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le 18 F´evrier 2010 UTBM MT12
Final Printemps 2009
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´ e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Chaque exercice doit ˆ etre r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente
Exercice 1 - 7 points
Calculer les int´egrales suivantes : I1 =∫1
0 ex.sin(ex)dx.
I2 =∫1
0 ln(1 +t)dt.
I3 =∫ √2
2
0
√1
1−x2dx grˆace au changement de variable x= sin(t).
I4 =∫ 1
2
0
√x
1−xdx grˆace `a un changement de variable qu’on d´eterminera.
I5 =∫1 0
2+t+t2 (1+t).(3+2t+t2)dt.
Exercice 2 (NOUVELLE FEUILLE) - 9 points I - Soit
A:=
1 1 1
−1 −2 −2
1 2 2
.
1) D´eterminer le polynˆome caract´eristique de A. En d´eduire les valeurs propres de A.
2) Trigonaliser la matrice A sous la forme A= P.T.P−1 avec T :=
a 0 0 0 b 1 0 0 b
, (a, b ∈ R). Calculer P−1.
3) R´esoudre le syst`eme diff´erentiel :
∂x
∂t = x +y +z +t
∂y
∂t = −x −2y −2z −t
∂z
∂t = x +2y +2z +t
o`u x, y, z sont des fonctions d´efinies et d´erivables sur R. II - R´esoudre l’´equation diff´erentielle
(E) y′′−y′ −y=−x2−2x+ 2 +e2x apr`es en avoir d´etermin´e une solution particuli`ere evidente.
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Exercice 3 (NOUVELLE FEUILLE) - 8 points
1. Trouver les limites, quand elles existent, des fonctions suivantes : f(x, y) = x2+y2
x2−y2 en (x, y) = (0,0), g(x, y) = 2x3+ 2y3+x3y3
x2+y2 en (x, y) = (0,0).
2. Calculer les d´eriv´ees partielles secondes de la fonction suivante sur son ensemble de d´efinition qu’on pr´ecisera, et v´erifier la validit´e du th´eor`eme de Schwarz :
f(x, y) =eylnx.
3. On consid`ere l’application f :R2 →R d´efinie par
f(x, y) =
{ xy3
x2+y2 si (x, y)̸= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0).
(a) Calculer les d´eriv´ees partielles de f sur R2\(0,0).
(b) Calculer les d´eriv´ees partielles de f en (0,0).
(c) Montrer que les d´eriv´ees partielles secondes ∂2f
∂y∂x(0,0), et ∂2f
∂x∂y(0,0) existent, et les calculer.
(d) L’application f est-elle de classe C2 sur R2? (”classe C2 sur R2” signifie ”admet des d´eriv´ees partielles secondes continues sur R2”).
