r e l a q u e l l e elle était fixée prit t e u . L a r é s i s t a n c e n e s e tro.uvait q u ' à u n e d i s t a n c e d e 3 o u 4 c m d u p l a f o n d et c e d e r n i e r n'était p a s p r o t é g é p a r u n e p l a q u e i n c o m b u s t i b l e .
D a n s trois c a s , la c a u s e d e s d é g â t s n e d o i t être a t t r i b u é e q u e p a r t i e l l e m e n t à la d é f e c t u o s i t é d e s i n s t a l l a t i o n s , l'autre part p o u v a n t être r a m e n é e à la f o r c e m a j e u r e o u a u m a u v a i s f o n c - t i o n n e m e n t d e s a p p a r e i l s d e p r o t e c t i o n , d o n t o n n e c o n n a î t p o u r le m o m e n t p a s d e m o d è l e q u i se p r ê t e b i e n à l ' e m p l o i e n p r a t i q u e et q u i soit d ' u n f o n c t i o n n e m e n t a b s o l u m e n t s û r .
C i t o n s , p a r e x e m p l e , u n e i n s t a l l a t i o n i n t é r i e u r e o ù d e s s u r - t e n s i o n s s e p r o d u i s i r e n t p a r suite d ' u n d é f a u t a u t r a n s f o r m a - t e u r . D a n s u n e t r a v e r s é e d e p l a n c h e r , e n t r e l'écurie et le fenil, le c o u r a n t s a u t a d ' u n c o n d u c t e u r à l'autre et e n f l a m m a l'isola- t i o n d e s fils. L e f e u s'était c o m m u n i q u é a u f o i n q u i e n t o u r a i t la c o l o n n e m o n t a n t e , m a i s o n r é u s s i t à l'éteindre, a v a n t qu'il n'ait c a u s é d e d o m m a g e s i m p o r t a n t s . D a n s l'installation en q u e s t i o n , les c o n d u i t e s à b a s s e t e n s i o n n étaient p a s m u n i e s d ' a p p a r e i l s c o n t r e les s u r t e n s i o n s .
D a n s u n a u t r e c a s , u n t r a n s f o r m a t e u r f u t e n d o m m a g é par u n c o u p d e f o u d r e . M a l g r é les a p p a r e i l s p r o t e c t e u r s , le c o u r a n t p r i m a i r e p a r a î t a v o i r p a s s é d a n s le r é s e a u à b a s s e t e n s i o n , car d a n s p l u s i e u r s installations i n t é r i e u r e s , le c o u r a n t avait sauté a u x parties v o i s i n e s d e s b â t i m e n t s e n f o r m a n t d e s a r c s . A q u e l - q u e s p l a c e s les fils a v a i e n t f o n d u , à d ' a u t r e s , l e u r i s o l a n t était c a r b o n i s é . L e s a p p a r e i l s c o n t r e les s u r t e n s i o n s p a r a i s s e n t avoii f o n c t i o n n é , m a i s le c o n t a c t e n t r e les d e u x d i s q u e s m é t a l l i q u e s s é p a r é s p a r u n e r o n d e l l e d e m i c a p e r f o r é e ^ n'était s a n s d o u t e p a s s u f f i s a n t .
C e c a s n o u s p r o u v e , e n o u t r e , qu'il est n é c e s s a i r e d e d i s p o s e r la p l a q u e d e terre d e s a p p a r e i l s c o n t r e les s u r t e n s i o n s aussi loin q u e p o s s i b l e d e celle d e s a p p a r e i l s p a r a f o u d r e s à h a u t e t e n s i o n .
L ' i n c i d e n t p r é c i t é , ainsi q u e d ' a u t r e s o b s e r v a t i o n s q u e n o u s a v o n s e u l ' o c c a s i o n d e faire, n o u s d o n n e n t l ' i m p r e s s i o n q u e les a p p a r e i l s c o n t r e les s u r t e n s i o n s , a v e c l e u r c o n s t r u c t i o n a c t u e l l e g é n é r a l e m e n t a d m i s e , n e f o n c t i o n n e n t p a s t o u j o u r s a v e c s u c c è s et qu'ils n e r é p o n d e n t p a s , p a r c o n s é q u e n t , a u x exi- g e n c e s q u ' o n est e n d r o i t d ' i m p o s e r a u x a p p a r e i l s d e p r o t e c - t i o n . Y aurait-il m o y e n d e t r o u v e r u n e d i s p o s i t i o n s i m p l e et s u i e , q u i , lors d e s u r t e n s i o n s d a n g e r e u s e s , d a n s le circuit s e c o n - d a i r e , f o n c t i o n n e r a i t c o m m e d i s j o n c t e u r d e s c o n d u i t e s pri- m a i r e s a l i m e n t a n t la s t a t i o n d e t r a n s f o r m a t i o n . D a n s le c a s o ù l'on n'est p a s s û r d ' a t t e i n d r e l ' i n t e r r u p t i o n d u c o u r a n t p r i m a i r e s u r t o u s les p ô l e s , il f a u d r a i t a r r i v e r à u n e m i s e à terre directe d e s c o n d u i t e s p r i m a i r e s , s i m u l t a n é m e n t a v e c l e u r i n t e r r u p t i o n partielle.
(L'Industrie Electrique.)
Résolution des Equations
AU M O Y E N D'
ABAQUES LOGARITHMIQUES A MULTIPLES ENTRÉES
L a résolution d e certains problèmes d'hydraulique nécessitant la résolution d'équations entières d'un degré supérieur a u second, nous avons pensé qu'il était intéressant de publier ici u n n o u v e a u procédé de résolution rapide d e ces équations, a u m o y e n tïabaques logarith- miques à multiples entrées, dont l'auteur est M . Jules JOUFFRAÎ', directeur des Fonderies et Ateliers d e Constructions m é c a n i q u e s de V i e n n e (Isère).
Jusqu'à ce jour, pour résoudre d'une façon pratique — et lorsqu'on ne pouvait les éviter — des équations quel- conques, on a employé plusieurs méthodes qui peuvent se ramener à deux principales.
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1908004
L A H O U I L L E B L A N C H E 9
L a méthode graphique, dont M . d ' O c A G N E a fait appré- cier les avantages dans une théorie vraiment scientifique et fort ingénieuse des abaques, ne s'applique qu'à des formes particulières relativement simples, et nécessite, pour chacune de ces formes, des tables spéciales fort délicates à construire.
Quant à la méthode algébrique, elle est fondée sur des théorèmes qui permettent de resserrer peu à peu les inter- valles qui comprennent les racines; dans la pratique, cette méthode conduit ordinairement, pour l'équation la plus simple — fût-elle du 3<= degré — et pour des approxi- mations relativement faibles, à d'interminables calculs.
C'est pourquoi certains mathématiciens ont cherché à construire des machines dont les m o u v e m e n t s dépendent initialement des coefficients de l'équation, et conduisent à une lecture simple des racines plus ou moins approchées
<ie cette m ê m e équation.
L a machine à résoudre les équations de M . TORRES est, parmi différents essais, l'un des plus récents, et l'un des plus curieux; et il est vrai de dire, avec M . d'OcAGNE, « que si l'on envisage au point de vue du calcul par les machines 3e problème de la résolution des équations, il a reçu de M . TORRES une solution absolument générale et complète. »
Mais il suffit de voir la représentation de la machine, qui permet de résoudre les seules équations de la forme
x» + Ax"1 = B
pour se convaincre qu'il s'agit d'une invention théorique- ment pleine d'intérêt, mais pratiquement inutilisable.
La machine que nous présentons aujourd'hui est au contraire d'une simplicité étonnante, elle ne présente aucune complication d'organe, aucune pièce de construction délicate. Construite pour l'équation la plus générale de degré m, elle permet de trouver immédiatement, et avec
Vapproximation que l'on désire, toutes les solutions réelles des équations de degré égal ou inférieur à m, de quelques formes qu'elles soient. L e calcul est d'autant plus rapide que les équations contiennent moins de termes. Il suffit de quelques minutes (4 ou b) pour résoudre avec une approxi- mation suffisante les équations de 3 ou 4 termes et de degré quelconque.
D u reste, cette machine n'a d'autre but que de rendre pratiquement utilisable un procédé plutôt graphique. C'est,
si l'on veut, une sorte de généralisation de la règle à calcul, car elle permet, non seulement l'extraction des racines mmes
(ce qui revient à la résolution des équations binômes), mais l'étude simple et rapide des fonctions complètes ou incom- plètes et de leurs variations ; par conséquent, c o m m e cas particulier, ou application principale, elle conduit à la résolution des équations les plus générales.
N o u s donnerons au procédé que nous allons décrire le n o m d'oâbaques logarithmiques à multiples entrées, et ce que nous dirons dans la suite justifiera pleinement, nous l'espérons, cette dénomination.
N o u s verrons, du reste, que ce procédé conduit à des remarques fort intéressantes sur les racines des équations, et enrichit cette bran:h2 des math imitiques de nouveaux
théorèmes.
§ I. — Description du procédé.
Les abaques logarithmiques à multiples entrées sont inscrites dans un tableau qui comporte autant de colonnes que l'indique le degré m a x i m u m des équations qu'il s'agit de résoudre. C e tableau est divisé, en deux régions : la région A B C D , et la région C D E F (voir figure 1).
D a n s la première colonne, surmontée de la lettre x, et dans la première région, de A à C , on porte des longueurs proportionnelles aux logarithmes de 1 à 10 (chaque inter- valle compris entre les logarithmes de deux nombres consécutifs peut lui-même être subdivisé le plus possible et de la m ê m e façon).
E n face de chaque division, on inscrit le n o m b r e qui correspond au logarithme. O n reporte cette m ê m e division dans la 2e région C E de la m ê m e colonne, mais on inscrit ci chaque division le produit par 10 des nombres inscrits auprès des divisions correspondantes de la première région.
Chaque région de la 2e colonne, surmontée de la quan- tité .x2, est divisée en deux parties égales. Dans chacune de ces parties, on porte des longueurs proportionnelles aux logarithmes de 1 à 10, ce qui permet d'inscrire dans chacune des 4 parties qui compose la colonne des nombres de 10 en 10 fois plus forts pour les divisions correspon- dantes de chaque partie. R e m a r q u o n s , dès maintenant, que la ir« et la 2e puissance d'une m ê m e quantité se trouvent dans chacune des deux premières colonnes sur la m ê m e ligne horizontale.
D e la m ê m e façon, chaque région de la colonne surmontée de xn sera d'abord divisée en n parties égales, ce qui donnera in parties en tout.
Chacune de ces parties sera divisée en longueurs propor- tionnelles aux logarithmes des nombres de 1 à ic, et aux divisions correspondantes de chaque partie seront inscrits des nombres de 10 en 10 fois plus forts à mesure qu'on descendra vers le bas de la colonne.
D e la sorte sur une même ligne horizontale, se trouveront (marqués ou non) les logarithmes des puissances, depuis 1 jusqu'à m, du nombre compris dans la colonne des x.
Sur ce tableau, un curseur rectiligne M N , dont la base inférieure coïncide initialement avec les divisions marquées 1 et situées sur une m ê m e ligne horizontale, se meut parallè- lement à lui-même.
C e curseur M N est traversé perpendiculairement par autant d'aiguilles qu'il y a de colonnes, aiguilles qu'on peut fixer dès le début de l'opération, de façon à ce que leurs extrémités coïncident dans chaque colonne avec une division déterrqinée.
§ II. — D e l'emploi des abaques logarithmiques.
Principes généraux. — L'emploi des abaques loga- rithmiques est fondé sur les remarques suivantes dont on notera le caractère élémentaire.
i°. — Supposons l'extrémité de l'aiguille de la colonne des x fixée à la division 3.
Si le curseur M N se déplace entraînant avec lui l'aiguille, l'extrémité de cette dernière marquera successivement sur la graduation de la colonne toutes les valeurs que prend 3A%
lorsque x varie depuis 1 jusqu'à 10 (si le curseur M N
s'arrête à cette division 10). Dans l'une quelconque de ses positions, l'extrémité de l'aiguille s'arrêtera à une division qui pourrait être marquée Sa, si elle ne l'est, a étant la valeur que détermine à ce m ê m e m o m e n t la base inférieure d u curseur M N dans la colonne des x. O n a en effet :
L o g 3 a — log 3 + log a
X X
2X
3x
iX
5X
eX
7X
eM A
M '
E
4- -4- A
N
— X . Y i
— R
•-—+- i 10g I
I
— L ï
B
N
D
F i e . i. — R é s o l u t i o n d e l'équation 4A'1 2X- —
D'une façon plus générale, l'extrémité d'une aiguille se mouvant dans la colonne des x'", et aboutissant initialement à une division Am, donnera dans chacune de ses positions la valeur de A,„ xm, pour x = a, a étant la division marquée au m ê m e instant par la base inférieure du curseur M N dans la colonne des x.
2n — Supposons maintenant que le curseur M N étant dans sa position initiale, suivant les divisions i, les extrémités des aiguilles aboutissent aux divisions A^ Am (l'indice correspond à la puissance de la quantité x qui e.st en tête de la colonne que parcourt l'aiguille). Si l'on fait mouvoir le curseur M N , les extrémités des aiguilles s'arrêteront, dans une position quelconque, à des divisions qui donneront les valeurs de Alx, A% x2. . . Am x'", pour la même valeur d e x , celle qui est indiquée à ce m ê m e m o m e n t par la division sur laquelle s'est arrêtée la base inférieure du curseur M N .
Dès lors, la s o m m e algébrique des valeurs ainsi obtenues
— s o m m e qui sera faite suivant les signes des termes du premier m e m b r e de l'équation:
+
At X + An = odonnera à chaque instant la valeur d u premier m e m b r e de cette équation pour les valeurs de x comprises entre i et io, et marquées constamment dans la colonne des x par la base inférieure du curseur M N .
C'est ainsi qu'on pourra littéralement suiwe des yeux les variations de la fonction dans cet intervalle, et, par consé- quent, découvrir les m a x i m a et m i n i m a qui seraient compris dans ce m ê m e intervalle.
Si, dans l'une des, positions d u curseur, cette s o m m e algébrique devient nulle, l'équation est satisfaite par la valeur de x où s'est arrêté le curseur; on aura ainsi obtenu les racines comprises entre i et io.
Cette s o m m e , à moins d'une unité, pourrait-elle se faire à chaque instant et d'une façon automatique? N o u s le croyons, mais il est évident que l'introduction de ce perfec- tionnement compliquerait beaucoup l'appareil.
Mais ordinairement, pour les équations d'un petit n o m b r e de termes, et surtout pour les équations trinômes, cette s o m m e se fait très rapidement. D u reste, pour effec- tuer cette s o m m e algébrique, m ê m e dans les cas plus compliqués :
i° N o u s pourrions indiquer certaines dispositions pra- tiques de l'appareil qui permettraient, l'ordre des colonnes étant indifférent, d'avoir ensemble, et à côté les unes des autres, les valeurs des termes positifs d'une part, celles des termes négatifs d'autre part,
2° N o u s indiquerons certaines remarques, plutôt théo- riques, qui permettent de n'avoir jamais à faire en m ê m e temps que des s o m m e s et des différences d'un n o m b r e très restreint de quantités. Ces remarques résultent de nom- breuses expériences pratiques. L e raisonnement les confirme; peut-être qu'au m o y e n « d u calcul des erreurs » on pourrait arriver à une démonstration plus rigoureuse de ces principes. Toutefois, ces remarques ne dispensent pas de certains tâtonnements dont l'habileté de l'opérateur peut diminuer le n o m b r e .
Exemple. — Soit à résoudre l'équation : x4 — 4 x3 + 2 x2 — 3x 4- 4 = o
O n fixera les aiguilles sur le curseur M N de telle façon que leurs extrémités correspondent respectivement aux graduations i ; 4; 2 et 3 des colonnes en x4; x3; x2 et x.
Puis, on fera glisser le curseur M N jusqu'en M'N',de m a - nière que la s o m m e algébrique des valeurs lues sur les graduations correspondant aux extrémités des aiguilles devienne égale à — 4. O n trouve ainsi que la racine de l'équation est égale à 3,6.
Remarques particulières. — Dans ce paragraphe, nous montrerons, par des exemples d'abord, par des remarques ensuite, c o m m e n t on peut arriver, avec un peu d'habitude des abaques, à une manipulation rapide.
i° L'addition est pour ainsi dire instantanée dans le cas d'équations binômes ou trinômes; par exemple :
x7 — 6 x3 — 10 = 0
20 Prenons une équation d'un plus grand n o m b r e de termes, de la forme :
xh 4r 4 x3 — 5 x — 2 = 0.
L A H O U I L L E B L A N C H E 11
Considérons d'abord les termes : A* — ox, dont la valeur absolue est grande par rapport à la valeur correspon- dante des autres termes, dans l'intervalle de i à 10. N o u s
amènerons le curseur dans une position telle que la s o m m e algébrique soit nulle. Prenons ensuite les termes : 4 A3 — 2.
C o m m e en général ces 2 termes ne s'annulent pas pour la valeur trouvée, il faudra denou veau produire un déplacement faible du curseur, et, après quelques tâtonnements, on constate que la s o m m e est nulle.
3" Abordons enfin une équation d'un grand n o m b r e de termes, par exemple :
2 X3 + 3x- — x -j- 9 = o (1) x' 4*° + 5A-5 — 3x*
Dans ce cas, pour suivre rapidement les valeurs succes- sives que prendra la fonction, ou devra opérer c o m m e il suit :
Divisons tous les termes de l'équation (1) par A4, on a :
(A-3
_
4* a + 5 * - 3 ) +
x1 , 9
3 ^ JC*
Considérons seulement la partie entre crochets, et cher- chons une des racines de cette équation, que nous appel- lerons équation réduite.
E n remplaçant, dans la deuxième partie de l'équation (2), _r par la valeur trouvée, on trouvera le nombre, à une unité
près, qu'il faudra ajouter au terme tout connu 3 de la réduite; puis on résoudra cette nouvelle équation obtenue.
Après un, et quelquefois plusieurs tâtonnements, dans le choix de la réduite, choix dont un théorème démontré plus loin servira à diminuer le nombre, on trouvera très vite la racine cherchée.
C o m m e on peut le voir par ces quelques principes, le maniement de l'appareil est extrêmement simple, et très rapide, pour n'importe quelle sorte d'équation : il s'agit de trouver une forme d'équation c o m m o d e à résoudre, et qui conduise déjà à une valeur approchée de la racine.
Cette dernière manière d'opérer nous conduit à définir d'une façon exacte ce que nous entendons par équation réduite d'une équation donnée. N o u s appelons ainsi toute
•équation ne contenant qu'une partie des termes de cette équation donnée. Par exemple :
3x'* — 6x -f- 2 = o est une équation réduite de l'équation donnée :
3 A4 — 5 A3 -f 2A-2 — 6 A -f 2 = O
Remarque. — L'étude des équations réduites, dont nous venons de parler, nous a a m e n é à chercher les rapports qui existent entre les racines d'une équation, ses coefficients, et les racines de ses réduites.
Théorème. — Lorsqu'une équation algébrique, entière et rationnelle, admet une racine x = a, dont la valeur absolue est plus grande que celle du plus grand coefficient qui n'entre pas dans une de ses réduites, cette réduite admet cette m ê m e racine à une approximation d'autant plus grande que a est plus grand.
Considérons une équation quelconque :
qui admette une racine plus grande que 1 en valeur absolue) et plus grande que Am _ 3 qui, lui-même, est le plus grand coefficient de l'ensemble des termes, depuis A m - % xm ~~
jusqu'à A0 ; je dis que la réduite :
Amx2 + Am~iX + J „(_ 2 — o (2)
admet cette m ê m e racine x — a à une approximation d'autant plus grande que a est plus grand.
E n effet, divisons par x1"_ 2 tous les termes de l'équation (1) 011 a :
( AmX~ + Am-i X + Am _ 2 + "j A,;
X +• A A
t = o (3)
Dans cette équation (3), tous les termes à partir du quatrième sont plus petits que 1, et vont en diminuant d'autant plus vite que x est plus grand. Par conséquent, en ne considérant que les trois premiers termes de (3), c'est-à- dire en considérant seulement la réduite :
Amxi -f Am _ i x -f Am _ 2 = o
Cette équation admettra une racine qui rendra le premier terme de l'équation (t) égal à un n o m b r e d'autant plus petit que A- sera plus grand. Donc, la racine de cette réduite sera à peu de chose près celle qu'admettait l'équation (1), et elle en sera d'autant moins différente que x — a sera plus grand.
Corollaire. — E n général, si une réduite quelconque admet une racine supérieure au plus grand coefficient des termes qui n'entrent pas dans cette réduite, cette racine est à peu de chose près celle de l'équation complète, et d'autant plus exactement que cette racine est plus grande en valeur absolue.
Conséquence. — C e théorème a une très grande impor- tance pour la recherche des racines des équations de degré supérieur, au m o y e n d u nouveau procédé mécanique.
E n effet, ce théorème permettra, à la seule considération de l'équation, de savoir si la racine est peu différente de celle de la réduite, et par suite il diminuera le n o m b r e des tâtonnements à faire.
Remarque. — C e théorème, d'après notre hypothèse, ne s'applique que pour la recherche des racines plus grandes que i en valeur absolue.
Si l'on veut s'en servir dans le cas où les racines sont comprises entre o et 1, on sera obligé de les ramener à être plus grandes que 1 en appliquant une méthode que nous appliquerons dans le chapitre III.
§ III. — Recherche de toutes les solutions réelles d'une équation.
N o u s nous proposons de montrer dans ce chapitre : i» C o m m e n t on trouve toutes les racines d'une équation;
20 C o m m e n t on peut obtenir une approximation suffi- sante.
D e la recherche de toutes les racines de l'équation.
— Remarque préliminaire.-— E n multipliant les régions d u tableau, on pourrait trouver les racines comprises entre
i et 1 0 , ioo, iooo, etc, mais, m ê m e dans ces cas, on nè trouverait avec une exactitude suffisante que les deux pre: miers chiffres de la racine : il n'y aurait donc aucun avantage sérieux.
Procédé général. — Soit une équation algébrique, entière et rationnelle :
Amx»> + Am _ ! x"
+
+ AX + A(y = o pour en trouver toutes les racines réelles, on emploiera la méthode suivante :O n cherchera d'abord les racines comprises entre i et lô, puis successivement celles comprises entre i et o, i ; o, i et 0,01
O n cherchera ensuite successivement les racines compri- ses entre 10 et 100; 100 et 1000...
N o u s avons vu c o m m e n t on trouvait les racines comprises entre 1 et ro.
(a) Pour avoir les racines comprises entre 0,1 et 1, on considérera l'équation de la forme :
10 •
1 A m — 1 „ H r r — i a" IO"
A , A
qui admet une racine comprise entre 1 et 10 : on est donc ramené au cas précédent.
D e la m ê m e façon pour trouver les racines comprises
1 1 10"
entre et • , on posera x — et 1 on sera ramené
1 o" 1 o" ~ 1 a
au premier cas.
(3) Les racines comprises entre io et 1 0 0 se trouveront
•en posant x — 10 a, et l'on sera de nouveau ramené au premier cas.
D'une façon générale, pour avoir les racines comprises entre io" et 10" + 1 on posera x = 10" a.
Enfin, pour connaître les racines négatives, on prendra la transformée en — x.
Ainsi, l'on pourra toujours trouver toutes les racines d'une équation en les ramenant, par les procédés très élémentaires que nous venons de signaler, à être comprises
entre 1 et 10. „ Les considérations suivantes permettront de ne pas faire
d'essais inutiles pour le calcul des racines.
Théorème. — Dans une équation algébrique, entière et rationnelle, de degré m, qui admet une racine de la forme (a étant compris entre 1 et 10) :
10" x
i° Si les coefficients des termes de degré p sont respec-
tivement
supérieurs à ioP("—r> le terme tout connu est plus grand que le n o m b r e (0,11...)'" n o m b r e qui a m fois le -chiffre 1 à la partie décimale.20 Si les coefficients des termes de degré p sont respec- tivement inférieurs à i o ^("_ 1 )l e terme tout connu est plus petit que m.
i°) E n effet, soit l'équation générale :
1 xm ~ 1 + Ax + A0 = <
A,.,
qui satisfait à la première hypothèse. Chacun des termes est respectivement plus grand que :
1 1
Tô"
1 1 0 m — 1I I O
et leur s o m m e sera nécessairement plus grande que (0,111 )"' _ Pour que soit une racine de l'équation (1) il faudra donc que l'on ait A0 > (o, 11. .. .)'".
20) Supposons maintenant que l'équation (1) satisfait à la 2e hypothèse.
Chacun des termes est respectivement plus petit que :
1 0 H — 1 10" < I
1 0 m ( H — i)
10" < I
Leur s o m m e sera donc nécessairement plus petite que m..
Pour que—^—soit une racine.il faudra donc que l'on ait :-
1 0 " *
A0 < m
Remarques. — I. Il est facile de vérifier que le théorème;
s'applique m ê m e lorsque u est négatif.
II. — E n divisant tous les termes de l'équation par une m ê m e quantité, on peut toujours se placer dans les condi- tions du théorème.
Conséquence. — L e théorème permettra d'éviter la recherche de racines qui nécessitent pour les trouver une opération spéciale.
Approximations. — Pour obtenir une approximation- suffisante pour les diverses sciences auxquelles cet appareil servira, un seul facteur intervient : les dimensions.
Pour les besoins ordinaires de l'industrie, un tableau de om4 0 de longueur suffira. E n effet, on obtiendra ainsi trois chiffres exacts; approximation qui sera suffisante, car, dans la plupart des équations, les racines dont on a besoin en pratique sont en général comprises entre o et 100.
Si, toutefois, on voulait une plus grande approximation, on suivrait la marche suivante :
Soit une équation algébrique entière et rationnelle : Amxm + A„ .\X" + .-. . . AX + An
0 — 0
(1)
et, soit a une racine de cette équation que nous avons obtenue mécaniquement avec trois chiffres exacts.
Posons : x = ua.
Supposons que a soit compris entre 1 et 10 et remplaçons x par cette valeur dans l'équation (1), on a :
A\n «*• + A'm _ 4 « « -1 + + A'u + A0 = o ( 2 )
la nouvelle équation obtenue ainsi admet une racine de la forme : u = 1 4- y, y étant un n o m b r e plus petit que
Remplaçons u par cette expression dans l'équation (2), or*
obtiendra une nouvelle équation dont la racine sera un n o m b r e y dont les trois premiers chiffres significatifs seront exacts.
O n fera ensuite le produit :
x = a(i + y) . . . •
L A H O U I L L E B L A N C H E
13
et l'on peut se rendre compte facilement, au m o y e n du calcul des erreurs relatives, que l'on obtiendra ainsi au moins un chiffre exact de plus pour la valeur de x.
Remarques. — I. O n peut écrire directement l'équation précédente en y en se servant du développement de M a c - Laurin ; on a alors :
F(a) + axF'(a)+ a°~F"(a)
Fa (x + i) = <f ' > = o
+ •
1.2. . mF"1 (a)
II. La méthode précédente est toujours applicable, car l'on peut toujours ramener a à être compris entre i et 10.
N o u s croyons donc qu'en appliquant plusieurs fois de suite c e que nous venons d'exposer, on pourra toujours trouver u n e racine à une approximation quelconque, au m o y e n d'un appareil relativement restreint.
§ IV. — Remarques pratiques.
N o u s nous proposons de donner, dans ce chapitre, quelques aperçus sur la construction pratique des abaques, dont nous venons de présenter la théorie ; nous nous pro- posons également de faire entrevoir quelques améliorations techniques.
O n a pu remarquer, dans le cours de la théorie que nous venons d'exposer, que le calculateur doit présenter deux qualités dans sa construction pratique.
i°) Les colonnes doivent être indépendantes les unes des autres,
2°) L e s colonnes doivent être les plus longues possibles.
3°) U n appareil de ce genre doit, en outre, être très peu encombrant.
Pour satisfaire à ces trois conditions, nous avons délaissé, malgré sa simplicité, la pensée de faire un tableau unique, c o m m e celui que nous avons représenté précédemment;
tableau qui peut cependant donner des résultats suffisants dans nombre de cas, et qui présentera, d'autre part, l'avan- tage de ne coûter qu'un prix insignifiant.
N o u s parlerons donc seulement de trois autres types qui nous paraissent le mieux posséder les avantages précités.
Radicocalculateur cylindrique. — Il se compose essen- tiellement d'un cylindrique pouvant tourner autour d'un axe qui lui sert de support.
Les colonnes du tableau théorique présentent la forme de disques s'emboîtant à frottement dur sur ce cylindre ; ces disques peuvent donc prendre une position initiale quel- conque, puis être entraînés dans le m o u v e m e n t de rotation du système.
U n e règle est fixée invariablement suivant une géné- ratrice. Avant de commencer une résolution, on a m è n e le coefficient de chaque colonne à coïncider avec la base inférieure de cette règle, qui servent ainsi d'aiguille générale.
Il nous semble que cette disposition présente les deux avantages de construction suivants : u n m o u v e m e n t de rotation toujours plus rigoureux qu'un m o u v e m e n t de translation, et la suppression des aiguilles. Enfin, cette forme « du radicocalculateur » permet de supprimer la deuxième région, puisqu'elle est identique à la première.
Radicocalculateur à bandes. — Il se compose d"un certain n o m b r e de bandes qui représentent chacune une colonne : ces bandes, enroulées sur des bobines, sont simplement déroulées peu à peu lorsqu'il s'agit de résoudre' une équation.
Les colonnes peuvent ainsi être extrêmement longues, et l'approximation pour ainsi dire illimitée sans augmentation des dimensions de l'appareil. D'autre part, cette dispos'tion présente le m ê m e avantage que celui d u radicocalculatet r cylindrique par la suppression de la deuxième région.
N o u s pourrions donner, à ce sujet, quelques idées sur la construction d'abaques qui pei mettraient de faire automa- tiquement la s o m m e algébrique, n ais nous préférons donner ici une dernière forme de nos rbaques qui pourra être employé simplement par tous nos lecteurs, et qui don- nera souvent dans la pratique une approximation suffisante.
FIG. 2. — S c h é m a d u radicocalculateur à b a n d e s .
N o u s croyons également qu'en suivant le m ê m e principe, on pourrait construire des tableaux analogues pour cer- taines catégories d'équations transcendantes. Il nous semble que de tels abaques seraient aussi faciles à construire, et d'une utilité aussi immédiate que celui destiné aux équa- tions algébriques.
Radicocalculateur à colonnes. — Les colonnes du tableau théorique dont nous donnons ci-joint fig. 2 u n exemplaire exact seront découpées, et chacune" d'elles soigneusement fixé sur des réglettes rigides.
P o u r résoudre une équation, il suffit de placer chacune des réglettes nécessaires sur une planche à dessin, et d'amener le coefficient de chaque colonne à coïncider avec
la base inférieure d'un T qui peut se mouvoir parallèlement à lui-même jusqu'en T ' (fig. 3), position pour laquelle la s o m m e algébrique des divers termes de l'équation devient égale à zéro.
FIG. 3. — R é s o l u t i o n d e l'équation :
x
1 — 3X3 -j- 5x — 9 r = oE n plus de l'écono'mie de construction, ce dernier appareil a encore l'avantage de restreindre le tableau aux seules colonnes nécessaires à la résolution de l'équation dont on s'occupe.
§ V. — Application.
Soit, par exemple, a calculer les dimensions d'un canal de dérivation d'une usine hydraulique, capable de débiter 4 mètres cubes par seconde, avec une pente de un milli-
mètre par mètre.
N o u s supposerons qu'il s'agit d'un canal maçonné, de section, rectangulaire, et nous nous servirons de la formule bien connue de BAZIN :
JRI . .
dans laquelle V est la vitesse moyenne, et où R, le rayon m o y e n , est égal au rapport de la section ûdu canal à son périmètre mouillé y. O n a donc, en désignant par x la lar- geur du canal, et parj' sa hauteur :
Q
xy
V • xy
x + iy
E n portant ces valeurs de V et de R dans la relation pré- cédente il vient :
- Q2
a Y [(/' + .3) *2 + +
AW)
x + 4; 3 ^ J =
o (i)Si l'on se donne arbitrairement la valeur^ de la hauteur du canal, on n'aura plus qu'à résoudre une équation d u 4( î degré en x.
Par exemple, si l'on se donne arbitrairement y = i)
l'équation précédente devient :
xi — 3,25.x;2 — 6,g3x — o,85 (2) pour le cas de maçonneries soigneusement rejointoyées, ou
munies d'un enduit ordinaire, pour lequel on a : a = = 0,000 IQ et "P = 0,07
on voit immédiatement que la seule solution compatible avec la valeurj' = 1, est une racine comprise entre 1 et 10.
O n cherche donc, au m o y e n du radicocalculateur, la racine de l'équation (2) comprise entre 1 et 10. L'appareil donne aussitôt la solution x — 2,485.
O n sait que les dimensions qui, pour une m ê m e section, conduisent au m i n i m u m de périmètre mouillé, ainsi qu'au m i n i m u m de la perte de charge, sont celles qui correspon- dent à une largeur double de la hauteur. Les dimensions précédemment trouvées différant assez peu de cette condi- tion, on pourrait les accepter.
Cependant, si l'on désirait plus d'exactitude (et pour les cas où cette première approximation aurait donné des résultats beaucoup trop écartés de la condition précédente), on se donnerait une nouvelle valeur de y, comprise entre t et 1,20, et l'on aurait à résoudre une nouvelle équation (2') qui donnerait une nouvelle valeur de x plus approchée que la précédente. E n opérant ainsi par approximations suc- cessives, ce que le radicocalculateur permettrait de faire très rapidement, on arriverait bientôt à la valeur exacte cherchée.
Mais on peut obtenir plus directement cette valeur exacte en posant x = 2 y dans l'équation ( t ) , ce qui donne :
ou, pour le cas considéré :
yG—i,52^-—0,21 = 0 (3)
Equation dont le radicocalculateur donne immédiatement la racine / = 1,11
Les dimensions du canal seront doue : y = 1 m 1 1 x = 2m2 2
O n établirait de m ê m e les dimensions d'un canal de section trapézoïdale, avec parois en terre, les calculs seraient seulement un peu plus long.
J. JÛUFFRAY, Ingénieur E, C, L.
l i E B É T O N A R m É A C T U E L *
S E S principes et ses ressources
Rapport présenté à la section du Génie civil d u Congrès de VAssociation Française pour l'Avancement des Sciences, par M . C. RABUT, ingénieur en chef, professeur à l'Ecole Nationale des Ponts et Chaussées.
Pour servir d'introduction aux séances que l'A. F. A. S. a eu l'heureuse idée de consacrer, dans son congrès de 1907, au béton armé, je m e propose de préciser, en quelques pages, la
conception qu'on doit actuellement se former des principes de ce m o d e IDE construction et des ressources qu'on peut en attendre, d'après les résultats déjà acquis.
