Tomographie du Manteau Supérieur par Inversion des Ondes de Surface

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Ondes de Surface

Gaël Burgos

To cite this version:

Gaël Burgos. Tomographie du Manteau Supérieur par Inversion des Ondes de Surface. Sciences de la Terre. Institut de Physique du Globe de Paris (IPGP), 2013. Français. �tel-03238018�

Équipe de Sismologie

Thèse de Doctorat

présentée par

Gaël BURGOS

pour l’obtention du Titre de

Docteur de l’Institut de Physique du Globe de Paris

Tomographie du Manteau Supérieur par Inversion des Ondes de Surface

Soutenue le vendredi 11 janvier 2013 devant le jury composé de :

M. Eric DEBAYLE . . . Rapporteur M. Antoine MOCQUET . . . Rapporteur Mme Éléonore STUTZMANN . . . Examinatrice M. Jeannot TRAMPERT . . . Examinateur M. Jean-Paul MONTAGNER . . . Directeur de thèse

Institut de Physique du Globe de Paris, Sorbonne Paris Cité; Ecole doctorale des Sciences de la Terre Équipe de Sismologie - 1 rue Jussieu, Paris, France

Les ondes de surface apportent, malgré leur faible résolution latérale, une contrainte indispensable pour la connaissance de la structure globale du manteau supérieur. Cette étude, basée sur des données d’ondes de surface, présente la construction d’un nouveau modèle tomographique anisotrope du manteau supérieur d’une part, d’un modèle isotrope simplifié d’autre part et les implications de ces résultats pour la limite Lithosphère/Asthénosphère (LAB).

Dans un premier temps, un nombre très important de données est collecté, elles sont assemblées et ré-gionalisées pour dériver des cartes de vitesse de phase et de groupe pour le mode fondamental des ondes de Rayleigh et de Love ainsi que leur dépendance azimutale (des cartes de vitesses de phase sont aussi obtenues pour les six premiers modes harmoniques). Dans un second temps, un modèle de croûte a posterioriest élaboré à partir de l’inversion Monte-Carlo des périodes les plus courtes des données, afin de prendre en compte l’effet des parties superficielles sur le manteau supérieur. À partir de ce modèle de croûte, une première inversion Monte-Carlo de la structure du manteau supérieur est réalisée dans une paramétrisation isotrope simplifiée, pour mettre en évidence l’influence des propriétés de la LAB sur les ondes de surface. Toujours à partir du modèle de croûte, une inversion par théorie des perturbations au premier ordre est conduite dans une paramétrisation complètement anisotrope pour construire un modèle tomographique 3-D du manteau supérieur (un modèle étendu à la zone de transition est également obtenu via l’utilisation des modes harmoniques).

Des estimations de la profondeur de la LAB sont effectuées à partir des modèles du manteau supérieur et comparées aux prédictions des modèles de refroidissement de la lithosphère océanique. Des simula-tions d’événements sismiques sont réalisées à l’aide de la méthode des éléments spectraux, pour valider la capacité du modèle tomographique anisotrope du manteau supérieur à reproduire des sismogrammes observés.

Mots-clés : sismologie, ondes de surface, tomographie globale, anisotropie sismique, manteau supérieur, limite Lithosphère/Asthénosphère.

Surface waves provide essential informations for the knowledge of the upper mantle global structure despite their low lateral resolution. This study, based on surface waves data, presents the development of a new anisotropic tomographic model of the upper mantle, a simplified isotropic model and the conse-quences of these results for the Lithosphere/Asthenosphere Boundary (LAB).

As a first step, a large number of data is collected, these data are merged and regionalized in order to derive maps of phase and group velocity for the fundamental mode of Rayleigh and Love waves and their azimuthal dependence (maps of phase velocity are also obtained for the first six overtones). As a second step, a crustal a posteriori model is developped from the Monte-Carlo inversion of the shorter periods of the dataset, in order to take into account the effect of the shallow layers on the upper mantle. With the crustal model, a first Monte-Carlo inversion for the upper mantle structure is realized in a sim-plified isotropic parametrization to highlight the influence of the LAB properties ont the surface waves data. Still using the crustal model, a first order perturbation theory inversion is performed in a fully

Estimates of the LAB depth are realized from the upper mantle models and compared with the predic-tions of oceanic lithosphere cooling models. Seismic events are simulated using the Spectral Element Method in order to validate the ability of the anisotropic tomographic model of the upper mantle to re-produce observed seismograms.

Keywords : seismology, surface waves, global tomography, seismic anisotropy, upper mantle, Litho-sphere/Asthenosphere boundary.

Je remercie en premier lieu Jean-Paul Montagner, mon directeur de thèse, de m’avoir fait confiance il y a maintenant plus de quatre ans pour travailler sur ce projet. Je le remercie pour sa disponibilité, nos discussions, ses conseils et sa grande culture scientifique.

Je remercie Éric Debayle et Antoine Mocquet, qui ont accepté de sacrifier une partie de leur temps pré-cieux pour rapporter ce mémoire de thèse.

Je remercie aussi Éléonore Stutzmann et Jeannot Trampert, pour avoir accepté de participer au jury de soutenance et de se déplacer jusqu’à Paris pour le dernier.

Je remercie Nikolai Shapiro et Anne Mangeney, directeurs successifs de l’Équipe de Sismologie de l’IPGP, de m’avoir accueilli au sein de cette équipe, d’abord dans des locaux presque imparfaits à Jussieu, puis dans des locaux presque parfaits à Cuvier.

Je remercie Laure Meynadier, directrice de l’école doctorale de l’IPGP, pour le cadre dans lequel ce tra-vail de thèse et une année d’enseignements passionnante ont pu être menés.

Je remercie les personnels administratifs de l’IPGP, en particulier Marie-Christine Roche, qui entre deux vieux livres et trois ordres de missions a toujours su me trouver un vol raisonnable trois semaines avant un congrès.

Je remercie les administrateurs informatiques successifs de l’équipe, Mathieu, Marianne et Nassim, pour avoir contribué aux soins palliatifs de Moorea, ma machine.

Je remercie Geneviève Moguilny pour avoir répondu à toutes mes interrogations quant au mouvement parfois brownien du cluster parallèle et pour sa science des minipages sous LA_TEX.

Je remercie particulièrement le petit groupe de l’ANR (à Paris ou à Nantes), Éric Beucler, Antoine Moc-quet, Olivier Verhoeven, Yann Capdeville et Mélanie Drilleau, qui a représenté pour moi la masse critique optimale pour progresser et comprendre.

J’ai aussi une pensée pour mes camarades de doctorat, Fred, Yoram, Lalo, Sébastien, Florian, Nolwenn, Cagil, Julien, Daniel, Laurent et les autres. J’y vois au moins deux futurs génies de la recherche et je souhaite la plus belle réussite à tous.

J’ai une autre pensée pour ceux d’avant, Val, Quitt, Tiphanie, Sophie et Nicolas. Merci de m’avoir sorti de la géophysique pour me hisser vers la physique et m’abaisser vers la biologie, merci pour les évasions à Strasbourg, merci pour n’être d’accord sur rien et merci d’avoir délaissé twitter de temps en temps.

Il y a ceux d’avant et ceux d’avant avant, Nolwenn, Louis, Alexis, Laurent et Quentin. Que dire de la meilleure spécialiste mondiale de l’hagiographie des Saints au moyen-âge, du plus grand journaliste de Paris, d’un homme capable de mettre au tapis un médaillé olympique de boxe, d’un autre capable d’affronter l’orage dans la nuit des Pyrénées ou encore de la réincarnation d’Oscar Niemeyer?

À toi, pour ta force cachée. À toi, pour ton courage. À toi, pour ta confiance. À toi, pour ta tendresse.

Résumé i Remerciements iii Introduction générale 1 1 Données 5 1.1 Ondes de surface . . . 7 1.2 Sismogrammes synthétiques . . . 10

1.3 Mesure de la dispersion de la vitesse de phase . . . 13

1.4 Mesure de la dispersion de la vitesse de groupe . . . 15

1.5 Présentation des catalogues de données . . . 16

1.6 Assemblage des catalogues . . . 18

1.6.1 Compatibilité a priori . . . 19

1.6.2 Compatibilité a posteriori . . . 20

1.7 Couverture . . . 22

2 Cartes de vitesses régionalisées 25 2.1 Méthode de régionalisation . . . 25

2.1.1 Problème direct . . . 26

2.1.2 Problème inverse . . . 27

2.1.3 Implémentation adaptée aux catalogues massifs . . . 29

2.1.4 Traitement statistique des erreurs . . . 30

2.2 Régionalisations synthétiques . . . 31

2.2.1 Prédiction d’hétérogénéités isotropes . . . 31

2.2.2 Prédiction des hétérogénéités anisotropes . . . 35

2.2.3 Estimation de la longueur de corrélation . . . 41

2.3 Résultats des dispersions des ondes de surface . . . 42

3 Modèle de croûte 53 3.1 Méthode d’inversion Monte-Carlo . . . 54

3.1.1 Différents types d’inversion Monte-Carlo . . . 55

3.1.2 Implémentation du problème inverse . . . 57

3.1.3 Implémentation du problème direct . . . 58

3.2 Inversions synthétiques . . . 59

3.3 Modèle a priori . . . 64

3.4 Résultats d’inversion . . . 65

4 Inversion statistique du manteau supérieur 71

4.1 Schéma d’inversion Monte-Carlo . . . 72

4.2 Inversions synthétiques . . . 74

4.3 Résultats d’inversion . . . 77

4.4 Incertitudes . . . 79

5 Inversion par théorie des perturbations du manteau supérieur 83 5.1 Paramétrisation anisotrope . . . 84

5.2 Problème direct . . . 88

5.3 Problème inverse . . . 92

5.4 Tests synthétiques . . . 93

5.5 Résultats d’inversion . . . 95

6 Modèle tomographique et géodynamique 101 6.1 Estimations de la limite lithosphère/asthénosphère . . . 102

6.1.1 LAB - vitesse des ondes SV . . . 103

6.1.2 LAB - anisotropie radiale . . . 105

6.1.3 LAB - anisotropie azimutale . . . 106

6.2 Comparaison avec l’âge des fonds océaniques . . . 108

7 Validation par simulation 3D 111

Conclusion 115

A Oceanic lithosphere/asthenosphere boundary from surface wave dispersion data 125 B Mantle Transition zone boundary layer as revealed from seismic anisotropy 145 C RegSEM: a versatile code based on the spectral element method to compute seismic wave

Le forage de Kola (1970-1989), le plus profond jamais réalisé, a permis d’observer les matériaux com-posant l’intérieur de la planète à une profondeur maximale de 12 km. L’essentiel de la Terre interne, à l’exception d’une partie très superficielle, reste donc opaque à la mesure "directe".

La sismologie propose des mesures "indirectes" basées sur l’enregistrement des mouvements du sol, ré-sultant de la propagation d’ondes générées à la suite de tremblements de Terre (ou de sources d’autre nature). Ces mesures sont à même d’apporter des informations sur l’ensemble de la structure en pro-fondeur de la Terre. À titre d’exemple, cette discipline a notamment permis la découverte du noyau liquide (Oldham, 1906), de la graine (Lehmann, 1936), et a fortement participé à l’affirmation de la tec-tonique des plaques grâce à la répartition des séismes aux frontières de plaque et à la découverte de la zone à faible vitesse.

Un des champs de la sismologie qui a connu une forte progression au cours des trois dernières décennies, la tomographie sismique, consiste en l’élaboration d’images instantanées des hétérogénéités latérales et verticales des paramètres élastiques. Ces images apportent des informations sur les propriétés (tem-pérature, composition) et les processus (mode de transport de la chaleur, transitions minéralogiques) physiques de la Terre interne.

Les méthodes de tomographie sismique diffèrent selon la partie du signal sismique utilisée et la for-mulation de l’équation d’onde employée. Il existe des tomographies des temps d’arrivées des ondes de volume (voir Clayton & Comer, 1983; Grand, 1994), des tomographies de la dispersion des ondes de sur-face (voir Nataf et al., 1986; Montagner & Tanimoto, 1991), des tomographies de formes d’ondes (voir Tanimoto, 1990; Li & Romanowicz, 1996) et plus récemment des tomographies à l’échelle régionale basées sur le champ adjoint (voir Tape et al., 2009; Zhu et al., 2012).

Globalement, les tomographies des temps d’arrivées des ondes de volume permettent d’obtenir une très bonne résolution mais le mode de propagation impose une couverture très hétérogène. À l’inverse, les ondes de surface échantillonnent la Terre de manière plus homogène mais souffrent d’une résolution plus faible. Les tomographies basées sur le champ adjoint utilisent une formulation de l’équation d’onde très complète, en comparaison avec les tomographies de formes d’ondes, mais présentent un coût calcul encore très élevé.

Parmi les différentes enveloppes accessibles par la tomographie sismique, le manteau supérieur présente un intéret particulier. Les grandes structures géologiques observées à la surface de la Terre sont associées aux hétérogénéités observées dans le manteau supérieur (les dorsales océaniques, les racines continen-tales, les zones de subduction, les points chauds, etc). Du point de vue rhéologique, le manteau supérieur est aussi le lieu du couplage entre la tectonique des plaques et la convection mantellique, entre lithos-phère et asthénoslithos-phère.

La notion de limite lithosphère/asthénosphère (LAB) est aujourd’hui très débattue, la lithosphère (évo-quée dans Barrell (1914) puis étendue dans Daly (1940)) est à l’origine un concept mécanique pour désigner la couche rigide externe de la Terre. Traduit dans le cadre de la tectonique des plaques, la lithosphère rigide est décomposée en un certain nombre de plaques séparées du manteau sous-jacent plus

déformable (asthénosphère) par la LAB.

Une définition thermique de la LAB est aussi utilisée : comme l’épaisseur de la couche limite séparant la partie convective du manteau de la lithosphère conductive. Il est ainsi possible de déterminer les vari-ations latérales de la LAB thermique à partir de mesures du flux de chaleur en surface (voir Jaupart et al., 1998; Artemieva, 2006).

Une définition électromagnétique est avancée : la LAB marquerait une diminution de la résistivité élec-trique entre des valeurs élevées pour la lithosphère et de faibles valeurs dans l’asthénosphère (voir Jones et al., 2001; Moorkamp et al., 2010).

Du point de vue sismique, la LAB serait tout d’abord associée à la transition entre les vitesses élevées de la LID1et la zone de faible vitesse sous-jacente. Les résultats obtenus sont fonction du type de données sismiques utilisées et des méthodes employées.

Ainsi, les études par fonction récepteur, basées sur les conversions de phase des ondes de volume aux discontinuités, montrent une sensibilité pour un saut de vitesse négatif, interprété comme la signature de la LAB (voir Rychert & Shearer, 2009; Kumar & Kawakatsu, 2011).

Les modèles tomographiques isotropes permettent une estimation de la LAB à partir des profils verticaux de la vitesse sismique (voir van der Lee, 2002; Fishwick, 2010).

L’inversion des données d’ondes de surface pour des modèles tomographiques anisotropes permet des estimations de la LAB croisées, via les vitesses mais aussi via les changements en anisotropie (radiale et azimutale) (voir Yuan et al., 2011).

L’objectif principal de cette thèse est l’étude du manteau supérieur par tomographie anisotrope des ondes de surface. L’utilisation des ondes de surface permet la construction d’un modèle global procédant d’un bon échantillonnage du manteau supérieur et la prise en compte d’une anisotropie générale (radiale et azimutale).

- Le premier chapitre est consacré à la collecte des données d’ondes de surface. Nous détaillons la nature des données, les différentes méthodes de mesure, la couverture obtenue et l’assemblage des données d’origines différentes.

- Le second chapitre décrit la régionalisation des données. La méthode d’inversion est présentée, ainsi que notre technique d’estimation des incertitudes. Avant de construire les cartes de vitesses associées à nos données, nous présentons une série de tests synthétiques déterminant les paramètres de la régionalisation.

- Le troisième chapitre est dédié à la prise en compte de l’effet des parties superficielles. Un modèle de croûte a posteriori est construit par inversion Monte-Carlo des courtes périodes des données. La méthode d’inversion et une série de tests synthétiques sont présentées avant les résultats associés aux incertitudes. Le modèle obtenu est comparé à quelques modèles antérieurs.

- Le quatrième chapitre est consacré à l’inversion statistique du manteau supérieur dans une paramé-trisation isotrope simplifiée. Des tests synthétiques exprimant la sensibilité des ondes de surface dans le cadre de cette paramétrisation sont présentés, suivis des résultats pour les données région-alisées.

- Le cinquième chapitre abordera l’inversion par perturbation au premier ordre des données pour la construction d’un modèle 3-D anisotrope du manteau supérieur. Nous détaillons les expressions analytiques des différentes formes d’anisotropie. La méthode d’inversion est présentée et illustrée au travers de tests synthétiques. Les résultats et incertitudes sont montrés pour tous les paramètres résolus.

- Le sixième chapitre est dédié à l’interprétation des modèles du manteau supérieur en terme de propriétés de LAB. Les profondeurs de LABs obtenues sont ensuite comparées avec l’âge des fonds océaniques.

1

- Le septième chapitre fait référence à l’article présenté en annexe C et présente le résultat des simulations par méthode des éléments spectraux dans notre modèle de manteau supérieur.

- En annexe A, est présenté un article en préparation reprenant l’ensemble de la procédure pour la LAB océanique.

- En annexe B, est présenté un article en préparation concernant l’inversion des modes harmoniques des données pour obtenir un modèle anisotrope de la zone de transition.

- En annexe C, est présenté un article publié, comprenant une collaboration sur la comparaison entre différents modèles via la méthode des éléments spectraux à l’échelle régionale.

Données

Ce travail de thèse propose l’étude de la structure globale du Manteau Supérieur de la Terre par tomogra-phie sismique des ondes de surface. Toute étude sismologique repose, par définition1_{, sur l’observation}

des mouvements du sol.

Dans la pratique, cette observation consiste en l’enregistrement du déplacement (de la vitesse du dé-placement ou de l’accélération du dédé-placement) du sol par un sismomètre sensible à une certaine gamme de fréquences. Si l’enregistrement des mouvements de la Terre est continu dans le temps, il est discret en espace et fonction de l’emplacement des stations sismiques qui sont réparties de manière très hétérogène à la surface du globe.

Lorsque l’on analyse un signal enregistré sur une période d’un an pour une station donnée, d’impor-tantes variations d’amplitude et de contenu fréquentiel sont constatées au cours du temps et à différentes échelles. Ces variations sont le produit des différentes sources sismiques rencontrées sur Terre, qu’elles soient d’origine humaine, liées aux marées, à l’action des vagues ou encore associées à l’activité vol-canique ou aux tremblements de Terre tectoniques. Le signal sismique somme toutes ces contributions qui intègrent l’effet spécifique de la source et l’effet de la propagation des ondes jusqu’à la station sis-mique.

La figure 1.1A présente un enregistrement brut de 6 heures sur lequel il est possible de distinguer deux formes principales. Un signal de faible amplitude, continu et semblant aléatoire d’une part : le bruit sismique. Et d’autre part, un signal de forte amplitude et ponctuel : l’événement sismique.

Le bruit sismique, s’il présente un caractère aléatoire dans le domaine temporel, présente dans le do-maine spectral une structure caractéristique, avec notamment des pics associés aux vagues océaniques. Le domaine d’étude du bruit sismique a connu dans la dernière décennie un développement important permettant l’analyse et la localisation des sources ainsi que des avancées dans la tomographie à haute fréquence.

L’événement sismique (figure 1.1B), en l’occurrence un tremblement de Terre, se caractérise par l’arrivée à la station d’une famille d’ondes sismiques. On peut distinguer ondes de volume, ondes de surface et Coda. Parmi les ondes de volume, la première arrivée est l’onde P (onde de compression-extension), la Terre étant généralement plus transparente au transport de variations de volume. La seconde arrivée est l’onde S (onde de cisaillement).

En fonction de la distance séparant l’épicentre de la station, différentes phases résultant des interactions avec les grandes discontinuités de l’intérieur de la Terre peuvent être observées : par exemple la phase PcP, une onde P réfléchie sur la limite manteau/noyau ou la phase SKS, une onde S ayant traversé le noyau externe.

1

Arrive ensuite une onde de surface, dont on peut distinguer le mode fondamental et les modes har-moniques (plus rapides). Dans l’exemple de la figure 1.1B il s’agit d’une onde de Rayleigh que l’on observe sur les composantes verticale et radiale. L’onde de Love s’observe quant à elle sur la com-posante transverse.

Les ondes de surface présentent une amplitude supérieure aux ondes de volume. L’énergie des ondes de volume décroît en 1/r2 à mesure que l’on s’éloigne de la source tandis que celle des ondes de surface décroît en 1/r. −8000 −4000 0 4000 8000 Counts Bruit sismique

Coda Bruit sismique

08:00 09:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 Heures −8000 −4000 0 4000 8000 Counts 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 Secondes Onde P Onde S Onde de Rayleigh

a

b

Figure 1.1: (a) Enregistrement brut de la composante verticale de la station sismique ECH du réseau GEOSCOPE au cours de la journée du 25/05/2010 présentant les différentes parties du sismogramme. (b) Agrandissement de l’enregistrement à partir du temps d’origine du séisme de la dorsale médio-Atlantique présentant les différents types d’ondes générées.

Le mode fondamental des ondes de surface (Rayleigh et Love) contient des informations sur la structure du manteau supérieur, celles contenues par les modes harmoniques s’étendent jusqu’à la zone de transi-tion. Ces données seront à la base de cette étude.

Nous présenterons tout d’abord la formulation analytique d’une onde de Love dans une configuration particulière pour illustrer les propriétés générales des ondes de surface.

Nous aborderons ensuite la construction de sismogrammes synthétiques nécessaires à la mesure des courbes de dispersion des ondes de surface, puis cette mesure en elle-même.

Enfin, nous présenterons les catalogues de données utilisées, la manière de les assembler, les compati-bilités a priori et a posteriori de ces séries de données ainsi que les couvertures géographiques.

1.1

Ondes de surface

Pour mettre en lumière les propriétés des ondes de surface, il est nécessaire de rappeler les lois consti-tutives de la sismologie : équation du mouvement, relation contrainte-déformation et équation d’onde. À partir de ces notions générales, nous présentons un cas simple d’expression analytique d’une onde de Love.

Ainsi, dans un référentiel fixe de coordonnées2xi, (i = 1, 2, 3), le tenseur des contraintes σij, les forces

volumiques fj, la masse volumique ρ et le déplacement uisont reliés selon l’équation du mouvement en

milieu élastique,

∂jσij + fi = ρ∂t∂tui (1.1)

Le tenseur des contraintes σij et le tenseur des déformations ij sont reliés par le tenseur élastique Cijkl

selon la loi de Hooke généralisée,

σij = Cijklkl (1.2)

Dans le cas isotrope (cf. Chapitre 5), la loi de Hooke (éq. 1.2) s’écrit avec les coefficients de Lamé λ et µ,

σij = λδijkk+ 2µij (1.3)

L’équation du mouvement (éq. 1.1) en milieu élastique isotrope peut ainsi s’écrire,

(λ + µ)∂i∂juj+ µ∂j∂jui+ fi= ρ∂t∂tui (1.4)

En appliquant le théorème d’HelmHoltz et une condition de jauge ∂iψi = 0, le déplacement est

décom-posé en la somme d’un potentiel scalaire φ et d’un potentiel vecteur ψ,

ui = ∂iφ + εijk∂jψk (1.5)

L’équation du mouvement isotrope (éq. 1.4) peut donc s’écrire en fonction des potentiels (éq. 1.5), ∂i∂iφ =

ρ

λ + 2µ∂t∂tφ, ∂j∂jψi = ρ

µ∂t∂tψi (1.6)

Les potentiels sont donc chacun solution d’une équation d’onde. Avec α2 = (λ + 2µ)/ρ et β2 = µ/ρ les vitesses respectives d’onde P et d’onde S, on retrouve l’expression de la propagation d’une perturbation dilatation-compression et l’expression de la propagation d’un cisaillement.

Pour introduire analytiquement la notion d’onde de surface, nous présentons le cas, à partir d’ondes SH, d’une onde de Love. Ceci en milieu isotrope, composé d’une couche supérieure homogène et d’un demi-espace infini homogène (la figure 1.2Aen illustre une configuration possible).

Le milieu comprend une couche supérieure d’épaisseur H. Les rigidités µc et µi, les densités ρcet ρi,

les vitesses d’onde S βcet βi sont définies respectivement pour la couche et pour le demi-espace infini.

Posons βi > βcpour simplifier le cas.

On utilise une forme d’onde plane SH, c’est-à-dire une onde S se propageant dans le plan (x1x3) avec

un déplacement selon l’axe x2, de nombre d’onde k, de vitesse de phase c avec la pulsation ω = kc

u(x1, x2, x3, t) = v(x3) exp [i (ωt − kx1)] e2 (1.7)

2_{Les différentes relations sont exprimées en notation indicielle et respectent la convention de sommation d’Einstein, avec le} symbole de Kronecker δijet le symbole de Levi-Civita εijk.

Le déplacement satisfait les équations d’ondes suivantes dans les deux milieux : ∂2u2 ∂t2 = µc ρc  ∂2_u 2 ∂x2₁ + ∂2u2 ∂x2₃  dans la couche 0 ≤ x3 < H ∂2u2 ∂t2 = µi ρi  ∂2_u 2 ∂x2₁ + ∂2u2 ∂x2₃  dans la couche x3 ≥ H (1.8)

Après injection de la forme en onde plane du déplacement (éq. 1.2) dans chaque couche (éq. 1.8), il vient : d2 dx2₃v(x3) + γcv(x3) = 0 avec γc= ω 2 1 β2 c − 1 c2  dans la couche 0 ≤ x3 < H d2 dx2₃v(x3) + γiv(x3) = 0 avec γi = ω 2 1 β_i2 − 1 c2  dans la couche x3 ≥ H (1.9)

Le signe de γ conditionne la nature de l’onde se propageant dans chaque couche.

Lorsque c ≥ βi, la condition de déplacement nul en x3 → ∞ et les conditions de continuité entre les

deux couches imposent un déplacement nul dans les deux couches, donc une absence d’onde de Love. Lorsque βc < c < βi, γcest positif et présente une forme en somme de sinus et cosinus avec la racine

νc = ωp1/βc2− 1/c2 tandis que γcest négatif et présente une forme en somme d’exponentielle avec

la racine νi = ωp1/c2− 1/βi, le déplacement se décompose comme :

u2(x3) = (Aupcos(νcx3) + Adownsin(νcx3)) exp[i(ωt − kx1)], 0 ≤ x3 < H

u2(x3) = Bupeνix3 + Bdowne−νix3
exp[i(ωt − kx1)], x3≥ H (1.10)

La condition de déplacement nul lorsque x3 → ∞ impose Bup = 0; la condition de surface libre

σ23= 0 impose ∂v/∂x3 = 0 en x3 = 0 donc Adown = 0; les conditions de continuité du déplacement

pour x3= H et de continuité de la contrainte σ23= µ∂u2/∂x3en x3 = H entraînent :

Aupcos(νcH) − Bupe−νiH = 0

µcνcAupsin(νcH) − µiνiBupe−νiH = 0 (1.11)

Pour obtenir des solutions non nulles, le déterminant du système précédent (éq. 1.11) doit être nul, ce qui impose :

tan(νcH) =

µiνi

µcνc

(1.12) Lorsque 0 < c < βc, γ est négatif dans les deux couches, ce qui implique la forme des racines

νc = ωp1/c2− 1/βc et νi = ωp1/c2− 1/βi, cela mène au même résultat que précédemment

(1.16) sauf que les termes sont de signes opposés, ainsi il n’y a pas non plus d’onde de Love pour une vitesse de phase inférieure à βc.

Donc, pour qu’une onde de Love existe dans ce milieu, sa vitesse de phase doit satisfaire (éq. 1.12) :

tan  ωH s 1 βc 2 − 1 c2   = µi s 1 c2 − 1 β₂2 µc s 1 β2 c − 1 c2 (1.13)

Le sens physique de cette solution peut-être envisagé de manière graphique, comme l’intersection d’un terme périodique et d’un terme non périodique. Il apparaît alors plusieurs valeurs discrètes de la vitesse de phase pour une fréquence donnée ω. Chaque solution possible correspond à un mode, à commencer par le mode fondamental; il existe donc des nombres d’onde discrets k = kn(ω) avec n entier. Ainsi la

vitesse de phase est, elle aussi, fonction de la fréquence pour un mode n donné et s’écrit cn= ω/kn. Les

ondes de surface sont donc des ondes dispersives (de relation de dispersion cn(ω)).

x₁ x₃ H = 25 km ρc = 2.8 g.m−3, βc = 3.0 km.s−1 ρi = 3.2 g.m−3, βi = 5.0 km.s−1 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 Vitesse (km.s −1 ) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 fréquence (Hz) 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 Vitesse (km.s −1 ) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 fréquence (Hz) βi βc

a

b

c

Figure 1.2: (b) Dispersion de la vitesse de phase (bleu) et de la vitesse de groupe (violet) pour un modèle (a) contenant une couche d’épaisseur 25km, de vitesse d’onde S de 3km/s et surplombant un milieu infini de vitesse d’onde S de 5km/s. (c) Dispersion de la vitesse de phase pour le même modèle mais représenté pour le mode fondamental (bleu) et les trois premiers modes harmoniques (respectivement vert, violet et orange).

La figure 1.2A présente un exemple synthétique décrivant très sommairement une croûte séparée d’un manteau infini par le Moho, dans la configuration d’un milieu à deux couches avec H = 25 km, βc= 3

km.s−1, βi= 5 km.s−1, ρc= 2800 kg.m−3 et ρi= 3200 kg.m−3.

La figure 1.2B présente quant à elle la courbe de dispersion de la vitesse de phase, représentative du milieu donné, ainsi que la courbe de dispersion de la vitesse de groupe.

Si la vitesse de phase (c = ω/k) correspond à la vitesse de propagation d’une seule phase associée à une fréquence, la vitesse de groupe (u = dω/dk) peut être définie comme la vitesse de propagation de l’énergie, ou autrement dit comme la vitesse du paquet d’ondes associé à cette fréquence.

On peut établir la relation avec la vitesse de phase :

u = c + kdc

dk (1.14)

la figure 1.2C. À partir du mode fondamental (n = 0), les modes harmoniques (n > 0) présentent des vitesses de phase croissantes et contiennent de moins en moins de longues périodes.

1.2

Sismogrammes synthétiques

Les données sismiques utilisées dans cette étude sont des courbes de dispersion d’onde de surface : elles représentent la variation d’une vitesse de phase ou de groupe selon la fréquence et pour un trajet géo-graphique donné. Ces courbes de dispersion sont le résultat d’une mesure effectuée sur le sismogramme qui constitue la donnée brute de l’observation sismologique.

Toutes les méthodes de mesure de courbe de dispersion utilisées de nos jours nécessitent une étape de comparaison entre le sismogramme observé et un sismogramme synthétique. Nous présentons dans cette partie quelques grandes lignes concernant la construction du sismogramme synthétique, qui est nécessaire à la mesure des courbes de dispersion. Les sismogrammes synthétiques sont aussi un outil de comparaison des modèles tomographiques suivant leur capacité à reproduire les données brutes ob-servées.

Une première méthode de calcul de sismogramme synthétique, très utilisée (en particulier dans la mesure de courbe de dispersion), est basée sur la sommation de modes propres. La Terre est un objet physique-ment fini, borné par une surface libre, qui sous l’effet d’une excitation va présenter des modes de vibra-tions élémentaires : les modes propres.

La théorie des modes propres, ou oscillations libres de la Terre, a été notamment décrite dans Dahlen (1968) et Takeuchi & Saito (1972).

Il est démontré que dans une Terre sphérique, élastique, éventuellement transverse anisotrope et sans rotation (telle que décrite par le modèle PREM, par exemple) les fréquences propres nωl solutions de

l’équation de l’élasto-dynamique dépendent de deux nombres entiers : l’ordre radial n et l’ordre angu-laire l. Ces dernières sont associées aux fonctions propresnUl,nVletnWldans une paramétrisation en

harmoniques sphériques3Y_lm(θ, φ). Le déplacement s’exprime comme,

nul(r) =nUl(r)Ylm(θ, φ) +nVl(r)∇Ylm(θ, φ) +nWler∧ ∇Ylm(θ, φ) (1.15)

Ces nombres entiers peuvent être vus de manière intuitive comme les noeuds de vibrations des modes, c’est-à-dire l’annulation des fonctions propres. Donc l’ordre radial n indique le nombre de noeuds radiaux, et l’ordre angulaire le nombre de noeuds en latitude/longitude.

La paramétrisation en harmonique sphérique introduit deux classes différentes de modes.

Les modes sphéroïdaux pour lesquels le terme du déplacement en rotationnel s’annule : ils sont ainsi représentés par les seules fonctions propresnUl,nVl.

Les modes toroïdaux pour lesquels les termes du déplacement radial et de la divergence du déplacement s’annulent : ils sont ainsi représentés par la fonction proprenWl.

Il est également possible de calculer les dérivées partielles de la vitesse de phase par rapport aux paramè-tres élastiques d’un modèle à l’aide des fonctions propres de vibrations.

La figure 1.3 représente les fréquences propres des modes sphéroïdaux et toroïdaux calculées pour le modèle PREM. On note la distribution en branches de dispersion : la branche fondamentale (d’ordre n = 0) correspondant aux fréquences les plus faibles, les ordres supérieurs (d’ordre n > 0) apparaissant à mesure de l’augmentation des fréquences. Les modes sphéroïdaux présentent une distribution plus com-pliquée due notamment à la présence des ondes de Stoneley (à l’interface manteau/noyau par exemple) qui perturbent les branches de dispersion.

Les figures 1.4 et 1.5 présentent, quant à elles, les fonctions propres des modes sphéroïdaux et toroïdaux

3

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 Fréquence (Hz) 0 50 100 150 200 250 Ordre angulaire 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0 50 100 150 200 250 Ordre angulaire

a

b

Figure 1.3: Fréquences propres sphéroidales (a) et toroidales (b) du modèle PREM, calculées avec une version modifiée de MINOS (Woodhouse, 1998).

calculées pour le modèle PREM. On constate que le déplacement affecte des profondeurs de plus en plus importantes à mesure que l’ordre radial n augmente.

Ces fonctions propres associées aux fréquences propres constituent donc une base complète de fonctions orthogonales qui permet de décomposer tout type de déplacement.

0 100 200 300 400 500 Profondeur (km) 0 5 10 −10 −5 0 5 −5 0 5 0 100 200 300 400 500 Profondeur (km) −5 0 5 −5 0 5 −5 0 5 0S? 1S? 2S? 3S? 4S? 5S?

Figure 1.4: Fonctions propres sphéroïdales (u) pour le mode fondamental et jusqu’au mode harmonique 5 du modèle PREM. Plusieurs branches sont représentées sur chaque graphe pour les périodes 35s, 42.5s, 50s, 75s et 100s. La première branche (35s) est marquée (triangle).

Dans une description propagatrice des ondes, les ondes de surface peuvent être définies comme le résul-tat d’interférences constructives entre différentes ondes de volume multiplement réfléchies, converties et réfractées à la surface libre. Les ondes de Rayleigh résultent d’interférences d’ondes P et SV et les

0 100 200 300 400 500 Profondeur (km) 0 5 10 −5 0 5 10 −5 0 5 0 100 200 300 400 500 Profondeur (km) −5 0 5 −5 0 5 −5 0 5 0T? 1T? 2T? 3T? 4T? 5T?

Figure 1.5: Fonctions propres toroïdales (W) pour le mode fondamental et jusqu’au mode harmonique 5 du modèle PREM. Plusieurs branches sont représentées sur chaque graphe pour les périodes 35s, 42.5s, 50s, 75s et 100s. La première branche (35s) est marquée (triangle).

ondes de Love d’interférences d’ondes SH. Ces trains d’ondes de surface font et refont le tour de la Terre jusqu’à interférer et développer des propriétés d’ondes stationnaires. C’est ainsi que l’on peut décom-poser l’onde de Rayleigh sur la base des modes sphéroïdaux (couplage P-SV) et l’onde de Love sur la base des modes toroïdaux (SH). Et donc identifier les courbes de dispersion des ondes de surface avec les branches des ordres radiaux des modes propres.

Pour construire un sismogramme synthétique à partir de cette base de modes de vibration, il est nécessaire d’introduire un terme source qui décrive l’excitation relative des différents modes propres de la Terre. La source est considérée comme ponctuelle en espace; ainsi le terme source est fonction du tenseur de second ordre des moments sismiques. Dans la pratique, nous utilisons la solution inversée du tenseur des moments centroïdes correspondant à l’événement considéré. Ce terme source prend ensuite la forme de coefficients d’excitation pour chaque mode. Ces coefficients sont projetés à l’emplacement de la station où ils sont sommés pour former le sismogramme synthétique. Pour obtenir une comparaison réaliste, il faut encore convoluer le sismogramme synthétique par la réponse instrumentale de la station, qui est fonction du type de sismomètre en présence. La théorie de sommation des modes propres est notamment décrite dans Aki & Richards (1980).

La seconde méthode de calcul de sismogramme synthétique présentée est la méthode des éléments spec-traux. Parmi les nombreuses méthodes numériques capables de résoudre l’équation d’onde en milieu complexe et sans faire d’hypothèse sur les hétérogénéités rencontrées (différences finies, éléments fi-nis, méthodes intégrales, méthodes spectrales, . . . ), la méthode des éléments spectraux a connu un développement très important dans la dernière décennie (à l’échelle globale puis locale) (voir Chaljub, 2000; Capdeville et al., 2003; Komatitsch et al., 2004; Cupillard et al., 2012). Et ce, notamment grâce à une très faible dispersion numérique et des temps de calculs raisonnables.

Il s’agit d’une méthode numérique de type éléments finis, c’est-à-dire basée sur une formulation varia-tionnelle des équations (versions intégrales des équations de l’élasto-dynamique), qui permet de modé-liser l’ensemble du champ d’onde. La particularité des éléments spectraux réside dans l’approximation spatiale et l’utilisation de bases polynomiales d’ordre élevé. Ce type de discrétisation spatiale permet, dans le cas de l’élasto-dynamique, une meilleure précision et l’utilisation d’un schéma explicite en temps et donc une possibilité de parallélisation naturelle. De plus, les effets de la rotation de la Terre, de la grav-ité, d’atténuation et des océans sont pris en compte dans les méthodes d’éléments spectraux.

Figure 1.6: Modélisation par la méthode des éléments spectraux (méthode couplée) de la propagation du champ d’onde dans une Terre homogène à partir d’une source explosive. Représentation de la com-posante verticale du déplacement. Snapshots aux temps (a) t = 600s, (b) t = 1264s et (c) t = 1551s. Figure de Capdeville et al. (2003)

La figure 1.6 représente des images instantanées de la modélisation du champ d’onde émis par une source explosive. Outre les différentes phases des ondes de volume, on note sur les figures 1.6 B et 1.6 C l’amplitude importante de la phase X correspondant à un ensemble d’harmoniques de l’onde de Rayleigh, résultat des interférences d’ondes de volume à la surface libre.

Malgré l’amélioration du temps de calcul, la construction des dérivées de Fréchet, nécessaires à la procé-dure tomographique, reste trop coûteuse. Aujourd’hui, l’étape de calcul des dérivées de Fréchet est contournée par l’utilisation de la rétro-propagation du champ adjoint (voir Tromp et al., 2005) et permet des études d’imageries sismiques des structures très hétérogènes de la Terre, comme la croûte terrestre (voir Tape et al., 2009).

Dans cette étude, la construction de sismogrammes synthétiques par la méthode des éléments spectraux sera utilisée a posteriori, dans une optique de validation du modèle tomographique développé à partir des mesures de courbes de dispersion.

1.3

Mesure de la dispersion de la vitesse de phase

L’intérêt de cette étape est d’obtenir les valeurs de la vitesse de phase dans une large bande de fréquences. Cela, à partir d’une onde de surface contenue dans un sismogramme enregistré à l’emplacement d’une station sismique.

La courbe de dispersion de la vitesse de phase obtenue intègre les variations des paramètres élastiques de la Terre rencontrés lors de la propagation de l’onde de surface concernée.

Il existe de nombreuses méthodes de mesure de la dispersion telles que les analyses en nombre d’ondes, les analyses par paires de stations, ou les analyses par inversion de forme d’ondes. Toutes ces techniques sont basées sur la comparaison entre le sismogramme observé et un sismogramme synthétique (souvent calculé par sommation de modes propres).

: la méthode d’ajustement de phase par filtrage progressif, la méthode Roller-Coaster et l’approche par l’espace des modèles.

La méthode d’ajustement de phase par filtrage progressif (Ekström et al., 1997) propose un algo-rithme de minimisation de l’écart entre un sismogramme synthétique et le sismogramme réel, permettant ainsi la mesure de la dispersion des ondes de surface. Le sismogramme synthétique de départ est calculé à partir des caractéristiques du séisme à l’origine du sismogramme réel. La fonction coût est minimisée pour des gammes de fréquences progressives : des longues périodes aux courtes périodes. Ce schéma per-mettrait une meilleure prise en compte du mode fondamental, non perturbé par les modes harmoniques (qui possèdent un contenu plus haute fréquence).

Figure 1.7: Exemple de mesure de vitesse de phase. Schéma de la méthode d’ajustement de la phase par filtrage progressif. (a) Illustration du filtrage progressif correspondant aux ajustements successifs du sismogramme synthétique sur le sismogramme observé. (b) Courbe de dispersion et amplitude obtenues par rapport au modèle de départ. Figure extraite de Ekström et al. (1997).

La figure 1.7 A présente un exemple de filtrage progressif et d’ajustement du sismogramme synthétique qui reproduit le mode fondamental. La figure 1.7 B représente la courbe de dispersion mesurée ainsi que celle du modèle initial.

Cette méthode permet la mesure du mode fondamental en s’affranchissant des modes harmoniques. Un inconvénient de cette analyse repose sur la dépendance au modèle initial, la technique de mesure ne per-mettant pas de s’éloigner du modèle a priori et conditionnant les types de dispersion obtenus selon les caractéristiques propres au modèle de départ.

De plus, l’estimation des erreurs est effectuée empiriquement par la corrélation des mesures réalisées qui présentent des trajets similaires. Cette incertitude est largement sous-évaluée car elle ne tient pas compte des effets systématiques affectant l’ensemble des mesures (comme la dépendance au modèle de départ) et souffre de la distribution géographique des trajets.

La méthode Roller-Coaster4 (Beucler et al., 2003) se propose de mesurer la dispersion de la vitesse de phase, à la fois du mode fondamental et des modes harmoniques (les 6 premiers). Cette méthode contient aussi une première exploration à grande échelle, permettant de détecter plusieurs minima dans l’espace des modèles et d’éviter ainsi une trop grande dépendance au modèle initial. L’algorithme de minimisation moindres carrés utilisé permet de calculer la covariance des données a posteriori, ce qui permet une détermination plus fiable de l’incertitude réelle sur la mesure de la dispersion de la vitesse de phase.

Le schéma d’inversion se divise en plusieurs étapes : la séparation du mode fondamental et des modes harmoniques dans des fenêtres temporelles différentes, le regroupement de séismes similaires enregi-strés à la même station (pour réduire la sous-détermination de l’inversion des modes harmoniques), l’exploration globale de l’espace des modèles pour trouver les différentes solutions de départ, la phase d’inversion consistant en l’optimisation locale de la fonction coût via un algorithme de type moindres-carrés (cette phase est répétée à partir d’une autre solution de départ si des sautes dans le déroulement de la phase sont observés), le calcul des erreurs basé sur la covariance a posteriori.

Cette technique présente l’avantage de mesurer simultanément le mode fondamental et les modes har-moniques, d’éviter de rester bloqué dans un minimum secondaire trop proche du modèle de départ et un calcul précis des incertitudes. Cependant, les limites de cette méthode résident dans le caractère semi-automatique de la procédure (qui nécessite une phase manuelle de séparation temporelle des modes), et dans le regroupement de séismes qui intègre sur le même trajet des quantités différentes et limite la distribution géographique des mesures.

La méthode de l’approche par l’espace des modèles (Visser et al., 2008) est une technique d’inversion de forme d’onde basée sur un problème direct plus large : le sismogramme réel est inversé pour obtenir le modèle de Terre 1-D correspondant. L’inversion en elle-même repose sur l’algorithme de voisinage (Sambridge, 1999a,b) de la famille des méthodes de Monte-Carlo. Cette approche permet de sélectionner un ensemble de modèles solutions et d’établir, via l’analyse statistique, une mesure de la dispersion de la vitesse de phase et des incertitudes associées.

Le processus nécessite tout d’abord le calcul d’un modèle de référence à partir d’une technique d’inver-sion de forme d’onde. Le modèle de référence 1-D de vitesse d’onde S est utilisé pour le calcul des dérivées de Fréchet. Celles-ci permettront la construction des sismogrammes synthétiques corre-spondant aux perturbations du modèle de référence lors de l’échantillonnage de l’espace des modèles. L’algorithme de voisinage va minimiser une fonction coût entre les deux sismogrammes dans différentes fenêtres de fréquences et de temps (basées sur des valeurs de vitesses de groupe), permettant ainsi de séparer mode fondamental et modes harmoniques. L’ensemble des modèles échantillonnés permet l’extraction de distributions de la vitesse de phase pour chaque mode et chaque fréquence. La mesure et l’incertitude de la dispersion de la vitesse de phase sont alors définies comme moyenne et écart-type de ces distributions.

Cette méthode présente l’avantage de mesurer mode fondamental et modes harmoniques de manière complètement automatique et ce, pour un trajet unique sans nécessité de regroupement de séismes ou de stations. De plus, cette méthode repose sur l’échantillonnage de modèle de Terre 1-D ce qui apporte un sens physique à la marche de minimisation par Monte-Carlo. Mais elle présente une très forte dépen-dance au modèle de référence (dans la ré-utilisation à chaque itération des mêmes dérivées de Fréchet) et au modèle PREM, utilisé pour borner l’espace des modèles lors de la recherche par l’algorithme de voisinage.

4

1.4

Mesure de la dispersion de la vitesse de groupe

La méthode de mesure de la dispersion de la vitesse de groupe la plus répandue est l’analyse temps/fré-quence (FTAN), dans notre cas la version proposée par Levshin et al. (1989). Cette technique repose sur la décomposition du sismogramme dans l’espace temps/fréquence et cela, de manière à distribuer les temps d’arrivée des différents paquets d’énergie selon les fréquences en présence. Cette méthode permet de séparer le signal recherché (le mode fondamental de l’onde de surface) des différentes sources de bruits présentes dans l’enregistrement sismique, telles que les modes harmoniques, les ondes diffractées, etc . . .

Dans la pratique, une série de filtres gaussiens est appliquée au signal analytique (en domaine de Fourier), rendant possible la construction d’une fonction temps/fréquence. Chaque fonction filtrée est ensuite repassée en domaine temporel pour établir des diagrammes 2-D, de l’enveloppe de la fonction et de la phase de la fonction. La dispersion de la vitesse de groupe sera mesurée sur le diagramme de l’enveloppe tandis que celle de la vitesse de phase pourra l’être sur le diagramme de la phase. Pour cela, le diagramme temps/fréquence est converti en diagramme vitesse de groupe/période, sur lequel il est possible de suivre un maximum correspondant à la courbe de dispersion.

Figure 1.8: Exemple de mesure de vitesse de groupe. Schéma de la méthode FTAN d’analyse temps/fréquence. (a) Sismogrammes observés brut et filtré. (b) Diagramme de détermination de la vitesse de groupe : la courbe blanche représente la meilleure solution. Figure de Yanovskaya et al. (2003).

Plusieurs étapes de traitement de l’image permettent d’obtenir un diagramme explicite pour le mode fondamental, comme représenté sur la figure 1.7 C. Dans cet exemple, le bruit correspondant aux modes harmoniques (caractérisés par des vitesses de groupe plus importantes à courtes périodes) a été blanchi. L’analyse temps/fréquence permet une détermination de la dispersion de la vitesse de groupe du mode fondamental suivant des techniques plus ou moins automatisées. La mesure de la vitesse, en tant que telle, reste très cohérente dans une gamme de périodes raisonnable mais l’estimation des incertitudes est très difficile et souvent réduite à des critères empiriques de qualité déterminés visuellement.

1.5

Présentation des catalogues de données

Les différentes techniques de tomographie sismique se distinguent selon le type de données utilisées et selon le type de théorie de propagation des ondes. De très nombreux travaux ont déjà été menés en tomographie d’onde de volume, en tomographie d’onde de surface, en tomographie de forme d’ondes et depuis peu en tomographie adjointe. L’objectif principal de cette thèse est l’étude de manteau supérieur

et plus particulièrement de l’anisotropie du manteau supérieur.

Les données d’ondes de surface ont pour propriété de se propager le long de la surface, apportant ainsi des informations uniques pour les régions océaniques dépourvues de stations. Elles possèdent aussi la propriété d’être stationnaires en profondeur et présentent donc une sensibilité concentrée dans le man-teau supérieur pour le mode fondamental, et jusqu’à la zone de transition et le haut du manman-teau supérieur pour les modes harmoniques.

L’utilisation conjointe de la dispersion des ondes de Rayleigh et des ondes de Love, principalement sensibles à la vitesse des ondes SV et SH (respectivement), permet de mettre en évidence la présence d’anisotropie radiale. Les dispersions de la vitesse de groupe présentent généralement une sensibilité plus superficielle, notamment grâce à des mesures fiables pour les courtes périodes. Ainsi, leur uti-lisation conjointe avec les dispersions de vitesse de phase permet une meilleure prise en compte des structures superficielles très hétérogènes composant la croûte terrestre et de la transition avec le manteau supérieur.

Onde de Rayleigh Onde de Love

Catalogues Mode ∆T (s) NP ∆T (s) NP IPGP 0 44 - 315 9292 - -" -" 1 46 - 315 1700 - -" -" 2 46 - 215 1835 - -" -" 3 46 - 124 1833 - -" -" 4 46 - 83 1822 - -" -" 5 46 - 65 1691 - -UTRECHT 0 35 - 175 63628 35 - 176 45179 " " 1 35 - 172 51666 35 - 176 34465 " " 2 35 - 149 50159 35 - 115 31369 " " 3 35 - 87 46649 35 - 78 23887 " " 4 35 - 61 38901 35 - 62 14960 " " 5 35 - 56 30327 35 - 56 8457 " " 6 35 - 50 20731 - -HARVARD 0 35 - 150 37738 35 - 150 23227 BOULDER 0 16 - 200 76580 16 - 150 47021

Table 1.1: Propriétés des catalogues de chaque groupe incluant type de données, numéro de mode, intervalle de période ∆T et nombre de trajet NP.

Une très grande quantité de données de dispersion a été collectée pour permettre la construction d’un modèle tomographique le plus précis possible. Ces mesures proviennent de réseaux permanents et tem-poraires et sont basées sur le traitement de tremblements de Terre enregistrés au cours des 20 dernières années.

Les données de dispersion de vitesse de phase proviennent des mesures effectuées par trois groupes de recherche différents : l’université d’Harvard, l’université d’Utrecht et l’Institut de Physique du Globe de Paris (IPGP). Avec, respectivement, des données mesurées selon la méthode d’ajustement de la phase par filtrage progressif (Ekström et al., 1997), des données mesurées suivant l’approche par l’espace des modèles (Visser et al., 2008) et des données mesurées avec la méthode Roller-Coaster (Beucler et al.,

2003).

Les données de dispersion de vitesse de groupe proviennent d’un unique groupe de recherche, l’université du Colorado à Boulder. Les données sont mesurées à l’aide de la méthode temps/fréquence (FTAN) (Ritzwoller & Levshin, 1998).

Les propriétés des différentes bases de données sont détaillées dans le Tableau TAB1.1. On note la sur-représentation des dispersions de la vitesse de phase mesurées par le groupe UTRECHT(à la fois pour le mode fondamental et les modes harmoniques), comparée notamment à la quantité relativement faible des dispersions du groupe IPGP. Ce rapport est en partie trompeur dans le sens où les données proposées par ce dernier correspondent, au minimum, à cinq fois plus de trajets (regroupement de séismes). Les figures 1.9 et 1.10 illustrent l’amplitude des données du mode fondamental pour certaines périodes en fonction de la distance épicentrale. On note, dans le cas des dispersions de la vitesse de phase, différentes largeurs de fenêtre de distance épicentrale.

3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 Vitesse (km/s) 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 Vitesse (km/s) 0 5000 10000 15000 20000 Distance Epicentrale (km) 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 0 5000 10000 15000 20000 Distance Epicentrale (km) CR 100s CL 100s C_R 50s C_L 50s

Figure 1.9: Distributions des données brutes de la vitesse de phase des ondes de Rayleigh aux périodes 50s et 100s et des ondes de Love aux périodes 50s et 100s, en fonction la distance épicentrale. Sont représentés les catalogues UTRECHT(bleu), HARVARD(violet) et IPGP (vert).

Comme nous l’avons vu précédemment, la type de technique utilisée autorise ou n’autorise pas les mesures à courte distance épicentrale (plus bruitées), ou à très longue distance épicentrale (présentant de faibles contrastes d’amplitude). Par exemple, les données des ondes de Rayleigh issues du groupe IPGP commencent à des distances épicentrales supérieures à 6500 km tandis que les deux autres groupes montrent des données commençant à 2500 km (figure 1.9). Si le groupe Harvard mesure la dispersion des vitesses de phase d’onde de Love selon la même condition en distance épicentrale, le groupe Utrecht autorise quant à lui des mesures à très courte distance de l’ordre de 650 km.

De même dans le cas de la vitesse de groupe qui présente, pour les courtes périodes, des données mesurées sur des trajets inférieurs à 100 km (figure 1.10).

Pour donner une idée d’ensemble de la taille du catalogue brut, on relève 289 979 mesures indépendantes de mode fondamental à la période de 50s.

3.6 3.8 4.0 Vitesse (km/s) 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 Vitesse (km/s) 0 5000 10000 15000 20000 Distance Epicentrale (km) 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 0 5000 10000 15000 20000 Distance Epicentrale (km) UR 100s UL 100s U_R 50s U_L 50s

Figure 1.10: Distributions des données brutes de la vitesse de groupe des ondes de Rayleigh aux périodes 50s et 100s et des ondes de Love aux périodes 50s et 100s, en fonction de la distance épicentrale. Le seul catalogue BOULDERest représenté.

1.6

Assemblage des catalogues

La construction d’un modèle tomographique 3-D (r, θ, φ) nécessite une étape lors de laquelle les in-formations portées le long des différents trajets sont converties en inin-formations locales et régulières dans la zone d’étude géographique choisie. Cette étape demande impérativement la prise en compte de l’ensemble des trajets et ne peut s’effectuer en plusieurs parties, qui seraient associées aux différents catalogues de données.

Ainsi, il est nécessaire de regrouper les catalogues de dispersion de vitesse de phase, au nombre de 3 pour les ondes de Rayleigh et de 2 pour les ondes de Love.

Après avoir souligné les différences théoriques dans la construction de ces catalogues (méthode de mesure), il reste maintenant à les examiner et à les prendre en compte dans la pratique.

Nous proposons ainsi une étude a priori et a posteriori de la compatibilité des catalogues.

1.6.1 Compatibilité a priori

Une méthode triviale d’évaluation de la compatibilité entre les catalogues de vitesse de phase réside dans la comparaison des trajets communs. Ainsi, le même séisme enregistré dans la même station a servi de base pour une mesure de la dispersion de la vitesse de phase par les trois techniques différentes. Dans le cas des ondes de Rayleigh, les trois catalogues (IPGP, UTRECHTet HARVARD) présentent environ une centaine de trajets communs. Tandis que dans le cas des ondes de Love, les deux catalogues (UTRECHT et HARVARD) en présentent environ une centaine.

Pour évaluer la compatibilité des catalogues, il est nécessaire de prendre en compte les incertitudes associées aux mesures, le simple écart entre les courbes de dispersion étant une information partielle. Ainsi nous évaluons le niveau d’explication de l’écart entre deux courbes de dispersion d’un même

trajet (issues de deux catalogues différents) par les incertitudes de la première puis de la seconde. Dans la pratique, il s’agit d’effectuer deux calculs de χ2 (sommé sur la partie commune des périodes) pour chaque paire de catalogues en fonction des deux incertitudes.

χ2_1|2=X(c1− c2) 2 σ1 , χ2_2|1=X(c1− c2) 2 σ2 (1.16) La figure 1.11 présente une illustration de ces comparaisons paires à paires de catalogues pour les ondes de Rayleigh et la figure 1.12 pour les ondes de Love. Ces deux illustrations sont présentées autour de la région Pacifique Nord et Asie de l’est, où se situe la majorité des problèmes compatibilité.

χ2 >0.25 [CRUTR, CRHAR, σRUTR] χ2 >0.25 [CRUTR, CRIPG, σRUTR] χ2 >0.25 [CRHAR, CRIPG, σRHAR]

χ2 >0.25 [CRUTR, CRHAR, σRHAR] χ2 >0.25 [CRUTR, CRIPG, σRIPG] χ2 >0.25 [CRHAR, CRIPG, σRIPG]

Figure 1.11: Trajets communs aux différents catalogues de vitesse de phase des ondes de Rayleigh autour du Pacifique Nord. Sont représentés les trajets (de l’épicentre -rouge- à la station -vert-) indiquant un écart supérieur au seuil χ2 > 0.25 pour toutes les combinaisons possibles de paires de catalogues. Le cartouche [CR?, CR?, σR?] contient la combinaison utilisée. HAR pour HARVARD, UTR pour UTRECHT

et IPG pour IPGP.

On note que les incertitudes associées aux mesures du catalogue UTRECHTexpliquent presque parfaite-ment toutes les autres mesures pour le seuil χ2 > 0.25 (figure 1.11). Tandis que celles associées aux mesures du catalogue HARVARDmontrent le plus de trajets dépassant le seuil. Les incertitudes du cata-logue IPGP semblent ne présenter que quelques anomalies de compatibilité, notamment situées dans le Pacifique Nord et pour des trajets Nord/Sud.

De la même manière que pour les ondes de Rayleigh, la comparaison des catalogues d’onde de Love (figure 1.12) présente une nette différence entre les incertitudes du catalogue UTRECHTexpliquant par-faitement les mesures du catalogue HARVARDpour le seuil de χ2 > 1.0 et les incertitudes réciproques, pour lesquelles un grand nombre de trajets présentent des écarts supérieurs. De plus, dans cette com-paraison, le seuil est fixé à 1 pour exprimer l’incompatibilité absolue de certaines mesures selon les

χ2 >1.00 [CRUTR, CRHAR, σRUTR]

χ2 >1.00 [CRUTR, CRHAR, σRHAR]

Figure 1.12: Trajets communs aux différents catalogues de vitesse de phase des ondes de Love autour du Pacifique Nord. Sont représentés les trajets (de l’épicentre -rouge- à la station -vert-) indiquant un écart supérieur au seuil χ2 > 1.0 pour la paire de catalogues. Le cartouche [CL?, CL?, σL?] contient la

combinaison utilisée. HAR pour HARVARDet UTR pour UTRECHT.

incertitudes du catalogue HARVARD.

1.6.2 Compatibilité a posteriori

L’étude de compatibilité a priori démontre l’influence des différentes techniques de détermination de la dispersion de la vitesse de phase. Certaines données (couple de la mesure et de l’incertitude associée) ne sont pas compatibles entre elles, notamment dans les catalogues HARVARDet UTRECHT. Pour permettre l’assemblage de ces catalogues, nous ne travaillons que sur l’incertitude des données, la mesure absolue ne pouvant, quant à elle, être modifiée.

Pour atteindre cet objectif, nous proposons une analyse a posteriori pour contraindre les corrections ap-pliquées aux catalogues de données. Brièvement (cf. Chapitre 2), les vitesses de phase collectées le long de trajets sont inversées, lors de l’étape dite de régionalisation, pour obtenir des cartes de vitesses de phase locales. Lorsque l’inversion rencontre des données contradictoires, des hétérogénéités de très faible dimension (celles autorisées par la longueur de corrélation) et de très forte amplitude sont intro-duites. Nous allons donc ajuster des coefficients correcteurs sur les incertitudes via la minimisation des anomalies observées sur le spectre spatial des cartes de vitesse de phase.

Dans la pratique, les incertitudes des différents catalogues sont distribuées sur plusieurs ordre de gran-deur. Une première étape de mise à l’échelle logarithmique des incertitudes, basée sur une incertitude standard d’environ 0.01 km.s−1, est appliquée. Un ensemble de catalogues regroupant toutes les

don-nées est créé. Chaque élément de cet ensemble est constitué des différents catalogues originaux, parmi lesquels un unique catalogue se voit appliquer un facteur correcteur de l’incertitude. Cette analyse va nous permettre d’isoler les contributions de chaque catalogue dans la perturbation de l’inversion, via l’analyse de son spectre (basée sur un développement en harmonique sphérique jusqu’au degré 50). La figure 1.13 présente les spectres résultant de la régionalisation des vitesses de phase des ondes de Rayleigh à 100s. On note que les corrections des incertitudes font décroitre de manière plus importante l’amplitude du spectre dans le cas des catalogues HARVARD et UTRECHT. De plus, le spectre atteint très vite un niveau de stabilité pour les corrections du catalogue IPGP (figure 1.13A) et ce, pour un facteur d’environ 1.1. À l’inverse, le catalogue HARVARD(figure 1.13B) est celui qui nécessite le plus de corrections pour atteindre un niveau de stabilité, avec un facteur d’environ 2.1. Tandis que le catalogue UTRECHT(figure 1.13C) présente un spectre stable pour une valeur du facteur de correction d’environ 1.6. 1e−09 1e−08 1e−07 1e−06 Spectre 20 30 40 50 ordre L 20 30 40 50 ordre L 20 30 40 50 ordre L

a

b

c

Figure 1.13: Spectre de puissance de la vitesse de phase régionalisée des ondes de Rayleigh à 100s, en fonction de l’ordre angulaire (il y a un bon accord avant le degré 20). (a) Évolution pour les incertitudes du catalogue IPGP. (b) Évolution pour les incertitudes du catalogue HARVARD. (c) Évolution pour les incertitudes du catalogue UTRECHT. Sont représentés le spectre initial (bleu) puis le spectre associé au facteur 1.5 (orange), 2.0 (vert) et 5.0 (violet).

Cette analyse sommaire a posteriori sur le spectre des cartes de vitesses de phase confirme la sous-estimation de l’incertitude associée aux mesures effectuées à l’aide de la méthode d’ajustement de phase par filtrage progressif.

1.7

Couverture

Les données décrites précédemment sont mesurées le long de trajets épicentre-station distribués de manière hétérogène à la surface du globe. Les séismes suivent, dans leur grande majorité, les limites des plaques tectoniques. Les stations sismiques, toujours trop peu nombreuses, sont installées sur la terre ferme. Notre base de données nous a permis de construire des cartes de couverture en densités de trajets mais aussi d’estimer la couverture azimutale impliquée par la direction des trajets. Les figures 1.14 pour les dispersions de la vitesse de phase et 1.15 pour les dispersions de la vitesse de groupe présentent ce type de cartes.

Cette distribution globale des séismes et des stations sismiques produit des zones sur-échantillonnées, comme le continent Nord-Américain ou l’Eurasie mais aussi des zones sous-échantillonnées, telles que l’hémisphère Sud et en particulier le continent Antarctique, l’océan Atlantique Sud et l’océan Indien. La couverture des vitesses de groupe (figure 1.15) est plus complète à courte période et pour les ondes de Rayleigh. La couverture la plus faible, celle des ondes de Love à longues périodes, présente encore un minimum de 30 trajets par cellule de 2◦× 2◦, avec des distributions azimutales relativement faibles

0 20 40 60 80 100 trajets C_R 50s C_R 100s CL 50s CL 100s

Figure 1.14: Couverture en densité de trajets et en répartition azimutale des trajets pour la vitesse de phase des ondes de Rayleigh et de Love aux périodes 50s et 100s. L’échelle représente le nombre de trajets par unité de surface (cellule de 2◦ × 2◦ à l’équateur), les cellules sont saturées au-delà de 100 trajets. La longueur des vecteurs polaires indique le nombre de trajets pour chaque intervalle d’azimut (30◦) par unité de surface (cellule de 10◦× 10◦_{à l’équateur), les vecteurs sont saturés à 100 trajets.}

dans les océans où certaines directions sont absentes.

La couverture des vitesses de phase (figure 1.14) est plus hétérogène avec une répartition hémisphère Nord/Sud plus appuyée. De plus, indépendamment de la période, les ondes de Love présentent des valeurs de couvertures, assez faibles, de 15 trajets par cellule dans la région Antarctique, tandis que les ondes de Rayleigh présentent, quant à elles, des valeurs de 30 trajets minimum. Du point de vue de la couverture azimutale, les ondes de Rayleigh montrent un maillage complet de la surface.

0 20 40 60 80 100 trajets U_R 50s U_R 100s UL 50s UL 100s

Figure 1.15: Couverture en densité de trajets et en répartition azimutale des trajets pour la vitesse de groupe des ondes de Rayleigh et de Love aux périodes 50s et 100s. L’échelle représente le nombre de trajets par unité de surface (cellule de 2◦ × 2◦ à l’équateur), les cellules sont saturées au-delà de 100 trajets. La longueur des vecteurs polaires indique le nombre de trajets pour chaque intervalle d’azimut (30◦) par unité de surface (cellule de 10◦× 10◦_{à l’équateur), les vecteurs sont saturés à 100 trajets.}

Cartes de vitesses régionalisées

La construction du modèle tomographique présenté dans cette étude peut s’effectuer en deux étapes à partir des données de dispersion des ondes de surface (présentées dans le Chapitre 1).

La régionalisation consiste, dans un premier temps, à calculer les cartes 2-D de dispersion des vitesses locales correspondant aux données de dispersion des vitesses intégrées le long de multiples trajets. Dans un second temps, l’inversion en profondeur permet l’obtention d’un modèle 3-D des paramètres élastiques de la Terre par l’application de noyaux de sensibilité associés à chaque courbe de dispersion locale.

La courbe de dispersion mesurée le long d’un trajet ne dépend pas seulement de la répartition des hétérogénéités rencontrées mais aussi de l’angle sous lequel elles sont traversées. La Terre possède un caractère anisotrope auquel les ondes de surface sont sensibles. Ainsi, la régionalisation rend possible la construction de cartes 2-D anisotropes, avec les cartes de la vitesse "isotropisée" des ondes de surface et de la variation de cette vitesse avec l’azimut.

Nous présenterons tout d’abord la formulation théorique de la régionalisation : expression du problème direct, méthode d’inversion utilisée et calcul des incertitudes.

Nous procéderons ensuite à une série de tests synthétiques pour illustrer, dans le cadre de cette étude, les capacités et les limites de la régionalisation.

Enfin, nous présenterons les résultats d’inversion et les incertitudes associées pour nos données (disper-sions des vitesses de phase et de groupe pour les ondes de Rayleigh et Love).

2.1

Méthode de régionalisation

La division en deux étapes de la procédure tomographique peut s’analyser comme la séparation, pour la régionalisation, de l’effet de la propagation de l’onde de surface et, pour l’inversion 3-D, de son comportement stationnaire en profondeur.

La technique de régionalisation est basée sur l’optique géométrique, hypothèse selon laquelle l’onde de surface n’est sensible qu’aux hétérogénéités rencontrées le long du grand cercle joignant l’épicentre et la station sismique. Cette approximation est de la même nature que celle utilisée dans la théorie des rais (approximation haute fréquence de l’équation d’onde), pour la tomographie des temps de parcours des ondes de volume. Elle suppose une sensibilité contenue dans le rai, néglige les déviations par rapport au grand cercle, ignore les effets de diffraction, etc. Par exemple, en cas de fortes hétérogénéités latérales avec une longueur d’onde similaire à celle de l’onde de surface, l’optique géométrique est invalide (voir Wang & Dahlen, 1995).

L’effet de la zone d’influence latérale de l’onde au cours du trajet a très tôt été pris en compte, autant pour des raisons physiques que pour des raisons de régularisation des modèles. Les méthodes de régionalisa-tion en base d’harmoniques sphériques se limitent à un ordre angulaire maximal tandis que les méthodes de régionalisation continue imposent un filtrage gaussien associé à une certaine longueur de corrélation.