Géométrie affine
Olivier Sellès, transcrit par Denis Merigoux
Table des matières
1 Notion d’espace affine 2
1.1 Faits de base . . . 2
1.2 Barycentre . . . 3
1.2.1 Vocabulaire . . . 4
1.2.2 Coordonnées du barycentre . . . 4
1.2.3 Associativité du barycentre . . . 5
1.3 Sous-espaces affines . . . 5
1.3.1 Direction d’un sous-espace affine . . . 5
1.3.2 Droites et plans . . . 6
1.3.3 Hyperplans affines . . . 6
1.3.4 Représentation classique des sous-espaces affines . . . 7
1.3.5 Intersection de deux sous-espaces affines . . . 9
1.3.6 Parallélisme . . . 10
1.3.7 Stabilité par passage au barycentre . . . 10
1.4 Application au cas d’unR-espace vectoriel muni de sa structure affine naturelle . . . 10
2 Applications affines 11 2.1 Définition et exemples . . . 11
2.1.1 Faits de base . . . 11
2.1.2 Applications constantes . . . 11
2.1.3 Translations . . . 11
2.1.4 Homothéties . . . 12
2.1.5 Projecteurs et symétries . . . 12
2.1.6 Affinités . . . 13
2.2 Forme générale des applications affines . . . 13
2.2.1 Cas standard où X“E . . . 13
2.2.2 Cas général . . . 14
2.3 Propriétés des applications affines . . . 14
2.3.1 Image directe . . . 14
2.3.2 Image du barycentre . . . 15
2.3.3 Composée . . . 15
2.3.4 Inverse . . . 15
2.3.5 Groupe affine . . . 16
3 Complément : démonstration de quelques théorèmes connus en géométrie plane 17 3.1 Théorèmes deThalès . . . 17
3.2 Résultats concernant les parallélogrammes . . . 18
3.3 Théorème de Ménélaus. . . 18
1 Notion d’espace affine
Un espace affine est un triplet pX, E, ϕq où :
– X est un ensemble non-vide dont les éléments sont appelés les pointsa; – E est unR-espace vectoriel, en pratique de dimension finie 2 ou 3b;
– ϕest une application deXˆE dansX notée de manière infixe `telle que (1) @APX,@ÝÑu ,ÝÑv PE,pA`ÝÑuq`ÝÑv “A`pÝÑu ` ÝÑvq,
(2) @APX,ÝÑu PE ÞÝÑA`ÝÑu PX est une bijection.
E s’appelle la direction deX, et on dira souvent queX est un espace affine de directionE en sous-entendant ϕ.
a. Qu’on note en général par des lettres latines majuscules.
b. Dont les éléments se notent usuellement à l’aide de lettres latines minuscules surmontées d’une flèche.
Exemple standard Soit V un R-espace vectoriel, prenons X “ V “ E et définissons pour A,ÝÑu P V, A`ÝÑu “A` ÝÑu oùu est l’addition vectorielle deV.
Alors on a bien@APV,@ÝÑu ,ÝÑv PV,
pA`ÝÑuq`ÝÑv “ A` ÝÑu ` ÝÑv
“ A`pÝÑu ` ÝÑvq et@APX,ÝÑu PX ÞÝÑA`ÝÑu PV est bijective de réciproqueÝÑu ÞÝÑA´ ÝÑu.
On dit que l’on a muni l’espace vectoriel V de sa structure affine naturelle.
1.1 Faits de base
SoitpX, E, ϕq un espace affine.
❒ Pour APX,A`ÝÑ0 “A.
SoitO PX, alors@APX,D!ÝÑu PE{A“O`ÝÑu carÝÑu PEÞÝÑO`ÝÑu PX est une bijection. Ainsi A`ÝÑ0 “ pO`ÝÑuq`ÝÑ0
“ O``ÝÑu `ÝÑ0˘
“ O`ÝÑu
“ A
❒PourÝÑu PE, on notetÝÑu la translation de vecteurÝÑu deX dansXdéfinie par@APX,tÝÑu pAq “A`ÝÑu. On remarque que@ÝÑu ,ÝÑv PE,@APX,
tÝÑu ˝tÝÑv pAq “ tÝÑv pAq`ÝÑu
“ pA`ÝÑvq`ÝÑu
“ A`pÝÑv ` ÝÑuq
“ tÝÑu`ÝÑv pAq
AinsitÝÑu ˝tÝÑv “tÝÑu`ÝÑv “tÝÑv`ÝÑu “tÝÑv ˝tÝÑu. OrtÝÑ0 “Id donc@ÝÑu PE,tÝÑu est bijective de réciproquet´ÝÑu.
❒ Soient A, B P X, on sait que ÝÑu P E ÞÝÑ A `ÝÑu P X est bijective donc D!ÝÑu P E{B “ A`ÝÑu. Par définition, on noteÝÑu “ÝÝÑAB.
On a toujoursÝÑAA“ÝÑ0 car A`ÝÑ0 “A et@A, B, C PX,ÝÑAC“ÝÝÑAB`ÝÝÑBC. En effet,
´
A`ÝÝÑAB¯
`ÝÝÑBC “ B`ÝÝÑBC
“ C
“ A`ÝÑAC
Par conséquent, @A, B PX,ÝÝÑ
BA“ ´ÝÝÑ
AB carÝÝÑ BA`ÝÝÑ
AB “ÝÝÑ BB“ÝÑ0 .
❒ Supposons que E est de dimension finienPN˚, ainsi on dit queX est un espace affine de dimensionn.
Sin“2,X est un plan affine et si n“3,X est « l’espace ».
Un repère cartésien R de X est un couple pO,Bq où O PX est l’origine du repère et B “ pÝÑe1,ÝÑe2, . . . ,ÝÑenq est une base deE.
Dans ce cas, siM PX, on appelle coordonnées deM dansRlen-uplepα1, α2, . . . , αnq des coordonnées deÝÝÑOM dansB que l’on note M
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
α1
...
αn
ôÝÝÑ OM “
n
ÿ
i“1
αiÝÑei.
Il y a donc, une fois le repère choisi, identification entre X et Rna. Si A ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
α1
...
αn et B
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
β1
...
βn
, alors ÝÝÑ AB “
n
ÿ
i“1
pβi´αiq ÝÑei ôÝÝÑ AB ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
β1´α1
...
βn´αn
. En effet, ÝÝÑ AB“ÝÑ
AO`ÝÝÑ OB “ÝÝÑ
OB´ÝÑOA.
1.2 Barycentre
Soit n P N˚, A1, A2, . . . , An P X, α1, α2, . . . , αn P R, s “
n
ÿ
i“1
αi et f : M P X ÝÑ
n
ÿ
i“1
αiÝÝÝÑM Ai P E. Pour M, N PX,
fpMq “
n
ÿ
i“1
αiÝÝÝÑM Ai
“
n
ÿ
i“1
αi´ÝÝÑM N`ÝÝÑN Ai¯
“ sÝÝÑ
M N`fpNq – Sis“0,f est constante égale à un certain vecteur ÝÑu PE :
˝ si ÝÑu “ÝÑ0 ,@M PX,fpMq “ÝÑ0 ;
˝ si ÝÑu ‰ÝÑ0 ,@M PX,fpMq ‰ÝÑ0 . – Sis‰0, soitOPX, alors pourM PX,
fpMq “ÝÑ0 ô sÝÝÑM O`fpOq “ÝÑ0 ô sÝÝÑOM “fpOq ô ÝÝÑ
OM “ 1 sfpOq ô M “O` 1
sfpOq
Avec les notations précédentes et l’hypothèse s‰0 , D!GP X{
n
ÿ
i“1
αiÝÝÑGAi “ 0. G s’appelle le barycentre de la famille de points pondéréspAi, αiqiPv1,nw et on note G“Bar´
pAi, αiqiPv1,nw¯ .
a. Via la bijection pα1, α2, . . . , αnq PRnÞÝÑM ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
α1
... αn
1.2.1 Vocabulaire – Bar´
pAi,1qiPv1,nw
¯s’appelle l’isobarycentre de la famille pA1, A2, . . . , Anq.
– Lorsque n“2, l’isobarycentre de pA, Bq PX2 est le milieu de A etB et se note milpA, Bq.
– Pour A, B PX, le segment rABsest l’ensemble des points !
A`ÝÝÑAB|tP r0,1s)
. On peut aussi montrera que
rABs “ rBAs “ tBarppA, αq,pB, βqq |α, βPR`, α`β ą0u “ tBarppA, αq,pB,1´αqq |αP r0,1su 1.2.2 Coordonnées du barycentre
En supposants‰0, si G est le barycentre de pAi, αiqiPv1,nw, alors @M PX, fpMq “
n
ÿ
i“1
αiÝÝÝÑM Ai “fpGq ` sÝÝÑM G“sÝÝÑM G d’où
ÝÝÑM G“ 1 s
n
ÿ
i“1
αiÝÝÝÑ M Ai
Ainsi, siEest de dimension finiepPN˚, soitpO,pÝÑe1,ÝÑe2, . . . ,ÝÑenqqun repère cartésien et@jP v1, nw,Aj ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
β1,j
...
βp,j
. Alors
ÝÝÑOG “ 1 s
n
ÿ
j“1
αjÝÝÑOAj
“ 1 s
n
ÿ
j“1
αj p
ÿ
i“1
βi,jÝÑei
“
p
ÿ
i“1 n
ÿ
j“1
αiβi,j s ÝÑei '
&
$
% DoncG
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
α1β1,1` ¨ ¨ ¨ `αnβ1,n
... s
α1βp,1` ¨ ¨ ¨ `αnβp,n s
. Dans le cas particulier de deux points,G“BarppA, αq,pB, βqqavecα`β ‰0,
en notant A ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
a1
...
ap
etB ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
b1
...
bp
alorsG ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
αa1`βb1
α`β ...
αap`βbp
α`β
et donc milpA, Bq ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
a1`b1
... 2 ap`bp
2 .
Remarque Soits“α1`α2` ¨ ¨ ¨ `αn‰0 etλ‰0. Alors Bar´
pAi, αiqiPv1,nw
¯“Bar´
pAi, λαiqiPv1,nw
¯. En effet, soit G1 “Bar´
pAi, λαiqiPv1,nw
¯, alors Ý Ñ0 “
n
ÿ
i“1
λαiÝÝÝÑ G1Ai
“ λ
n
ÿ
i“1
αiÝÝÝÑ G1Ai
a. «Left to the reader ! »
donc
n
ÿ
i“1
αiÝÝÝÑG1Ai “ 0 donc G1 “ Bar´
pAi, αiqiPv1,nw
¯ donc, en prenant λ “ 1
s, on peut toujours supposer que α1`α2` ¨ ¨ ¨ `αn“1.
1.2.3 Associativité du barycentre
Soit nPN˚,A1, A2, . . . , An PRetα1, α2, . . . , αnPRtels que
n
ÿ
i“1
αi ‰0. Supposons que Dr P v1, n´1wtel que σ“α1`α2` ¨ ¨ ¨ `αr‰0. SoitG“Bar´
pAi, αiqiPv1,nw¯
etG1 “Bar´
pAi, αiqiPv1,rw¯ . AlorsG“Bar´
pG1, σq,pAi, αiqiPvr`1,nw
¯
En effet,
Ý Ñ0 “
n
ÿ
i“1
αiÝÝÑGAi
“
r
ÿ
i“1
αiÝÝÑGAi`
n
ÿ
i“r`1
αiÝÝÑGAi
“ σÝÝÑ GG1`
n
ÿ
i“1
αiÝÝÑ GAi
d’où le résultat.
Exemple SoientA, B, C PX,Gl’isobarycentre depA, B, Cq. Alors, siI “milpA, Bq, alorsG“BarppI,2q,pC,1qq.
De même, avec J “milpB, CqetK “milpA, Cq, on aG“BarppJ,2q,pA,1qq “BarppK,2q,pB,1qq.
1.3 Sous-espaces affines
SoitX un espace affine de direction leR-espace vectorielE. On appelle sous-espace affine deX toute partie du type A`F où APX etF est un sous-espace vectoriel deE. On a A`F “ tA`ÝÑu|ÝÑu PFu.
1.3.1 Direction d’un sous-espace affine
SoientA, BPX,F, G deux sous-espaces vectoriels deE. AlorsA`F “B`G si et seulement siF “Get ÝÝÑABPF.
ñ Soit ÝÑv P F, A`ÝÑv P A`F “ B `G donc DÝÑu P G tel que A`ÝÑv “ B`ÝÑu “ A`´ÝÝÑAB` ÝÑu¯ d’où Ý
Ñv “ÝÝÑ
AB` ÝÑu. Montrons que ÝÝÑ
ABPG.A“A`ÝÑ0 PA`F car ÝÑ0 PF doncDÝÑw PG tel queA“B`ÝÑw doncÝÑw “ÝÝÑBAPGdoncÝÝÑAB PG etÝÑv “ÝÝÑAB` ÝÑu PG doncF ĂG. On montre de même en échangeant les rôles de F etGque GĂF doncF “GetÝÝÑABPG.
ð SupposonsÝÝÑAB PF, montrons que A`F “ B `F. Soit M PA`F, DÝÑu P F tel que M “ A`ÝÑu d’où M “B`´ÝÝÑBA` ÝÑu¯
etÝÝÑBA` ÝÑu PF doncM PB`F doncA`F ĂB`F. L’inclusion inverse se montre de manière toute à fait analogue d’où le résultat.
Ainsi, siF est un sous-espace vectoriel affine deX, il existe un unique sous-espace vectoriel F deE et au moins un pointA tel queF “A`F. F s’appelle la direction deF.
Avec ces notations, @M PX, M PF “A`F ô ÝÝÑAM PF. Les autres points B PX tels que F “B`F sont les points de F, tels que ÝÝÑABPF.
1.3.2 Droites et plans
SiAPX, alors tAu est un sous-espace affine de direction ÝÑ0( .
Soit APX etÝÑu PEz ÝÑ0(
,D“A`RÝÑu est la droite affine passant parA et dirigée par ÝÑu. Une droite affine deX est un sous-espace affine du typeA`RÝÑu avec APXetÝÑu PEz ÝÑ0(
. On dira que des points sont alignés s’ils sont sur une même droite affine.
Étant donné A, B P X avec A ‰ B, il y a une unique droite affine passant par A et B : A`RÝÝÑAB.
Traditionnellement, la droite passant parA etB se notepABq.
Soit A PX et pÝÑu ,ÝÑvq une famille libre de E. Alors P “A`VectpÝÑu ,ÝÑvq est le plan affine passant par A et dirigé par ÝÑu etÝÑv. Un plan affine est un sous-espace affine du type précédent.
On dira que des points sont coplanaires s’ils appartiennent tous au même plan affine. Étant donné trois pointsA,B etC non-alignés, il existe un unique plan passant parA,B etC :P “A`Vect´ÝÝÑ
AB,ÝÑ AC
¯.
1.3.3 Hyperplans affines
IciE est de dimension finienPN˚. Un hyperplan affine de X est un sous-espace affine de X dont la direction est un hyperplan vectoriel deE, c’est-à-dire un ensemble du typeA`H oùAPXetH est un hyperplan deE.
Équation cartésienne d’un hyperplan affine SoitpO,ÝÑe1,ÝÑe2, . . . ,ÝÑenqun repère cartésien de X.
❒SoitA ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
α1
...
αn
PXetHun hyperplan deE:D pa1, a2, . . . , anq PRnz t0utels queHest l’ensemble d’équation
cartésienne relativement à B“ pÝÑe1,ÝÑe2, . . . ,ÝÑenqa1x1`a2x2` ¨ ¨ ¨ `anxn“0. SoitM ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
x1
...
xn
PX, on a
M PH“A`H ô ÝÝÑ AM PH ô
n
ÿ
k“1
akpxk´αkq “0 ô
n
ÿ
k“1
akxk´
n
ÿ
k“1
akαk“0
Ainsi, Da1, a2, . . . , an, b P R avec pa1, a2, . . . , anq ‰ p0, . . . ,0q tels que H est l’ensemble d’équation cartésienne a1x1`a2x2` ¨ ¨ ¨ `anxn`b“0.
❒ Réciproquement, soient a1, a2, . . . , an, bPRavec pa1, a2, . . . , anq ‰ p0, . . . ,0q et tels queH est l’ensemble d’équation cartésienne a1x1`a2x2 ` ¨ ¨ ¨ `anxn `b “ 0. Montrons que H est un hyperplan affine. Soit H l’ensemble d’équation cartésienne a1x1`a2x2` ¨ ¨ ¨ `anxn “ 0, c’est un hyperplan de E. Soient maintenant
α1, α2, . . . , αnPRtels quea1α1`a2α2` ¨ ¨ ¨ `anαn`b“0a,A ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
α1
...
αn
, alorsAPHet pourM ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
x1
...
xn
PX,
M PH ô
n
ÿ
k“1
akxk`b“0 ô
n
ÿ
k“1
akxk´
n
ÿ
k“1
akαk“0 ô
n
ÿ
k“1
akpxk´αkq “0 ô ÝÝÑAM PH
Ainsi, H“A`H est un hyperplan affine de X.
❒Soienta1, a2, . . . , an, b, a11, a12, . . . , a1n, b1 PRavecpa1, a2, . . . , anq ‰ p0, . . . ,0qetpa11, a12, . . . , a1nq ‰ p0, . . . ,0q et supposons que les hyperplans affines d’équations cartésiennesa1x1`a2x2` ¨ ¨ ¨ `anxn`b“0 eta11x1`a12x2`
¨ ¨ ¨ `a1nxn`b1 “0 soient identiques et égaux à H. La direction de H est l’hyperplan d’équation cartésienne a1x1 `a2x2 ` ¨ ¨ ¨ `anxn “ 0 mais aussi a11x1 `a12x2 ` ¨ ¨ ¨ `a1nxn “ 0. On sait alors que Dλ P R˚ tel que
@iP v1, nw,a1i “λai. Soit M ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
x1
...
xn
PH , alors
b1 “ ´ pλa1x1`λa2x2` ¨ ¨ ¨ `λanxnq
“ ´λpa1x1`a2x2` ¨ ¨ ¨ `anxnq
“ λb
Ainsi Dλ PR˚{@iP v1, nw, a1i “ λai et b1 “λb. Réciproquement, deux équations cartésiennes proportionnelles désignent le même hyperplan affine.
1.3.4 Représentation classique des sous-espaces affines En dimension 2 Soit R“ pO,ÝÑe1,ÝÑe2q un repère cartésien deX.
❒Toute droiteDdeXadmet une équation cartésienne du typeax`by`c“0 avecpa, bq ‰ p0,0q. La direction DdeDest alors la droite vectorielle d’équation cartésienneax`by“0 danspÝÑe1,ÝÑe2qetÝÑu
ˇ ˇ ˇ ˇ
´b
a PDz t0udonc D“VectpÝÑuq.D est « verticale » si et seulement siD “VectpÝÑe2q ôb “0. Dans le cas contraire, b‰0 et D admet une équation cartésienne du type y “mx`p où m est la pente de D etp son ordonnée à l’origine. D passe alors parA
ˇ ˇ ˇ ˇ
0
p et est dirigée par ÝÑu ˇ ˇ ˇ ˇ
1 m .
❒Soient A, BPX,A‰B,A ˇ ˇ ˇ ˇ
xA
yA etB ˇ ˇ ˇ ˇ
xB
yB . PourM ˇ ˇ ˇ ˇ
x y PX, M P pABq ô ÝÝÑ
AM PVect´ÝÝÑ AB
¯
ô detpÝÑe1,ÝÑe2q
´ÝÝÑAM ,ÝÝÑAB¯
“0 ô
x´xA xB´xA y´yA yB´yA
“0
ô px´xAq pyB´yAq ´ py´yAq pxB´xAq “0
a. Il en existe toujours : soitjP v1, nwtel queaj‰0, il suffit de prendreαj“ ´ b aj
etai“0 pouri‰j.
SixB‰xA, alorsD est l’ensemble d’équation cartésienne y“yA` yB´yA
xB´xApx´xAq
❒SoitAPX,ÝÑu PEz ÝÑ0(
,D“A`RÝÑu. On obtient une équation cartésienne deDen écrivant M PDô detpÝÑe1,ÝÑe2q
´ÝÝÑAM ,ÝÝÑAB¯
“0.
Plan en dimension 3 Soit R“ pO,ÝÑe1,ÝÑe2,ÝÑe3q un repère cartésien deX et B“ pÝÑe1,ÝÑe2,ÝÑe3q.
❒ On sait que tout plan affine de X admet une équation cartésienne du type ax`by`cz`d “ 0 avec pa, b, cq ‰ p0,0,0q. SoitAPX,pÝÑu ,ÝÑvq libre dansE etP “A`VectpÝÑu ,ÝÑvqde directionP “VectpÝÑu ,ÝÑvq. On a
M ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
x y z
PP ô ÝÝÑ AM PP
ô ´ Ý
Ñu ,ÝÑv ,ÝÝÑAM¯
est liée ô detB
´ÝÑu ,ÝÑv ,ÝÝÑAM¯
“0 ô
u1 v1 x´xA u2 v2 y´yA u3 v3 z´zA
“0 Ce qui donne une équation cartésienne de P.
❒ Par définition, P est aussi l’ensemble tA`tÝÑu `sÝÑv|t, sPRu, c’est-à-dire l’ensemble des M ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
x y z
PX de la forme
$
’&
’%
x“xA`tu1`sv1
y“yA`tu2`sv2 ps, tPRq z“zA`tu3`sv3
Ce système est la représentation paramétrique deP. Il faut savoir passer d’une représentation à l’autre.
❒ Soit P :x`y´z`1“0,
M ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
x y z
PP ô x“ ´1´y`z
ô M ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
´1´y`z y
z
Une représentation paramétrique deP est donc
$
’&
’%
x“ ´1´s`t
y “s ps, tPRq z“t
.P est le pan passant parA ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
´1 0 0 est dirigé parÝÑu etÝÑv avec ÝÑu
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
´1 1 0
etÝÑv ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
1 0 1
.
Droites en dimension 3 SoitAPX, ÝÑu PEz ÝÑ0(
,D“A`RÝÑu est l’ensemble de représentation paramé- trique
$
’&
’%
x“xA`tu1
y “yA`tu2 ptPRq z“zA`tu3
.
❒ D peut aussi être décrite à l’aide d’un système de deux équations cartésiennesa. Dans X “ R3b, on obtient un tel système d’équation cartésiennes en écrivantM PDôÝÝÑAM^ ÝÑu “0. Les trois équations obtenues se réduisent en fait à 2.
❒ Soit A ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
1 2 1
etÝÑu ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
1
´1 1
, alors
M ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
x y z
PD“A`RÝÑu ô DtPR{
$
’&
’%
x“1`t y“2´t z“1`t ô pSq:
$
’&
’%
1`t“x 2´t“y 1`t“z
admet des solutions ent
Or
pSq:
$
’&
’%
t“x´1
´t“y´2 t“z´1
ô
$
’&
’%
t“x´1 0“x`y´3 0“z´x
DoncM PDsi et seulement six`y´3“0 etz´x“0, ce qui nous donne un système d’équations cartésiennes de D.
1.3.5 Intersection de deux sous-espaces affines
Si F et G sont deux sous-espaces affines de X, on peut avoir F XG “ ∅. Par exemple, dans R2, D1 : x`y`1“0 et D2 :x`y`2“0, on a bienD1XD2 “∅.
Soient F,G deux sous-espaces affines deX de directionsF etG.
(1) SiF XG‰∅, alorsFXG est un sous-espace affine de directionF XG.
(2) SiF `G“E, alorsFXG‰∅.
(3) SiE “F ‘G, alorsFXG est un singleton.
Démonstration
(1) Soit APFXG, montrons queF XG“A`pFXGq.
– Si M PA`pFXGq,ÝÝÑ
AM PF XGd’où M PF etM PG doncM PFXG.
– Si M PFXG, alorsM PF doncÝÝÑAM PF etM PG doncÝÝÑAM PGdoncM PA`pF XGq.
(2) On écrit F “A`F et G“B`G,ÝÝÑ
AB“ ÝÑu ` ÝÑv avec ÝÑu PF et ÝÑv PG d’après l’hypothèse. On a alors A`ÝÑu PF or
A`ÝÑu “ ´
B`ÝÝÑBA¯
`ÝÑu
“ B`p´ÝÑu ´ ÝÑv ` ÝÑuq
“ B`p´ÝÑvq PG DoncA`ÝÑu PFXG‰∅.
(3) FXG est un sous-espace affine de direction FXG“ t0u doncFXG est un singleton.
a. Elle est alors vue comme l’intersection de deux plans.
b. De repère cartésien´
O,ÝÑi ,ÝÑj ,ÝÑ k¯
où´ÝÑi ,ÝÑj ,ÝÑ k¯
est une base orthonormée directe.
1.3.6 Parallélisme
SoientF,G deux sous-espaces affines deX de directionsF etG. On dit queF est parallèle àGet on écritFG si F ĂG. SiE est de dimension finie et dimF “dimG, on a tout de suite F “GetF GôGF.
Remarques ❒ SiFG etFXG‰∅, alors pourAPFXG,FXG “A`pFXGq “A`G“G etF ĂG. Ainsi siFG, alorsF ĂG ouFXG“∅.
❒ Si dimE“2 et que les droitesD1 etD2 ne sont pas parallèles, alors D1XD2 est un singleton. En effet, soientÝÑu etÝÑv des vecteurs directeurs deD1 etD2, alorspÝÑu ,ÝÑvqest libre dansE donc c’est une base deEdonc E “D1‘D2 donc, d’après le théorème sur l’intersection de deux sous-espaces affines,D1XD2 est un singleton.
1.3.7 Stabilité par passage au barycentre
Soit F un sous-espace affine de X, A1, A2, . . . , An P F, α1, α2, . . . , αn P R avec s “
n
ÿ
i“1
αi ‰ 0. Alors G “ Bar´
pAi, αiqiPv1,nw
¯ PF.
En effet, siO PF,ÝÝÑ OG“ 1
s
n
ÿ
i“1
αiÝÝÑ
OAiPF car@iP v1, nw,ÝÝÑ OAiPF.
En particulier, si A1, A2, . . . , An sont alignés surD,GPD. Si A1, A2, . . . , An sont coplanaires sur P, alors GPP. SiA‰B, alors@α, β PRavec α`β‰0, BarppA, αq,pB, βqq P pABq.
1.4 Application au cas d’un R-espace vectoriel muni de sa structure affine naturelle Soit V unR-espace vectoriel muni de sa structure affine naturelle.
Faits de base
– Sipa,ÝÑuq PV ˆV, alorsa`ÝÑu “a` ÝÑu. – Sia, bPV, alorsÝÑ
ab“b´a. En effet,a`pb´aq “b.
– Pour aPV,a“a´0V “ÝÝÑ0Va.
Barycentre Soient a1, a2, . . . , an P V,α1, α2, . . . , αn PR tels que s“
n
ÿ
i“1
αi ‰0 et g “ Bar´
pai, αiqiPv1,nw
¯. Alors@mPV,
ÝÑmg“ 1 s
n
ÿ
i“1
αiÝÝÑmai
En prenantm“0V,g“ 1 s
n
ÿ
i“1
αiai. En particulier, milpa, bq “ a`b 2 .
Sous-espaces affines Soit F un sous-espace affine de V, il existe aPV et F un sous-espace vectoriel de V tels queF“a`F. Les sous-espaces affines deV sont les translatés des sous-espaces vectoriel et les sous-espaces vectoriels de V sont les sous-espaces affines de V passant par 0V.
2 Applications affines
2.1 Définition et exemples 2.1.1 Faits de base
Soient pX, Eq etpY, Fq deux espaces affines, f :X ÝÑY. On dira que f est affine s’il existe ϕPLpE, Fq telle que @ pA, Bq PX2,ÝÝÝÝÝÝÝÑ
fpAqfpBq “ϕ´ÝÝÑAB¯ .
ϕest en fait unique et s’appelle la partie linéaire de f.
En effet, si ψ etϕconviennent, alors @ pA, Bq PX2,ϕ´ÝÝÑAB¯
“ψ´ÝÝÑAB¯
. Or lorsquepA, Bq décritX2,ÝÝÑAB décritE doncϕ“ψ.
Critère privilégiant un point Soit f :XÝÑ Y, ΩPX, ϕPLpE, Fq. Si @B PX, ÝÝÝÝÝÝÝÑ fpΩqfpBq “ϕ
´ÝÝÑ AB
¯, alorsf est affine de partie linéaire ϕ.
En effet, soit pA, Bq PX2,
ÝÝÝÝÝÝÝÑ
fpAqfpBq “ ÝÝÝÝÝÝÝÑ
fpAqfpΩq `ÝÝÝÝÝÝÝÑ fpΩqfpBq
“ ϕ´ÝÑΩB¯
´ϕ´ÝÑΩA¯
“ ϕ´ÝÑΩB´ÝÑΩA¯
carϕest linéaire
“ ϕ´ÝÝÑAB¯
Remarque Sif :X ÝÑY est affine de partie linéaire ϕ, alors : – @ pA, Bq PX2,fpBq “fpAq`ϕ´ÝÝÑ
AB¯
; – @APX,@ÝÑu PE,fpA`ÝÑuq “fpAq`ϕpÝÑuq.
2.1.2 Applications constantes
❒ Soit M P X et f : A P X ÝÑ M P X l’application constante égale à M. Alors pour pA, Bq P X2, ÝÝÝÝÝÝÝÑ
fpAqfpBq “ÝÝÝÑ
M M“Ý0ÑF “0LpE,Fq
´ÝÝÑ AB
¯. La partie linéaire def est donc 0LpE,Fq.
❒Réciproquement, sif :XÝÑY est affine de partie linéaire 0LpE,Fq, alorsfest constante car@ pA, Bq PX2, fpBq “fpAq `0LpE,Fq
´ÝÝÑAB¯
“fpAq.
2.1.3 Translations
❒ Soit ÝÑu PE ettÝÑu : XÝÑX AÞÑ A`ÝÑu
. Soit pA, Bq PX2, ÝÝÝÝÝÝÝÑ
fpAqfpBq “ ÝÝÝÝÑ
fpAqA`ÝÝÑAB`ÝÝÝÝÑ BfpBq
“ ´ÝÑu `ÝÝÑAB` ÝÑu
“ ÝÝÑAB
“ IdE
´ÝÝÑ AB
¯
AinsitÝÑu est affine de partie linéaire IdE.
❒ réciproquement, soit f :X ÝÑ X affine de partie linéaire IdE. Soit ΩPX,ÝÑu “ÝÝÝÝÑΩfpΩq. Montrons que f “tÝÑu, soit APX,
ÝÝÝÝÑ
AfpAq “ ÝÑAΩ`ÝÝÝÝÑΩfpΩq `ÝÝÝÝÝÝÝÑ fpΩqfpAq
“ ÝÑAΩ` ÝÑu ´ÝÑAΩ
“ ÝÑu
En particulier,tÝ0ÑE “IdX est affine.
2.1.4 Homothéties
Ω×
M×
M1“hΩ,λpMq×
❒ SoitλPRz t0,1u, ΩPX et hΩ,λ l’application de X dans X définie par @M PX,hΩ,λpMq “Ω`λÝÝÑΩM.
On a aussitôtÝÝÝÝÝÝÝÑΩhΩ,λpMq “λÝÝÑΩM. On dit quehΩ,λ est l’homothétie de centre Ω et de rapportλ.
En effet,hΩ,λpΩq “Ω donc Ω est un point fixe de hΩ,λ et pour M PX,hΩ,λpMq “M ôÝÝÑΩM “λÝÝÑΩM ô p1´λqÝÝÑΩM “0ôÝÝÑΩM “0ôΩ“M carλ‰1. Ω est donc l’unique point fixe dehΩ,λ.
Pour A PX, notons A1 “ hΩ,λpAq, alors ÝÝÑ
ΩA1 “λÝÑΩA donc ÝÝÑ
ΩA1 “ λÝÑΩA “ λIdE
´ÝÑΩA¯
donc hΩ,λ est une application affine de partie linéaire λIdE.
❒ Réciproquement, soitλPRz t0,1u et f une application affine de X dans X de partie linéaire λIdE. Soit O PX, alors pour M PX,
fpMq “M ô fpOq`λIdE
´ÝÝÑ OM
¯
“O`ÝÝÑ OM
ô fpOq`λÝÝÑ
OM “O`ÝÝÑ OM
ô fpOq`λÝÝÑOM “fpOq`´ÝÝÝÝÝÑ
fpOqO`ÝÝÑOM¯ ô λÝÝÑOM “ÝÝÝÝÝÑ
fpOqO`ÝÝÑOM ô pλ´1qÝÝÑOM “ÝÝÝÝÝÑ
fpOqO ô ÝÝÑ
OM “
ÝÝÝÝÝÑ fpOqO λ´1
f admet dont un unique point fixe Ω déterminé par la relation ci-dessus. D’où, pour A P X, ÝÝÝÝÝÝÝÑ fpΩqfpAq “ λÝÑΩAñfpAq “fpΩq `λÝÑΩA“Ω`λÝÑΩA doncf “hΩ,λ, c’est une homothétie.
Remarques
– hΩ,´1 est la symétrie centrale de centre Ω.
– SiM1“hΩ,´1pMq, alors Ω“milpM, M1qetÝÝÑ
ΩM1 “ ´ÝÝÑΩM.
2.1.5 Projecteurs et symétries
Soit F un sous-espace affine de X, de direction F un sous-espace vectoriel de E. Soit G un sous-espace vectoriel deE tel queE“F‘G.
M×
G
ppMq
× F
GM
❒ Soit M PX. Notons GM “M`Ga, on aF XGM est un singleton tppMqu. Ceci définit une application p:XÝÑX qu’on appelle le projecteur surF parallèlement àG.
Propriétés
– SiM PF,ppMq “M (en effetM PGM XF “ tppMqu) – SippMq “M, alorsM PF (on sait que ppMq PF) Donc F“ tM PX, ppMq “Mu.
❒ Soit maintenant A P F, pour M P X, ÝÝÝÝÝÝÝÝÑ
ppAqppMq “ ÝÝÝÝÝÑ
AppMq. Or ÝÝÑAM “ ÝÝÝÝÝÑ AppMq looomooon
PF
`ÝÝÝÝÝÑ ppMqM looomooon
PG
. Donc ÝÝÝÝÝÑ
AppMq “pF,G´ÝÝÑAM¯
, oùpF,Gest le projecteur vectoriel surF, parallèlement àG. Donc@M PX,ÝÝÝÝÝÝÝÝÑ ppAqppMq “ pF,G
´ÝÝÑAM¯ .
❒Pour M PX, notons alors spMq définie parÝÝÝÝÝÝÝÝÑ
ppMqspMq “ ´ÝÝÝÝÝÑ ppMqM.
Ceci définit une application s : X ÝÑ X. Pour A P F, ppAq “ A alors spAq “ milpA, Aq “ A et réciproquement si A vérifiespAq “ A alors ÝÝÝÝÝÝÝÑ
ppAqspAq “ ´ÝÝÝÝÑ
ppAqA “ÝÝÝÝÑ
ppAqA, donc ppAq “ A et APF. Donc F “ tM PX, spMq “Mu.
❒ Soit A P F, pour M P X : ÝÝÝÝÝÝÝÑ
spAqspMq “ ÝÝÝÝÝÑ
AspMq “ ÝÝÝÝÝÑ
AppMq `ÝÝÝÝÝÝÝÝÑ
ppMqspMq “ ÝÝÝÝÝÑ AppMq looomooon
PF
´ÝÝÝÝÝÑ ppMqM looomooon
PG
. Or ÝÝÑAM “ÝÝÝÝÝÑ
AppMq looomooon
PF
`ÝÝÝÝÝÑ ppMqM looomooon
PG
doncÝÝÝÝÝÑ
AppMq´ÝÝÝÝÝÑ
ppMqM “sF,G´ÝÝÑAM¯
, oùsF,Gest la symétrie vectorielle par rapport à F, parallèlement à G. Ainsi,@M PX,ÝÝÝÝÝÝÝÑ
spAqspMq “sF,G´ÝÝÑAM¯
. Doncs est affine de partie linéairesF,G. Remarques
– On a aussip˝p“pet s˝s“IdXb. – Si on prend ΩPX,F “ tΩu “Ω` ÝÑ0(
,etG“E alors pour M PX,ppMq “Ω etspMq “hΩ,´1pMq.
2.1.6 Affinités
SoitkPR. On noteapMq PX défini par ÝÝÝÝÝÝÝÝÑ
ppMqapMq “kÝÝÝÝÝÑ ppMqM.
a s’appelle l’affinité de rapport k, par rapport à F, parallèlement à G. Le courageux lecteur est prié de démontrer queaest affine de partie linéaire x“y`zPF`GÞÝÑy`kz.
2.2 Forme générale des applications affines 2.2.1 Cas standard oùX “E
Soient V, W deux sous-espaces vectoriels munis de leur structure affine naturelle. Soit f :V ÝÑW affine, notons ϕPLpV, Wq sa partie linéaire. Pour x P V, fpxq “fp0Vq `ϕ`ÝÝÑ0Vx˘
“ fp0Vq `ϕpxq. Ainsi il existe yPW etϕPLpV, Wq tels que@xPV,fpxq “y`ϕpxq.
a. C’est le sous-espace affine passant parM, dirigé parG.
b. En fait, ceci caractérise le fait quepest un projecteur (respectivement une symétrie). Preuve laissée au courageux lecteur !
❒ Réciproquement, soient b PW et ϕPLpV, Wq et posons pour x PV, fpxq “b`ϕpxq. Alors fp0Vq “ b`ϕp0Vq “b, etfpxq “fp0Vq `ϕpxq “fp0Vq `ϕpx´0Vq. Donc f est affine de partie linéaire ϕ.
❒ Cas particulier : V “W “R. Les applications linéaires deR dans Rsont celles du type xÞÝÑ ax, avec aPR. Donc les applications affines deR dansRsont celles du typexÞÝÑax`ba
❒ Prenons à présentV “Rp, W “Rn. Soit f :Rp ÝÑ Rn affine. Il existe ω PRn,ϕPLpRp,Rnq tels que
@x “ px1, x2, . . . , xpq, fpxq “ ω `ϕpxq. Posons M “ Matbcn,bcppϕq. Pour x “ px1, x2, . . . , xpq P Rp, notons fpxq “ py1, y2, . . . , ynq. Alors
¨
˚
˝ y1
...
yn
˛
‹
‚“M
¨
˚
˝ x1
...
xp
˛
‹
‚`
¨
˚
˝ ω1
...
ωn
˛
‹
‚ ce qui donne la forme analytique def.
2.2.2 Cas général
Soient pX, Eq et pY, Fq deux espaces affines avec dimE “ p, dimF “ n, pO,ÝÑe1,ÝÑe2, . . . ,ÝÑepq un repère cartésien de X,pΩ,ÝÑε1,ÝÑε2, . . . ,ÝÑεnq un repère cartésien de Y,f :X ÝÑY affine de partie linéaire ϕPLpE, Fq etM “MatpÝÑe1,...,ÝÑepq,pÝÑε1,...,ÝÑεnq pϕq.
Pour M ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
x1
...
xp
P X, on a fpMq “ fpOq `ϕ´ÝÝÑOM¯
avec ÝÝÑOM “
p
ÿ
i“1
xiÝÑei. Si on note fpOq “
n
ÿ
i“1
ωiÝÑεi ô
fpOq ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
ω1
...
ωn
danspΩ,ÝÑε1,ÝÑε2, . . . ,ÝÑεnq, alorsÝÝÝÝÝÑΩfpMq “ÝÝÝÝÑΩfpOq `ϕ´ÝÝÑOM¯
et pourfpMq ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
x11 ...
x1n , on a
¨
˚
˝ x11
...
x1n
˛
‹
‚“
¨
˚
˝ ω1
...
ωn
˛
‹
‚`M
¨
˚
˝ x1
...
xp
˛
‹
‚
Ce qui donne l’expression analytique def. 2.3 Propriétés des applications affines 2.3.1 Image directe
Soient X, Y deux espaces affines de directions E,F,f :XÝÑY affine de partie linéaire ϕPLpE, Fq etF un sous-espace affine deX.
AlorsfpFq est un sous-espace affine deY, et si ÝÑF est la direction deF, alors ϕ´ÝÑF¯
est la direction defpFq.
En effet, soitAPF, alorsF “A`ÝÑ
F. Montrons quefpFq “fpAq `ϕ
´ÝÑ F
¯.
– Soit M PfpFq,DB PF tel queM “fpBq, or B “A`ÝÑu avec ÝÑu PÝÑF d’où M “fpBq “fpA`ÝÑuq “ fpAq `ϕpÝÑuq PfpAq`ÝÑF.
– Réciproquement, soit M P fpAq`ϕ
´ÝÑ F
¯, alors M s’écrit M “ fpAq`ϕpÝÑuq avec ÝÑu PF donc M “ fpA`ÝÑuq PfpFq.
Conséquences Soitf :XÝÑY affine de partie linéaire ϕ.
(1) f conserve le parallélisme : siF etGsont deux sous-espaces affines deXtels queFG, alorsfpFqfpGq.
En effet, ÝÑF ĂÝÑG doncϕ
´ÝÑF¯ Ăϕ
´ÝÑG¯
d’où le résultat.
a. Le lecteur perspicace reconnaitra ici la forme des fonctions affines telles qu’on les lui a enseignées en troisième...
(2) SiA, B, CPX sont alignés, alors fpAq, fpBq, fpCq aussi.
En effet, supposons que A, B, C P D “ Ω`VectpÝÑuq. Alors fpAq, fpBq, fpCq P fpDq “ fpΩq` VectpϕpÝÑuqq. Si ϕpÝÑuq “ 0,fpAq “ fpBq “ fpCq donc les trois points sont alignés. Sinon, fpDq est la droite dirigée parϕpÝÑuq passant parfpΩq et les trois points appartiennent à cette droite.
2.3.2 Image du barycentre
Soit f : X ÝÑ Y, A1, A2, . . . , An P X et α1, α2, . . . , αn P R tels que α1 ` α2 ` ¨ ¨ ¨ ` αn ‰ 0. Alors f´
Bar´
pAi, αiqiPv1,nw
¯¯
“ Bar´
pfpAiq, αiqiPv1,nw
¯. On dit que f conserve le barycentre. En particulier, f conserve le milieu, c’est-à-dire fpmilpA, Bqq “milpfpAq, fpBqq.
En effet, soitG“Bar´
pAi, αiqiPv1,nw
¯etϕla partie linéaire de f.Ý0ÑE “
n
ÿ
i“1
αiÝÝÑGAi d’où
ϕ`Ý0ÑE
˘“
n
ÿ
i“1
ϕ´ÝÝÑGAi¯
ôÝ0ÑF “
n
ÿ
i“1
αiÝÝÝÝÝÝÝÝÑ fpGqfpAiq
Illustration : théorème des milieux Soit X un plan affine, A, B, C P X non-alignés et formant un vrai triangle. Alors :
(1) siI “milpA, Bq, alors la parallèle àpBCqqui passe par I coupe pACqen milpA, Cq; (2) siI “milpA, Bq etj“milpA, Cq, alorspIJqpBCq.
En effet, soit ple projecteur surpACq parallèlement à Vect´ÝÝÑ BC
¯. On a bien E “RÝÑ
AC`RÝÝÑBC, et pest affine et conserve le milieu donc ppIq “ milpA, Cq d’où le premier résultat. On sait que ppIq “ J donc, avec les hypothèses dep2q,pIppIqqpBCq.
2.3.3 Composée
SoientX,Y etZ trois espaces affines de directionsE,F etG,f :XÝÑY affine de partie linéaireϕPLpE, Fq etg:Y ÝÑZ affine de partie linéaire ψPLpF, Gq. Alors g˝f est affine de partie linéaireψ˝ϕ.
En effet, @A, BPX,
ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑ
g˝fpAqg˝fpBq “ ψ´ÝÝÝÝÝÝÝÑ fpAqgpBq¯
“ ψ˝ϕ
´ÝÝÑ AB
¯ d’où le résultat.
2.3.4 Inverse
SoientX, Y deux espaces affines de directionsE etF,f :XÝÑY affine de partie linéaireϕ. Alors :
(1) f est bijective si et seulement si ϕest un isomorphisme ; (2) sif est bijective, alorsf´1 est affine de partie linéaire ϕ´1.
(1) ñ Soit ÝÑu P Kerϕ, montrons que ÝÑu “ ÝÑ0 . Soit A P X, B “ A`ÝÑu, fpBq “ fpAq `ϕpÝÑuq “ fpAq.
f est injective donc A “B donc ÝÑu “Ý0ÑF. Soit ÝÑv PF, C PY, D “C`ÝÑv. f est surjective donc DA, B PX tels queC “fpAq etD“fpBq donc
Ý
Ñv “ ÝÝÑ CD
“ ÝÝÝÝÝÝÝÑ fpAqfpBq
“ ϕ´ÝÝÑAB¯ doncϕest surjective donc bijective.
ð Si ϕ est un isomorphisme, soient A, B P X tels que fpAq “ fpBq, montrons que A “ B. On a Ý
Ñ0 “ ÝÝÝÝÝÝÝÑ
fpAqfpBq “ ϕ´ÝÝÑAB¯
donc ÝÝÑAB P Kerϕ “ ÑÝ0(
donc A “ B. Soit maintenant C P Y, on cherche APX tel que fpAq “C. Soit O PX, Ω“fpOq P Y,ÝÑv “ÝÑΩC PF. ϕest surjective donc DÝÑu PE tel queÝÑΩC“ϕpÝÑuq. Alors
fpO`ÝÑuq “ fpOq`ϕpÝÑuq
“ Ω`ÝÑv
“ C
(2) Supposons quef est bijective, alors ϕest un isomorphisme. Montrons que@C, DPY,ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑ f´1pCqf´1pDq “ ϕ´1
´ÝÝÑ CD
¯, ce qui revient à montrer que,ϕétant bijective,@C, DPY,ÝÝÑ CD“ϕ
´ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑ f´1pCqf´1pDq¯
. Soient alorsC, DPX,
ϕ´ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑ f´1pCqf´1pDq¯
“ ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑ f˝f´1pCqf ˝f´1pDq
“ ÝÝÑCD
Exemples Pour X “ Y et E “F, les translations, homothéties et symétries sont des applications linéaires bijectives deX dansX car IdE est bijective.
2.3.5 Groupe affine
Soit X un espace affine, on note GApXq l’ensemble des applications affines bijectives deX dansX.
❒GApXq ‰∅car@ÝÑu PE,tÝÑu PGApXq.
❒ Si f, g P GApXq, f ˝g est affine et bijective par composition et f´1 est affine donc f˝g P GApXq et f´1PGApXqdonc GApXq est un sous-groupe depSpXq,˝qdoncpGApXq,˝qest un groupe, le groupe affine.
❒ Notons H l’ensemble des homothéties et T l’ensemble des translations. AlorsHYT est un sous-groupe de GApXqappelé groupe des homothéties-translations.
En effet considérons le cas de la composition de deux homothéties, le reste étant assez claira. Soith1 “hΩ1,λ1
eth2 “hΩ2,λ2 des homothéties avec λ1, λ2 PRz t0,1u. a partie linéaire deh2˝h1 estλ2IdE˝λ1IdE “λ2λ1IdE. – Siλ1λ2 “1, alorsh2˝h1 a pour partie linéaire IdE donc c’est une translation de vecteur ÝÑu eth2˝h1 P
HYT. De plus,
Ý
Ñu “ ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑΩ1h2˝h1pΩ1q
“ ÝÝÝÝÝÝÑ Ω1h2pΩ1q
“ ÝÝÝÑΩ1Ω2`ÝÝÝÝÝÝÑΩ2h2pΩ1q
“ ÝÝÝÑΩ1Ω2`λ2ÝÝÝÑΩ2Ω1
“ p1´λ2qÝÝÝÑΩ1Ω2
– Si λ1λ2 ‰ 1, alors h2˝h1 a pour partie linéaire λIdE avec λ R t0,1u donc c’est une homothétie donc h2˝h1 PHYT
a. «C’est trivial avec des égalités !»
