PS 11 Marches aleatoires

Master EADM 2012-2013 Capes externe Oral 2

Université Claude Bernard Lyon1 UE 17 Epreuve sur dossier

02/05/2013

DOSSIER PS 11

Thème : Marches aléatoires

L’exercice

Un appartement est formé de deux pièces A et B reliées entre elles par une porte ouverte ; seule la pièce B possède une fenêtre ouverte.

Une guêpe qui s’était endormie dans la pièce A se réveille à l’instant 0.

On estime que :

- quand la guêpe est dans la pièce A à l’instant n (exprimé en minutes), elle est encore dans cette pièce une minute après avec une probabilité égale à 1

3 ;

- quand la guêpe est dans la pièce B à l’instant n, alors elle retourne dans la pièce A une minute après avec la probabilité 1

4 et elle reste dans la pièce B avec la probabilité 1 2.

1. Dans cette question, quand la guêpe est sortie, elle ne revient plus.

a) On nomme les trois états de la façon suivante :

A : « la guêpe est dans la pièce A » ; B : « la guêpe est dans la pièce B » ; E : « la guêpe est à l’extérieur ».

Déterminer la matrice de transition M de cette marche aléatoire, les états étant pris dans l’ordre alphabétique.

b) Soit (an bn cn) l’état probabiliste de cette marche aléatoire à l’instant n. On note : Xn = (an bn).

Déterminer la matrice Q telle que Xn+1 = Xn  Q.

c) Montrer que, pour n entier supérieur ou égal à 1 : Qⁿ = ( ( ) ( )

( ) ( ) ).

d) En déduire la probabilité que la guêpe soit sortie de l’appartement n minutes après son réveil.

e) Au bout de combien de temps cette probabilité est - elle supérieure à 0,999 ?

2. Dans cette question, quand la guêpe est sortie, elle revient dans la pièce B avec la probabilité 0,1.

a) Que devient la matrice de transition ?

b) Montrer que cette marche aléatoire possède un état stable. Le déterminer, puis l’interpréter.

Master EADM 2012-2013 Capes externe Oral 2

Université Claude Bernard Lyon1 UE 17 Epreuve sur dossier

02/05/2013

La solution proposée par un élève à la question 1

a) M = (

), d’après le cours.

b) (an+1 bn+1 cn+1) = (an bn cn)  M, donc (an+1 bn+1) = (an bn)  Q, avec Q la matrice qui reste, c’est – à – dire ( ).

c) Q¹ est bien égale à ( ( ) ( )

( ) ( ) ). Et si Qⁿ est égale à ( ( ) ( )

( ) ( ) ),

alors Qⁿ⁺¹ est égale aussi à ( ( ) ( )

( ) ( )

), en remplaçant n par n + 1.

Je l’ai démontré avec la récurrence.

d) La probabilité est cn, et on sait que an + bn + cn = 1.

Avec la matrice Qⁿ : a_n = ( ) et b_n = ( ) , donc a_n + b_n = ( ) , et on trouve : c_n = 1 - ( ) .

e) cn > 0,999  ( ) < 0,001  n ln ( )< ln 0,001  n < 37,887759. Le temps est donc de 37 minutes.

Le travail à exposer devant le jury

1. Analyser la production de l’élève en mettant en évidence la pertinence de sa démarche, l’origine de ses éventuelles erreurs de raisonnement et les moyens d’y remédier.

2. Proposer une correction de la question 2, telle qu’on l’exposerait devant une classe de Terminale scientifique.

3. Illustrer la question 2 avec un logiciel de calcul.

4. Présenter deux exercices sur le thème « Marches aléatoires ».