p128_A_correction
1. L’aire totale du rectangle est
L’aire non colorée après une seule étape est 1
.
2.
Lors de l’étape n, il reste à colorier une surface égale à 2 − 𝐴 .
Lors de l’étape 𝑛 + 1, on colorie la moitié de cette surface restante et l’aire totale coloriée est donc
.
3. a. On remarque que les termes de la suite se rapprochent de la
valeur 2.
a. Si on continue d’afficher les termes de la suite (𝐴 ) bien au-delà de 𝑛 = 50, on constate qu’ils se rapprochent toujours de 2
(la calculatrice indique même rapidement qu’ils sont égaux à 2).
Cela n’est pas étonnant puisqu’avec le procédé de coloriage, on colorie une surface qui se rapproche de plus en plus de la surface totale du rectangle.
4. On définit une nouvelle suite dans la calculatrice.
C’est à partir du rang 5 que l’on a .
C’est à partir du rang 8 que l’on a .
Au bout de la cinquième étape, l’aire restante est inférieure à 0,1 m2. Au bout de la huitième étape, l’aire restante est inférieure à 0,01 𝑚 .
5. Avec ce procédé de coloriage, il reste toujours une surface non-coloriée, quel que soit l’étape à laquelle on se place. Ainsi l’aire de la surface coloriée ne sera jamais égale à A=2.
Cependant, la surface restante devient aussi proche de 0 que l’on veut (sans jamais atteindre 0).
