Problème à deux corps

Problème à deux corps

I₂₄.

)

Un véhicule spatial N de masse M capture avec un lasso de longueur un satellite S de masse m. Dans un référentiel galiléen ⁽ lié à un repère cartésien (

L R) O u u u, , ,G G G_{x y z}

, à cet instant, N est à l’origine O et a la vitesse

0 0 x

vG =v uG

, tandis que S est immobile à OSJJJG =LuG_y .

1) Précisez le mouvement du centre de masse G de N et S après que la liaison soit établie.

2) Soit ( le référentiel dont l’origine G est le centre de masse de N et S et qui est en translation par rapport à . Précisez les mouvements de N et S dans ( après que la liaison soit établie.

)

R′

( )R ^R′)

3) Calculez la tension du lasso.

II₆₈. Modèle de la molécule CO.

Deux points matériels A et B de masses m1 et m2 sont sur une droite aux abscisses x1 et x2 distantes de r = x2 - x1 (on supposera x2 > x1). Ils forment un système isolé. La force exercée par A sur B est : ( ) a₇ b₁

F r =−r +r ₃ (où a et b sont des constantes positives)

1) Ecrire les deux équations différentielles auxquelles obéissent les fonction x1 et x2 du temps t.

2) En déduire l'équation différentielle qui régit la fonction r de t. Cette équation est formellement identique à l'équation du mouvement d'une particule fictive de masse µ située à la distance r d'une origine fixe O et soumise à la force F(r). Donner l'expression de µ en fonction de m1 et m2 .

3) Montrer que la force F(r) dérive d'une énergie potentielle Ep (r). Donner l'expression de Ep en fonction de r telle que Ep (r) tende vers zéro quand r tend vers l'infini.

4) Exprimer la valeur r0 de r à l'équilibre et la valeur correspondante de l'énergie potentielle Ep (r0 ).

5) A l'aide des résultats précédents et des expressions limites de Ep (r) quand r tend vers zéro ou l'infini, donner l'allure du graphe Ep (r).

6) L'équilibre en r0 est-il stable (justifier votre réponse).

7) Un développement limité de E p(r) au voisinage de r0 donne : Ep (r) = Ep (r0 ) + 3a(r - r0 )² /r08

+...

En déduire une expression de la pulsation ω des petites oscillations autour de la position d'équilibre.

8) On applique ce modèle à une molécule CO. Quelle est l'expression de l'énergie de liaison de la molécule ? 9) Cette molécule présente un pic d’absorption du rayonnement pour la pulsation ω = 5,5.10¹⁴ rad/s. La vitesse de la lumière est c = 3.10⁸ m/s. Calculer la longueur d'onde du rayonnement correspondant. Dans quel domaine se situe-t- elle ?

III₇₃. Généralités sur le problème à deux corps.

Soit un système S isolé constitué de deux particules A et B de masses respectives m et m . On étudie ce système dans un référentiel R supposé galiléen. On se donne également un point ^O fixe dans ce référentiel. On appelle ^F

a b

a

G et FGb

les forces exercées par B sur A et A sur B. On suppose que leur module ne dépend que de la distance r entre les deux particules.

1) Soit C le centre de masse du système S. Déterminer, en le démontrant, le mouvement de C dans R . 2) Soit rG =ABJJJG

. Montrer que l’étude du mouvement relatif se réduit à l’étude plus simple du mouvement d’une seule particule (que l’on nommera mobile fictif) de masse et de vecteur position µ rG

soumise à la force FG_b . On donnera l’expression de . µ

3) Dans le cas particulier où m_b m_a, que vaut et où se trouve le centre de masse C ?

= −

= =R= µ

4) Montrer que la variation de l’énergie cinétique du système est égale à celle du mobile fictif.

IV₂₁. Limite de collision d’étoiles.

Constante de la gravitation G 6, 67.10 ¹¹SI

Deux étoiles semblables au Soleil (rayons ^{R R} , masses ) ont dans un référentiel galiléen une vitesse relative

1 2 7.10 m8

1 2 2.10 kg30

m =m =m = v v_{2 1} 50 km .s ¹

vG_∞

b

v ⁻

∞ = G −G =

O P′

=

lorsqu’elles sont loin l’une de l’autre. Quel doit être leur paramètre d’impact b pour qu’elles se frôlent ? V₃₈. Positions de Lagrange.

On suppose qu’il existe un référentiel galiléen (R) et on se place dans ce référentiel dont on note l’origine O'. Deux astres sphériques de masses m1 et m2 y sont seuls dans l’espace. Ils interagissent comme deux points matériels P1 et P2

de vecteurs position ^r1 1

JJJJG

G et ^rG2 =O PJJJJG′ 2

. On pose ²

1 2

m

m m

λ=

+ .

1) Montrer que le centre de masse O de ces deux astres est immobile ou a un mouvement rectiligne uniforme.

1

2) On se place dorénavant dans le référentiel galiléen (G) d’origine O et en translation par rapport à (R). On appelle mouvement relatif celui d’une particule P de rayon vecteur rG =OPJJJG=rG₂ −rG

. Montrer le mouvement de P est celui d’une particule dont on définira la masse µ et la force qu’elle subit.

3) Montrer que le mouvement de P a lieu dans un plan (PL) fixe.

4) Exprimer rG₁ et rG₂

en fonction de rG

et de λ.

Les mouvement des deux astres s’effectuent dans le plan (PL). On suppose désormais les deux astres en équilibre relatif, c’est-à-dire que leur distance mutuelle D reste constante.

5) Les deux astres décrivent des mouvements circulaires de centre O. Exprimer leurs rayons r1 et r2 en fonction de D et λ. Précisez l’ordre dans lesquels se trouvent P₁, P2, P et O sur la droite suivant laquelle ils sont alignés.

6) Exprimer la vitesse angulaire ω commune aux mouvements de P, P₁ et P2 en fonction de la constante de Cavendish G, de m1, m2 et de D.

7) On cherche les positions d’équilibre relatif par rapport à P1 et P2 d’un troisième corps P3 de masse m3 très petite par rapport aux deux autres. Ce corps ne perturbe que très peu les deux autres. Montrer que les positions d’équilibre éventuelles sont nécessairement dans le plan (PL).

8) On suppose d’abord ce troisième corps situé sur la droite joignant les deux autres. Soit x son abscisse si l’on oriente cette droite de P1 vers P2 et si l’on prend P1 comme origine. Montrer que z =x D/ est solution de :

( ) ( ) ^{( )}

( )

2 2

1 signe( ) signe( 1)

, 0

1

z z

f z g z z

z z

− λ λ −

= λ =− − + − λ =

− .

9) Déterminer le sens de variation de la fonction signe₂⁽z⁾

− z dans les intervalles où elle est définie. Donner le tableau de variation de f z^{( )} ; combien l’équation f z^{( )}=0 a-t-elle de racines ? Préciser les intervalles où se trouvent ces racines.

10) A présent, on cherche les positions d’équilibre qui ne sont pas sur la droite joignant les deux astres. On ne suppose pas négligeable devant les autres masses. On suppose qu’il existe un référentiel galiléen d’origine O' où l’on se place. On note

m3

1 2, , 3

r r rG G G

les vecteurs joignant O' aux trois mobiles. Montrer que le centre de masse O des trois mobiles est immobile ou a un mouvement rectiligne uniforme.

11) On se place dans le référentiel, dit barycentrique, d’origine O et en translation par rapport au précédent. Ce référentiel est galiléen. Les trois mobiles y sont dans un plan (PL) passant par O. Nous admettrons que ce plan est fixe.

Exprimer l’accélération

2 3 2

d r dt

G

du mobile P3 en fonction de G, des masses, des rayons positions r r rG G G_{1 2}, , ₃

et des distances r31 et r32 qui le séparent des deux autres mobiles. Pour obtenir une équation vectorielle, on utilisera l’idée que r rG/

est un vecteur unitaire.

12) On suppose les trois mobiles en équilibre relatif. Quelles sont leurs trajectoires ? Faire un croquis d’une disposition possible de O, des trois points à un instant donné et de leurs trajectoires.

13) Exprimer

2 3 2

d r dt

G

en fonction de rG₃

et de la vitesse angulaire ω de P₃. 14) Montrer que m r_{1 1}G +m r_{2 2}G +m r_{3 3}G =0

.

15) Ecrire l’égalité des expressions de l’accélération de P3 trouvées précédemment. Y remplacer

G

r

₂ par son expression tirée de la question précédente. En déduire que, si les trois mobiles ne sont pas alignés, r31 = r32.

16) Montrer que les trois mobiles forment un triangle équilatéral.

VI22. Ondes gravitationnelles émises par un système de deux étoiles à neutrons (inspiré de E3A 2006 PC).

La théorie d'Einstein de la relativité générale prévoit la propagation des déformations de l’espace-temps par les masses sous forme d’ondes gravitationnelles. Depuis leur prédiction, en 1916 par Einstein, aucune expérience n'a permis de détecter directement ces ondes. Les effets attendus sont en effet extrêmement faibles.

Parmi les sources d'ondes gravitationnelles, l'effondrement d'un système de deux étoiles à neutrons est un phénomène que l'on pense détecter. Nous calculerons ce phénomène dans le cadre simplifié de la dynamique newtonienne. Le référentiel d'étude ⁽R⁾ est supposé galiléen.

1. Système de deux étoiles.

Soit deux étoiles, de centres A₁ et A₂, de distance r =A A_{1 2}, de masses égales M , de vitesses vG₁ et vG₂

, en interaction gravitationnelle et seules dans l’espace. On les observe dans un référentiel galiléen ⁽R⁾ où elles tournent l’une autour de l’autre ; on néglige leur rotation sur elles mêmes. On note la constante de la gravitation.

6, 67.10⁻11SI G =

1.a) Dans quelle mesure peut-on assimiler ces étoiles à des points matériels ? On fera cette hypothèse dans la suite.

1.b) Que peut-on dire du mouvement du centre de masse G des deux étoiles ? A partir de la question 1.d), nous ferons l’hypothèse que ce centre de masse est immobile.

1.c) Appliquer le théorème de l’énergie cinétique à chaque étoile. En déduire que 1

(

1^{2 2}2

)

²

2

E M v v M

= + −^Gr est constant au cours du temps.

1.d) On suppose à présent que les deux étoiles décrivent un même cercle de centre O et de rayon . Que représente le point O ? Préciser la disposition des étoiles sur le cercle.

R 1.e) Exprimer la vitesse angulaire ω de ce mouvement en fonction de G, M et R.

1.f) Montrer que

2

4 E M

=−GR

. Commenter son signe.

1.g) Le mouvement quasi circulaire de deux étoiles à neutrons, de masses , a, peu de temps avant l'effondrement, une période très faible . Calculer le rayon R de l’orbite commune.

2, 8.10 kg30

M = 0,1s

T = 2. Effondrement de ce système.

Le système binaire des deux étoiles A₁,A₂ est une source d'ondes gravitationnelles ; ces ondes transportent une certaine énergie. Un calcul de relativité générale montre que la puissance ainsi « rayonnée » dans le référentiel ⁽R⁾ s'écrit

2 4 6

10 5 og

P M R

c

= G ω

, où c =3.10 m.s^{8 −1} est la vitesse de la lumière dans le vide.

L'émission des ondes gravitationnelles peut être modélisée par des forces non conservatives agissant sur le système des deux étoiles. L'évolution étant lente, les trajectoires ne sont modifiées que très progressivement et on admet que les formules précédentes sont encore largement applicables.

2.a) Qu'est ce qu'une force non conservative ? 2.b) Quelle relation existe-t-il entre dE

dt et Pog ?

Le rayon R de la trajectoire est désormais fonction du temps.

2.c) Montrer que R varie selon la loi dR ₃

dt R

=−α et exprimer α en fonction de c, G et M . 2.d) Al’instant t =0,R =R₀.Déterminer R (t) en fonction de R₀, t et α.

2.e) Représenter l'allure de la trajectoire de l'une des deux étoiles.

Les deux étoiles à neutrons sont des boules de rayon ρ=^{10 km}.

2.f) Déterminer, en fonction de R₀, ρ et α le temps t_c au bout duquel les deux étoiles entrent en contact.

2.g) Exprimer en fonction de G, M et ρ, la vitesse angulaire de rotation ω_c atteinte par le système à l'instant t_c. 2.h) Application numérique : calculer tc et ω_c sachant que R₀ =2, 3.10 m⁵ et M =2, 8.10 kg³⁰ .

2.i) Justifier que le modèle précédent n'est valable que si la condition dR dt^/ Rω est réalisée.

2.j) Cette condition est-elle vérifiée jusqu'à l'instant de contact ? 2.k) L’hypothèse de 1.a) est-elle valable jusqu'à l'instant de contact ? 3. Aspect énergétique.

3.a) Déterminer la puissance gravitationnelle rayonnée, Pog^{( )}t , en fonction de t, α, R₀, c, M et G. 3.b) Représenter schématiquement le graphe Pog^{( )}t .

Une fois le contact réalisé, l'émission de l'onde gravitationnelle cesse.

3.c) Calculer la puissance maximale, notée P_og,max rayonnée par le système sous forme d'onde gravitationnelle.

3.d) Calculer l'énergie totale E_og rayonnée sous forme gravitationnelle entre les instants et . Commenter les résultats de 3.c) et 3.d).

0 t = t_c

Réponses

I. 1) mouvement rectiligne uniforme de vitesse ^{( )} Mv⁰ v G ⁼ M +m

G G

; 2) N et S décrivent des cercles de centre G et de rayons mL

M +m et mL

M +m avec la vitesse angulaire commune ω =v0/L ; 3)

( )

20

T mMv

m M L

= + .

II. 1) ^{( ) ( )}

2 2

1 2

1 2 2 2

d x d x

m F r m F

dt =− dt = r ; 2) ^{( )}

2

2 1 2

1 1

d r F r

m m

dt

⎛ ⎞⎟

=⎜⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠ ; ^{1 2}

1 2

m m

m m

µ = + ; 3)

6 1

6 12

p a b

E =− r + r ₂ ; 4) ₀ ( / )^{1/ 6} ( )₀ ²

p 12a

r b a E r

= =− b ; 5)

6) oui ; 7) ₈

0

6a ω= r

µ ; 8)

2

12 D a

= b ; 9) λ= ^2πc =^{3, 43.10−6m}

ω (infrarouge).

III. 1) mouvement rectiligne uniforme ; 2) ^{1 1 1}

a b

m m

= +

µ ; 3) µ ma ; le centre de masse est voisin de B.

IV. 4 ^{2 8}GmR₂ 1, 73.10 m¹₀ v_∞

= + =

b R .

V. 2) Particule fictive soumise à la force FG₂

et de masse telle que µ

1 2

1 1 1

m m

= +

µ ; 4) rG₁ =−λrG ;

( )

2 1

rG = − λ rG

; 5) r1 =λD ; r₂ =⁽1− λ⁾D ; ordre P₁, O, P2, P ; 6) ^{G m( 1} ₃ ^m2) D

ω = + ; 9) fonctions

croissantes ; la fonction f z^{( )} a trois zéros, l'un dans ]−∞, 0[ , le second dans ]0,1[ et le troisième dans ]0,+∞[ ;

11) ² _{3 1}( _{1 3}) ₂( _{2 3})

2 3 3

13 23

Gm r r Gm r r d r

dt r r

− −

= +

G G G G

G

; 12) mouvements circulaires uniformes de centre O : 13)

23 2

2 3

d r r

dt =−ω

G G

. VI. 1.a) Etoiles à symétrie sphérique ; b) mouvement rectiligne uniforme ; d) le centre de masse e) ₃

4 M ω R ; f) état lié ; g)

= G

3 3

160 5

M

α c ; d) ^{R R} ; e) spirale dont le rayon décroît d’abord très lentement, puis très rapidement à la fin ; f)

= G =

(

0⁴ − α4 ^t

)

^{1/ 4}

4 4

0 42 000 s

c R 4

t = ^{− ρ} = ; g)

α ³ 6830 rad.s ¹

c 4M ₋

ω = =

ρ

G ; j) oui ; k) non ;

3.a)

( )

4 5 5 4 5/ 4

640 0 4

og M

P ; c)

c R t

= − α

G ^{4 5} ₄₆

,max 5 5 2,19.10 W

og 640M

P ;

d)

= c = ρ G

2 46

0

1 1

1,25.10 J

og M4

E E ; rayonné essentiellement pendant la seconde qui précède le contact.

R

⎛ ⎞⎟

=∆ = ⎜⎜⎜⎝ρ− ⎟⎟⎠= G

Corrigés

I.

1) Le centre de masse G a un mouvement rectiligne uniforme. Comme MON mOS

OG M m

= +

+ JJJG JJJG JJJG

, ( ) dOG Mv N( ) mv S( )

v G dt M m

= = +

+

JJJG G G

G qui s’évalue par sa valeur initiale ( ) Mv⁰

v G =M m + G G

.

2) Le mouvement relatif est un mouvement circulaire de rayon L. Il est uniforme, puisque la force est radiale. Sa vitesse initiale est v S^{G( )}−v N^{G( )} =v₀, donc sa vitesse angulaire est ω=v₀/L.

Les mouvements de N et S dans le référentiel barycentrique sont des mouvements homothétiques de ce mouvement.

Initialement mL

NG =M m

+ et ML SG =M m

+ . N décrit un cercle de centre G et de rayon mL

M +m et S décrit un cercle de centre G et de rayon mL

M +m. Les trois points N, G et S restent alignés dans cet ordre et leur vitesse angulaire est ω=v₀/L.

3) Appliquée au mouvement relatif, la loi fondamentale de la dynamique s’écrit

( )

20

T mMv

m M L

= + II. Modèle de la molécule CO.

1) ^{( ) ( )}

2 2

1 2

1 2 2 2

d x d x

m F r m F

dt =− dt = r .

2) Divisons la première équation par m₁, la seconde par m₂ et retranchons les : ^{( )}

2

2 1 2

1 1

d r , d’où

l’expression de la masse réduite

m m F r dt

⎛ ⎞⎟

=⎜⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠

1 2

1 2

m m

m m

µ = + .

3) ( ^{( )} ₂ ^{( )} ₁) ^{( )} ₆

6 12

p a b

p 12

F r dx F r dx F r dr E

r r

=− − =− ⇒ =− +

dE en prenant une constante d’intégration

nulle de sorte que lim_r→∞E_p =0.

4) A l’équilibre, ( )₀ 0 ₀ ( / )^{1/ 6} ( )₀ ²

p 12a

F r r b a E r .

= ⇒ = =− b

5)

6) L’équilibre est stable, car F r^{( )} est décroissant en r₀ ; autre démonstration : E_p⁽r⁾ est minimum en r₀. 7) D’après la conservation de l’énergie, 1 ^{2 ( )}

2µr +E_p r =cste, soit en dérivant par rapport au temps

p 0 rr rdE

µ+ dr = ; en éliminant la solution parasite r =0, on obtient

( ₀)

8 8

0 0

1 1 6

0 0

dEp a r r a

r r

dr r r

+ = ⇒ + − = ⇒ ω=

µ µ µ

6

8) ^{( )} ( )₀ ²

p p 12

D E E r a .

= ∞ − = b 9)

8 6

14

2 2 3.10

3, 43.10 m 5, 5.10

c ₋

π π×

λ= = = qui fait partie du domaine de l’infrarouge.

ω

III.

1)

2 2 2

2

a a

b b

m d OA F dt m d OB F

dt

=

= JJJG G

JJJG G

Comme S est isolé et R galiléen, F^G_a +F^G_b =0^G, donc

2 2

2 2 0

a b

d OA d OB

m m

dt + dt =

JJJG JJJG

G

. Or ^{a b}

a b

m OA m OB

OC m m

= +

+ JJJG JJJG JJJG

. Donc

2

2 0

d OC dt =

JJJG G

: le mouvement de C est un mouvement rectiligne uniforme.

2) Divisons par la première équation de la réponse à la question 1, par la seconde équation et retranchons-les membre à membre :

ma m_b

2 2

1 1

a b b

d r F

m m

dt

⎛ ⎞⎟

=⎜⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠

G G

où _b ^{( )}r F F r

= r G G

. Le mouvement relatif est le même que celui du mobile fictif et 1 1 1

a b

m m

= +

µ .

3) Si m_b m_a, µm_a ; le centre de masse est voisin de B.

4) D’après le théorème de l’énergie cinétique,

(

₂^{1 2}

) (

¹₂ ²

)

( )

(

¹₂ ²

)

c a a b b a a b b b b a b

dE =d m v +d m v =FG ⋅drG +F drG ⋅ G =FG ⋅ drG −drG =F drG ⋅ G =d µv_r . Autre justification : si _r dr

v = dt G G

, 1^{( ) 2}( )

c 2 a b

E = m +m v C + µ1 ²

2 v^r. Comme le premier terme est constant, la variation de l’énergie cinétique est celle de l’énergie cinétique du mouvement fictif.

IV.

Soit et la distance entre étoiles et la vitesse relative quand elles sont au plus près. Le mouvement du mobile fictif est celui d’un point matériel de masse sous l’action de la force ; écrivons la conservation de l’énergie et celle du moment cinétique du mobile fictif entre le point le plus proche et l’infini :

r1 v₁

/ 2

µ =m Gm²/r²

1 1

2 2 2

1 1

1 1

2 2

L bv r v

E v v Gm

r

∞

∞

= µ = µ

= µ = µ −

Eliminons v₁ : ^{2 2 2}₂ ²

1 1

1 1

2 2

b Gm

v v

r r

∞ ∞

µ = µ − . Les étoiles se frôlent si r₁ =2R :

( )

( )

21 2 11 30 8

2 2 8

1 2 2 4 2

2 8 8 6, 67.10 2.10 7.10

4 4 7.10 1, 73.10 m

5.10

Gm r GmR

b r R

v v

−

∞ ∞

× × ×

= + = + = × + =

µ

10 . V.

1) La loi fondamentale de la dynamique appliquée à chacun des astres s'écrit :

21

1 2 1

m d r F dt =

G G

et

22

2 2 2

m d r F dt =

G G

. D'après la loi de l'action et de la réaction, FG₁ +FG₂ =0G

. D'où :

2 2

1 2

1d r2 2d r2 0

m m

dt + dt =

G G G

Le centre de masse est le point O tel que ^{1 1 2 2}

1 2

m r m r

O O m m

′ = + +

G G

JJJJG

. D'où

2

2 0

d O O dt

′ = JJJJG

G

: la vitesse de O reste constante au cours du temps.

2) En divisant les deux premières équations de la question 1 par et , et en retranchant la première à la seconde, on obtient :

m1 m₂

( )

( )

2 2

2 1 2 1

2 2 2

2 1 1 2

1 1

d r d r r F F

m m m m F

dt dt

= − = − = +

G G

G G G G

Donc le mouvement relatif de la particule 2 est le même que celui d'une particule fictive soumise à la force FG₂ et de masse telle que µ

1 2

1 1 1

m m

= +

µ .

3) La dérivée du moment cinétique est nulle, car égale au moment de la force qui est parallèle au rayon vecteur. Le moment cinétique est donc conservé. Or, par suite de sa définition, le moment cinétique est perpendiculaire au rayon vecteur, donc le mouvement relatif a lieu dans le plan fixe perpendiculaire au moment cinétique et passant par O.

4) En combinant m r_{1 1}G +m r_{2 2}G =0G

et rG =rG₂ −rG₁

, on obtient : rG1 =OPJJJG1 =−λrG

et rG2 =OPJJJG2 =⁽1− λ⁾rG . Les deux astres sont dans (PL).

5) Si rG =D

est constant, rG₁ )=λD

et rG₂ =⁽1− λ⁾D

sont aussi constants : les deux astres décrivent des cercles de rayons r₁ = λD et r₂ =⁽1− λ⁾D autour de O.

P1, O, P2 et P restent alignés et situés dans cet ordre sur la droite qui les joint.

6) En appliquant la loi fondamentale de la dynamique au mouvement relatif : ² Gm m¹₂ ²

D D

µω = . Or ^{1 2}

1 2

m m

m m

µ = + . D'où : G m^{( 1} ₃ m²⁾

D

ω= + .

7) Dans le référentiel des deux astres, le corps doit être en équilibre sous l'action de la force centrifuge et des attractions des deux astres. Si le corps n'est pas dans (PL), les deux forces d'attraction sont dirigées vers (PL) tandis que la force centrifuge est parallèle à (PL), donc la résultante de ces trois forces ne peut être nulle.

8) Les trois forces subies par le corps sont parallèles à la droite joignant les deux astres. Le corps est donc en équilibre si la somme de leurs mesures algébriques sur cet axe est nulle, soit si

( ) ( )

1 3 2 3

3 2 3 2 1 3 2 2 3

1 3 2 3

signe signe 0

Gm m Gm m

m OP P P P P

P P P P

ω − − = .

En faisant les substitutions P P_{1 3} =x =zD, P P_{2 3} =−D +x =⁽z −1⁾D, OP₃ =x−r₁ =⁽z − λ⁾Det en simplifiant par ₃ ² G m^{( 1} ₂m m²⁾

m D

D

ω = + ³, on obtient la relation demandée.

9) La fonction de , x signe₂⁽x⁾

− x est une fonction croissante dans chacun des deux intervalles ]−∞, 0[ et ]0,+∞[. Comme λ est compris entre 0 et 1, les deux fonctions ⁽1 ⁾signe₂ ⁽x⁾

x

− − λ et ⁽

( )

) 2

signe 1 1 z z

λ −

− − sont des fonctions

croissantes dans chacun des trois intervalles ]−∞, 0[, ]0,1[ et ]1,+∞[. Comme la fonction z est également croissante dans ces trois intervalles, on obtient le tableau de variation :

− λ

z −∞ 0 1 +∞

( )

f z −∞ / +∞ & −∞ / +∞ & −∞ / +∞

Ce tableau de variation montre que la fonction f z^{( )} a trois zéros, l'un dans ^]−∞, 0^[ , le second dans ^]0,1^[ et le troisième dans ^]0,+∞^[.

10)

21

1 2 2 1

2

2 22 3 2

2 3

3 2 1 3

m d r F F dt

m d r F F

dt

m d r F F

dt

→ →

→ →

→ →

= +

= +

= +

3 1

1 2

2 3

G G G

G G G

G G G

En prenant la somme membre à membre et en tenant compte de la loi de l'action et de la réaction, on obtient

2 2 2

1 2 3

1d r2 2d r2 3d r2 0

m m m

dt + dt + dt =

G G G G

.

Comme ^{i i}

i

O O m r

′ =

∑

m

∑

JJJJG G

,

2

2 0

d O O dt

′ = JJJJG

G

, donc la vitesse de O est constante et le point O est immobile ou a un mouvement rectiligne uniforme.

11) ² 3 1(1 3) 2(2 3)

2 3 3

13 23

Gm r r Gm r r d r

dt r r

− −

= +

G G G G

G

12) Si les trois mobiles sont en équilibre relatif, ils forment un solide et sont donc à une distance fixe de O. Leurs trajectoires sont des cercles de centre O.

O P2

P3

Le mouvement est uniforme, sa vitesse angulaire est constante ; en effet, l'énergie potentielle est conservée, donc l'énergie cinétique doit l'être aussi.

ω 13) Puisque le mouvement est circulaire uniforme,

2 3 2

2 3

d r r

dt =−ω

G G. P1

14) Comme l'origine est le centre de masse,

∑

m r_{i i}^G =0^G. 15) D'après la question précédente, m r2 2G =−(m r1 1G +m r3 3G)

. On déduit alors des questions précédentes

( ) ( )

1 1 31 2 3 1 1 3

2 3 3 3

31 32

Gm r r Gm r G m r m r

r r r

− + +

−ω = − ³

G G G G G

G

Cette équation est de la forme arG₁ +brG₃ =0G

. Comme les trois points ne sont pas alignés, rG₁ et rG₃

ne sont pas parallèles et a = =b 0. Comme ₃¹

31 32

Gm Gm

a = r − r₃¹ , on en déduit que r₃₁ =r₃₂.

16) Ce raisonnement est valable pour les trois couples de points donc : les trois points forment un triangle équilatéral.

31 23 12

r =r =r VI.

1.a) Si les étoiles ne tournent pratiquement pas sur elles mêmes et sont suffisamment éloignées, elles ont la symétrie sphérique. Alors, leur interaction est la même que si on concentrait leur masse en leur centre.

1.b) ^{1 2}

2 OA OA

OG +

=

JJJJG JJJJG JJJG

;

2 2 2

1 2 2 1 1 2

2 2 2

1 0

2 2

d OG d OA d OA F F

dt dt dt M

→ →

⎛ ⎞⎟ +

⎜ ⎟

= ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠= =

G G

JJJJG JJJJG

JJJG G

car, d’après le principe de l’action et de la réaction, ces deux forces sont opposées. Le centre de masse a un mouvement rectiligne uniforme. En choisissant convenablement le référentiel, il est immobile, comme nous allons le supposer à partir de la question 1.d.

1.c) Théorème de l’énergie cinétique : ^d

(

¹₂^Mv12

)

^{=FG2 1→ ⋅drG1 d}

(

¹₂^Mv22

)

^{=FG1 2→ ⋅drG2}

→ =− →

. Loi de l’action et de la réaction : FG_{2 1} FG_{1 2}

A2

A1

FG2 1_→

FG1 2_→

.

D’où ^d

(

¹₂^{M v}

(

^{12 +v22}

) )

^{=FG1 2→ ⋅d r(G2 −rG1)=−G}_r^{M22dr =}

a R r R

=ω =ω =

, soit dE : l’énergie reste constant au cours du temps.

0 E

1.d) O est le centre de masse G. Les deux étoiles, diamétralement opposées sur le cercle, ont un mouvement circulaire uniforme, conformément à la loi fondamentale de la dynamique.

Sinon, selon la théorie du problème à deux corps, leurs trajectoires seraient deux coniques homothétiques par rapport à leur foyer, qui est aussi leur centre de masse.

1.e) v R ² 2 ; loi fondamentale de la dynamique : ² ₂² ₃

4 4

M M

M R

R R

ω = G ⇒ ω= G . 1.f)

2 2

2 2

2 4

M M

E M R

R R

= ω −G =−G

; E <0 car il s’agit d’un état lié.

1.g)

1/ 3 1/ 3

2 11 30 2

5

2 2

6, 67.10 2, 8.10 0,1

2, 3.10 m

16 16

R MT .

⎛ ⎞⎟ ⎛ − × × ⎞⎟

⎜ ⎜

=⎜⎜⎜⎝ π ⎟⎟⎟⎠ =⎜⎜⎜⎝ π ⎟⎟⎟⎠ = G

2.a) Une loi de force non conservative est une loi de force dont le travail si on revient au point de départ n’est pas nécessairement nul ; ou bien une loi telle qu’il n’existe pas une fonction de la position dont la variation est égale à l’opposé du travail de la force totale (ou des forces pour un système).

Ep

2.b) D’après la conservation de l’énergie, dE _og P . dt =−

2.c) ^dE_dt ^{= G}₄^{M dR}_R²² _dt ^{=−Pog =−G}₁₀^{M R}_c^{25 4}

( )

₄^G_R^{M3 3 ⇒dR}_dt ⁼⁻_R^{α3 .}

( )

( )

11 30 3

3 3

16 4 1

5 8 5

6, 67.10 2, 8.10

1, 67.10 m .s

160 160 3.10

M c

− × −

α = = =

×

G .

2.d)

( )

0

4 4

0 1/ 4

3 3 4

0

1 4

4

R R

R R

dt R dR t R dR − R R t

−α = ⇒ =− = = − α .

α

∫

α

2.e) Voir ci contre. La trajectoire est une spirale dont le rayon décroît d’abord très lentement, puis très rapidement à la fin.

2.f) Le contact a lieu pour R =ρ. Alors ( ⁵)⁴

(

⁴

)

⁴

4 4

0

16

2, 3.10 10

42 000 s

4 4 1, 7.10

c R

t = − ρ = − =

α × .

2.g)

( )

11 30

3 4 3 1

6, 67.10 2, 8.10

6830 rad.s

4 4 10

c

M ⁻ × ₋

ω = = =

ρ

G .

2.h) Voir ci-dessus.

2.i) Si cette condition, v_r v_θ n’est pas réalisée, le mouvement diffère notablement d’un mouvement circulaire uniforme et on ne peut utiliser les formules démontrées dans la partie 1.

2.j) Quand R diminue, _r dR ₃

v dt R

= = α augmente plus vite que

4 v R M

θ =ω = GR

, donc il faut vérifier vr v_θ lors du contact ; alors : v_θ =ωR=10⁴×6830=6, 83.10 m.s^{7 −1}, tandis que

4 3 1, 7.10 m.s

r dR

v dt ⁻¹

α =

= = R . Il reste raisonnable d’appliquer les formules du mouvement circulaire. Notons aussi que la vitesse des étoiles reste inférieure à celle de la lumière.

2.k) Comme les étoiles sont proches, ce qui est particulièrement vrai quand elles arrivent au contact, elles se déforment mutuellement par force de marée et ne sont pas sphériques ; alors, leur interaction n’est pas la même que si on concentrait leur masse en leur centre. Au surplus, alors, le contact a lieu pour R>ρ et non pour R=ρ.

3.a)

( )

4 5

5 4 5/ 4

640 0 4

og

P M

c R t

= − α

G . P^og

3.b) Voir ci contre. t 3.c)

4 5

,max 5 5 2,19.10 W46

og 640M

P = c =

ρ

G . 0

3.d)

2 46

0

1 1

1,25.10 J

og M4

E E

R

⎛ ⎞⎟

=∆ = ⎜⎜⎜⎝ρ− ⎟⎟⎠=

G . La comparaison des résultats de 3.c) et 3.d) montre que l’onde gravitationnelle n’a d’importance que pendant une durée brève, celle de l’ordre de la seconde qui précède le contact.