Un DES pour calculer une somme de s´erie.
Martiny C.
12/2009
Enonc´e : Nature et somme de la s´erie de T.G. : an = (n+1)(2n+3)(2n+5)(n+4)n2+9n+5 pourn ≥0
Une r´esolution : Nature :
an≈ 4nn24 = 4n12 pour n au voisinage de ∞,
donc, en vertu des r´esultats sur les s´eries de Riemann, notre s´erie est convergente
DES : Le d´enominateur un polynome de degr´e 4 (pas de partie enti`ere puisque le num´erateur de degr´e 2) factoris´e : donc cherchons A,B,C et D tels que :
an = n+1A +2n+3B +2n+5C +n+4D
Obtention de A : Multiplication par (n+ 1) pour n =−1
1−9+5
(−2+3)(−2+5)(−1+4) =A donc A=−13
Obtention de B : Multiplication par (2n+ 3) pour n=−32
(−32)2+9(−32)+5 ((−3
2)+1)(2(−3
2)+5)((−3
2)+4) =B donc B = 52
1
Obtention de C : Multiplication par (2n+ 5) pour n=−52
(−52)2+9(−52)+5 ((−5
2)+1)(2(−5
2)+3)((−5
2)+4) =C donc C =−52
Obtention de D : Multiplication par (n+ 4) pour n=−4
16−9×4+5
(−8+3)(−8+5)(−4+1) =D donc D= 13 Conclusion :
an= 13(n+41 − n+11 ) + 52(2n+31 − 2n+51 )
Somme partielle :
PN
k=0ak = 13(PNk=0 k+41 −PNk=0k+11 ) + 52(PNk=0 2k+31 −PNk=0 2k+51 ) Ce qui peut encore s’´ecrire :
PN
k=0ak = 13(PN+4k=4 1k −PNk=1+1k1) + 52(PN+1k=1 2k+11 −PNk=2+22k+11 ) Continuons intelligemment :
PN
k=0ak = 13((N+21 +N1+3 +N1+4)−(1 + 12 + 13)) + 52(13 − 2(N+2)+11 ) Ultime conclusion :
P
n≥0 n2+9n+5
(n+1)(2n+3)(2n+5)(n+4) = 56 − 1118 = 29 V´erif num´erique (sous MATLAB):
sum(f(0 : 1111)) = 0.221997302333518
2
