• Aucun résultat trouvé

DÉRIVATION ( 1ère Partie )

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "DÉRIVATION ( 1ère Partie )"

Copied!
3
0
0

Texte intégral

(1)

DÉ R I V ATI ON ( 1è r e Par ti e )

Préambule : notion de limite d’une fonttion f

En Première, la notion de limite est abordée de manière intuitive à partir d’observations.

Observation 1

La fonction f : x ⟼ (x + 1)2−1

x n’est pas définie pour x = 0 .

Pourtant, lorsque les valeurs de x se rapprochent de 0, on constate que celles de f (x) se rapprochent de 2.

On dit que la limite de la fonction f lorsque x tend vers 0 est égale à 2 et on note : lim

x→0 f(x) = 2 . Observation 2

La fonction g : x ⟼ 1

x−3 n’est pas définie pour x = 3 .

Lorsque les valeurs de x se rapprochent de 3, on constate que celles de g(x) deviennent de plus en plus grandes.

On dit que la limite de la fonction g lorsque x tend vers 3 est égale à + ∞ et on note : lim

x→3 g(x) = +∞ . Pour la suite, f désigne une fonction définie sur un intervalle I contenant a.

h est un réel non nul tel que a+hI .

Cf est la courbe représentative de f dans un repère

(

O ; ⃗i ;⃗j

)

du plan.

Taux de variation d’une fonttion f entre a et a + h

Soit A et M deux points de la courbe représentative de f d'abscisses respectives a et a + h : On appelle

taux de variation de la fonction f entre a et a + h le coefficient directeur de la droite (AM)

On le note  ( a ; a + h ) et on a donc : τ (a ; a +h) = f(a+h) − f (a)

h En effet : m(AB) = Δy

Δx

m(AB) = f (a +h ) − f (a) a+ha m(AB) = f (a +h ) − f (a)

h

On l’appelle également taux d’accroissement de f entre a et a + h . On peut aussi noter  ( h ) .

(2)

Exemples On considère la fonction f définie sur ℝ par f (x)= – 0,25 ( x – 3 ) ² + 4 .

● Calculer le taux de variation de la fonction f entre 0,7 et 2,3 .

● Calculer le taux de variation de la fonction f entre 0,7 et 0,7 + h .

Nombre dérivé d’une fonttion f en a

Lorsque la limite, quand h tend vers 0, du taux de variations de la fonction f entre a et a + h existe alors la valeur de cette limite est appelé nombre dérivé et on a donc : lim

h→0

f (a+h) − f(a)

h = f '(a)

Le nombre dérivé de la fonction f en a correspond au coefficient directeur de la tangente à Cf au point d’abscisse a .

Exemples

● On reprend l’exemple précédent. Déterminer, s’il existe, le nombre dérivé de la fonction f en 0,7 .

● Une fonction g, définie sur [ 0 ; 5 ], est représentée ci-contre.

Par lecture graphique, déterminer : g ( 0 ) = 2 g ’ ( 0 ) = – 2 g ( 2 ) = 0 g ’ ( 2 ) = – 0,25 g ( 4,5 ) = 2 g ’ ( 4,5 ) = 0

Tangente à la représentation grappique de la fonttion f au point d’abstisse x

0

L’équation réduite de la tangente TM à la courbe de f au point M d’abscisse x0 est :

y = f ’ ( x0 ) ( x – x0 ) + f ( x0 )

(3)

Démonstration

Une équation réduite de droite s’écrit y = mx + p, avec m le coefficient directeur.

Or le coefficient directeur de la tangente à f en M est par définition f ’ ( x0 ) donc y = f ’ ( x0 ) × x + p (*)

Comme M(x0; f (x0)) ∈ TM alors ses coordonnées vérifient l’équation y = f ’ ( x0 ) × x + p , on a donc : f ( x0 ) = f ’ ( x0 ) × x0 + p

d’où : p = f ( x0 ) – f ’ ( x0 ) × x0

On remplace l’expression de p obtenue précédemment dans l’équation de la tangente (*) : y = f ’ ( x0 ) × x + f ( x0 ) – f ’ ( x0 ) × x0

y = f ’ ( x0 ) × x – f ’ ( x0 ) × x0 + f ( x0 )

On factorise par f ’ ( x0 ) et on obtient le résultat à démontrer : y = f ’ ( x0 ) × ( x – x0 ) + f ( x0 )

Exemple

Soit f la fonction définie sur ℝ par : f ( x ) = x3 – x2 + x – l . 1) Montrer que, pour tout x  ℝ, f ( x ) = ( x – 1 ) ( x2 + l ).

2) Déterminer l’équation de la tangente T à la courbe au point d’abscisse 1.

1) pour tout x  ℝ : ( x – 1 ) ( x2 + l ) = x × x2 + x × l – 1 × x² – 1 × l

= x3 + x – x² – 1

= f ( x )

2) T a pour équation : y = f ’ ( 1 ) × ( x – 1) + f ( 1 )

Il faut donc calculer f ’ ( 1 ) , pour cela on va calculer le taux de variations de f entre 1 et 1 + h puis

« passer à la limite »

On calcule donc, pour h ≠ 0 : f ( 1 + h ) = ( ( 1 + h ) – 1 ) ( ( 1 + h )2 + l ) f ( 1 + h ) = h ( 1 + 2h + h 2 + l )

f ( 1 + h ) = h ( h 2 + 2h + 2 ) et f ( 1 ) = 13 – 1² + 1 – 1 = 0

Donc, pour h ≠ 0 : f ( 1+h) − f (1)

h = h(h2+2h+2)

h = h2+2h+2 Ainsi, lim

h→0

f(1+h) − f (1)

h = lim

h→0 h2+2h+2 = 2

Donc le nombre dérivé de la fonction f en 1 existe et f ’ ( 1 ) = 2.

Et donc T a pour équation : y = 2 × ( x – 1 ) + 0 y = 2 x – 2

Références

Documents relatifs

Dans le cadre de sa politique de développement l'Association Régionale des Eleveurs Ovins souhaite que vous lui présentiez un argumentaire, aussi

Introduction : anomalie caryotype XXY ; origine : anomalie répartition chromosomes lors de la méiose chez les parents => définition méiose (passage de cellules diploïdes 2n

[r]

1) Valeur absolue d’un nombre (rappels)

[r]

[r]

1°) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations complet. a) Etudier les limites de g aux bornes de son ensemble de définition et en déduire que la courbe C

1°) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. 4°) Dresser le tableau de variations complet de f et tracer la courbe (C f ). Christophe navarri