Master EADM 2013-2014 Capes externe Oral 2
Université Claude Bernard Lyon1 UE 16 Epreuve sur dossier
04/02/2014
DOSSIER PS 10
Thème : Marches aléatoires
L’exercice
Dans un village imaginaire isolé, une nouvelle maladie contagieuse mais non mortelle a fait son apparition.
Rapidement, les scientifiques ont découvert qu’un individu pouvait être dans l’un des trois états suivants : S : « l’individu est sain, c’est – à – dire non malade et non infecté »
I : « l’individu est porteur sain, c’est - à –dire non malade mais infecté » M : « l’individu est malade et infecté ».
1. Les scientifiques estiment qu’un seul individu est à l’origine de la maladie sur les 100 personnes que compte la population et que, d’une semaine à la suivante, la situation peut être représentée par le graphe probabiliste ci – contre.
La probabilité qu’un individu soit sain à l’instant 0 est 0,99 et celle qu’il soit infecté est 0,01.
On note Pn = (sn in mn) la matrice ligne donnant l’état probabiliste au bout de n semaines, où sn, in et mn
désignent respectivement la probabilité que l’individu soit sain, porteur sain ou malade la nième semaine.
a) Déterminer la matrice de transition A de cette marche aléatoire.
b) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : Pn = P0 An.
c) Quelle est la probabilité, arrondie à 10-2, qu’un individu soit sain au bout de quatre semaines ? 2. La maladie n’évolue en réalité pas selon le modèle précédent puisqu’au bout de 4 semaines de
recherche, les scientifiques découvrent un vaccin qui permet d’enrayer l’endémie et traitent immédiatement l’ensemble de la population. L’évolution hebdomadaire de la maladie après
vaccination est donnée par la matrice de transition : B =
(
) .
On note Qn la matrice ligne donnant l’état probabiliste au bout de n semaines après la mise en place d ces nouvelles mesures de vaccination, avec Qn = (Sn In Mn), où Sn, In et Mn désignent respectivement la probabilité que l’individu soit sain, porteur sain ou malade la nième semaine après la vaccination.
a) Exprimer Sn+1, In+1 et Mn+1 en fonction de Sn, In et Mn.
b) Déterminer la constante réelle k telle que B2 = kJ, où J est la matrice carrée d’ordre 3 dont tous les coefficients sont égaux à 1.
c) En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : Bn = B2.
d) Déterminer Qn pour n supérieur ou égal à 2, puis interpréter ce résultat en terme d’évolution de la maladie.
Master EADM 2013-2014 Capes externe Oral 2
Université Claude Bernard Lyon1 UE 16 Epreuve sur dossier
04/02/2014
Les réponses proposées par deux élèves à la question 1
Elève 1
a) A = (
)
, car la somme des nombres des colonnes donne 1.
b) Puisque P
n+1= P
n A, on a : P
n+1= P
n-1 A A = P
n-1 A
2et ainsi de suite on aura P
n+1= P
0 A
n+1, et ce sera pareil avec P
n.
c) La probabilité que l’individu soit sain est P
4.
On calcule A
4à la calculatrice : A
4= (
)
, et P
0 A4=(0,10 0,09 0,10).
La probabilité qu’il soit sain au bout de quatre semaines est donnée par la matrice (0,10 0,09 0,10). Mais la somme ne fait pas 1 : une des valeurs doit être fausse.
Elève 2
a) Le graphe montre que, de S partent 3 flèches avec les probabilités 1 3 , 1
3 et 1
3 , ce qui donne la première ligne de A. Pour la deuxième, on part de I et on trouve 1
2 et 1 2 . Pour la troisième, on trouve juste 1. Donc : A = (
).
b) On fait une récurrence.
C’est vrai pour n=0 car A
0= 1.
Supposons que c’est vrai pour tout entier n, alors l’hypothèse de récurrence est que P
n= P
0 A
n. On a alors : Pn
+1= P
0 A
n+1, ce qui est bien le bon résultat. La propriété est héréditaire.
c) Il faut calculer : P
4= P
0 A
4 (0,012 0,099 0,978), donc c’est 0,012.
Le travail à exposer devant le jury
1.
Analyser la production des deux élèves en mettant en évidence la pertinence de leur démarche, l’origine de leurs éventuelles erreurs de raisonnement et les moyens d’y remédier.
2.
Illustrer la question 1 avec un logiciel de calcul.
3.
Proposer une correction de la question 2, telle qu’on l’exposerait devant une classe de Terminale scientifique.
4.
