Exercices résolus de mathématiques.
TRI 48
EXTRI480-EXTRI489
http://matheux.ovh/Accueil.html
Jacques Collot
Jan Frans Broeckx – Nicole Berckmans Fabienne Zoetard
Septembre 2019
EXTRI480 – – POLYTECH, UMons, Mons, juillet 2019.
Solution proposée par Yacin Zriwil
Solution proposée par Réjane Delchambre
2 2
1 1 1 1 1
tan 2 arctan sin sin 2 arctan 2 sin arctan .cos arctan
2 2 2 2 2 2
1
1 1 4
sin 2. 2 .
5 5
1 1
1 1
4 4 4
Rappel : sin arctan , cos arctan 1
1 1
C C C
C
= = = =
= = =
+ +
= =
+ +
Le 07 novembre 2019. Modifié le 18 avril 2021 (Réjane Delchambre).
EXTRI481 – EPL, UCL, LLN, juillet 2019.
Polytech, Umons, Mons, juillet 2019.
FACSA, ULiège, Liège, juillet 2019.
EPB, ULB, Bruxelles, juillet 2019.
( )
Résoudre dans l'ensemble des réels l'équation.
4 sin cos 8sin cos 5
et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
Noter que bien que les solutions trouvées ne soient pas sous forme d'ang x+ x − x x=
les remarquables, il est possible de les représenter de façon précise sur le cercle trigonométrique.
Pour cette équation, il est suggéré de poser y=sinx+cosx
Solution proposée par Yacin Zriwil
arccos 2 2
4 4
x k
= +
Solution proposée par Nicole Berckmans et Martine Devillers
Le 07 novembre 2019
EXTRI482 – EPL, UCL, LLN, juillet 2019.
Pour chaque sous-question donnez la solution dans la boite fournie. Seule la solution correcte sera évaluée, inutile de fournir votre raisonnement.
Réponse juste = 1 point ; autre réponse = 0.
a) Donnez toutes les solutions sur le cercle trigonométrique à l'équation suivante. Il y a entre 0 et 10 solutions. S'il y a plusieurs solutions donnez-les dans l'ordre croissant dans les boites ci-dessous.
sin( −4 ) 1
b) Que vaut exactement le sinus de 105° (à partir des angles remarquables)
c) Soit un triangle quelconque de sommets , et . L'angle mesure 45°. L'angle . est obtus et mesure 105°. Le cercl
x
A B C BAC ABC
=
2
e circonscrit au triangle a un rayon de 2 cm.
Que vaut précisément (sans faire d'arrondis) l'aire de ce triangle exprimée en cm . Si vous n'avez pas réussi à répondre a la question précédente vous
ABC
( )
pouvez poser sin 105 . d) Trois villes nommées , et sont situées à équidistance lnune de lnautre. Un oiseau volant
en ligne droite à 34 km/h de la ville à la ville met 1 heure pour rejoindre y A B C
A B
=
sa destination.
Mais pour les voitures cnest plus compliqué, il n'y a pas de route directe entre la ville et . Il faut donc passer par le ville qui est située à équidistance des villes , et (
A B
D A B C donc au
centre du triangle ).
Combien de temps (exprimé en minutes) mettra une voiture pour aller de la ville à la ville , sachant qu'elle roule à 80 km/h ?
ABC
A B
Solution proposée par Nicole Berckmans et Martine Devillers.
Solution proposée par François-Xavier Sojic
Figure 1 Figure 2
c) Figure 1
4 sin 2
2 4
sin sin sin 4 sin 2 2
2 3
2 2 2
. .sin 2 2. 2 3
2 2
d) Figure 2
est un triangle équilatéral de côté : . 34 km
34 34 3
2 km
sin sin sin 2 sin 3 3
2 2
Temps p
ABC
a b c c
r
a
a c
ABC d v t
a b c a
r r
= =
= = = =
= =
+
= = = +
= =
= = = = = =
A
34 3
our un trajet : 2 3 60 17 3 min 29.4 min AB 80 =
Le 12 novembre 2019. Modifié le 22 avril 2019 (François-Xavier Sojic)
EXTRI483 – EPL, UCL, LLN, juillet 2019.
Solution proposée par Nicole Berckmans et Martine Devillers.
Le 12 novembre 2019
EXTRI484 – EPL, UCL, LLN, septembre 2019.
Polytech, Umons, Mons, septembre 2019.
FACSA, ULiège, Liège, septembre 2019.
EPB, ULB, Bruxelles, septembre 2019.
Solution proposée par Nicole Berckmans et Martine Devillers.
Le 12 novembre 2019
EXTRI485 – EPL, UCL, LLN, septembre 2019.
Solution proposée par Nicole Berckmans et Martine Devillers.
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1
1) 1 sin 1 1 car sin 1 cos 1
1 1 tan
2 2 1 3 2 2
2) sin 1 3 sin 30 sin 60 2 sin 45 cos 15
2 2 2 2 2 2
2 2cos15 cos15 sin 90 15 sin 75 2
3) Soit la longueur des 2 côtés de l'angl
a x a a x x
a x
x
a
+ = + − + = = − = − +
= + = + = + =
= = = − =
( )
( )
2 2 2 2
e droit : 2 2
Aire : 1 . 1 2
1 3
tan 45 tan 30 3 3 3
4) tan15 tan 45 30 2 3 0.3
1 tan 45 tan 30 3 3 3
1 3
tan 60 tan 45 3 1
tan15 tan 60 45 2 3 0.3
1 tan 60 tan 45 1 3
a a a
A a a
+ = =
= =
− − −
• = − = = = = −
+ + +
− −
• = − = = = −
+ +
Le 12 novembre 2019
EXTRI486 – EPL, UCL, LLN, septembre 2019.
Solution proposée par Nicole Berckmans et Martine Devillers.
Le 12 novembre 2019
EXTRI487 – EPB, ULB, Bruxelles, juillet 2019.
Calculer, en justifiant chaque étape,
1 1
sin arctan arctan
3 4
Pour rappel, arctan désigne la fonction arc tangente.
+
2 2
2 2 2
2 2
Démontrons d'abord les formules : sin arctan et cos arctan 1
1 1
1 tan arctan
sin arctan
1 cot arctan 1 tan arctan 1
1 1
cos arctan
1 tan arctan 1 Appliquons ces formules :
1 1
sin arctan arctan 3
= =
+ +
= = =
+ + +
= =
+ +
+ 1 1 1 1
sin arctan cos arctan cos arctan .sin arctan
4 3 4 3 4
1 1 1 1
1 1 7
3 . . 4 3 4
1 1 1 1 10 17 170
1 1 1 1
9 16 9 16 3 4
= +
= + = + =
+ + + +
22 novembre 2019
EXTRI488 – EPB, ULB, Bruxelles, juillet 2019.
2
Soit un triangle , rectangle en , et soit le point d'intersection de la droite avec la hauteur issue de . On pose , et . Montrer que
sin
ABC A D BC
A p BD q CD ABC
q p q
= = =
= +
( )
( ) 2
2 2 2
Triangle :
cos
Triangle : .cos
On en déduit : .cos cos
cos
sin 1 cos 1 sin
BDA AB p
ABC AB p q
p p
p q
p q
p q
p q p q
=
= +
= + =
+
= − = − =
+ +
22 novembre 2019
EXTRI489 – EPB, ULB, Bruxelles, septembre 2019.
Sachant que
3 1
sin sin
10 10 4
Calculer sin 10
=
( ) ( )
( )
3
2 2
2 3 2 3
3
Méthode 1
Démontrons d'abord la formule : sin 3 3sin 4 sin .
sin 3 sin 2 sin 2 cos cos 2 sin 2 sin cos 1 2 sin sin 2 sin cos sin 2 sin 2 sin 1 sin sin 2 sin
3sin 4 sin . Appliquons la formule
= −
= + = + = + −
= + − = − + −
= −
( )
2 4 4 2
2 2
en posant 10
1 1
sin .sin 3 3sin 4 sin 16sin 12sin 1 0
4 4
6 2 5 5 2 5 1 5 1 Cette équation bicarrée a pour solutions sin
16 16 16
sin 5 1. Les racines négatives sont éliminées car sin 0.
4 10
Il
=
= − = − + =
+
= = =
=
5 1 2
reste 0.81 qui doit aussi être éliminée car sin sin 0.71.
4 10 4 2
Il reste finalement : sin 5 1
10 4
+ =
−
=
2 2
Méthode 2
Appliquons Simpson inverse :
3 1 1 4 2 1 2
sin .sin cos cos 2 cos 2 cos 1 0
10 10 4 2 10 10 4 5 5
2 2 cos 1 2 cos 1 0 4 cos 2 cos 1 0
5 5 5 5
1 5
cos (on garde seulement la racine positive
5 4
= − − = − + − =
− − + − = − − =
+
= ).
1 cos 2 Dès lors, il reste à appliquer la formule sin
2
1 5
1 4 3 5 6 2 5 5 2 5 1 5 1
sin10 2 8 16 4 4
−
=
− +
− − − + −
= = = = =
2
3
Méthode 3
3 2
Sachant que et sont complémentaires, l'expression devient :
10 10
3 1 2 1 1
sin sin sin cos sin 1 2 sin
10 10 4 10 10 4 10 10 4
Posons sin , on obtient l'équation : 8 4 1 0 qui a pour
y 10 y y
= = − =
= − + =
2
solution 1 2 8 0 4 1
1 5 1
Horner : 4 2 1. Il reste à résoudre : 4 2 1 0 sin
2 10 4
8 4 2
y
y y y
=
−
−
− + − = = =
−
22 novembre 2019. Modifié le 3 mai 2021.
