253 – Utilisation de la notion de convexité en analyse.
2013 – 2014
Question.
Si K est un convexe fermé d’un espace de Hilbert et que pK désigne la projection surK, pourquoipK est 1-lipschitzienne ?
Réponse.
On a, pour tousw, w0 ∈K,
hpK(u)−u, pK(u)−wi ≤0 et hpK(v)−v, pK(v)−w0i ≤0.
En posantw:=pK(v) etw0 :=pK(u), on a
hpK(u)−u, pK(u)−pK(v)i ≤0 et hpK(v)−v, pK(v)−pK(u)i ≤0, d’où, en sommant ces deux relations,
hpK(u)−pK(v), pK(u)−u+v−pK(v)i ≤0.
On en déduit
kpK(u)−pK(v)k2≤ hu−v, pK(u)−pK(v)i ≤ kpK(u)−pK(v)kku−vk par Cauchy-Schwarz, d’où le résultat.
Question.
Soit E un espace vectoriel normé et soit f : E → R convexe majorée. f est-elle localement minorée ?
1
Réponse.
Soit B(a, r) une boule de E, on pose M := supB(a,r)f < +∞. Pour x ∈ B(a, r), on écritx=a+vaveckvk ≤1. Alorsa−v∈B(a, r), donc
f(a) =f
1
2(a−v) +1 2(a+v)
≤ 1
2f(a−v) +1
2f(a+v)≤M 2 +1
2f(x), doncf(x) est minorée surB(a, r).
Question.
Une fonction convexe minorée est-elle constante ?
Réponse.
Non :x7→x2.
Question.
Une fonctionf :R+→Rconvexe majorée est-elle décroissante ?
Réponse.
Oui : six < yetf(x)< f(y), alors la courbe def à droite deyest au dessus de la droite passant par (x, f(x)) et (y, f(y)), doncf n’est pas majorée.
Question.
Donner un exemple de fonction φ:R→Rnon convexe vérifiantφ x+y2
≤
φ(x)+φ(y)
2 pour tousx, y∈R.
Réponse.
On considèreRcomme unQ-espace vectoriel, il n’est pas de dimension finie.
On considère E1 := {q+√
2p | p, q ∈ Q}, sous-espace vectoriel de R. Pour x∈R, on écritx=q+√
2p+x2 avecx2 dans un complémentaire algébrique de E1 (l’axiome du choix est nécessaire ici) et on définit la forme linéaireφ(x) :=
p+√
2q+x2. Alorsφn’est pas continue en√
2. En effet, soit (qn) une suite de rationnels convergeant vers√
2, alorsφ(qn) =qn converge vers√
2, orφ(√ 2) = 2, doncφn’est pas continue. Doncφn’est pas convexe, orφ x+y2
= φ(x)+φ(y)2 carφest Q-linéaire.
2
