aux varIétés dIfférentIelles I ntroductIon

I ntroductIon

aux varIétés dIfférentIelles

nouvelle édition

Grenoble Sciences

Grenoble Sciences est un centre de conseil, expertise et labellisation de l’ensei- gnement supérieur français. Il expertise les projets scientifiques des auteurs dans une démarche à plusieurs niveaux (référés anonymes, comité de lecture inte- ractif) qui permet la labellisation des meilleurs projets après leur optimisation.

Les ouvrages labellisés dans une collection de Grenoble Sciences ou portant la mention

« Sélectionné par Grenoble Sciences » (« Selected by Grenoble Sciences ») corres- pondent à :

» des projets clairement définis sans contrainte de mode ou de programme,

» des qualités scientifiques et pédagogiques certifiées par le mode de sélection (les membres du comité de lecture interactif sont cités au début de l’ouvrage),

» une qualité de réalisation certifiée par le centre technique de Grenoble Sciences.

Directeur scientifique de Grenoble Sciences

Jean B ornarel , Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1 On peut mieux connaître Grenoble Sciences en visitant le site web :

http://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr On peut également contacter directement Grenoble Sciences :

Tél (33) 4 76 51 46 95, e-mail : grenoble.sciences@ujf-grenoble.fr

Livres et pap-ebooks

Grenoble Sciences labellise des livres papier (en langue française et en langue anglaise) mais également des ouvrages utilisant d’autres supports. Dans ce contexte, situons le concept de pap-ebook qui se compose de deux éléments :

» un livre papier qui demeure l’objet central avec toutes les qualités que l’on connaît au livre papier

» un site web corrélé ou site web compagnon qui propose :

› des éléments permettant de combler les lacunes du lecteur qui ne possèderait pas les prérequis nécessaires à une utilisation optimale de l’ouvrage

› des exercices de training

› des compléments permettant d’approfondir, de trouver des liens sur internet, etc.

Le livre du pap-ebook est autosuffisant et certains lecteurs n’utiliseront pas le site web compagnon. D’autres pourront l’utiliser, et chacun à sa manière. Un livre qui fait partie d’un pap-ebook porte en première de couverture un logo caractéristique et le lecteur trouvera le site compagnon à l’adresse internet suivante :

http://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr/pap-ebook/nom de l’auteur du livre

Grenoble Sciences bénéficie du soutien du Ministère de l’Enseignement

supérieur et de la Recherche et de la Région Rhône-Alpes

Grenoble Sciences est rattaché à l’Université Joseph Fourier de Grenoble

I ntroductIon

aux varIétés dIfférentIelles

nouvelle édition

Jacques l ^afontaIne

17, avenue du Hoggar

Parc d’Activité de Courtabœuf - BP 112

91944 Les Ulis Cedex A - France

Introduction aux variétés différentielles

Cet ouvrage est labellisé par Grenoble Sciences, est un des titres du secteur Mathématiques de la Collection Grenoble Sciences d’EDP Sciences, qui regroupe des projets originaux et de qualité. Cette collection est dirigée par Jean B ornarel , Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1.

Comité de lecture de l’ouvrage

› Pierre a verBuch , Directeur de recherche honoraire au CNRS, Grenoble

› Pierre B erard , Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble I

› Gaël M eIgnIez , Professeur à l’Université de Bretagne Sud

› Jean-Yves M erIndol , Professeur, Directeur de l’ENS Cachan

Cette nouvelle édition d’Introduction aux variétés différentielles de Jacques L ^afontaine a été suivie par Laura C ^apoLo pour la partie scientifique et par Anne-Laure p ^assavant et Sylvie B ^ordage du centre technique Grenoble Sciences pour sa réalisation pratique.

L’illustration de couverture est l’œuvre d’Alice g ^iraud , d’après : Thomas B ^anChoff

& Jeff B ^eaLL , Brown University : Bouteille de K ^Lein ; Fropuff/ Inductiveload, Wikimedia commons : Immersion « 8 » de la bouteille de K ^Lein ; éléments fournis par l’auteur.

Autres ouvrages labellisés sur des thèmes proches (chez le même éditeur) Analyse numérique et équations différentielles (Jean-Pierre Demailly)  Analyse sta- tistique des données expérimentales (Konstantin Protassov)  Approximation Hilber- tienne (Marc Attéia et Jean Gaches)  Description de la symétrie (Jean Sivardière)  Exercices corrigés d’analyse avec rappels de cours - Tome I (Daniel Alibert)  Exer- cices corrigés d’analyse avec rappels de cours - Tome II (Daniel Alibert)  Mathé- matiques pour l’étudiant scientifique - Tome I (Philippe-Jacques Haug)  Mathéma- tiques pour l’étudiant scientifique - Tome II (Philippe-Jacques Haug)  Mathéma- tiques Pour les Sciences de la Vie, de la Nature et de la Santé (Jean Paul et Françoise Bertrandias)  Méthodes numériques appliquées pour le scientifique et l’ingénieur (Jean-Philippe Grivet) Nombres et algèbre (Jean-Yves Mérindol) Outils mathéma- tiques à l’usage des scientifiques et ingénieurs (E. Belorizky)

et d’autres titres sur le site internet : http://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr

ISBN 978-2-7598-0572-3

© EDP Sciences, 2010

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0

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R ³

or x (Σ ∩ C ) = − 1

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C

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C = ∂Σ

C

Σ

C

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Σ

^{+ &}

x ∈ Σ ∩ C

⁺

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dω = 0,

*

0 =

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dδ ^∗ ω =

C × C

δ ^∗ ω −

x ∈ Σ ∩ C

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δ ^∗ ω.

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x ∈ Σ ∩ C

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-

E(γ x , C )

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γ x

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C

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C × C

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S ¹

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⎞

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Q

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t , y t , z

t ).

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K

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Z = _Y ^T

^X _T = ^Z _Y

⁺

f = (f 1 , f 2 )

Q

P ¹ R × P ¹ R

f 1 ([X, Y, Z, T ]) =

[X, Z] (X, Z) = (0, 0) [T, Y ] (T, Y ) = (0, 0)

f 2 ([X, Y, Z, T ]) =

[X, T ] (X, T ) = (0, 0) [Z, Y ] (Z, Y ) = (0, 0)

I,# 7

(r, s)

^H*

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Q

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(x, y) → (−x, −y)

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(θ, ϕ) → (e ^iθ , e ^iϕ )

T ²

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(θ, ϕ, ψ) →

e ^iθ (1 − cos ψ

2 ), e ^iϕ (1 − sin ψ 2 )

.

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S ² × S ²

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