HamidEZZAHRAOUI Intégration 02 2C SMIA-S2:A

SMIA-S2 : A

2

C

02

Partie :

Intégration

Hamid EZZAHRAOUI

Département de Mathématiques Mars 2020

Année universitaire 2019/20 SMIA-S2

M8 : Analyse 2 Série 2

Exercice 1. Soit[a, b]un intervalle borné. Une subdivision S de [a, b]est un sous-ensemble fini de[a, b]tel que S = {x0, x1, . . . , xn}avecx0=a < x1< . . . < xn=b. Une subdivisionS de[a, b]est dite plus fine qu’une autre subdivision S⁰de[a, b]siS⁰⇢S.

Soit'une fonction en escalier définie sur[a, b]. On dit queS={x0, x1, . . . , xn}est une subdivision de[a, b]adaptée à's’il existe une suite finiec1, . . . , cnde constantes réelles telle que pourx2]xi 1, xi[,'(x) =ci.

1- Montrer que siS1etS2sont deux subdivisions de[a, b], alors il existe une subdivisionS de[a, b]qui est plus fine queS1etS2.

2- Montrer que siS1est une subdivision adaptée à'et siS2est une subdivision plus fine queS1, alorsS2est aussi adaptée à'.

3- Soient'une fonction en escalier définie sur[a, b]etS ={x0, x1, . . . , xn}une subdivision de [a, b]adaptée à '. Montrer que son intégrale sur[a, b]⇣

définie parZ b a

'(x) dx= Xn i=1

ci(xi xi 1)⌘

ne dépend pasS.

4- SoitE[a,b] l’ensemble des fonctions en escalier sur[a, b]. Montrer queE[a,b]est non vide, stable par l’addition des fonctions et par la multiplication par un scalaire.

5- Soient'1et'2deux éléments deE[a,b]. Montrer queZ b a

('1+'2)(x) dx= Z b

a

'1(x) dx+ Z b

a

'2(x) dx.

Exercice 2. Soitf une fonction réelle définie sur un intervalle[a, b].

1- Montrer quef est intégrable sur[a, b]si, et seulement si, pour tout✏>0il existe deux fonctions en escalier'et définies sur[a, b]et telles que :

'f et Z b

a

(x) dx Z b

a

'(x) dx <✏.

supposons que la propiété est vérifiée 2- En déduire que :

a) La fonctionf=IQ\[0,1]n’est pas intégrable. (On rappelle queIAest la fonction qui vaut1surAet0ailleurs.) b) Toute fonction monotone sur[a, b]est intégrable.

c) Toute fonction réglée sur[a, b]est intégrable.

On rappelle q’une fonctiong sur[a, b]est dite réglée s’il existe une suite(gn)de fonctions en escalier sur[a, b]

telle que(gn)converge uniformément versgsur[a, b], i.e.,sup_x2[a,b]|gn(x) g(x)|!0lorsquen! 1. 3- Montrer que la fonctionf définie sur[0,1]parf(x) = sin¹_x six6= 0etf(0) = 0est intégrable.

Indication: Remarquer que pour tout0<"<1, f est intégrable sur[",1].

1

Année Universitaire : 2019-2020

CORRIGÉ DE LA SÉRIE 02 (PARTIE1) - ANALYSE2 (INTÉGRATION) SMIA

Proposé par Pr. Hamid EZZAHRAOUI.

SOLUTION DE L’EXERCICE1 : 1. S =S₁fiS₂est une subdivision de[0,1]plus fine queS₁etS₂.

2. SoitS₂la subdivision de[a, b]obtenue en ajoutant un seul élémenttàS₁, distinct des éléments deS₁. Il existekœ{1,2, . . . , n}tel quetœ]xk≠1, x_k[. Donc la fonctionÏest constante et prend la valeurc_ksur ]xk≠1, x_k[, donc sur]xk≠1, t[et]t, xk[,Ï(x) =c_k. La subdivisionS₂est donc adaptée àÏ. Il en résulte par récurrence sur le nombre fini d’éléments de[a, b]à ajouter àS₁ (pour avoir S₂), queS₂ est encore adaptée àÏ.

3. Comme dans la question précédente, on procède par récurrence. SoientS ={x₀, x₁, . . . , x_n}et I(Ï, S) :=^ÿn

i=1

c_i(xi≠x_i≠1).

On considère la subdivisionS^Õ de[a, b]obtenue en ajoutant un seul élémenttàSdistinct des éléments deS. Donc, il existe unjœ{1, . . . , n}tel quetœ]xj≠1, xj[. Sur]xj≠1, t[et]t, xj[, on aÏ(x) =cj. La subdivisionS^Õ est donc adaptée àÏet on a

cj(xj≠xj≠1) =cj(t≠xj≠1) +cj(xj≠t).

D’où

I(Ï, S) =I(Ï, S^Õ).

Il en résulte par récurrence sur le nombre fini d’éléments de[a, b]à ajouter àSqueI(Ï, S) =I(Ï, S^Õ) siS^Õ est plus fine queS. Donc, siS₁ etS₂sont deux subdivisions quelconques adaptées à la fonctionÏ, les deux nombresI(Ï, S1)etI(Ï, S2)sont l’un et l’autre égaux àI(Ï, S1fiS₂).

4. SoitE[a,b] l’ensemble des fonctions en escalier sur[a, b]. Puisque toute fonction constante sur[a, b](en particulier la fonction nulle sur[a, b]) est une fonction en escalier,E[a,b]”=ÿ. Soientf, gœE[a,b]etS₁et S₂ deux subdivisions de[a, b]adaptées àf etgrespectivement. Donc,S₁fiS₂est une subdivision plus fine queS₁ etS₂. D’après la question 2, la subdivisionS₁fiS₂ est adaptée la fois àf etg. De plus, la fonctionf+gest constante sur chaque intervalle ouvert deS₁fiS₂, doncf+gœE[a,b]. Il est clair que sif œE[a,b], alors⁄f œE[a,b]pour tout⁄œR, car’xœ]xi≠1, x_i[, on a⁄f(x) =⁄c_i.

5. Supposons queÏ₁,Ï₂ œE[a,b]. SoientS₁ etS₂deux subdivisions de[a, b]adaptées àÏ₁ etÏ₂respecti- vement. D’après la question3, on a

I(Ï1, S₁) =I(Ï1, S₁fiS₂) etI(Ï2, S₂) =I(Ï2, S₁fiS₂).

On suppose queS₁fiS₂={x₀, x₁, . . . , x_n}. D’après la question4, sixœ]xi≠1, x_i[pouri= 1,2, . . . , n, il existec_i etd_itels queÏ₁(x) =c_i etÏ₂(x) =d_i. D’où, pour toutxœ]xi≠1, x_i[, on a

(Ï1+Ï₂)(x) =c_i+d_i. Par conséquent,

⁄ b

a (Ï1+Ï2)(x)dx=^ÿn

i=1

(ci+di)(xi≠x_i≠1) =^ÿn

i=1

c_i(xi≠x_i≠1)+^ÿn

i=1

d_i(xi≠x_i≠1) =^{⁄ b}

a

Ï₁(x)dx+^{⁄ b}

a

Ï₂(x)dx.

SOLUTION DE L’EXERCICE2 :

Rappel :SoitAest un sous-ensemble non vide deR, alors –= supA ≈∆ ’xœA, x6– et’Á>0,÷x_Á œA: –≠Á< x_Á6–.

et

—= infA ≈∆ ’xœA,—6x et’Á>0,÷y_ÁœA: — 6y_Á <—+Á,(doncy_Á≠Á<— 6y_Á).

SiAest majoré (resp. minoré) , alorsAa une borne supérieure (resp. inférieure), celle-ci est unique.

1. On suppose quef est bornée. Soient

Ef^≠ =^ÓÏœE[a,b]: Ï6f^Ô et Ef⁺ =^Ó„œE[a,b]: f 6„^Ô. Posons

A^≠_f =^{I⁄ b}

a Ï(x)dx: ÏœEf^≠

J

et A⁺_f =^{I⁄ b}

a „(x)dx: „œEf⁺

J .

E_f^≠,E_f⁺,A^≠_f etA⁺_f sont non vides carf est bornée. Les éléments deA⁺_f sont des majorants deA^≠_f et ceux deA^≠_f sont des minorants deA⁺_f. Soient–= sup_ÏœE≠

f A^≠_f et— = inf_ÏœE⁺

f A⁺_f. On sait quef est intégrable si et seulement si–=—.

En utilisant la propriété de la borne supérieure et celle de la borne inférieure (citées dans le rappel), pour toutÁ>0, il existeÏœE_f^≠et il existe„œE_f⁺telles que

–≠Á/2<

⁄ b

a Ï(x)dx6–,

⁄ b

a „(x)dx≠Á/2<—6^{⁄ b}

a „(x)dx.

De plus, on aÏ6f 6„. Sif est intégrable alors–=—.Donc,

⁄ b

a „(x)dx≠Á=^{⁄ b}

a „(x)dx≠Á/2≠Á/2<—≠Á/2 =–≠Á/2<

⁄ b

a Ï(x)dx.

Donc, sif est intégrable, pour toutÁ > 0, il existe deux fonctions en escalierÏet„définies sur[a, b]

telles que

Ï6f 6„ et ^{⁄ b}

a „(x)dx≠

⁄ b

a Ï(x)dx <Á.

Hamid EZZAHRAOUI 2 Département de Mathématiques,

Faculté des Sciences de Rabat

Réciproquement, supposons au contraire, que f n’est pas intégrable. Donc,— > –. SoitÁ = — ≠–.

Puisque,’ÏœE_f^≠ et ’„œE_f⁺, on a–>^s_a^bÏ(x)dxet—<^s_a^b„(x)dx, alors,

⁄ b

a „(x)dx≠

⁄ b

a Ï(x)dx >—≠–=Á>0.

Contradiction.

2. (a) Application 1:f = _Qfl[0,1]n’est pas intégrable sur[0,1].

SoitÁ= 1. On a

f(x) = Y] [

1, sixœQfl[0,1], 0, six /œQfl[0,1].

Soit(g, h)un couple quelconque de fonctions en escalier sur[0,1]vérifiantg(x) 6f(x) 6h(x) pour toutxœ[0,1]. SoitSune subdivision de[0,1]adaptée à la fois àgeth. D’après la densité de deQdansR, on ag(x)60eth(x)>1. D’où,

⁄ 1

0 (h(x)≠g(x))dx>1 =Á.

D’après la question(1), la fonctionf n’est pas intégrable.

(b) Application 2: Toute fonction monotone sur un intervalle[a, b]est intégrable.

Sans perdre de généralité, on suppose quef est croissante. On considère une subdivision de[a, b]

de la forme

S={a < a+h < a+ 2h < . . . < a+nh=b}

oùnœN^úétant quelconque et le nombrehest défini parh= ^b≠a_n , appelé lepasde la subdivision S. En général, lepasd’une subdivisionS = {a= x₀ < x₁ < x₂ < . . . < x_n = b}, est la plus grande des longueurs des sous-intervalles, c’est-à-direh= max

i=1,2,...,n|xi≠xi≠1|.

Dans la suite, nous définissons deux fonctions en escalier Ïet„sur l’intervalle [a, b], en posant pour toutxœ]a+kh, a+ (k+ 1)h[, oùk= 0,1, . . . , n≠1,

Ï(x) =f(a+kh), „(x) =f(a+ (k+ 1)h),

etÏ(b) = „(b) = f(b). Puisque f est croissante, alorsÏ(x) 6 f(x) 6 „(x), ’x œ [a, b]. De plus, puisquex_k=a+khpourk= 0,1, . . . , n, on a

⁄ b

a Ï(x)dx=^nÿ≠1

k=0

(xk+1≠x_k)Ï(x) =h

nÿ≠1 k=0

f(a+kh),

et ⁄ b

a „(x)dx=h

nÿ≠1 k=0

f(a+ (k+ 1)h).

Par conséquent,

⁄ _b

a („(x)≠Ï(x))dx=h[f(a+nh)≠f(a)] = b≠a

n [f(b)≠f(a)].

Hamid EZZAHRAOUI 3 Département de Mathématiques,

Faculté des Sciences de Rabat

Pour chaqueÁ>0donné, on peut choisirnassez grand de manière à avoir ^b≠a_n [f(b)≠f(a)]<Á, c’est-à-dire,’Á>0, il existe deux fonctions en escalierÏet„(sur[a, b]) telles que

Ï6f 6„ et ^{⁄ b}

a

„(x)dx≠

⁄ _b

a

Ï(x)dx <Á.

D’après la question1, la fonctionf est intégrable.

Remarque : Sif est décroissante sur[a, b], alors ≠f est croissante sur[a, b]et donc elle est intégrable, d’où d’après la question4de l’exercice1,f = (≠1)(≠f)est intégrable.

(c) Application 3: Toute fonction réglée est intégrable.

On rappelle qu’une fonctiong est diterégléesur[a, b]s’il existe une suite(gn)n de fonctions en escalier sur[a, b]convergeant uniformément versg, c’est-à-dire

næ+Œlim sup

xœ[a,b]|g_n(x)≠g(x)|= 0.

Supposons quegest réglée, donc elle est limite uniforme d’une suite(gn)nde fonctions en escalier sur[a, b]. SoitÁ>0etn₀ œN, tels que

sup

xœ[a,b]|g_n0(x)≠g(x)|6 Á 2(b≠a). On considère les deux fonctionsÏet„définies sur[a, b]par

Ï=g_n0≠ Á

2(b≠a), „=g_n0+ Á 2(b≠a). Les fonctionsÏet„sont en escalier sur[a, b]et vérifientÏ6f 6„et

⁄ b

a „(x)dx≠

⁄ b

a Ï(x)dx= 2^{⁄ b}

a

Á

2(b≠a) =Á.

Donc, d’après la question1,gest intégrable sur[a, b].

3. La réponse à cette question repose sur la démonstration du résultat suivant, dans un cadre plus général.

Proposition :Soitf :]0,1]≠æRune fonction intégrable au sens de Riemann sur tout intervalle de la forme[a,1]oùa > 0. Sif est bornée sur]0,1]etf(0) = 0, alorsf : [0,1] ≠æ Rest intégrable au sens de Riemann.

Démonstration. SoitM >0tel que|f(x)|6M, pour toutxœ]0,1]. SoientÁ>0et‹ = min(_4M¹ Á,¹₂Á).

Commef est supposée intégrable sur l’intervalle[‹,1], il existe deux fonctions en escalierÏet„telles queÏ6f 6„sur[‹,1]avec

⁄ 1

‹ („(x)≠Ï(x))dx <Á/2.

Hamid EZZAHRAOUI 4 Département de Mathématiques,

Faculté des Sciences de Rabat

ProlongeonsÏet„sur[0,‹]en posantÏ(x) =≠Met„(x) =M sur[0,‹]. Alors, pour toutxœ[0,1], on aÏ(x)6f(x)6„(x). Il est clair que les fonctionsÏet„sont en escalier sur[0,1]et on a

⁄ ₁

0 („(x)≠Ï(x))dx6^{⁄ ‹}

0 (M+M)dx+^{⁄ 1}

‹ („(x)≠Ï(x))dx 62M‹+ 1

2Á 62M. 1

4MÁ+1 2Á

=Á

.

CommeÁ>0est arbitraire, d’après la question1, on en déduit quef est Riemann-intégrable.

Application : (Fonction ingérable non réglée) Soitf la fonction définie sur[0,1]par f(x) =

Y] [

sin(_x¹), six”= 0 0, six= 0.

On remarque que pour touta > 0, f est intégrable sur [a,1] et bornée sur]0,1]. Puisquef(0) = 0, d’après la proposition précédente,f est intégrable (au sens de Riemann) sur[0,1].

On montre quefest non réglée. On suppose par l’absurde quefest réglée. D’après la définition, il existe une fonction en escaliergtelle que|f(x)≠g(x)< ¹₂ pour toutx œ[0,1]. Donc, il existe une constante µœ]0,1[telle quegégale à une constantecpour toutxœ]0, µ[. Soit(an)nla suite de terme général

a_n= 1

fi2 +nfi.

La suite(an)nest à valeurs dans]0,1[et converge vers0. Donc, il existen₀ œNtel quea_nœ]0, µ[pour toutn>n₀. On a _Y

__ __ _] __ __ _[

|c≠1|=|g(a2n0)≠f(a2n0)|< 1 2 et

|c+ 1|=|g(a2n0+1)≠f(a2n0+1)|< 1 2 D’où,

2 =|(1≠c) + (c+ 1)|6|c≠1|+|c+ 1|< 1 2 +1

2 = 1, ce qui est absurde. Par conséquent,fn’est pas réglée.

-FIN DE LA PARTIE1-

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Faculté des Sciences de Rabat