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MARCHES ALEATOIRES. ETUDE ASYMPTOTIQUE.

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Academic year: 2022

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(1)

MARCHES ALEATOIRES. ETUDE ASYMPTOTIQUE.

On considère une expérience aléatoire à plusieurs issues possibles. La loi de probabilité associée est un état probabiliste.

On répète cette expérience dans le temps par étapes successives. A chaque étape est associé un nouvel état probabiliste.

L'état probabiliste à l'étape n est défini par la matrice ligne : P

n

= ( a

n

; b

n

; ...)

Remarque : on peut aussi utiliser des matrices colonnes. Dans ce cas, les produits sont dans l ordre contraire.

On suppose que le passage d'un état au suivant est toujours régi de la même façon. Ce passage se décrit alors par un graphe probabiliste.

On peut aussi appliquer cette notion dans le cas d'une partition d'un ensemble (population) en deux (ou trois) parties et de son évolution par étapes successives.

Exemple :

Un joueur de jeu vidéo estime à 15% ses chances de gagner au premier jeu. Puis à chaque jeu, il pense avoir:

s'il a gagné, une chance sur deux de gagner au jeu suivant.

s'il a perdu, deux chances sur cinq de gagner au jeu suivant.

L'état probabiliste initial est défini par P

0

= ...

Le graphe probabiliste correspondant à l'expérience est :

On désigne par a

n

(resp b

n

) la probabilité de gagner (resp perdre) le n

ème

jeu.

L'arbre de probabilités suivant donne :

a

n+1

= ... et b

n+1

= ...

Ainsi M = ...

Un graphe probabiliste est un graphe tel que :

les sommets représentent les issues possibles de l'expérience (ou les parties de l'ensemble).

une arête orientée de i vers j a pour poids la probabilité conditionnelle d'obtenir j à l'étape n + 1 sachant qu'on a obtenu i à l'étape n.

Remarque : la somme des poids des arêtes issues d'un même sommet est donc égale à 1.

La matrice de transition d'un graphe probabiliste est une matrice telle P

n+1

= P

n

 M.

(P

n+1

= M P

n

si on a des matrices colonnes)

(2)

Dans l'exemple précédent, on a P

4

=

La probabilité que le joueur gagne au 4

ème

jeu est...

Dans l'exemple précédent, on détermine un état stable :

Dans l'exemple précédent, quelles que soient les chances de gagner au départ, si on joue un grand nombre de fois, la probabilité de gagner tend vers ... et celle de perdre vers...

On a P

n

= P

0

 M

n

(P

n+1

= M

n

P

0

si on a des matrices colonnes) . (à prouver par récurrence)

Un état probabiliste P est dit stable si et seulement si il reste le même dans la répétition de l'expérience aléatoire, c'est-à-dire si et seulement si P  M = P. (M P = P si on a des matrices colonnes)

Théorème (admis) : Si on est dans le cas de deux états ou si M admet une puissance n ayant aucun coefficient nul, alors :

il existe un unique état stable P et quelle que soit la répartition de probabilité initiale, la suite ( ) P

n

converge

vers P.

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