Analyse numérique et équations différentielles. Nouvelle édition avec exercices corrigés de Jean-Pierre Demailly

Analyse numérique

et équations différentielles

EXTRAITS

Grenoble Sciences

Grenoble Sciences est un centre de conseil, expertise et labellisation de l’enseignement supérieur français. Il expertise les projets scientifiques des auteurs dans une démarche à plusieurs niveaux (référés anonymes, comité de lecture interactif) qui permet la labellisation des meilleurs projets après leur optimisation. Les ouvrages labellisés dans une collection de Grenoble Sciences correspondent à :

◮ des projets clairement définis sans contrainte de mode ou de programme,

◮ des qualités scientifiques et pédagogiques certifiées par le mode de sélection,

◮ une qualité de réalisation assurée par le centre technique de Grenoble Sciences.

Directeur scientifique de Grenoble Sciences Jean Bornarel, Professeur émérite à l’Université Grenoble Alpes

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Livres et pap-ebooks

Grenoble Sciences labellise des livres papier (en langue française et en langue anglaise) mais également des ouvrages utilisant d’autres supports. Dans ce contexte, situons le concept de pap-ebook. Celui-ci se compose de deux éléments :

◮ unlivre papierqui demeure l’objet central,

◮ unsite web compagnonqui propose :

– des éléments permettant de combler les lacunes du lecteur qui ne posséderait pas les prérequis nécessaires à une utilisation optimale de l’ouvrage,

– des exercices pour s’entraîner,

– des compléments pour approfondir un thème, trouver des liens sur internet, etc.

Le livre du pap-ebook est autosuffisant et certains lecteurs n’utiliseront pas le site web compagnon. D’autres l’utiliseront et ce, chacun à sa manière. Un livre qui fait partie d’un pap-ebook porte en première de couverture un logo caractéristique et le lecteur trouvera le site compagnon du présent ouvrage à l’adresse internet suivante :

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Grenoble Sciences bénéficie du soutien de larégion Auvergne-Rhône-Alpeset duministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de

la Recherche. Grenoble Sciences est rattaché à l’Université Grenoble Alpes.

ISBN 978 2 7598 1926 3 c

EDP Sciences 2016

Analyse numérique

et équations différentielles

Jean-Pierre Demailly

17, avenue du Hoggar

Parc d’Activité de Courtabœuf - BP 112 91944 Les Ulis Cedex A - France

Analyse numérique et équations différentielles

Cet ouvrage, labellisé par Grenoble Sciences, est un des titres du secteur Mathéma- tiques de la collection Grenoble Sciences d’EDP Sciences, qui regroupe des projets originaux et de qualité. Cette collection est dirigée par Jean Bornarel, Professeur émérite à l’Université Grenoble Alpes.

Comité de lecture de l’édition précédente :

◮ M. Artigue, Professeur à l’IUFM de Reims,

◮ A. Dufresnoy, Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1,

◮ J.R. Joly, Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1,

◮ M. Rogalski, Professeur à l’Université des Sciences et Technologies, Lille 1.

Cette nouvelle édition a été suivie par Stéphanie Trine. L’illustration de couverture est l’œuvre d’Alice Giraud.

Autres ouvrages labellisés sur des thèmes proches (chez le même éditeur) Méthodes numériques appliquées pour le scientifique et l’ingénieur (J.-P. Grivet)

• Petit traité d’intégration (J.-Y. Briend) • Introduction aux variétés dif- férentielles (J. Lafontaine) • Nombres et algèbre (J.-Y. Mérindol) • Exer- cices corrigés d’analyse avec rappels de cours. Tomes I et II (D. Alibert)

• Outils mathématiques à l’usage des scientifiques et ingénieurs (E. Belo- rizky) • Mathématiques pour l’étudiant scientifique. Tomes I et II (P.-J. Haug)

• Mécanique. De la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien (C. Gignoux

& B. Silvestre-Brac) • Problèmes corrigés de mécanique et résumés de cours.

De Lagrange à Hamilton (C. Gignoux & B. Silvestre-Brac) • Mathématiques pour les sciences de la Vie, de la Nature et de la Santé (J.-P. Bertrandias & F. Bertran- dias)• Description de la symétrie. Des groupes de symétrie aux structures fractales (J. Sivardière) • Symétrie et propriétés physiques. Des principes de Curie aux bri- sures de symétrie (J. Sivardière) • Approximation hilbertienne. Splines, ondelettes, fractales (M. Attéia & J. Gaches) • Analyse statistique des données expérimentales (K. Protassov)•Introduction à la mécanique statistique (E. Belorizky & W. Gorecki)

•Mécanique statistique. Exercices et problèmes corrigés (E. Belorizky & W. Gorecki)

• Magnétisme : I Fondements, II Matériaux (sous la direction d’E. du Trémolet de Lacheisserie)•La mécanique quantique. Problèmes résolus. Tomes I et II (V.M. Ga- litski, B.M. Karnakov & V.I. Kogan)•Relativité générale et astrophysique, problèmes et exercices corrigés (Denis Gialis & François-Xavier Désert)• Éléments de Biologie à l’usage d’autres disciplines. De la structure aux fonctions (P. Tracqui & J. Demon- geot)•Minimum Competence in Scientific English (S. Blattes, V. Jans & J. Upjohn)

et d’autres titres sur le site internet https://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr

1. Cumulation des erreurs d’arrondi 11

1.6. Cumulation d’erreurs d’arrondi al´ eatoires

Les majorations d’erreurs que nous avons donn´ees plus haut pˆechent en g´en´eral par exc`es de pessimisme, car nous n’avons tenu compte que de la valeur absolue des erreurs, alors qu’en pratique elles sont souvent de signe al´eatoire et se compensent donc partiellement entre elles.

Supposons par exemple qu’on cherche `a calculer une sommesn de rang ´elev´e d’une s´erie convergenteS =_+∞

k=0u_k, lesu_k ´etant des r´eels≥0 suppos´es repr´esent´es sans erreur. On pose donc

sk=sk−1+uk, s₀=u₀, et les erreurs Δsk v´erifient

Δs_k= Δs_k−1+α_k

avec Δs₀= 0 et |α_k| ≤ε(s_k−1+u_k) =εs_k≤εS.

On en d´eduit donc

Δs_n=α₁+α₂+. . .+α_n

et en particulier|Δsn| ≤nεS. Dans le pire des cas, l’erreur est donc proportionnelle

`

a n. On va voir qu’on peut en fait esp´erer beaucoup mieux sous des hypoth`eses raisonnables.

Hypoth`eses.

(1) Les erreursαk sont des variables al´eatoires globalement ind´ependantes les unes des autres (lorsque lesu_k sont choisis al´eatoirement).

(2) L’esp´erance math´ematique E(αk) est nulle, ce qui signifie que les erreurs d’arrondi n’ont aucune tendance `a se faire par exc`es ou par d´efaut.

L’hypoth`ese (2) entraˆıneE(Δsn) = 0 tandis que l’hypoth`ese (1) donne var(Δs_n) = var(α₁) +. . .+ var(α_n).

CommeE(α_k) = 0 et|α_k| ≤εS, on a var(α_k)≤ε²S², d’o`u σ(Δsn) =

var(Δsn)≤√ nεS

L’erreur quadratique moyenne croˆıt seulement dans ce cas comme √

n. D’apr`es l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev on a :

P(|Δs_n| ≥α σ(Δs_n))≤α⁻². La probabilit´e que l’erreur d´epasse 10√

nεS est donc inf´erieure `a 1%.

52 Chap. II – Approximation polynomiale des fonctions num´eriques Corollaire. On suppose que f est lipschitzienne, c’est-`a-dire qu’il existe une con- stanteK≥0 telle que∀x, y∈[a, b]on ait |f(x)−f(y)| ≤K(x−y).

Alors la suite Ln(f) des polynˆomes d’interpolation de Tchebychev converge uni- form´ement vers f sur[a, b].

Sous ces hypoth`eses on a en effetωf(t)≤Kt, donc f−L_n(f) ≤KC(b−a) ln (n)

n+ 2, ce qui tend vers 0 quandntend vers +∞.

Ces r´esultats montrent que l’interpolation aux points de Tchebychev est consid´era- blement plus fiable que l’interpolation en des points ´equidistants. Le sch´ema ci-dessous compare `a titre d’exemple les polynˆomes d’interpolation de degr´e 6 associ´es `a la fonctionf(x) = 1/(x²+α²) pourα=√

8 (voir aussi le§2.3).

y 1/α²

f_α

−1 0 1 x

pn (n= 6) Points d’interpolation :

´equidistants de Tchebychev

5. Polynˆ omes orthogonaux

Soit ]a, b[ un intervalle ouvert born´e ou non dansR. On se donneun poids sur ]a, b[, c’est-`a-dire une fonctionw: ]a, b[→]0,+∞[ continue. On suppose en outre que pour tout entiern∈Nl’int´egraleb

a|x|ⁿw(x)dx est convergente ; c’est le cas par exemple si ]a, b[ est born´e et sib

aw(x)dxconverge. Sous ces hypoth`eses, on consid`ere l’espace vectorielEdes fonctions continues sur ]a, b[ telles que

f₂= b

a

|f(x)|²w(x)dx <+∞.

76 Chap. III – Int´egration num´erique

3. M´ ethodes de Gauss

Les m´ethodes de Gauss concernent le calcul num´erique d’int´egrales faisant intervenir un poids. Elles constituent une application directe de la th´eorie des polynˆomes orthogonaux.

3.1. Description et formule d’erreur

Soit w une fonction poids fix´ee sur ]α, β[. On ´etudie les m´ethodes d’int´egration approch´ee du type

β α

f(x)w(x)dx l j=0

λjf(xj), xj ∈[α, β].

Th´eor`eme 1. Il existe un choix et un seul des points xj et des coefficients λj de sorte que la m´ethode soit d’ordre N = 2l+ 1. Les pointsx<sub>j</sub> appartiennent `a ]α, β[ et sont les racines du(l+ 1)-i`eme polynˆome orthogonal pour le poids w.

Unicit´e. Supposons qu’on ait des points xj et des coefficients λj pour lesquels la m´ethode est d’ordre≥2l+ 1. Posons

πl+1(x) = l j=0

(x−xj).

Pour toutp∈Pl, deg(pπl+1)≤2l+ 1, donc β

α

p(x)πl+1(x)w(x)dx= l j=0

λjp(xj)πl+1(xj) = 0.

Ceci entraˆıne queπ_l+1 est orthogonal `a Pl. Commeπ<sub>l+1</sub> est unitaire, c’est donc le (l+ 1)-i`eme polynˆome orthogonal associ´e au poidsw. Les points xj ne sont autres que les racines de ce polynˆome.

SoitLi∈Pltel que

Li(xj) = 1 si i=j, Li(xj) = 0 si i=j.

Les coefficientsλi sont donn´es n´ecessairement par

λi = l j=0

λjLi(xj) = β

α

Li(x)w(x)dx.

Ces coefficients sont donc eux aussi uniques.

1. D´efinitions. Solutions maximales et globales 137

U

x₀ x

y

y₀

y(x)

R´esoudre le probl`eme de Cauchy revient `a trouver une courbe int´egrale de (E) passant par un point donn´e (x₀, y₀)∈U.

Champ des tangentes. A tout pointM = (x₀, y₀), on associe la droiteDM passant parM et de coefficient directeur f(x₀, y₀) :

DM :y−y₀=f(x₀, y₀)(x−x₀)

L’application M → D_M est appel´ee champ des tangentes associ´e `a l’´equation (E).

Une courbe int´egrale de (E) est une courbe diff´erentiableC qui a pour tangente en chaque point M ∈ C la droite DM du champ des tangentes. L’exemple ci-dessous correspond `a l’´equationy=f(x, y) =x−y².

1 x

0 1 y

M DM

C

196 Chap. VI – M´ethodes de r´esolution explicite des ´equations diff´erentielles

3.3. Courbe de poursuite du chien

Nous pr´esentons ici la c´el`ebre courbe du chien comme exemple de courbe de poursuite. Voici le probl`eme : un chien et son maˆıtre se d´eplacent l’un et l’autre

`

a des vitesses scalaires constantesV (pour le chien) etv(pour le maˆıtre), avecV > v.

On suppose que le maˆıtre se d´eplace en ligne droite, disons sur l’axe Ox, dans la direction positive, suivant la loix=vt. A l’instantt= 0, le chien se trouve au point x= 0 y = r₀, `a distance r<sub>0</sub> du maˆıtre. Le chien cherche `a rejoindre son maˆıtre en pointant son vecteur vitesse−→V en direction du maˆıtre. Le probl`eme est de d´eterminer la loi du mouvementC(t) du chien.

−

→V

−

→V

M₀=O

M(t) vt

0

x

y

α C₀

0 r₀

C(t) x(t)

y(t)

Notons α l’angle (non orient´e) α = (Ox,−−→CM) et r = −−→CM ; on a bien entendu α=α(t) et r =r(t). Comme d’habitude en physique, on d´esignera par des points surlignants les d´eriv´ees temporelles ˙r(t) =dr/dt, ˙α(t) =dα/dt, . . . .A l’instantt, la position et la vitesse du chien sont donn´ees par

x(t) =vt−rcosα, x(t) =˙ v−r˙cosα+rα˙sinα=Vcosα, y(t) =rsinα, y(t) = ˙˙ rsinα+rα˙cosα=−V sinα, Ces ´equations fournissent ais´ement l’expression de ˙ret rα˙ :

r˙=vcosα−V, rα˙ =−vsinα.

En prenant le quotient on ´eliminedt et on trouve donc dr

r dα =−cotanα+V v

1 sinα.

220 Chap. VII – Syst`emes diff´erentiels lin´eaires Exemple. Une particule de masse m et de charge ´electrique q se d´eplace dansR³ sous l’action d’un champ magn´etique −→B et d’un champ ´electrique −→E uniformes et ind´ependants du temps. Quelle est la trajectoire de la particule ?

Si −→V et −→γ d´esignent respectivement la vitesse et l’acc´el´eration, la loi de Lorentz et le principe fondamental de la dynamique donnent l’´equation

−

→F =m−→γ =q−→V ∧ −→B +q−→E ,

d’o`u

−

→γ = d−→V dt = q

m

−

→V ∧ −→B + q m

−

→E .

Il s’agit d’un syst`eme lin´eaire o`u la matriceA(`a coefficients constants) est la matrice de l’application lin´eaire −→V → _m^q−→V ∧ −→B. On confondra dans la suiteA avec cette application lin´eaire. Un calcul simple montre que

A²(−→V) = q m

₂

(−→V ∧ −→B)∧ −→B =− q m

₂

B²PB(−→V)

o`u B = −→B et o`u PB d´esigne la projection orthogonale sur le plan vectoriel de vecteur normal−→B. Le sch´ema est le suivant :

−

→V ∧ −→B

−

→V

−

→B

P_B(−→V) Q_B(−→V)

(−→V ∧ −→B)∧ −→B

On observe pour le calcul que−→V ∧ −→B =PB(−→V)∧ −→B. On en d´eduit alors facilement A^2p(−→V) = (−1)^p q

m ₂p

B^2pP_B(−→V), p≥1 A^2p+1(−→V) = (−1)^p q

m ₂p+1

B^2p−→V ∧ −→B ,

240 Chap. VIII – M´ethodes num´eriques `a un pas

1. D´ efinition des m´ ethodes ` a un pas, exemples

1.1. D´ efinitions

Les m´ethodes `a un pas sont les m´ethodes de r´esolution num´erique qui peuvent s’´ecrire sous la forme

y_n+1=y_n+h_nΦ(t_n, y_n, h_n), 0≤n < N,

o`u Φ : [t₀, t₀ +T]×R×R → R est une fonction que l’on supposera continue.

Dans la pratique, la fonction Φ(t, y, h) peut n’ˆetre d´efinie que sur une partie de la forme [t₀, t₀+T]×J×[0, δ] o`uJ est un intervalle deR(de sorte en particulier que [t₀, t₀+T]×J soit contenu dans le domaine de d´efinition de l’´equation diff´erentielle).

Exemple. La m´ethode d’Euler est la m´ethode `a un pas associ´ee `a la fonction Φ(t, y, h) =f(t, y), et d´efinie par la formule de r´ecurrenceyn+1 = yn+hnf(tn, yn) (voir chapitre V,§2.3).

D´efinition. L’erreur de consistanceen relative `a une solution exacte z est l’erreur en =z(tn+1)−yn+1, 0≤n < N

produite par application de l’algorithme y_n+1 = y_n+h_nΦ(t_n, y_n, h_n) `a partir de la valeur yn =z(tn). Autrement dit, cette erreur mesure l’´ecart entre la valeur exacte z(tn+1)au tempstn+1, et la valeur approch´eeyn+1 issue de la valeuryn=z(tn)prise comme valeur initiale au temps t_n (une seule ´etape de l’algorithme est donc mise en jeu). En termes de la fonctionΦ, on a

en =z(tn+1)−z(tn)−hnΦ(tn, z(tn), hn).

z e_n

tn tn+1=tn+hn t yn

yn+1

z(tn+1) y

Comme le montre le sch´ema ci-dessous, l’erreur de consistance n’a a priori que peu de rapport avec l’erreur globale θn = max

0jn|z(tj)−yj| r´esultant d’un calcul de n

1. D´efinition des m´ethodes `a un pas, exemples 241 valeurs successivesy<sub>1</sub>, . . . , yn `a partir de la donn´ee initialey₀=z(t₀) (qui est `a vrai dire la seule erreur int´eressant r´eellement le num´ericien). On imagine cependant, et nous reviendrons l`a-dessus plus en d´etail au§2, que|θn|sera de l’ordre de grandeur de |e₀|+|e₁|+· · ·+|en−1|, sous des hypoth`eses convenables de r´egularit´e pour la fonction f. C’est pourquoi l’´evaluation de en va gouverner l’´evaluation de l’erreur globale.

t₀ t₁ t₂ t₃ t₄ t

e₀ e₁ e₂ e₃ y

y₀ y₁

y₂

y₃

y₄ z

z₁z₂z₃

θ₄

[Les fonctionsz,z₁,z₂,z₃repr´esentent ici les solutions exactes passant par les points (t₀, y₀) et (tj, yj),j= 1,2,3].

1.2. Retour sur la m´ ethode d’Euler

Soitzune solution exacte de l’´equation (E). On a au premier ordre l’approximation z(tn+1) =z(tn+hn)z(tn) +hnz(tn) =z(tn) +hnf(tn, z(tn)).

Comme on l’a d´ej`a vu au chapitre V, ceci conduit `a l’algorithme y_n+1=y_n+h_nf(t_n, y_n)

tn+1=tn+hn.

Par d´efinition de l’erreur de consistance, on aen=z(tn+hn)−yn+1 o`u yn+1=z(tn) +hnf(tn, z(tn)) =z(tn) +hnz(tn).

La formule de Taylor-Lagrange donne

en=z(tn+hn)−(z(tn) +hnz(tn)) = 1

2 h²_nz(tn) +o(h²_n),

4. M´ethodes de pr´ediction-correction 295 Il en r´esulte finalement

|y_n^∗₊₁−y_n+1| ≤ |b^∗_n,−1,r|kh_n(|pe_n|+|e^∗_n|)

|en| ≤ |e^∗_n|+|y_n^∗₊₁−yn+1|

|en| ≤

1 +|b^∗_n,−1,r|khn

|e^∗_n|+|b^∗_n,−1,r|khn|pen|.

On voit que l’influence du pr´edicteur est nettement moindre que celle du correcteur puisque son erreur de consistance est en facteur d’un terme O(hn). Le correcteur AM_r+1 ´etant d’ordre r+ 2 (c’est-`a-dire |e^∗_n| ≤Ch_nh^r_max⁺²), on voit qu’il convient de choisir un pr´edicteur d’ordrer+ 1. Les contributions de|e^∗_n|et|pen|dans|en|seront alors toutes deux≤Chnh^r_max⁺², l’ordre global de PECE est doncr+ 2dans ce cas.

4.3. Exemples

•Pr´edicteur : Euler (ordre 1), Correcteur : AM₁ (ordre 2).

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

P : pyn+1=yn+hnfn

E : pfn+1=f(tn+1, pyn+1) C : y_n+1=y_n+h_n1

2 pf_n+1+¹₂ f_n E : fn+1=f(tn+1, yn+1)

Cet algorithme co¨ıncide avec la m´ethode de Heun, qui n’est autre que la m´ethode de Runge-Kutta d´efinie par

0 0 0

1 0 1

^{12 12} .

• Pr´edicteur : Nystr¨om (ordre 2) avec pas constanth_n=h, Correcteur : AM₂ (ordre 3).

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩

P : pyn+1=yn−1+ 2hfn

E : pfn+1=f(tn+1, pyn+1)

C : yn+1=yn+h ₁₂⁵ pfn+1+₁₂⁸ fn−₁₂¹ fn−1

E : fn+1=f(tn+1, yn+1)

•Pr´edicteur : AB_r+1 (ordre r+ 1), Correcteur : AM_r+1 (ordrer+ 2).

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎩

P : pyn+1=yn+hn

0≤i≤r

bn,i,rfn−i

E : pfn+1=f(tn+1, pyn+1)

C : yn+1=yn+hn b^∗_n,−1,rpfn+1+

0≤i≤r

b^∗_n,i,rfn−i

E : f_n+1=f(t_n+1, y_n+1).

306 Chap. X – Stabilit´e des solutions et points singuliers D´efinition. Soit y(t, z) la solution maximale de (E) tel que y(t₀, z) =z. On dira que la solutiony(t, z₀)eststables’il existe une bouleB(z₀, r)et une constanteC≥0 telles que

(i) Pour tout z∈B(z₀, r),t→y(t, z)est d´efinie sur [t₀,+∞[ ; (ii) Pour tous z∈B(z₀, r)ett≥t₀ on a

y(t, z)−y(t, z₀) ≤Cz−z₀.

La solutiony(t, z₀)est diteasymptotiquement stable si elle est stable et si la condi- tion (ii’)plus forte que (ii)est satisfaite :

(ii’) Il existe une boule B(z₀, r) et une fonction γ : [t₀,+∞[→ R₊ continue avec

t→+∞lim γ(t) = 0telles que pour tousz∈B(z₀, r) ett≥t₀ on ait y(t, z)−y(t, z₀) ≤γ(t)z−z₀.

La signification g´eom´etrique de ces notions de stabilit´e est illustr´ee par le sch´ema suivant.

z₀ z z₀ z z₀ z

y

t₀ t

solution instable

solution stable

solution asympto- tiquement stable

2. Points singuliers d’un champ de vecteurs 315 Nous nous proposons maintenant d’´etudier les diff´erentes configurations possibles pour un point singulier non d´eg´en´er´e. On verra au chapitre XI, §2.3 que les courbes int´egrales ont tendance `a ressembler `a celles du syst`eme lin´eaire dM/dt = AM lorsqu’on se rapproche du point critique, tout au moins sur un intervalle de temps [t₀, t₁] fix´e ; ceci n’est pas n´ecessairement vrai sur tout l’intervalle [t₀,+∞[ (voir§2.3 pour des exemples). On se restreindra dans un premier temps au cas lin´eaire.

2.2. Cas d’un champ lin´ eaire de vecteurs

Consid´erons le syst`eme dM

dt =AM,

⎧⎪

⎨

⎪⎩ dx

dt =ax+by dy

dt =cx+dy

o`u A= a b

c d

.

On supposera detA = 0, de sorte que le champ de vecteurs −→V(M) = AM admet l’origine pour seul point critique. Comme le champ des tangentes est invariant par les homoth´eties de centreO, les courbes int´egrales se d´eduisent les unes des autres par homoth´eties. Distinguons maintenant plusieurs cas en fonction des valeurs propres deA.

(a) Les valeurs propresλ₁, λ₂ de A sont r´eelles.

• Supposons de plus λ₁ = λ₂. Dans ce cas la matrice A est diagonalisable. Apr`es changement de base on peut supposer

A=

λ₁ 0 0 λ₂

et le syst`eme se r´eduit `a ⎧

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎩ dx

dt =λ₁x dy dt =λ₂y.

La solution du probl`eme de Cauchy avecM(0) = (x₀, y₀) est donc x(t) =x₀e^λ1t

y(t) =y₀e^λ2t de sorte que les courbes int´egrales sont les courbes

y =C|x|^λ2/λ1, C∈R et la droite d’´equationx= 0. On distingue deux sous-cas.

316 Chap. X – Stabilit´e des solutions et points singuliers

∗ λ₁, λ₂ de mˆeme signe et, disons, |λ₁| <|λ₂|. On a alors λ₂/λ₁ >1. On dit qu’on a affaire `a unnœud impropre:

x y

x y

0< λ₁< λ₂ nœud impropre instable

λ₂< λ₁<0 nœud impropre stable

∗λ₁, λ₂ de signes oppos´es, par exempleλ₁<0< λ₂. Il s’agit d’uncol (toujours instable) :

x y

•Les valeurs propres sont confondues : λ₁=λ₂=λ. Deux cas sont possibles :

∗Aest diagonalisable. AlorsAest en fait diagonale et les courbes int´egrales sont donn´ees par

x(t) =x₀e^λt y(t) =y₀e^λt,

ce sont les droitesy=αxetx= 0. On dit qu’on a affaire `a unnœud propre: