2.2 Forme générale des applications affines
2.2.2 Cas général
Ce qui donne l’expression analytique def. 2.3 Propriétés des applications affines 2.3.1 Image directe sous-espace affine deX.
AlorsfpFq est un sous-espace affine deY, et si ÝÑF est la direction deF, alors ϕ´ÝÑF¯
Conséquences Soitf :XÝÑY affine de partie linéaire ϕ.
(1) f conserve le parallélisme : siF etGsont deux sous-espaces affines deXtels queFG, alorsfpFqfpGq.
a. Le lecteur perspicace reconnaitra ici la forme des fonctions affines telles qu’on les lui a enseignées en troisième...
(2) SiA, B, CPX sont alignés, alors fpAq, fpBq, fpCq aussi.
En effet, supposons que A, B, C P D “ Ω`VectpÝÑuq. Alors fpAq, fpBq, fpCq P fpDq “ fpΩq` VectpϕpÝÑuqq. Si ϕpÝÑuq “ 0,fpAq “ fpBq “ fpCq donc les trois points sont alignés. Sinon, fpDq est la droite dirigée parϕpÝÑuq passant parfpΩq et les trois points appartiennent à cette droite.
2.3.2 Image du barycentre
Soit f : X ÝÑ Y, A1, A2, . . . , An P X et α1, α2, . . . , αn P R tels que α1 ` α2 ` ¨ ¨ ¨ ` αn ‰ 0. Alors f´
Bar´
pAi, αiqiPv1,nw
¯¯
“ Bar´
pfpAiq, αiqiPv1,nw
¯. On dit que f conserve le barycentre. En particulier, f conserve le milieu, c’est-à-dire fpmilpA, Bqq “milpfpAq, fpBqq.
En effet, soitG“Bar´
pAi, αiqiPv1,nw
¯etϕla partie linéaire de f.Ý0ÑE “
n
ÿ
i“1
αiÝÝÑGAi d’où
ϕ`Ý0ÑE
˘“
n
ÿ
i“1
ϕ´ÝÝÑGAi¯
ôÝ0ÑF “
n
ÿ
i“1
αiÝÝÝÝÝÝÝÝÑ fpGqfpAiq
Illustration : théorème des milieux Soit X un plan affine, A, B, C P X non-alignés et formant un vrai triangle. Alors :
(1) siI “milpA, Bq, alors la parallèle àpBCqqui passe par I coupe pACqen milpA, Cq; (2) siI “milpA, Bq etj“milpA, Cq, alorspIJqpBCq.
En effet, soit ple projecteur surpACq parallèlement à Vect´ÝÝÑ BC
¯. On a bien E “RÝÑ
AC`RÝÝÑBC, et pest affine et conserve le milieu donc ppIq “ milpA, Cq d’où le premier résultat. On sait que ppIq “ J donc, avec les hypothèses dep2q,pIppIqqpBCq.
2.3.3 Composée
SoientX,Y etZ trois espaces affines de directionsE,F etG,f :XÝÑY affine de partie linéaireϕPLpE, Fq etg:Y ÝÑZ affine de partie linéaire ψPLpF, Gq. Alors g˝f est affine de partie linéaireψ˝ϕ.
En effet, @A, BPX,
ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑ
g˝fpAqg˝fpBq “ ψ´ÝÝÝÝÝÝÝÑ fpAqgpBq¯
“ ψ˝ϕ
´ÝÝÑ AB
¯ d’où le résultat.
2.3.4 Inverse
SoientX, Y deux espaces affines de directionsE etF,f :XÝÑY affine de partie linéaireϕ. Alors :
(1) f est bijective si et seulement si ϕest un isomorphisme ; (2) sif est bijective, alorsf´1 est affine de partie linéaire ϕ´1.
(1) ñ Soit ÝÑu P Kerϕ, montrons que ÝÑu “ ÝÑ0 . Soit A P X, B “ A`ÝÑu, fpBq “ fpAq `ϕpÝÑuq “ fpAq.
f est injective donc A “B donc ÝÑu “Ý0ÑF. Soit ÝÑv PF, C PY, D “C`ÝÑv. f est surjective donc DA, B PX tels queC “fpAq etD“fpBq donc
Ý
Ñv “ ÝÝÑ CD
“ ÝÝÝÝÝÝÝÑ fpAqfpBq
“ ϕ´ÝÝÑAB¯ doncϕest surjective donc bijective.
ð Si ϕ est un isomorphisme, soient A, B P X tels que fpAq “ fpBq, montrons que A “ B. On a Ý
Ñ0 “ ÝÝÝÝÝÝÝÑ
fpAqfpBq “ ϕ´ÝÝÑAB¯
donc ÝÝÑAB P Kerϕ “ ÑÝ0(
donc A “ B. Soit maintenant C P Y, on cherche APX tel que fpAq “C. Soit O PX, Ω“fpOq P Y,ÝÑv “ÝÑΩC PF. ϕest surjective donc DÝÑu PE tel queÝÑΩC“ϕpÝÑuq. Alors
fpO`ÝÑuq “ fpOq`ϕpÝÑuq
“ Ω`ÝÑv
“ C
(2) Supposons quef est bijective, alors ϕest un isomorphisme. Montrons que@C, DPY,ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑ f´1pCqf´1pDq “ ϕ´1
´ÝÝÑ CD
¯, ce qui revient à montrer que,ϕétant bijective,@C, DPY,ÝÝÑ CD“ϕ
´ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑ f´1pCqf´1pDq¯
. Soient alorsC, DPX,
ϕ´ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑ f´1pCqf´1pDq¯
“ ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑ f˝f´1pCqf ˝f´1pDq
“ ÝÝÑCD
Exemples Pour X “ Y et E “F, les translations, homothéties et symétries sont des applications linéaires bijectives deX dansX car IdE est bijective.
2.3.5 Groupe affine
Soit X un espace affine, on note GApXq l’ensemble des applications affines bijectives deX dansX.
❒GApXq ‰∅car@ÝÑu PE,tÝÑu PGApXq.
❒ Si f, g P GApXq, f ˝g est affine et bijective par composition et f´1 est affine donc f˝g P GApXq et f´1PGApXqdonc GApXq est un sous-groupe depSpXq,˝qdoncpGApXq,˝qest un groupe, le groupe affine.
❒ Notons H l’ensemble des homothéties et T l’ensemble des translations. AlorsHYT est un sous-groupe de GApXqappelé groupe des homothéties-translations.
En effet considérons le cas de la composition de deux homothéties, le reste étant assez claira. Soith1 “hΩ1,λ1
eth2 “hΩ2,λ2 des homothéties avec λ1, λ2 PRz t0,1u. a partie linéaire deh2˝h1 estλ2IdE˝λ1IdE “λ2λ1IdE. – Siλ1λ2 “1, alorsh2˝h1 a pour partie linéaire IdE donc c’est une translation de vecteur ÝÑu eth2˝h1 P
HYT. De plus,
Ý
Ñu “ ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑΩ1h2˝h1pΩ1q
“ ÝÝÝÝÝÝÑ Ω1h2pΩ1q
“ ÝÝÝÑΩ1Ω2`ÝÝÝÝÝÝÑΩ2h2pΩ1q
“ ÝÝÝÑΩ1Ω2`λ2ÝÝÝÑΩ2Ω1
“ p1´λ2qÝÝÝÑΩ1Ω2
– Si λ1λ2 ‰ 1, alors h2˝h1 a pour partie linéaire λIdE avec λ R t0,1u donc c’est une homothétie donc h2˝h1 PHYT
a. «C’est trivial avec des égalités !»
3 Complément : démonstration de quelques théorèmes connus en géomé-trie plane
3.1 Théorèmes de Thalès
Soit X un plan affine, D1, D2 des droites de X sécantes en un point Ω, A, B distincts sur D1z tΩu, A1, B1 distincts surD2z tΩu.
Ω A A1
B B1
Alors
`AA1˘
`
BB1˘
ô ΩA
ΩB “ ΩA1 ΩB1 Mesure algébrique
Soit D une droite de X, ÝÑu un vecteur directeur de D. Si A, B P D, AB est l’unique scalaire λÝÑu tel que ÝÝÑAB“λÝÑuÝÑu.
❒Il est clair queABdépend deÝÑu, mais siÝÑv est un autre vecteur directeur deD,DαPR˚tel queÝÑv “αÝÑu doncÝÝÑAB“λÝÑvÝÑv “λÝÑv αÝÑu doncλÝÑu “αλÝÑv.
❒ SoientA, B, C distincts surD, alors AB
AC ne dépend pas du choix deÝÑu. En effet, siÝÝÑAB“λÝÑuÝÑu “λÝÑvÝÑv etÝÑAC “µÝÑuÝÑu “µÝÑvÝÑv, alorsDα‰0{λÝÑu “αλÝÑv etµÝÑu “αµÝÑv d’où λÝÑu
λÝÑv
“ αµÝÑu αµÝÑv
“ µÝÑu µÝÑv .
❒ En fait, AB
AC est l’unique scalaire qui vérifie ÝÝÑAB “ ωÝÑAC. En effet, ÝÑAC “ ACÝÑu et ÝÝÑAB “ ABÝÑu, alors ÝÝÑAB“AB¨
ÝÑAC AC “ AB
AC ÝÑAC.
Démonstration du théorème de Thalès Les points Ω, A etA1 ne sont pas alignés donc ´ÝÑΩA,ÝÝÑ ΩA1¯
est libre, c’est une base deE. On aÝÑΩB “ ΩB
ΩA
ÝÑΩA“αÝÑΩAetÝÝÑ
ΩB1 “ ΩB1 ΩA1
ÝÝÑΩA1 “α1ÝÝÑ
ΩA1.pAA1qpBB1q ô´ÝÝÑ AA1,ÝÝÑ
BB1¯ est liée, orÝÝÑ
AA1 “ÝÑAΩ`ÝÝÑ ΩA1 “ÝÝÑ
ΩA1´ÝÑΩA etÝÝÑ BB1“ÝÝÑ
ΩB1´ÝÑΩB“α1ÝÝÑ
ΩA1´αÝÑΩA. Donc, enfin,
´ÝÝÑ AA1,ÝÝÑ
BB1¯
liée ô detˆÝÑΩA,ÝÝÑ ΩA1˙
´ÝÝÑ AA1,ÝÝÑ
BB1¯
ô
´1 ´α 1 α1
“0 ô α“α1
3.2 Résultats concernant les parallélogrammes
SoientA,B,C etDdistincts dansXtels queA,B etDsoient non-colinéaires. ABCDest un parallélogramme si et seulement si ÝÝÑ
AD“ÝÝÑBC.
Propriétés Montrons les équivalences suivantes :
p1q ABCD est un parallélogramme ô ÝÝÑAB“ÝÝÑDC p2q
ô pADqpBCq et pABqpCDq p3q ô milpB, Dq “milpA, Cq p4q
p1q ñ p2q ÝÝÑ AD“ÝÝÑ
BC doncÝÝÑ AB“ÝÝÑ
AD`ÝÝÑ DC`ÝÝÑ
CB“ÝÝÑDC.
p2q ñ p1q ÝÝÑAB“ÝÝÑDC doncÝÝÑAD“ÝÝÑAB`ÝÝÑBC`ÝÝÑCD“ÝÝÑBC.
p1q ñ p3q SiÝÝÑAD“ÝÝÑBC,ÝÝÑAB“ÝÝÑDC d’où les deux parallélismes.
p3q ñ p1q Plaçons nous dans´
A,ÝÝÑAB,ÝÝÑAD¯ :ÝÝÑAD
ˇ ˇ ˇ ˇ
0 1 ,ÝÝÑAB
ˇ ˇ ˇ ˇ
1 0 ,C
ˇ ˇ ˇ ˇ
α
β etÝÝÑBC ˇ ˇ ˇ ˇ
α´1
β .ÝÝÑBC PVect´ÝÝÑAD¯ donc α“1.ÝÝÑCD
ˇ ˇ ˇ ˇ
´α
1´β etÝÝÑCDPVect´ÝÝÑAB¯
doncβ “1 donc C ˇ ˇ ˇ ˇ
1
1 doncÝÝÑAD“ÝÝÑBC p1q ñ p4q SoitI “milpA, Cq,
ÝÑIB`ÝÑ
ID “ ÝÑ IA`ÝÑ loooomoooonAC
Ý Ñ0
`ÝÝÑ AB`ÝÝÑ loooomoooonCD
Ý Ñ0
“ ÝÑ0 DoncI “milpB, Dq.
p4q ñ p1q SoitI “milpA, Cq “milpB, Dq, montrons queÝÝÑAD“ÝÝÑBC. ÝÝÑAD “ ÝAIÑ`ÝÑIB`ÝÝÑBC`ÝÑCI`ÝÑID
“ ÝÝÑBC
3.3 Théorème de Ménélaus
Soient A,B etC non-alignés dans X,A1 P pBCq z tB, Cu,B1P pACq z tA, CuetC1 P pABq z tA, Bu.
A B
C
C1
B1
A1
Alors
A1, B1, C1 alignésô A1B
A1C ˆB1C
B1A ˆC1A C1B “1
Démonstration On se place dans le repère cartésien´
Il existe une autre démonstration plus élégante n’utilisant que des considérations géométriques, mais la recopier ici me prendrait trop de temps, surtout pour les figures. Veuillez agréer mes plus plates excuses pour cet acte de fumisterie !