Sur un problème d'algèbre

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

J. S ADIER

Sur un problème d’algèbre

Nouvelles annales de mathématiques 4^e série, tome 4 (1904), p. 109-111

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SIR l \ PROBLEME D'ALGEBRE;

PAR M. J. SAD1ER.

Prouver que pour toutes les valeurs réelles et posi- tives de la variable x Vexpression y = y dans laquelle on a o < a < i , peut être représentée par

Cette question, posée dans le Journal de Mathé- matiques spéciales sous le n° 260, est reproduite au n° 503 des questions d'Algèbre de M. Laisant (Re- cueil de probl. de math., t. III).

Une solution a été donnée (J. S., 1896, p. 44)- Elle est insuffisante : on y démontre l'existence d'un maxi- mum (ou minimum, suivant le signe de ia — 1) et les valeurs o pour x= o et x = 00. On n'y prouve pas quejK reste toujours compris dans l'intervalle limité par ces deux racines.

Pour abréger l'écriture posons

b = i — a> c = a — b (a + è = i; a e t é

On a

(,v — i)y — xa — xb,

d'où l'on déduit

x{x — iff — (ax -+- b)xb—(bx -+• a)xa.

jSoit V le second membre :

V —o pour x = o et a? = i.

(3)

( )

Prouvons que V ne s'annule pour aucune autre valeur de x. Nous allons pour cela résoudre l'équation

bx -h a

en laissant de côté la racine x = o, qui d'ailleurs n'annule pas la dérivée.

Les racines de cette équation sont données par les points d'intersection des deux courbes

ax -H b

La première est une hyperbole équilatère; la seconde appartient à la famille des courbes paraboliques, dont l'équation est de la forme

y = xm.

Nous avons deux cas à distinguer : c > o o t c < o . (A) : c > o (a > b) ; j u croît constamment de - à j lorsque x croît de o à oo, e t ^2 croît constamment de o à oo. Les deux branches de courbe, sans point d'inflexion, se coupent en un seul point d'abscisse x = i.

(B) : c <^o(a <C £>);y\ décroît constamment de - à -y

CL O

et y2 de oc à o; la courbure, comme dans le cas pré- cédent, ue change pas de sens.

Donc, dans les deux cas, V n'a qu'un changement de signe pour x = i.

Cette discussion est résumée dans les deux Tableaux

(*) Le lecteur est prie de faire la figure,

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suivants : A) : c > o

(B) : c < o

1

^x

)y

\y

( x

Y'

O

o o

o

-f-

croît

décroît

1

o c

<max.)

I O C (min.)

décroît

croït

0 0

o

0 0

o

Donc y reste compris entre o et c, lorsque x croît de o a -f- oc. Donc

y = c6 = ( a — 6)8 = ( 2 a — 1)0. Q. E . D .