Td corrigé I. Transformation de Laplace - Td corrigé pdf

I. TRANSFORMATION DE LAPLACE...6

A. DÉFINITION...6

B. TRANSFORMÉEDEFONCTIONSÉLÉMENTAIRES...6

1. Fonction échelon unité (fonction d’Heaviside) U(t)...6

2. Fonction impulsion unité (Distribution de Dirac)...7

3. Fonction puissance...7

4. Fonction exponentielle...8

5. Propriétés...8

6. Transformée de la dérivée...10

7. Transformée de la primitive...11

C. PRODUITDECONVOLUTION...11

1. Définition...11

2. Théorème...11

3. Application de la transformation de Laplace aux systèmes différentiels...12

D. APPLICATIONS...13

1. Exercice n°1...13

2. Exercice n°2...13

3. Exercice n°3...14

4. Exercice n°4...14

5. Exercice n°5...15

E. FORMULAIRE...16

II. TRANSFORMATION DE FOURIER...18

A. GÉNÉRALITÉS...18

1. Définition...18

2. Théorèmes d’inversion...18

B. PROPRIÉTÉS...19

1. Linéarité...19

2. Fonctions conjuguées – transformation affine...19

3. Dérivation et Intégration...19

C. CONVOLUTION...20

D. EXEMPLES...20

1. Transformée d’une fréquence unique...20

2. Transformée d’une fonction paire: le cosinus...21

3. Transformée d’une fonction impaire: le sinus...21

4. Transformée d’une fonction constante...22

5. Transformé d’une fonction porte...22

6. Relation entre largeur temporelle d’une fonction et largeur de son spectre...23

7. Transformée d’une fonction tronquée (transformée fenêtrée)...24

8. Transformée d’un peigne de Dirac...24

9. Calcul de la Transformée de Fourier...26

10. Cas de la Transformée de Fourier en deux dimensions...26

E. CASDESFONCTIONSPÉRIODIQUES...26

1. Définition d’une série trigonométrique...26

2. Calcul des coefficients de Fourier...27

3. Conclusion fondamentale...28

4. Cas d’une fonction de t, périodique de période T:...28

5. Remarques...30

F. COROLLAIRES...31

1. Egalité de Parceval...31

2. Largeur des paquets d’énergie...31

G. APPLICATIONS...32

1. Exercice n°1...32

2. Exercice n°2...32

3. Exercice n°3...32

4. Exercice n°4...32

III. RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES...34

A. LESOBJECTIFS...34

B. ANALYSEMATHÉMATIQUE...35

C. LESMÉTHODESITÉRATIVES...36

1. Méthodes du 1^er ordre...36

2. Méthode de Newton (2^ème ordre)...37

3. Autres méthodes...37

D. REMARQUESSURLAMÉTHODEDE NEWTON...39

1. Initialisation...39

2. Annulation de la dérivée...40

3. Calcul de la dérivée...40

4. Tests d’arrêt...40

IV. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS...42

A. RAPPELSD’ALGÈBRELINÉAIRE...42

1. Calcul matriciel (rappels)...42

2. Diagonalisation...42

3. Algorithmes...44

B. MÉTHODESDIRECTESPOURLARÉSOLUTIONDESYSTÈMESLINÉAIRES...44

1. Méthodes classiques...44

2. Inversion de matrice...48

C. MÉTHODESITÉRATIVESPOURLESSYSTÈMESD’ÉQUATIONS...50

1. Systèmes linéaires...50

2. Systèmes non-linéaires...52

3. Newton-Raphson...53

D. APPLICATIONS...54

1. Exercice 1...54

2. Exercice 2...55

V. INITIATION À MATLAB...57

A. ELÉMENTSDEBASE...57

1. Qu’est-ce que Matlab ?...57

2. Documentation - Aide en ligne...57

B. INFORMATIONSTRAITÉES...59

1. Les types de données...59

2. Types de base...59

3. Types évolués...60

C. OPÉRATIONSALGÉBRIQUES...63

1. Fonctions élémentaires, opérations arithmétiques...63

2. Opérations sur les tableaux et matrices carrées...63

VI. PROGRAMMATION SOUS MATLAB...67

A. QU’EST-CEQU’UNPROGRAMME ?...67

1. Algorithme + langage = programme...67

2. Instructions, variables et types...67

3. Sous-programmes...68

4. Mise en oeuvre d'un programme...68

5. Différentes approches de programmation...69

B. LESINSTRUCTIONSESSENTIELLES...70

1. Rupture de séquences, arrêt, tests...70

2. Les boucles...71

3. Les fonctions Matlab...72

C. TRANSMISSIOND’INFORMATIONDANSUNPROGRAMME...73

1. Les fichiers...73

2. Visibilité des variables...74

3. La gestion des entrées-sorties...75

D. QUELQUESALGORITHMES...76

1. Les tris...76

E. EXERCICES : MÉTHODESDERÉSOLUTION...80

1. Systèmes tridiagonaux par blocs...80

2. Newton-Raphson...80

VII. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES...82

A. NOTIONSDEBASE...82

B. EQUATIONSDU 1^ERORDRE...82

1. Définitions...82

2. Théorème...83

3. Résolution...83

C. EQUATIONSDU 2^DORDRE...84

1. Généralités...84

2. Equations se ramenant au 1^er ordre...84

3. Equations linéaires du 2^d ordre...85

4. Equation linéaire à coefficients constants...87

D. INTÉGRATIONPARDÉVELOPPEMENTENSÉRIEENTIÈRE...89

VIII. INTÉGRATION NUMÉRIQUE...91

A. PROBLÈMEDECONDITIONSINITIALES...91

1. Méthodes à pas séparés...91

2. Méthodes à pas liés...95

B. AUTRESTYPESDEPROBLÈMES...96

1. Problème de conditions limites...96

2. Systèmes différentiels...97

IX. OPTIMISATION...99

A. PROGRAMMATIONLINÉAIRE...99

1. Introduction...99

2. Forme canonique d'un programme linéaire...99

3. Forme standard d'un programme linéaire...100

4. Solutions optimales et sommets...102

5. Algorithme primal du simplexe...103

B. AUTRESMÉTHODES...108

1. Algorithme du gradient conjugué...108

2. Algorithme du gradient réduit...109

C. ELÉMENTSDETHÉORIEDESGRAPHES - FLOTSDANSLESRÉSEAUX -...110

1. Définitions et propriétés...110

2. Flot dans un réseau...110

3. Le problème du flot maximum dans un réseau de transport...113

4. Algorithme de recherche d’un flot maximum...114

5. Le problème du flot maximum à coût minimum...117

I. Transformation de Laplace

A.

^Définition

Soit f une fonction de la variable réelle t, définie sur R et supposée nulle pour t négatif (fonction causale). On appelle transformée de Laplace de f, la fonction F définie par:

  ^

^



^{ }

^   ^

0 t

p

f t dt

e p F

Où p est une variable complexe.

On écrit : F(p) = L [f(t)] ou F(p)



^f(t)

f(t) = L^–1 [F(p)] ou f(t)



^F(p)

La transformée de Laplace d’une fonction n’existe que si l’intégrale est convergente, pour cela on est amené à imposer à f deux conditions :



être continue par morceaux sur tout fermé



être « d’ordre exponentiel à l’infini », c’est à dire qu’il existe M>0 et  tels que |f(t)|<Me^.t pour t>X.

On démontre que si les hypothèses précédentes sont vérifiées, la transformée de Laplace est définie pour p> , ou si p est complexe, pour Re(p) >  . Par la suite on considérera en général que Re(p) > 0.

B.

Transformée de fonctions élémentaires

1.

Fonction échelon unité (fonction d’Heaviside) U(t)

   

 

 1 0 pour t pour t 0 0 t

U

  ^

^



^{ }

^{ }

0 t p

1 dt e

p F

 





 





 

0 t p

p e

Comme Re (p)>0, alors

p 0

lim e

t p

t

 



 















11

Ce qui implique

   

p t 1 U

L 

2.

Fonction impulsion unité (Distribution de Dirac)

  

 

 0t 1 pour t pour  et t 0 t0

Si



tend vers 0, la distribution de Dirac sert à représenter en physique une action s’exerçant sur un instant très court (impulsion).

 

 ^{ t}  ^

L   ^

^



^{ }

^{ }   ^

0 t

p

t dt

e p

F ^ 

^{  }

^ _ ^

0 t

p

1 dt

e

 















 

0 t p

p

e avec Re (p)>0

 

 



 



 



 



  

 











1 p

p 1 e lim

p

0

p 1

e lim 1

p

0

 



 











^{ }





a

et finalement :

L     t   1

Remarque





^{, on a }



^

 

^{ }

0

1 dt

t .

3. Fonction puissance

Soit

 

 

  

 t 0 pour t pour t 0 0 t

U .

t

ⁿ _n ^{( n}



^{N ).}

Calculons donc

 

_n

0

n t

p t dt I

e p

F  ^



^{ }   

Posons le changement de variables : u tⁿ dunt^n1dt

p v e

t p

 





dt e dv ^pt

 / 1



 / 1







^{   }

 









    













 









0

1 n t p 0

t p n 0

n t p

n e t dt

p n p

t e dt t e

I (le premier crochet est nul si Re(p)>0 )

D’où :

I

ⁿ

 n p  I

^n1. Sachant que

I

⁰

 p 1

, on en déduit que :

  

ⁿ

  

_{n 1}

p

! t n U t L p

F   

_ ( n



^N)

4. Fonction exponentielle

Soit

 

 

 



 a . t ). U t e xp(-a.t) 0 pour t pour t 0 0 exp(

         

 

 





  

 

 











 















  

0 0 0

t p

p a

t . p a dt exp

t . p a exp dt

) t . a exp(

e p F

Si Re(p + a) > 0 alors,

   

 ^{a a p p}  ^{t. 0}

lim exp

t

 



 

















d’où

     

p a t 1 U ) t . a exp(

L p

F     

5.

^Propriétés

a)

Linéarité





^et complexes, L[f(t)] = F(p) et L[g(t)] = G(p)

L[.f(t) + .g(t)] = .F(p) + .G(p)

Exemple : Transformée de Laplace des fonctions circulaires

 

       

_



 









 





 



















 





 ^{  }







i p

1 i

p 1 2 e 1

L e

2 L 1 2

e L e

t cos

L ^{i. .p i. .p}

p . . i p . . i

d’où :

   

_{2 2}

p t p cos

L     

De même pour

sin( . t )

:

   

_{2 2}

t p sin

L  

 





b)

Règle de similitude (Changement d’échelle)

Soit g(t) = f(a.t) ( a>0 )

 

^

   

^



^{  }

 

^{ }



^{  }



^



^

0 t p 0

t

p g t dt e f a t dt

e t

g L p F

On pose alors le changement de variables :

u  a  t du  a  dt

 

      



 



 

















^

 ^e

^{ }

^{f u du} _{a a} ¹

^

 ^e

^{ }

^{f u du} _a ^{1 F} _a ^p

t g L

0 au p

0 au p

ce qui permet d’établir :

    



 



 



 a

F p a t 1 a f L

c)

Règle de translation en p

 

^



^{ }

  

^



^{    }

 

^{ }



^{   }

 

^

0

t a p 0

t

p exp( a.t) f t dt e f t dt

e t

f ) t . a exp(

L p F

d’où :

L  exp(  a . t )  f   t   F  p  a 

d)

Règle de translation en t

Soit

  ^     ^

^



^{ }

^   ^{ } 

^{ }

^{  }

^



^{ }

^  ^  ^

0 0

t

0 t

p t

0 t p 0

t

p

g t dt e 0 dt e f t t dt

e t

g L p F

On pose u = t – t0 et du = dt

 

^



^{   }

 

^{   }



^{  }

 

^

0 u p 0

0 t u

p f u du exp( p.t ) e f u du

e p

F ⁰

ce qui permet d’établir :

L  f  t  t

⁰

   exp(  p . t

⁰

) F   p

^où

t

0est le facteur retard Exemple

Image d’un créneau entre 0 et t0 : f(t) = f1(t) + f2(t) = U(t) – U(t – t 0)

Il en résulte que :

  ^{exp( p . t )}

p 1 p p 1

F    

₀

D’où :

   1 exp( p . t ) 

p p 1

F    

₀

Application : Transformée d’une fonction périodique

Soit f une fonction bornée sur l’intervalle

 ^{0 ; T} 

et nulle sur



;0

 

T;



. Sa transformée de Laplace est notée

F   p

.

Définissons maintenant la fonction périodique g telle que :

  _ ^{ }      

 

N n ; 1).T (n t n.T pour n.T - t f

0 pour t t 0

g

t

0

f

2

f

1

t

0

f

2

f

1

Autrement dit : ^a

En appliquant la linéarité et le théorème du retard, on en déduit la transformée de Laplace

G   p

de g :

  

^

   









0 n

T n t f L p

G ^F   ^{p exp( p . n . T )}

0 n





 

^



  

^









0 n

) T . n . p exp(

p F

soit finalement :

   

) T . p exp(

1

p p F

G   

6.

Transformée de la dérivée

a)

Théorème fondamental

Si f’ est continue par morceaux sur tout fermé [0; x0] et si

^L  ^f   ^t    ^{ F p}

^{alors :}

 

   ft' pFp lim (f)t L

0 t0 t







^ p ^ F   p ^ f   0

^

En effet, en intégrant par parties, on obtient:

 

 

^



^{  }

 

^{ }



^{ }

  

^{}



^{    }

 

^

0

t p 0

0 t

p f' t dt exp( p.t) f t p e f t dt

e t

' f L

 

 

^



^{  }

 

^{ }

 

^{  }



^{  }

 

^

0 t p 0

t

p f' t dt f 0 p e f t dt

e t

' f L

f(0⁺) représentant la limite à droite de f(t) quand t tend vers 0, d’où le théorème.

b)

Généralisation

Si f’’ vérifie à son tour les hypothèses du théorème, on a:

 

 f '' t  

L ^{ p}

²

^{ F}   ^{p  p  f}     ⁰

^

^{ f ' 0}

^

Cette propriété, qui fait la richesse de la transformée de Laplace sera largement utilisée dans les équations différentielles.

c) Remarques importantes

Théorème de la valeur initiale:

lim  f   t  lim  p F   p 

p 0

t

 







Théorème de la valeur finale:

lim   f   t lim  p F   p 

0 p

t

 







7.

Transformée de la primitive

Si

^L  ^f   ^t   ^F   ^p

; alors :

   

p p dx F

x f L

t

0

 





 

  

a

Faire un dessin

Démonstration

  ^ 

^t

  ^

0

dx x f t

g

;

g '   t  f   t

En appliquant le théorème de la dérivée

 

 g ' t  

L ^{ p  G}   ^{p  g}   ⁰

^{ avec}

L  g   t   G   p

Il s’ensuit :

L  f   t   F   p ^ p ^ G   p ^ g   0

^

      

p 0 g p

p p F

G







or

^g   ⁰

^

^{ 0}

; d’où le résultat.

C. Produit de convolution

1. Définition

La convolution deux fonctions

^F   ^t

^et

H   t

se définit comme étant la fonction :

 

^

    













 t Fs H t s ds qui se note :

  F * H

2. Théorème

Dans le cadre de ce chapitre, on s’intéresse à des fonctions f et g nulles pour t < 0 (f et g causales). Ainsi la convolution de ces deux fonctions prendra la forme suivante :

  ^     ^{ }  ^



^t

0

ds s t g s f t

Le changement de s en t-s montre que

   t

est symétrique par rapport au couple (f,g). Proposons-nous de trouver l’image

   p

de

  t



, connaissant les images

F   p

,

G   p

de

f   t

et

g   t

, i.e. :

  p

 ^

^



^{ }

^   ^

^



^{ }

^{ } _ ^     ^{ }  ^{ } _ ^{ }

0

t

0 t p 0

t

p

t e f s g t s ds dt

e

Expression que l’on peut mettre sous la forme d’une intégrale double :

  ^  ^    ^{ }  ^{ }



^{ }

D t

p

f s g t s ds dt

e p

D étant le demi-quadrant du plan s,t défini par : 0 < s < t. Il s’agit d’une intégrale double généralisée. Si elle existe, elle est calculable en faisant le changement de variable :

s u

^;

t  s  v

On trouve :

^   ^ 

^{  }

^     ^{  }

' D

) v u (

p

f u g v du dv

e p

On voit donc que

   p

est le produit de deux intégrales :

 

^



^{   }

 

^{ }



^{   }

 

^

 0

v p 0

u

p f u du e g v dv

e p

Autrement dit :

   p  F   p  G   p

CQFD !

Finalement, on a démontré que l’image de la convolution de deux fonctions est égale au produit des images de ces deux fonctions :

   s g t s  ds L   f   t L  g   t 

f L

t

0



 



 



    

Ce théorème est d’un usage fréquent, car il permet souvent de mettre sous une forme calculable l’original du produit de deux fonctions. Si l’original de

F   p

n’est pas apparent, il pourra être commode d’écrire

F   p

sous la forme du produit de deux fonctions, et d’appliquer la formule ci-dessus.

3. Application de la transformation de Laplace aux systèmes différentiels

Considérons le système différentiel :

  









ⁿ

1 k

i k

i

a

ik

x f t

dt

dx

i1,2,...,n

où les

a

_ik ^{sont n2}constantes données, et les

f

_i

  t

n fonctions données de la variable t. C’est un système à coefficients constants avec second membre. Pour le résoudre par le calcul symbolique, on désigne par

X

_i

, F

_i les images de

x

_i

, f

_i. Si on cherche la solution de ce système telle que, pour t=0,

x

_i

  t

prenne une valeur donnée

x

_i

  0

, on a donc :

  













ⁿ

1 k

i i k ik

i

a X x 0 F

X

p

^{i1,2,...,n}

Pour calculer les

X

_i, on doit résoudre un système algébrique de n équations linéaires à n inconnues. On en déduit ainsi les

X

_i

correspondant à des conditions initiales données. Par l’intermédiaire d’un dictionnaire d’image, on en déduit les expressions des

^x

i

  ^t

. Dans ce cadre, la transformation de Laplace constitue un moyen relativement simple pour résoudre de tels systèmes, d ’autant plus lorsque l’on a à faire à un système homogène, i.e. :

0 x dt a

dx

ⁿ

1

k ik k

i

   



n ,..., 2 , 1 i

Exemple : Résolution d’un système de dimension deux

Soit le système différentiel suivant :

   

 

















t g y a ' y

t f y a ' x

s’annulant pour t = 0.

Soient

X , Y , F , G

les images de

x , y , f , g

. Les images de

x '

_et

y '

_{sont ici}

p  X

_et

p  Y

. On a donc :

 



















G Y p X a

F Y a X p

d’où on tire les expressions pour X et Y :

 



 











 







 

2 2

2 2

a p

G p F Y a

a p

G a F X p

si f et g étaient explicitement données, on pourrait en déduire directement les expressions de x(t) et y(t). Au contraire, ici

2

2

a

p F p





, _{2 2}

a p

G a





, _{2 2}

a p

F a





, _{2 2}

a p

G p





font intervenir des images dont les origines sont

    t , g t , cos  a t  , sin  a t 

f  

. On trouve ainsi, après très peu de calculs :

               

               

 



 















































t

0 t

0

ds s t a cos s g s t a sin s f t

y

ds s t a sin s g s t a cos s f t x

D. Applications

1. Exercice n°1

Calculer les transformées de :

) t ( E t ) t (

f  

^;

^E   ^t

désignant la partie entière de t.

) t . ( sh ) t (

f  

) t . ( ch ) t (

f  

) t . ( sh ).

t . a exp(

) t (

f   

) t . ( ch ).

t . a exp(

) t (

f   

 

 1 exp a . t 

a . ) 1 t (

f   

2. Exercice n°2

Trouver les originales de :

  p

F   ¹  

1

^{. p}  ^{1 . 1}  

2

^{. p} 

  p

F  ^{p .}  ¹  

1

^{. p 1}  ^{. 1}  

2

^{. p} 

  p

F

²

w p . p z . 2 1

1

 

 



 

 



; avec

z 1

  ^p

F  



 

 



 



 

 



₂

w p . p z . 2 1 . p

1

; avec

z 1

  ^p

F p 15 . p 50

2 p

2

  



3. Exercice n°3

Résoudre, en utilisant la transformation de Laplace, l’équation différentielle suivante :

  x cos   x exp

y ' y . 2 ' '

y    

avec

 

  

 



 0 0 ' y

0 0 y

4. Exercice n°4

On définit les fonctions

 ( t )

et

B

_,

( t )

par :

 





 





0 1

t .exp x .dx

x ) t (

 



^{ }







^t



0 1 1

,

( t ) x . t x . dx

B

On notera

B

_,

( t  1 )  B

_,

Etablir la relation entre

 ( t  1 )

et

 ( t )

En déduire la transformée de t^. Sachant que

  



 



  2

1

, en déduire la transformée de

 

t t 1

f 

. Remarque pour les valeurs entières de



^?

Montrer que :

   

    









 





B

_,

.

5. Exercice n°5

On s’intéresse à la simulation dynamique d’un réacteur parfaitement agité continu (RAC): ce réacteur de volume V est alimenté par un débit F de concentration en produit A, Notée CA0(t). Le courant de sortie est de même débit F que le courant d’entrée, avec un concentration CA(t).

On suppose que le produit A se transforme en produit B à l’intérieur du réacteur, suivant une cinétique du premier ordre de constante k.

Par un bilan simple sur le produit A, donner l’équation différentielle régissant le fonctionnement dynamique du réacteur. Montrer que cette équation peut se mettre sous la forme :

C τ K.τ 1 .C

dC dt

^A



_A



^{A0 ;}

où K est une fonction de k et de

τ

, qui définit le temps de séjour moyen dans le réacteur, i.e. :

V F τ

A l’aide de la transformée de Laplace, construire la transformée de Laplace du RAC définie comme étant :

   

  ^p

C p p C

G

A0



A

où

C

^A0

  p

^et

C

^A

  p

représentent respectivement les transformées de Laplace de

C

^A0

  t

^{et de}

C

^A

  t

. On supposera qu’à t=0,

C

^A

 t  0   0

. Donner la forme de

C

_A

  t

pour la condition d’entrée suivante :

C

_A0

  t  C

_A0

. U ( t )

avec CA0 = constante.

On se propose de construire la fonction de transfert de 2 réacteurs en série :

On suppose que les réactions sont caractérisées respectivement par deux constantes cinétiques k1 et k2.

A l’aide d’un bilan identique au cas traité ci-dessus, montrer, à l’aide de la transformée de Laplace, que la fonction de transfert

G   p

définie par :

   

  p C

p p C

G 

^A2

F F

C

A0

(t) C

A

(t)

V

F F

C

_A0

(t) C

_A1

(t)

V

₁

F

C

_A2

(t)

V

₂

F F

C

_A0

(t) C

_A1

(t)

V

₁

F

C

_A2

(t)

V

₂

est en fait le produit des fonctions de transfert G1

 

p et

G2   p

, respectivement des réacteurs 1 et 2.

Montrer que

G   p

est de la forme :

G    p  1  a.p H  . 1  b.p 

En supposant a= b, donner la forme de

C

^A2

  t

pour une fonction d’entrée

C

^A0

  t

définie comme dans la question précédente. Que devient

^C

^A2

  ^t

^quand

^C

^A0

  ^t

est considérée comme une impulsion de Dirac

δ

^?

Généraliser le résultat pour une série de n réacteurs.

E. Formulaire

f(t) F(p)

) t ( U

p 1

) t

 (

¹

tⁿ

1

p

n

! n



) t . exp( a

a p

1



 ^t 

cos  

2

p

2

p





 t 

sin  

2

p

2

 



 a t 

f 

 

 



  a F p a 1

) t ( f ) t . a

exp(  

^F(p+a)

 t t

₀



f  ^exp(  ^{p . t}

0

^{) F}   ^p

  t '

f ^{p  F}   ^{p  f}   ⁰

^

  t ' '

f p

²

^ F   p ^ p ^ f   0

^

^ f '   0

^



^t

  ^

0

dx x

f  

p p F

 t 

ch  

2

p

2

p





 t 

sh  

2

p

2

 



t^

 

p

1

1













^{t/1 t/ 2}



2 1

e 1  e

_



_





  ¹  

1

^{. p}   ^{1 . 1}  

2

^{. p} 

II.

Transformation de Fourier

A. Généralités

1. Définition

Les fonctions de R^a dans C^b qui sont sommables (ou absolument intégrables) forment un espace vectoriel noté L1(R ). Cet espace vectoriel est

muni de la semi-norme

 

^

  





 f x .dx f

N¹

Si

f  L

¹

  R

^,

_f

^définie par :

 

^

    





 y  f x.expi.x.y.dx

f est la transformée de Fourier de f.

2. Théorèmes d’inversion

Si

f  L

¹

  R

^et

f

^

 L

1

  R

, on a pour presque tout x réel :

f   x  2 1 

^_



_

f

^

  y . exp  ^ i . x . y  . dy

Si

^{f  L}

¹

  ^R

^et

_f

^

 _L

1

_{  R}

, et si f est continue sur R :xR,

 

^

    









 2 1  f y . exp i . x . y . dy x

f

Si

f  L

¹

  R

^et

f

^

 L

1

  R

, et si f est continue sur R :xR,

f   x   2  . f   x



Si

f  L

1

  R

est à variations bornées : ,

R x



          _



 



  





^









 



a

a a

f y . exp i . x . y . dy

2 1 lim x

f x 2 f

1

(Lemme de Jordan)

a

Corps des réels.

b

Corps des complexes.

B. Propriétés

1. Linéarité





^



 







 

k n 1 k

k k n

k 1 k

k

k

. f . f

2. Fonctions conjuguées – transformation affine

   y f y 

g f

g  

^



^



  x exp  i . a . x    . f x g    y f y a 

g  

^



^



   ^{x  f a . x  b}  ^{ g}

^

  ^{y  1} _a ^{. exp}  ^{ i .} _a ^{b . y}  ^{. f}

^

^ _ ^ _a ^{y } _ ^

g

et plus particulièrement :



      



 



 





^{ }

a f y a . y 1 g x . a f x g



^g    ^x  ^f  ^x   ^g

^

   ^y  ^f

^

 ^y 



g    x  f x  b   g

^

  y  exp   i . b . y    . f

^

y

3. Dérivation et Intégration

a) Transformée de Fourier des dérivées

Si

^{f  L}

¹

  ^R

est dérivable et si

^{f '  L}

¹

  ^R

^:

f

^

' ( y )   i . y . f

^

( y )

Si

f  L

¹

  R

est n fois dérivable et si pour tout k

  1 ; 2 ;..; n  f

(k)

 L

1

  R

, alors :

^f

^(n)

^{( y )}    ^{i . y} 

ⁿ

^{. f}

^

^{( y )}

b) Dérivées des Transformées de Fourier

On pose :

g ( x )  i . x . f ( x )

Si

f  L

1

  R

^{et si}

g  L

1

  R

^{, alors}

_f

^ est de classe C¹ et f^ ^g^

'

Généralisation, on pose :

g

k

( x )   i . x 

^k

. f ( x )

.

Si

f  L

1

  R

et si pour tout k

  1 ; 2 ;..; n 

^,

g

k

 L

1

  R

^{, alors}

_f

^ est de classe Cⁿ et _n

) n (

g f^ ^





C. Convolution

Soient f et g deux applications de R dans C. La convolée, ou produit de convolution des fonctions f et g est l’application définie par :













g(x) f(t).g(x t).dt f

Soient f et g

^{ L}

¹

  ^R

^:

) x ( g

f 

est définie pour presque tout x

  R L g f  

¹

 f g  N ( f ). N ( g )

N

¹

 

^{1 1}

les propriétés suivantes sont vraies pour presque tout x :

 fggf



 ^f  ^g   ^h  ^f   ^g  ^h 



f   g  h    f  g    f  h 

 Si f et g

 L

¹

  R

^{, alors :}



_fgf^_.g^

 Si f et g

 L

1

  R

^{, et si}

_f

^{ et} _g^

 L

1

  R

^{, alors  }



^

  f g 2

fg 1

^a

La transformation de Fourier transforme le produit de convolution en produit simple. Réciproquement, elle transforme le produit simple en produit de convolution. Ce résultat est connu sous le nom du théorème de Plancherel.

D. Exemples

Il existe plusieurs définition de la transformée de Fourier, qui sont toutes équivalentes à un changement de variables prêt. Dans la suite, on adoptera donc comme définition, pour la transformée :

 

^

    





 n  f t.exp 2.i..n.t.dt f

Et pour la transformée inverse :

 

^

    





 

 f n . exp 2 .i. . n t. . dn 2

t 1

f

^{^}

1. Transformée d’une fréquence unique

Prenons un vecteur tournant

f ( t )  exp( 2 . i .  . n

1

. t )

qui tourne à la fréquence n1. f est alors une fonction complexe. Sa transformée est:

 

^

    





 n  f t.exp 2.i..n.t.dt

f ^

_    









 exp2.i. .n1 n.t.dt

Pour n = n1 cette intégrale n’est pas définie et vaut

 

^{. Pour n}



ⁿ¹. L’intégrale est nulle. On retrouve donc une « fonction » nulle partout sauf en un point n1où elle prend la valeur

 

. C’est en fait un Dirac centré sur n1. On le note :

f

^

  n    n  n

1



^.

a

La division par 2 est inhérente à la définition que l’on a donnée à la transformée de Fourier de f. D’autres

définitions suppriment ce facteur.

2. Transformée d’une fonction paire: le cosinus

On a vu que

cos  2  . n . t 

est une fonction périodique de fréquence n qui peut s’exprimer sous la forme:

 2 . n . t  ^e ₂ ^e

cos

^2i.n.t



^2i.n.t





. Un cosinus est donc constitué uniquement de 2 fréquences n et - n, c’est à dire de 2 vecteurs tournants dont les coefficients sont + ½ et + ½. Sa transformée de Fourier sera donc constituée de 2 Dirac centrés sur n et -n. Cette transformée est une fonction réelle (et paire). Ce résultat est général.

Transformée d’un cosinus

3. Transformée d’une fonction impaire: le sinus

On a vu que

sin  2  . n . t 

est une fonction périodique de fréquence n qui peut s’exprimer sous la forme:

 

i 2

e t e

. n . 2 sin

t . n . i 2 t . n . i

2



 





. Un sinus est donc constitué uniquement de 2 fréquences n et -n , c’est à dire de 2 vecteurs tournants dont les coefficients sont -½ i et +½ i . Sa transformée sera donc constituée de 2 Dirac centrés sur n et -n . Cette transformée est une fonction imaginaire et impaire. Ce résultat est général.

Transformée d’un sinus

4. Transformée d’une fonction constante

Une fonction constante f(t)=1 peut être considérée comme un cosinus de fréquence 0, c’est à dire de période infiniment grande. En effet,

 2 . n . t  1

cos  

. C’est une fonction « périodique » qui met tellement longtemps avant de « bouger » qu’elle reste toujours au même endroit. Sa transformée sera donc un Dirac centré sur 0. Inversement, la transformée d’un Dirac est une constante.

5. Transformé d’une fonction porte

Soit une fonction f(t) définie comme suit : f(t) = 1 si t



^[-a,+a]

f(t) = 0 si t



^[-a,+a]

Calculons sa transformée. C’est le seul cas où on va pouvoir le faire ici facilement et rigoureusement.

  n

f

^

    

^

  





















^a

a

dt . t . n . . i . 2 exp dt

. t . n . . i . 2 exp . t f

 













^a

a

dt . t . n . . i . 2 exp

 











⁰

a

dt . t . n . . i . 2

exp ^

^



^a

 ^{ } 

0

dt . t . n . . i . 2 exp

 

 ^



^a

0

dt . t . n . . i . 2

exp ^

^



^a

 ^{ } 

0

dt . t . n . . i . 2 exp

 

 ^





^a

0

dt . t . n . . 2 cos

2   2 a . s inc  2 . n . a 

a . n . 2

a . n . 2 a sin

2  



 



où la fonction sinus cardinal est définie comme :

t ) t ) sin(

t ( c

sin 

^a

Ainsi, la transformée d’une porte est un sinus cardinal. Inversement, la transformée d’un sinus cardinal est une fonction porte.

Transformée d’une porte

a

On rappelle que 1 t

) t lim sin(

0

t

  

 



6. Relation entre largeur temporelle d’une fonction et largeur de son spectre

Reprenons l’exemple précédent:

f(t) = 1 si t



^[-a,+a]

f(t) = 0 si t



^[-a,+a]

  n

f

^

 2 a . sin c  2  . n . a 

La largeur de la porte est de 2a. La largeur du lobe central de sa transformée (c’est à dire de son spectre en fréquence) est (1/a).

En effet

f

^

  n  0  sin( 2  . n . a )  0  2  . n . a  k 

Donc

f

^

  n  0  n  ₂ ^k _a

. La fonction

f

^

  n

s’annule donc en n =-1/2a et en n =1/2a, d’où la largeur 1/a.

Si la porte f(t) est très large (fonction qui dure longtemps dans le temps), a sera grand, donc 2/a sera petit et le spectre

f

^

  n

sera étroit.

En revanche, si la porte f(t) est étroite (fonction brève dans le temps), a sera petit, donc 2/a sera grand et le spectre

^f

^

  ⁿ

sera très large.

A la limite, une impulsion infiniment brève (Dirac) a un spectre infini : une impulsion infiniment brève contient toutes les fréquences.

Réciproquement, une fonction cosinus dure de -



^{à +}



, et elle a un spectre étroit (2 Dirac).

7.

Transformée d’une fonction tronquée (transformée fenêtrée)^a

Soit une fonction f(t) qui prend des valeurs de -



^{à +}



. Si l’on observe cette fonction pendant une durée limitée, par exemple, de t = -a à t = +a, ceci va revenir à étudier la fonction

g ( t )  f ( t ). P ( t )

où P (t) est la fonction porte^b étudiée précédemment. En dehors de cette fenêtre d’observation, on considérera que la fonction est nulle. Lorsqu’on fait la transformée de la fonction observée g(t), on ne va pas obtenir exactement la transformée de la fonction f(t). Ceci correspond à une situation très réelle: on ne peut étudier un signal donné que pendant un temps limité! Calculons la transformée de g: g  f.P

D’après la propriété sur les relations entre transformée et produit de convolution, on obtient:g^ f^P^ f^sinc

La transformée de g est donc le produit de convolution entre la transformée de Fourier de f et d’un sinus cardinal. Par exemple, si l’on observe une sinusoïde pendant un temps limité, on obtiendra un sinus cardinal (décalé par rapport à l’origine):

c sin f P f

g^  ^^  ^

   n  n

1

  sin c ^{ } n  sin c  n  n

1



Le fait d’observer la fonction pendant un temps limité change donc sa transformée.

a

Ici, on tronque la fonction f à observer par une fonction porte. On aurait tout aussi bien pu modifier f en la

multipliant par une gaussienne ou tout autre fonction (fenêtre) visant à mettre en exergue certaines parties de f ,

c’est pourquoi on parle plus généralement de transformée fenêtrée.