David FLAMENBAUM CNES
05 61 27 40 32 david.flamenbaum@cnes.fr
David MIMOUN ISAE-SUPAERO
05 61 33 81 08 david.mimoun@isae.fr
IS101 - I NTRODUCTION AUX OUTILS DE LA MECANIQUE CELESTE
PC1
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O
BJECTIFS DE LAPC Thématiques – Mécanique :
! Etudier le Problème Restreint Circulaire à Trois Corps.
! Comprendre l’existence et la dynamique des Troyens de Jupiter.
Techniques – Mathématiques :
! Etudier un système dynamique.
Q
UESTIONSConsidérons un système de deux corps massiques et en mouvement circulaire uniforme de vitesse de rotation autour de leur barycentre O. Les deux corps et sont appelés corps primaires.
Nous allons étudier le mouvement d’un corps ponctuel M sous la seule influence des deux autres corps.
L’hypothèse forte est la suivante : .
Dans le référentiel lié aux deux corps primaires, nous définissons le repère comme suit :
! (où ),
! (où est le moment cinétique de { ; }),
! .
La position de M est et sa vitesse .
Afin de simplifier les calculs, nous définissons les unités de mesures suivantes : – est l’unité de longueur,
– est l’unité des pulsations, – est l’unité de masse.
Nous noterons de plus : .
1. Conséquences des conventions
1.1. Que vaut la période orbitale dans les nouvelles unités de mesures ?
1.2. Rappeler la relation entre la pulsation orbitale et le rayon d’une orbite circulaire pour un problème à deux corps (dite « Troisième loi de Képler »). En déduire la valeur de la constante gravitationnelle dans ces nouvelles unités de mesure.
1.3. Que valent et dans les nouvelles unités, en fonction de ?
O i j
A
1A
2r
1r
2r
M
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1.4. Exprimer et en fonction de . Donner leur norme dans les nouvelles unités en fonction de .
2. Points d’équilibre du Problème Restreint Circulaire à Trois Corps (PRCTC)
On notera : .
2.1. Donner l’expression du « potentiel » auquel est soumis la masse dans (tournant).
2.2. En déduire les équations du mouvement de M dans (qui tourne toujours !).
2.3. Montrer que les points d’équilibre du système sont tous coplanaires.
2.4. Exhiber les points d’équilibres et , non-colinéaires aux corps primaires, 3. Dynamique linéarisée au voisinage des « points triangulaires » L4 et L5.
3.1. Donner les équations de la dynamique linéarisée au voisinage de ces points d’équilibre. On notera l’écart au point d’équilibre ( ou ) : .
On donne : , , , et .
3.2. Que peut-on dire de la composante hors-plan du mouvement ? En donner les caractéristiques.
3.3. Mettre sous forme matricielle la dynamique plane du système .
3.4. L’équation caractéristique associée est : . Donner le carré des valeurs propres.
3.5. Sachant que pour le système {Soleil ; Jupiter}, expliquer, à partir du discrimant de l’équation précédente, la présence d’environ 2000 astéroïdes « Troyens » au voisinage des points et
du système {Soleil ; Jupiter}.
A
1A
2!
1M !
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