Université de Tours “François Rabelais”
Faculté de Sciences et Techniques Licence de Physique 2009–2010
UE404PModélisation, Simulations, Outils Informatiques
TD2 : Le problème à deux corps : L’évolution dans le temps
Le but de cet exercice est l’étude quantitative du mouvement de deux masses, m1 et m2, lorsque l’énergie potentielle d’interaction est une fonction uniquement de leur séparation, V(r1,r2) =V(||r1−r2||) =V(r). Dans ce cas on sait que le mouvement “intéressant” est celui d’une particule fictive, de masse égale à la “masse réduite”,m≡m1m2/(m1+m2), dans un potentiel “effectif”,
Veff(r)≡V(r) + L2 2mr2
oùL2 ≡ ||L||2 est la norme du moment cinétique,L =m1r1∧v1+m2r2∧v2. Pour le cas Newtonien ou Coulombien (avec charges de signes différentes), on sait que le potentiel effectif possède un minimum,V∗ ≡Veff(r∗). PourV∗ < E <0le mouvement sera donc périodique, avec période
T= rm
2 Z rmax
rmin
du pE−Veff(u)
Dans cet exercice on cherche à comprendre ce qui se passe lorsque l’on ajoute un terme d’énergie élastique,
V´elast=k 2(r−l)2
aveclla longueur d’équilibre du ressort etkla rigidité de celui-ci.
Le potentiel effectif prend, alors, la forme suivante
Veff(r) = L2
2mr2−Gm1m2
r +k 2(r−l)2
On se rend compte que l’on peut employer la longueur d’équilibre,l, comme échelle de longueur, ainsi écrirer≡ρl, avecρsans dimensions. Le potentiel effectif prend la forme
Veff(ρ) =L2/(2ml2)
ρ2 −Gm1m2/l ρ +kl2
2 (ρ−1)2
Cette expression met en évidence les trois contributions : celle de la rotation des masses, L2/(2ml2), celle de leur attraction gravitationnelle, −Gm1m2/l et celle élastique,kl2/2. On peut former deux rapports sans dimensions et l’on va choisir comme référence l’énergie élas- tique. Ainsi l’on pose
εL≡L2/(2ml)
kl2/2 et εG≡Gmu1m2/l kl2/2
et l’on obtient
Veff(ρ) =1 2kl2
εL ρ2−εG
ρ + (ρ−1)2
L’expression intéressante est, alors, Veff(ρ)
(kl2/2)≡v(ρ) =εL
ρ2 −εG
ρ + (ρ−1)2
Ses extréma sont les équilibres, les distances entre les masses, où ces masses pourront être au repos. Si les équilibres sont stables, alors les masses vont effectuer des oscillations autour d’eux, avec des périodes que l’on cherchera à calculer.
On se rend, aussi, compte que εGest tellement petite, sauf pour des masses de l’ordre de celle de la Terre, que l’on peut négliger ce paramètre, en présence des autres termes. Ainsi l’on prend, désormais,εG= 0.
Dans l’exercice précédent on a étudié ce système à l’équilibre. Dans l’exercice actuel on étudie la dynamique. On se place au référentiel du centre de masse–ainsi le seul mouvement
“intéressant” est le mouvement relatif. La conservation du moment cinétique en tant que vecteur implique que le mouvement “intéressant” a lieu sur le plan qui est perpendiculaire à ce vecteur.
On va poser le système des coordonnées de façon à ce que ce plan soit le planz= 0. Alors le mouvement du point matériel fictif dont la masse est la “masse réduite”,m≡m1m2/(m1+m2) est décrit par les équations suivantes
t= rm
2 Z r
r(0)
du pE−Veff(u) θ=θ(0) + L
√2m Zr
r(0)
du u2p
E−Veff(u)
La première équation nous livret(r)⇔r(t)et la deuxième nous livreθ(r)⇔r(θ), la trajec- toire en coordonnées polaires sur le planz= 0. Comme on ne peut pas évaluer ces intégrales analytiquement de façon utile, on va employer la méthode de Simpson.
1. Déterminer les bornes du mouvement,rmin(E, L)≤r≤rmax(E, L), racines réelles (et positives) de l’équationE=Veff(r).
2. Ecrire ces expressions de manière dimensionnellement transparente.
3. Tracer la trajectoire,r(θ), pour différentes valeurs deεLet deE/(kl2/2). Se passe-t-il quelque chose pourεL≈εcritL de l’exercice précédent ?
4. OPTIONNEL: Réconstruire le mouvement complet des deux masses.
5. OPTIONNEL : Déterminer la période du mouvement comme fonction de εL et de E/(kl2/2).
