DÉ R I V ATI ON ( 1è r e Par ti e )
Préambule : notion de limite d’une fonttion f
En Première, la notion de limite est abordée de manière intuitive à partir d’observations.
Observation 1
La fonction f : x ⟼ (x + 1)2−1
x n’est pas définie pour x = 0 .
Pourtant, lorsque les valeurs de x se rapprochent de 0, on constate que celles de f (x) se rapprochent de 2.
On dit que la limite de la fonction f lorsque x tend vers 0 est égale à 2 et on note : lim
x→0 f(x) = 2 . Observation 2
La fonction g : x ⟼ 1
x−3 n’est pas définie pour x = 3 .
Lorsque les valeurs de x se rapprochent de 3, on constate que celles de g(x) deviennent de plus en plus grandes.
On dit que la limite de la fonction g lorsque x tend vers 3 est égale à + ∞ et on note : lim
x→3 g(x) = +∞ . Pour la suite, f désigne une fonction définie sur un intervalle I contenant a.
h est un réel non nul tel que a+h ∈ I .
Cf est la courbe représentative de f dans un repère
(
O ; ⃗i ;⃗j)
du plan.Taux de variation d’une fonttion f entre a et a + h
Soit A et M deux points de la courbe représentative de f d'abscisses respectives a et a + h : On appelle
taux de variation de la fonction f entre a et a + h le coefficient directeur de la droite (AM)
On le note ( a ; a + h ) et on a donc : τ (a ; a +h) = f(a+h) − f (a)
h En effet : m(AB) = Δy
Δx
m(AB) = f (a +h ) − f (a) a+h − a m(AB) = f (a +h ) − f (a)
h
On l’appelle également taux d’accroissement de f entre a et a + h . On peut aussi noter ( h ) .
Exemples On considère la fonction f définie sur ℝ par f (x)= – 0,25 ( x – 3 ) ² + 4 .
● Calculer le taux de variation de la fonction f entre 0,7 et 2,3 .
● Calculer le taux de variation de la fonction f entre 0,7 et 0,7 + h .
Nombre dérivé d’une fonttion f en a
Lorsque la limite, quand h tend vers 0, du taux de variations de la fonction f entre a et a + h existe alors la valeur de cette limite est appelé nombre dérivé et on a donc : lim
h→0
f (a+h) − f(a)
h = f '(a)
Le nombre dérivé de la fonction f en a correspond au coefficient directeur de la tangente à Cf au point d’abscisse a .
Exemples
● On reprend l’exemple précédent. Déterminer, s’il existe, le nombre dérivé de la fonction f en 0,7 .
● Une fonction g, définie sur [ 0 ; 5 ], est représentée ci-contre.
Par lecture graphique, déterminer : g ( 0 ) = 2 g ’ ( 0 ) = – 2 g ( 2 ) = 0 g ’ ( 2 ) = – 0,25 g ( 4,5 ) = 2 g ’ ( 4,5 ) = 0
Tangente à la représentation grappique de la fonttion f au point d’abstisse x
0L’équation réduite de la tangente TM à la courbe de f au point M d’abscisse x0 est :
y = f ’ ( x0 ) ( x – x0 ) + f ( x0 )
Démonstration
Une équation réduite de droite s’écrit y = mx + p, avec m le coefficient directeur.
Or le coefficient directeur de la tangente à f en M est par définition f ’ ( x0 ) donc y = f ’ ( x0 ) × x + p (*)
Comme M(x0; f (x0)) ∈ TM alors ses coordonnées vérifient l’équation y = f ’ ( x0 ) × x + p , on a donc : f ( x0 ) = f ’ ( x0 ) × x0 + p
d’où : p = f ( x0 ) – f ’ ( x0 ) × x0
On remplace l’expression de p obtenue précédemment dans l’équation de la tangente (*) : y = f ’ ( x0 ) × x + f ( x0 ) – f ’ ( x0 ) × x0
y = f ’ ( x0 ) × x – f ’ ( x0 ) × x0 + f ( x0 )
On factorise par f ’ ( x0 ) et on obtient le résultat à démontrer : y = f ’ ( x0 ) × ( x – x0 ) + f ( x0 )
Exemple
Soit f la fonction définie sur ℝ par : f ( x ) = x3 – x2 + x – l . 1) Montrer que, pour tout x ℝ, f ( x ) = ( x – 1 ) ( x2 + l ).
2) Déterminer l’équation de la tangente T à la courbe au point d’abscisse 1.
1) pour tout x ℝ : ( x – 1 ) ( x2 + l ) = x × x2 + x × l – 1 × x² – 1 × l
= x3 + x – x² – 1
= f ( x )
2) T a pour équation : y = f ’ ( 1 ) × ( x – 1) + f ( 1 )
Il faut donc calculer f ’ ( 1 ) , pour cela on va calculer le taux de variations de f entre 1 et 1 + h puis
« passer à la limite »
On calcule donc, pour h ≠ 0 : f ( 1 + h ) = ( ( 1 + h ) – 1 ) ( ( 1 + h )2 + l ) f ( 1 + h ) = h ( 1 + 2h + h 2 + l )
f ( 1 + h ) = h ( h 2 + 2h + 2 ) et f ( 1 ) = 13 – 1² + 1 – 1 = 0
Donc, pour h ≠ 0 : f ( 1+h) − f (1)
h = h(h2+2h+2)
h = h2+2h+2 Ainsi, lim
h→0
f(1+h) − f (1)
h = lim
h→0 h2+2h+2 = 2
Donc le nombre dérivé de la fonction f en 1 existe et f ’ ( 1 ) = 2.
Et donc T a pour équation : y = 2 × ( x – 1 ) + 0 y = 2 x – 2