Leçon 20 Inéquations du second degré

Leçon 20 Inéquations du second degré

Activités.

Compléter le tableau suivant ^:

L:

b2

-4ac

a>0

Position de la courbe par rapport à

I'axe des abscisses

a<0

Position de la courbe par

rapport

à

l'axe

des abscisses

a<0 ^{ax' +bx+c}

^{> O.Vx}

^e

^R

ex'+bx+c<0,VxeR

.)

,x

a:0

ax'

.,

+bx+c

> O.Vx

e

R

o*2 * bx+c<

0,V3; e R

a >0

y:ax2 +bx+c

Solutions

de

ax2

+bx+c> 0

sont

x<arx2 _B

Solutions

de

ax2

+bx+c

>

0

sont Solutions

de

ax2

+bx+c l0

^sont

Solutions

de

ax2

+bx+c< 0

sont

Solutions

de

ax2

+bx+c) 0

sont

a<x3B

,)

Solutions

de ax'+bx+c >0

sont Solutions

de ax'+bx+c ; (0

_sont

I

Solutions

de -ax'+bx+c <0

sont

l:

^ax2

^+bx+c

Le cours

1.

Cas

A<0

L'équation *2 *

bx

+c =0,a +0 n'a

^pas de racine réelle.

La parabole ne coupe ^pas I'axe des abscisses.

2-

^{Cas A}

:0

L'équation *2 *

bx + c

=0,a +0

a une seule racine que

I'on

appelle parfois racine double.

La parabole est tangente à l'axe des abscisses en son sommet.

3.

Cas

A>0

L'équation

ax2

+bx+c=0,a+0

a deux racines distinctes.

Mathématilue C4-gl

sont

l. x2 -3x<o

3.-x2 +7x-I0

^> 0 Solution ^:

l. "2 -3r.0

On résout

l'équation ,v(x-f)=O

x(x-l)=0 ^d'où x:0 ^{ou.tr=3 et} a:l>0

Donc I'ensemble des solutions de

I'inéquation

x2

-3x

^{< 0}

z. ,2 -4t-lzro

x'-4x-t2=(*-Z)(x-A)=0 d'oir x:2 ^{ou x--6 et} a:l>O

Donc I'ensemble des solutions de

l'inéquation

x2

-4x-12>O

est:,S:]--;zlvfe;+æ[

La parabole coupe

I'axe

des abscisses en deux points : les abscisses de ces points

les racines de l'équations.

Exemple

l:

Résoudre les inéquations suivantes:

2. x2 -4x-12>-o

4.(r-2)(x-3)>0

-x'+7x-I0>O

a

-x' ^+7x-10

^{= (S}

-r)(r -2)=0 ^d'où x:2

^on

Donc I'ensemble des solutions de

I'inéquation

s: _[o;

^3]

x=5 et a:-l<O

-*2 *7 x-Io> 0 est' S=]2

_; 5[

est ^:

G

aJ.

(x-2)(-r-3)

> 0

(x-Z)\x-Z)=0 d'où x=2

^ou

x=3 et a=l>0

Donc I'ensemble des solutions de

l'inéquation (x-2)(x-3)

>

0

est :

s: ]-- ^{:z[wb; +æ[}

4.

Exemple 2 : Trouver les réels

ft

pour lesquels

y :

x2 +2loc + k +

6>0,Vxe

^R.

Solution:

Puisque

a=l>0

donc pour que x2

+2kx+

k

+6>0, Vxe fr

_,

il

faut que

:

 < 0

on

a

: t =(zk)' -q?r * 6): 4k' -4k -24 : 4(k' -r-o)<

^o

k2

-k -A=(k+Z\te-3):0 ^d'où

^k

: _{-2 ou}

_{ft = 3} et

a:

^I > 0

Ohadonc -2<k<3.

Exemple 3: DétErminer les valeurs

de fr et rz

pour lesquelles :

l.

^{x2 +}

tq+k+8

₌

0

admet deux solutions distinctes dans

fr

^.

2.

mx2

+(m-I)x+2:O

^{n'apas de}

solution

dans

fr.

Solution:

l.

x2

+ lu+/c+8 : 0

a deux solutions distinctes dans

fr

si et seulement

si

 >

0.

On

a:

a:

^k2

_-4(È+g)

^{> o}

k2

-+k-32>o

a

₌

(- a)' - ^4(-32) :

1 6 + 128

= t44

kr=fl--4

7r.:',!712 '2 :g

2. m+0,4= (*-I)2 _-8m<O

m+0,m2 -lom+l<0

s-2JG

<

m<5+2J-6.

:

Exemple 4 : Calculer les réels

x,y

^{solutions de} l'équation :

x2

-2xy +2y2

⁺

2x

_-8.y ⁺ 10 = 0

Solution:

On a: ,2 -2ry+2y2 +2x-8y+10:0

x2

+2(l -

^y)x

^+2y2 -8y

⁺¹⁰

=0,... (l)

Ceffe équation a des racines si et seulement

si :

^{Â > 0}

Â

: 4(l - ù2 -4Qy2 -By+ ^lo)

^{> o}

Mathématiq.r"

è+-ll

.-48

t

+-+

k<4ouÉ>8

4y2 *24y _-36

^> 0

y2-6y+9<o

(Y

-3)2 t

o

(y 4)'

^{> 0 pour}

^tout y de fr

^.

On

obtient

donc !:3

Reporter _{.), =}

3

dans l'équation (1), on

obtient

^: x2 +

2(l

_-3)x +

2(3)t - ^s(:)

⁺

^l0

^{= 0}

- ,2 _-4x+4=o

x :2.

Donc s:

_{12 ;

l;

_}

Mathématique C4-94

Exercices

l.

Résoudre les inéquations suivantes dans

fr

^.

1.3x2 -llx+820 ^{2. -x2} -4x+5<0

3.4x2 -9-r*5<0 4. -3x2 +4x-2>0

5- -2x2.+3x-2<0 ^{6. x'}

⁺

^x+3

^{< 0}

2.

^Trouver le réel

fr

^pour

lequel

x2 + loc + k

+3

> 0, Vx e R.

3.

^{Trouver le} réel

d

pour

lequel ,2 * *'* a+3>0,Vx

^{e R.}

4. Trouverlereel t pourlequel

toc2

+3lac+k-l<0,Vx'eR.

5.

^{Trouver le reel}

t

^{pour que}

l'équation

x2

-2(k ^+2)x+2k2 :0 ait

deux solutions réelles.

6.

^Selon les valeurs du

réel rn,

donner le nombre de solutions de

l'équation

mx2

+(3m+l)x+2(m+l):0

7.

Déterminer deux réels

x,y

solutions de

l'équation

:

2x2

'2ry+ ^y2 -12**4y+20:o

Mathématique C4-95