Interprétation quantique de la modulation de fréquence

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Interprétation quantique de la modulation de fréquence

Nicole Polonsky, Claude Cohen-Tannoudji

To cite this version:

Nicole Polonsky, Claude Cohen-Tannoudji. Interprétation quantique de la modulation de fréquence.

Journal de Physique, 1965, 26 (7), pp.409-414. �10.1051/jphys:01965002607040900�. �jpa-00205985�

INTERPRÉTATION QUANTIQUE

DE LA MODULATION DE

FRÉQUENCE

Par NICOLE POLONSKY et CLAUDE

_{COHEN-TANNOUDJI,}

Laboratoire de _Physique de l’École Normale _Supérieure, Paris.

Résumé. - On étudie le mouvement d’un _{dipôle magnétique} dont on module la _fréquence de

Larmor en le _plaçant dans un _champ

magnétique

_H0 + H1 cos 03C9t, modulé en _amplitude. Le

champ de _{radiofréquence H1} cos 03C9t est traité _{quantiquement.} On montre _{que l’apparition} de

fréquences latérales dans le mouvement du _dipôle est due à des _absorptions et réémissions vir-tuelles de photons de _{radiofréquence par le système atomique.} Ceci _{permet d’interpréter} certaines caractéristiques de nouvelles résonances _magnétiques observées récemment dans des _expériences

de pompage optique transversal.

Abstraet. 2014 A _{study is} made of the motion of a _magnetic

_dipole

whose Larmor _{frequency is} modu-lated when

_placed

in an

_amplitude

modulated magnetic field H0 + H1 cos 03C9t. The

radio-frequency field, H1 cos _{03C9t, is quantized.} It is shown that the sideband _{frequencies which appear} in the motion of the _dipole are due to virtual _absorption and re-emission of _{radiofrequency} pho-tons _by the atomic _system. It is then _possible to _interpret some features of new _magnetic

reso-nances observed in transverse

_optical

_{pumping experiments.}

PHYSIQUE 26, 1965,

Introduction. - Le but de cet article est de

donner une

_{interpretation}

_quantique

du

pheno-mene de modulation de

_frequence.

De

_façon

_plus

precise,

le

_{probl"me particulier}

_auquel

nous nous int6ressons est celui ’un

_dipole

_magn6tique

dont on module la

_frequence

de Larmor en le

_plaqant

dans un

_{champ magn6tique}

module en

_amplitude

Ho

+

H1,

cos mt. La solution

_classique

de ce

pro-bleme est bien connue

_{[1, § 7-5-45] :}

en 1’absence du

_champ

de

_{radiof requence H1}

cos _wt, le

_dipole

pr6cesse

a la

_frequence

de Larmor

_wo/27t

(COO

=

yHo,

y rapport

gyromagnétique)

avec une

amplitude qu’on

prendra

6gale

a l’unit6

_{(fig. 1a) ;}

le

_champ

de

_{radiof requence}

_H1

cos wt fait appa-raitre des mouvements

_{supplémentaires}

_{(fig. 1 b)}

aux

frequence ;

lat6rales

(coo

+

pw)/2m (p

entier

positif,

nul ou

_négatif)

avec des

amplitudes

Jp(wl/w) (,lp

fonction de Bessel d’ordre _p avec la convention

FIG. 1.

Nous avons

_essay6

de donner de ce

_phenomene

une

interpretation

en termes de

photons

de

radio-frequence

en

_{quantifiant le}

_{champ HI}

cos _{cot ;} ceci

fait

l’objet

de la

_premiere

_partie

de ce travail.

L’apparition

des

_frequences

lat6rales dans le

mouvement du

_dipole

est a

_l’origine

de nouvelles resonances

_magn6tiques

_{observ6es r6cemment par} divers auteurs

_[2,

_{3, 4],}

dont une

caractéristique

essentielle est _que leur

_largeur

est

_ind6pendante

de

l’amplitude

H,

du

_champ

de

_{radiofréquence.}

Nous

pr6sentons

dans la deuxi6me

_partie

de ce travail diverses

_{interpretations}

_physiques

de ces nou

velles resonances.

I. Traitement

_quantique

du mouvement du

dipble magn6tique.

A: HAMILTONIEN DU SYSTEME. - Le

hamilto-nien total du

_syst6me

s’ecrit : Je ==

_{JCO +}

RB

+,Xi.

Jeo

=

mo lz

decrit le

couplage

Zeeman du

dipole

magn6tique

avec

Ho suppose

parallele

a Oz. Le

dipole

est

_represente

_par un

_spin

I =

112,

dont

la

_composante

suivant Oz est Iz. Les deux 6tats propres de Iz

sont 14-

>

_s6pax6s

par coo

(nous

prenons 1i

=

1).

RR = _{ma+ a} est le hamiltonien du

champ

de

_{radiofréquence,}

a+ et a 6tant les

opd-rateurs de creation et d’annihilation d’un

_photon

w. Ses 6tats propres sont

_designes

_{par In}

_>,

d’éner-gie

nw.

RI est le hamiltonien d’interaction entre l’atome

et le

_champ

de

_{radiofréquence.}

On

_peut

le mettre

sous la forme JC, =

ÀIz(a + a+), À

6tant un coef-ficient de

_couplage

reel

_(la

_longueur

d’onde associ6e

au

champ

de

radiof requence,

6tant tres

grandc,

devant les dimensions de 1’atome

_porteur

du

_dipole,

on

n6glige

toute

dependance

spatiale

dans

JCi).

Le but du calcul est de determiner le mouvement

de la

_composante

transversale du

_dipole,

_{I +(t)}

>

(I +

=

I. +

1I,).

Pour r6soudre _ce

probl6me,

_nous

commencerons _{par rechercher les etats propres} de X.

410

B.

TTATS

PROPRES DE

_JCo

+ JCp. -

Commen-çons par

négIiger

Ri : le

systeme atomique

et les

photons

de

_{radiofréquence}

coexistent sans

inter-agir.

Les 6tats _propres de

_J6o

_{q- RR} sont de la

forme In >1±

>,

d’énergie

n6J _=Í=

_6Jo/2.

La fi-gure 2

repr6sente

ces niveaux

_d’6nergie

_groupes

en deux colonnes

_{correspondants}

aux deux

6tats I +

> et

_1-

> du

_dipole.

FIG. 2.

Si

Ei,

E;

... sont les niveaux

d’6nergie

d’un

systeme,

toute

_grandeur

_physique

G de ce

_syst6me

6volue aux

_{frequences (E;}

-

Ej)lh

pourvu

qu’il

existe un element de matrice non nul de G entre

E;

et _Ej. Dans le cas

_qui

nous int6resse

_{ici, les}

elements de matrice de

_{I+, repr6sent6s}

en

_pointII16

sur la

figure 2,

n’existent

_qu’entre

des

_{etats n > +}

>

et n >2013

>

_{correspondant}

au meme nombre de

photons

de

_{radiofréquence (I+ n’agit}

_pas sur les variables de

_{rayonnement).}

La difference

_d’6nergie

entre ces deux 6tats est _wo

I+

> 6volue done

a la

_frequence

_mo/2m.

C. EFFET DE J~i. TRAITEMENT DE PERTURBATION.

-

RI,

6tant

_{proportionnel}

a

_Iz,

n’a d’element de matrice

_qu’entre

niveaux d’une meme colonne

_(les

photons

de

_{radiofréquence}

ont une

_polarisation

_7).

Dans

_chaque

colonne RI

_couple

donc au

premier

ordre

_chaque

niveau a ses deux

_{plus proches}

voi-sins. Le

_{niveau ]n > e >}

_{(e == =f=)}

devient ainsi au

premier

ordre en x

Nulle au

premier ordre,

la correction en

energie

vaut au deuxieme ordre -

X2/4CO.

Elle ne

depend

ni

_{de n,}

ni de E. Tous les niveaux de la

figure

2

sont donc

_deplaces

de la meme

_quantités

_(résultat

que nous verrons

_plus

loin etre

rigoureux

a tous les

ordres).

Les nouveaux

etats nE >I e >

ne

_{correspondant}

plus

a un nombre bien d6fini de

photons,

il

appa-rait maintenant de nouveaux elements de matrice pour

I+,

reliant par

exemple

lite: >1-

> a

11 s’en

suit _que le mouvement de

_I+

> s’effectue

main-tenant non seulement a la

_frequence

_coo/27r

mais aussi aux

_frequences

_{(û)o =Í=}

_w)/27r.

L’apparition

de ces nouvelles

_frequences

d’evolu-tion est donc due au fait _que JCi ramene dans

1’6tat In > e

> un _{peu des} 6tats

_In

+ 1

_>/s:

>

(expression 1).

Ceci

_peut

_{s’interpreter}

en disant que

l’atome,

dans

Rotat s

>, absorbe et r66met

(ou

6met et

_r6absorbe)

virtuellement des

_photons

de

_{radiofréquence,}

ce

_qui

a _{pour effet de}

_m6langer

un

_etat

_{n >}

aux

_{6tats in +}

1 >. Le niveau

I ne

> Is:>

resultant est

_déplacé

mais non

_élargi.

En

_poussant

la theorie des

_{perturbations}

a l’ordre _p, un

etat

n >I e

>

_devient,

_{par suite}

d’absorptions

et r66missions virtuelles de k

_photons

de

_{radiofréquence,}

un

m6lange

des 6tats

(k

variant de 0 a

_p),

ce

_qui

fait

_apparaitre

dans le

mouvement de

_-I+

>les

_frequences

Sous 1’effet de ces transitions

_virtuelles,

le

mouve-ment de

_precession

du

_dipole

autour de

_Ho

n’est donc

_plus

uniforme.

D. CALCUL RIGOUREUX DES #TATS PROPRES DE Je.

- Les

6tats propres de JC sont de la forme

)fig >I e >

et

_peuvent

etre

_{toujours ranges}

en deux colonnes

_{correspondant}

a e = + _ou -. e 6tant

fixe,

c’est-a-dire pour tous les 6tats d’une m6me

colonne,

on a :

avec

Les

_{etats fig >}

sont donc les 6tats _{propres de} Ve.

Ve

_peut

aussi s’écrire sous la forme

Introduisons

_{l’op6rateur}

de

_{d£placement :}

Om ,

Ve se d6duit donc de

_{l’op6rateur}

ma+ a -

_(À2/4(ù)

par la transformation unitaire D

(- eX/2co) :

Les etats

_propres

_{)fig >}

de Ve se déduisent des

Ils

_{correspondent}

a _{la valeur propre}

Tous les niveaux de la

_figure

2 sont done

_deplaces

de la meme

_{quantité :}

-

À2/4w.

a) ’Expressions

rigoureuses.

- Nous

partirons

de la matrice densite du

_{syst6me global,}

_p(t),

dont

1’6quation

d’6volution i

_dp/dt

=

[JC,

p]

s’int6gre

formellement _pour donner

p(0)

6tant la matrice densite a l’instant initial. On a alors :

TAx

repr6sente

l’op6ration

trace _par

_rapport

aux variables

_atomiques

et aux variables de

rayon-nement.

I+

_n’agissant

que sur les variables

atomiques

et

n’ayant

d’elements de matrice

_qu’entre

les 6tats

avec

Tn : trace _par

_rapport

aux variabljs de

rayon-nement.

Les 6tats

_{In +}

>

_(de

_{meme que les} 6tats

_{ip_}

_>)

constituant un

_systeme

orthonorme

_complet

_pour les variables de

_rayonnement,

on a encore :

Les

_{etats n + >}

₊ > et

_{lp- > I-}

> 6tant

res-pectivement

6tats propres de JC

correspondant

aux valeurs _propres

_w/2

+ nm -

_x2/4w

et

-

wo/2

+ pw 2013

À 2/4CJJ,

il vient :

ou _encore, en

_{posant ,}

Telle est

_{1’expression rigoureuse}

de

_{1 +(t)}

>.

Nous retrouvons bien dans le mouvement de

J+ (t)

> les

_{f requences}

wo + qm, les

ampli-tudes

_{correspondantes}

_{faisant intervenir les} pro-duits scalaires

_{n+/(n - q)-}

> entre un 6tat de la colonne de

_gauche

et un 6tat de la colonne de droite distants en

_energie

de _wo + qoo

(en

I’absence

de

_RI,

ces 6tats sont

_orthogonaux

_{pour q #}

_0).

Nous verrons

_plus

_{loin que} ces

_produits

scalaires ne sont

_autres,

_pour n »

1,

que les fonctions de Bessel

_Jq(co,/co).

b)

Choix de l’ état initial

_p(O).

- A l’instant

initial, p(0)

est le

_produit

d’une matrice densite

atomique

pA(0)

et _{d’une matrice densite de} rayon-nement

_pR(0).

L’element de matrice de

_p(0)

figu-rant dans

₍₁₂₎

s’ecrit alors :

Nous prenons pour 6tat initial du

_champ

de

rayonnement

1’6tat

_{quantique qui}

se

_rapproche

le

plus

du

_{champ classique H1}

cos _wt, c’est-a-dire 1’etat coherent de Glauber

_[5]

_{correspondant :}

§R(0)

>, 6tat propre de a

correspondant

a la valeur propre a, se d6duit du vide par le

depla-cement

_{D(a.). (Nous}

nous limitons ici a des valeurs

r6elles de

_a)

Comme

_Petat

_)§R(0)

>

_correspond

au

_champ

classique

H1,

on doit avoir :

ce

_qui

donne

t aussi :

[Cn(m)]2

est donne en fonction de n par une loi de Poisson

_{(fig. 3)}

ce

_qui

entraine les

_proprietes

bien connues :

a2

_repr6sente

_{donc le nombre moyen lV de}

_photons

et

_est,

_par

_suite,

un nombre

_extremement

grand ;

ceci entraine m =

o)i/2X

_»

1 ; CJJ

et _col 6tant du meme ordre de

_grandeur,

nous avons aussi

co/X

» 1. La

_dispersion

_{sur n,}

_V

_(lYn)2

> =

BIN,

est

tres

_grande

en valeur

absolue,

tout en 6tant tr6s

petite

en valeur relative :

La matrice densite du

_rayonnement

a l’instant

412

FIG. 3.

Utilisant la relation

(7),

nous en d6duisons :

car

_x/2m

« a.

c)

Expression approchée

de

L’equation

(12)

s’ecrit maintenant :

Nous d6montrons en

_appendice

la relation

sui-vante,

valable _{pour n »} 1 :

Jq,

fonction de Bessel d’ordre _q, devient

_n6gligeable

pour q >

_coi/co.

_D’apres

la

_{figure 3,}

Cn

et

_Cn-q

ne different de

_{façon appreciable}

_{que pour q de} l’ordre

de

_B/7V.

_{Comme q}

_co,/co

_«ýN,

on

_peut

dans

1’expression

(19)

remplacer

Cn-q(a)

par

C*(m)

et obtenir ainsi :

Nous retrouvons ainsi

_{quantiquement}

le r6sultat

classique

6nonc6 dans l’introduction.

Le calcul que nous venons de

_presenter

ici ne fait _que rendre

_quantitative

_{l’interpr6tation}

phy-sique, d6velopp6e

dans le

_paragraphe

_I-C,

de

l’appa-rition des nouvelles

_frequences

_{wo + qm} dans le

mouvement de

_I+(t)

> : le

_{developpement}

limit6 des fonctions de Bessel a l’ordre k redonne le r6sultat de la theorie des

_{perturbations}

au meme

ordre k.

II.

_{Application ; Interpretation}

d’un nouveau

type

de résonances

_magn6tiques

observ6es dans un

champ

magn6tique

module en

_amplitude.

-A. DESCRIPTION ET INTERPRETATION QuALITATIVE

DES NOUVELLES RESONANCES. -

Le pompage

optique

transversal d’une vapeur

atomique plac6e

dans un

_{champ magn6tique}

module en

_amplitude

Ho

+

H1

cos cot a

permis

r6cemment a divers

auteurs d’observer un nouveau

_type

de resonance

magn6tique

dans 1’etat excite

_{[2], [3]}

et fonda-mental

_[4]

d’un atome.

Rappelons

brievement le

_principe

commun de ces

experiences :

soit Oz la direction du

champ

Ho

+

H1

cos mt. L’excitation

_optique

a une

pola-risation telle

_qu’elle

fait

_apparaitre

instantanement un moment

angulaire

transversal

_Ml

(perpendi-culaire a

Oz)

dans I’etat excite ou fondamental du

syst6me

atomique.

Supposons

d’abord

_HI

= 0. Les

dipoles

pr6-cessent autour de

_Ho

a la

_frequence

de Larmor

co012-rc :

cr6es uniform6ment au cours du

_temps

et dans une direction fixe par 1’excitation

optique,

ils se

_r6partissent

_{par suite dans le}

plan

perpendi-culaire a Oz. Soit ’T la duree de vie

_(radiative

ou de

_relaxation)

du niveau

_atomique

consid6r6. Si

coo r >

1,

cette

r6partition

est

isotrope

et Paiman-tation transversale

_globale

a 1’etat stationnaire

Ml

> est

_{identiquement}

nulle. Le pompage

optique

transversal d’une vapeur dans un

_champ

statique

Ho

n’est donc

_possible

_{qu’en champ}

tres

bas,

CiJo ’T

I

(effet

Hanle dans 1’6tat excite

[6]

et fondamental

[7]).

FIG. 4.

La modulation du

_champ

_statique

_Ho

_{par le}

champ

de

_{radiofréquence}

_H1

cos wt

_permet

de r6aliser le pompage

optique

transversal de la vapeur

autrement

_{qu’en champ}

tres

_{bas ;}

_pour toute une s6rie de valeurs de

_Ho

telles _{que too} = _nw

(n

entier

positif

ou

_nul)

il

_apparait

dans la vapeur une aimantation transversale

_globale

_Mol

> eff ec-tuant autour de

_Ho

un mouvement

_periodique,

de

p6riode 2n/w.

Les

_{caractéristiques}

de ces nouvelles

resonances ont ete 6tudi6es en

detail,

le

_point

essentiel 6tant que leur

largeur

ne

_depend

_pas de

L’apparition

de ces nouvelles resonances se

com-prend

aisement : la

_frequence

de Larmor 6tant

maintenant modul6e par

H1

cos _wt, les

dipoles

ne se

_{r6partissent plus}

de

façon

isotrope

dans le

_plan

perpendiculaire

a

_HO,

mais au contraire se

_groupent

en

_paquets.

La vitesse

angulaire

_{moyenne des}

dipoles

est too ; lors d’une

_p6riode

du

_{champ Hl,}

27r/co,

ils ont tourne d’un

_{angle 2mo/m ;}

_{pour que} 1’eff et de

_groupement

en

_paquet

soit

_cumulatif,

et

que

Ml

> =f-

0,

il faut que cet

_angle

soit un

multiple

de

_{27 ;}

ceci

_permet

de

_comprendre

la condition de resonance : _mo = _nm.

B. INTERPRETATION EN TERMES DE PHOTONS DE

RADIOFRÉQUENCE. -

Il ressort clairement de

P analyse

pr6c6dente

que

1’apparition

des nouvelles

resonances est 6troitement li6e au fait que,

_pendant

la duree de vie du niveau

_{atomique étudié,}

le

mouvement de

_precession

du

_dipole

autour de

_Ho

n’est

_plus

uniforme. Nous avons donne dans la

premiere partie

une

interpretation

de ce fait en

termes

_{quantiques :}

l’atome absorbe et r66met

vir-tuellement des

_photons

de

_{radiofréquence.}

Le fait que ces transitions soient virtuelles et non relles

entraine _{que les niveaux}

_d’énergie

de 1’atome ne

sont _pas

_élargis

_{par interaction} avec le

_{champ 77B ;}

on

_conçoit

alors aisement que les resonances

obser-v6es ne

_presentent

aucun

élapgissement

de

radio-frequence. (Lorsque

par contre la

polarisation deH,

est _{telle que des transitions r6elles} entre les sous-niveaux Zeemann de l’atome sont

_possibles,

comme c’est le cas _par

_exemple

dans

_Inexperience

bien connue de double resonance

_[8],

les niveaux

ato-miques

et _{par suite les raies de resonance}

pr6-sentent un

_{61argissement}

_{supplémentaire}

due a

_Hl.)

Le

_probl6me

a ete _{abord6 par}

_Khodovoy

_[9]

d’un

_point

de vue different : cet auteur

_interprete

qualitativement

et

_{quantitativement}

les nouvelles

resonances en faisant intervenir

_{1’absorption}

simul-tanee d’un

_{photon optique}

et de n

_photons

de

radio-f requence ;

nous r6sumons ici bri6vement son

inter-pr6tation qualitative :

La

_presence

d’une aimantation transversale

glo-bale dans la vapeur r6sulte de 1’existence de cohe-rence hertzienne

_[10]

entre les deux sous-niveaux

Zeeman

I +

> et

_l-

>. _{L’auteur suppose que} la

raie excitatrice de

_largeur

_A,

se

_decompose

en une infinite d’ondes

_{monochromatiques}

sans relation de

phase

les unes avec les

_autres,

_ayant

une

polari-sation telle

_qu’elles

_peuvent

exciter soit le niveau

I

+ > soit le niveau

_1-

>. Si wo »

1/’r,

il est

impossible

d’exciter a la fois les deux niveaux

I

+ > et

_1-

> par la même onde

monochromatique

pour des raisons de conservation

d’energie.

I1 est

cependant

possible

d’arriver a ce r6sultat avec

l’aide du

_champ

de

_{radiofréquence :}

Considerons par

exemple

un

photon optique

dont

1’energie

k

est telle

_qu’elle

lui

_permet

d’exciter le niveau

1- >

(fig. 4).

Si _coo = _{nm, par}

absorption

simul-tanee de ce mème

_{photon optique}

et de n

_photons

de

_{radiofréquence,}

le

_{niveau ) +}

> _pourra etre

egalement

excite. La

_phase

de l’onde

_optique

de

frequence

k/27r

intervient donc de la meme maniere dans 1’excitation des

_états

₊

> et

_1-

>. La difference de

_phase

entre ces deux 6tats ne

_depend

plus

alors de la

_phase

de l’onde

_{optique :}

la cohe-rence hertzienne ainsi introduite subsiste

_lorsqu’on

moyenne sur toutes les ondes

_optiques.

Le

pheno-mene est donc

_simple

a

_comprendre

_pour une raie

monochromatique.

Pour tenir

_compte

des condi-tions

_{experimentales}

_r6elles,

il faut sommer 1’effet

precedent

sur un

_spectre

de

_{f requences optiques}

dont la

_{largeur 3}

est

_grande

devant _{mo, w1 et} Cù.

On retrouve bien alors le r6sultat correct mais il devient difficile de d6crire le

_phenomene

_global

en faisant intervenir des

_absorptions

simultan6es d’un

photon

optique

et de

_plusieurs

_photons

de

radio-frequence ;

pour 0 » _wo, on montre en effet _que

les processus

d’absorption

et d’emission de

_photons

de

_{radiofréquence}

se

_compensent

de sorte _que

globalement

il ne subsiste aucune

_absorption

_(ou

emission)

r6elle de ces

_photons.

I1 ressort

de

_l’analyse

_pr6c6dente

_{que lors d’rune} excitation

_{monochromatique,}

l’atome

_peut

absor-ber simultan6ment un

photon

optique

et

_plusieurs

photons

de

_{radiof requence.}

On

_peut

alors se deman-der si la

_presence

du

_champ

_HI

modifie la

proba-bilit6

_{d’absorption}

d’un

_photon

_{optique lorsque}

la raie excitatrice a maintenant une

_{largeur d ;}

et si par suite

l’image

habituelle du

cycle

de pompage

optique (trois

processus

independants

les uns des

autres :

_absorption

d’un

_photon

_optique,

evolution

propre, emission

spontan6e)

reste

toujours

valable en

_presence

de

_Hl.

Nous avons

_repris

la theorie

quantique

du

_cycle

_{de pompage}

_optique

en

quanti-fiant non seulement l’onde

_lumineuse,

mais aussi l’onde de

_{radiof requence [11].}

On montre ais6ment que si la

largeur

de la raie est suffisamment

grande,

A » _{6), wo et 6)1’} la

_{probabilite 1/fip}

d’excitation

optique

de I’atome est

_ind6pendante

de

_{H1 (la}

duree du processus

d’absorption [10], i14Y,

est

trop

courte _pour

_qu’un

effet

_quelconque

de

_H1

puisse

se manifester

_pendant

ce meme

_temps).

L’image

du

_cycle

_{de pompage} reste donc

_toujours

valable et on

_peut

se

_repr6senter

le processus

phy-sique

de la

_faqon

suivante : l’atome absorbe un

photon optique,

monte dans 1’etat

_excite,

_y reste

une duree T avant de retomber dans 1’etat

fonda-mental par emission

spontan6e.

Pendant le

_temps

de vie r de 1’6tat

excite,

il absorbe et r66met

vir-tuellement des

_photons

de

_{radiofréquence,}

ce

_qui

rend sa

_precession

de Larmor non uniforme et

fait par suite

apparaitre

les nouvelles resonances.

Conclusion. - Nous

avons

_presente

un calcul

quantique

du mouvement d’un

_{dipole magn6tique}

dont on module la

_frequence

de Larmor. Tous les

414

resultats du calcul

_classique

sont retrouv6s

quanti-tativement. Nous avons _{pu montrer que}

l’appari-tion

de

_fréquences

lat6rales dans le mouvement du

dipole

etait due a des

_absorptions

et r66missions virtuelles de

_photons

de

_{radiofréquence}

_{par le}

sys-t6me

_atomique.

Le _{fait que} ces transitions soient virtuelles et non r6elles

_permet

de

_comprendre

pourquoi

certaines resonances

_magnetiques

obser-v6es r6cemment dans des

_experiences

_{de pompage}

optique

transversal dans un

champ magn6tique

module en

_amplitude

ne

_presentent

_pas

d’elargis-sement de

_{radiofréquence.}

APPENDICE

Calcul de lament de matrice

_{C n+ (rz- q)_}

>.

- Utilisant la relation

(7),

cet element de matrice s’ecrit :

Rappelons

la

_propriete

suivante

_{[12] :}

Si deux

op6rateurs A,

B commutent avec

_{[A, B],}

on a :

’- la+-a> Comme

_{[a, a+]}

=

1,

l’op6rateur

e w

peut

done s’6crire :

À 21 (ù 2

etant tres

_petit

devant

_l’unité,

on

_prendra

e-À2/(,)2 = 1.

Développant

en série les

_{exponentielles,}

il vient :

Les seuls termes non nuls de cette double somme

sont _{tels que :}

_{nJ(a+)m as In}

_{- q > ::A} 0 ce

_qui

impose

la relation : n - m = n _{- q} -

s, soit :

m

_{= q +}

s.

On a donc encore :

En _{6tudiant la convergence de} cette s6rie

alter-n6e,

on

_peut

montrer _{que les seules valeurs}

_{de q}

et s

_qui

interviennent dans la sommation sont au

plus

de

_{quelques 6)1/6) ;}

il est _{par suite}

_16gitime

de

_remplacer

dans

_{1’expression}

₍₂₃₎

chacune des

q + 2s facteurs

_figurant

sous la radical _{par n}

(n

et

_vn

sont tres

_grands

devant

_col/w).

On obtient ainsi :

ce

_qui

n’est autre _que le

_{d6veloppement}

en s6rie

L 1) S 7.5.1]

de

_Jq(2x

_vn

_jw).

On a donc ainsi

Comme À V’n/ûJ ,-...J

À vi N /ûJ ==

û)1/2JJ,

on

retrouve la relation

₍₂₀₎

annonc6e dans le

para-graphe

I-E-c

Remarque.

- Dans la

représentation

x, les 6tats

eto

(n

-

q)-

correspondent

aux fonctions propres de 1’oscillateur

_harmonique

_d6plac6es

respecti-vement des

_quantités

+

À/V2 (i)

et -

Xiv2(,),

soit

avec

Q ==

(MW)1/2

x.

La

relation

₍₂₅₎

s’ecrit donc :

Nous obtenons ainsi une relation entre les

polv-n6mes d’Hermite

Hn

et

_{Hn_q}

et la fonction

de

Bessel

Jq

valable _{pour n} » 1 :

BIBLIOGRAPHIE

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[10] COHEN-TANNOUDJI (C.), Thèse, Paris, 1962 ; Annales

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[11] POLONSKY _(N.), Thèse 3e

_cycle,

Paris, 1965.

[12] MESSIAH (A.), Mécanique quantique, Dunod, Paris, 1959, tome I, p. 375.