Dérivée d’une fonction composée avec une fonction affine

Dérivées, les formules

Dérivées des fonctions usuelles

Ens. définition Fonctions Fonctions dérivées Ens. dérivabilité

R x7→koùk∈R x7→0 R

R x7→x x7→1 R

R x7→xⁿ,n∈N∗ x7→n.xⁿ⁻¹,n∈N^∗ R ]− ∞; 0[∪]0; +∞[ x7→ 1

x x7→ −1

x² Sur]− ∞; 0[et sur]0; +∞[

]− ∞; 0[∪]0; +∞[ x7→ 1

xⁿ,n∈N^∗ x7→ −n

xⁿ⁺¹,n∈N^∗ Sur]− ∞; 0[et sur]0; +∞[

[0; +∞[ x7→√

x x7→ 1

2√

x ]0; +∞[

R x7→sinx,xest en radians x7→cosx R

R x7→cosx,xest en radians x7→ −sinx R

Opérations et dérivées

uetvsont deux fonctions dérivables surI

Dérivée d’une somme (u+v)⁰ =u⁰+v⁰ Dérivée du produit par une constantek (ku)⁰ =ku⁰ Dérivée du produit (uv)⁰ =u⁰v+uv⁰ Dérivée du carré deu (u²)⁰ = 2uu⁰

Dérivée deuⁿ (uⁿ)⁰ =nuⁿ⁻¹.u⁰

Dérivée de l’inverse

1

v 0

= −v⁰ v²

Dérivée du quotient u

v 0

= u⁰v−v⁰u v² REMARQUE 1

• Un polynôme est dérivable surR,

• Une fonction rationnelle est dérivable sur chacune des parties de son ensemble de définition.

Dérivée d’une fonction composée avec une fonction affine

THÉORÈME1

Sif est une fonction dérivable sur un intervalleI et sigest la fonction définie parg(x) =f(ax+b), alorsg est dérivable en tout pointx, tel queax+bappartient àI et on ag⁰(x) =a×f⁰(ax+b).

Ens. définition Fonctions Fonctions dérivées Ens. dérivabilité ax+b≥0 x7→√

ax+b x7→ a 2√

ax+b ax+b >0 R x7→sin(ax+b) x7→acos(ax+b) R

R x7→cos(ax+b) x7→ −asin(ax+b) R

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