HAL Id: jpa-00236219
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Submitted on 1 Jan 1960
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Renormalisation d’une interaction forte nucléon, hypéron, méson K qui ne conserverait pas la parité
Roger Nataf
To cite this version:
Roger Nataf. Renormalisation d’une interaction forte nucléon, hypéron, méson K qui ne conserverait pas la parité. J. Phys. Radium, 1960, 21 (3), pp.174-184. �10.1051/jphysrad:01960002103017400�.
�jpa-00236219�
174.
RENORMALISATION D’UNE INTERACTION FORTE NUCLÉON, HYPÉRON, MÉSON K
.
QUI NE CONSERYERAIT PAS LA PARITÉ Par ROGER NATAF,
Laboratoire de Physique Nucléaire, Orsay.
Résumé.
2014En suivant l’hypothèse de Soloviev [1], nous examinons les effets d’une telle inter-
action entre nucléon, hypéron 03A3, méson K.
1. Nous calculons au second ordre les grandeurs relatives aux particules habillées (propagateurs, opérateurs vertex, etc...) et trouvons que 03A3 n’a pas alors une parité bien définie par rapport au
nucléon.
2. La renormalisation, effectuée en principe à tous les ordres, fait disparaître ce résultat. Réalisé- sensiblement par la même méthode que d’Espagnat et Prenkti [2], elle nous conduit à des pres-
criptions différentes sur certains points.
Abstract.
2014The consequences of such an interaction as suggested by Soloviev [1] are inves- tigated (PC invariance being assumed).
1. Second order corrections for dressed particles (propagators, vertex operators, etc...) are calcu- lated, and we find that the 03A3 dressed field has a mixed parity with respect to the nucleon dressed field.
2. This result is eliminated by renormalisation, performed for all orders, carried out nearly
in the same way as d’Espagnat and Prentki [2], some of our relations being however different.
LE JOURNAL PHYSIQUE 21, 1960,
I. Notations Propriétés de symétrie de l’inter- action.
-Nous admettons que l’interaction N, 1,
.K est PC invariante. Elle correspond alors à
l’hamiltonien :
avec g et À réels.
Les flèches désignent ici les isovecteurs ; N, K
sont les isospineurs (1» ( 51).
Nous prenons pour lagrangien d’un champ de
Fermion libre :
la métrique étant définie par :
et les spineurs u(p) à énergie positive étant normés
par :
Le lagrangien total des cliainps N, 1, K couplés
. est donc : ’
correspondant aux équations d’évolution :
avec :
Si l’on considère aussi leur interaction avec les
~
champs mésiques Tu et électromagnétique A, il faut, ajouter à (2), outre les lagrangiens de ces deux champs libres, ceux des interactions :
avec :
TRANSFORMATIONS CANONIQUES DÉPENDANT DE
Yi; DU LAGRANGIEN TOTAL.
10. Le lagrangien total I"t ainsi obtenu est
invariant par la transforma tion :
a étant un nombre c quelconque.
Avec les équations (3) et (5) il suffit de multiplier
les deux membres par e-aYI pour l’établir.
Avec (4), ou le lagrangien (et en général), il faut
d’abord calculer les nouvelles expressions N’, 11’.
En général :
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01960002103017400
où A est la matrice hermitique telle que :
a) Pour a = 0 réel, on voit que la matrice A’
correspondant aux y’ v- telle que :
est :
vérifiant :
Ainsi, dans les deux cas, oomme aussi dans le
cas général où a = 6 + iot :
ce qui établit l’invariance de J:t (et de la norme
Ô§).
_Les y’ qui vérifient :
3
constituent un système de matrices de Dirac équi-
valent à celui des Yp..
La transformation (1) est bien canonique puis- qu’elle porte seulement sur les spineurs u(p), v(p)
non sur les opérateurs d’absorption et émission correspondants a(p), b+ (p), etc.... Si :
où :
et- :
les deux valeurs de a étant par exemple, les
~ ~
valeurs propres + 1 de l’hélicité ap/)p). on a pour 03C8’ :
où :
vérifient :
Dans (7), ua e2px et va e-2px correspondent à des
états de même hélicité pour la particule d’impui-
sion p et l’antiparticule d’impulsion
-p. Dans
(8), il en est de même pour ’ e’PÎ, v§ e-’Px relati-
vement à l’opérateur cr’pllpl, (sk = - iYiY), mais
non relativement à GPIIPI, (ak = - iy§y£) puisque,
pour a = 0 réel par exemple :
apparaît comme un mélange d’états propres : de ce dernier opérateur.
La même remarque s’applique à la parité intrin- ,sèque d’un fermion.
.Dans le système des ~03BC, ~4
03C8(- X, t) satisfait à la même équation que
+
Ç(z, t) et il faut définir l’opérateur parité P par : ’
1) étant la parité intrinsèque (1) = ::Í: 1, :t: i), puisque, avec nos conventions, dans le référentiel où la particule est au repos :
(Y4 + 1 ) Ç = 0 entraîne P == -1 dans ce réfé- rentiel.
Dans le système des y,, il faut définir P’ par : q ayant toujours la même valeur :
,(Y4 + 1) Ç’ = 0 dans le référentiel propre.
Ç étant un état propre de P, Ç’ est,un état propre de P’ avec la même valeur propre, mais apparaît
comme un mélange d’états propres de P ; ainsi pour
a = 0 réel :
.(où Ç et yb c correspondent à des valeurs propres
opposées de P).
20 1!t est aussi invariant par la transformation
canonique
Il n’y a pas à modifier la matrice A, et :
de sorte que :
On peut faire les mêmes remarques qu’au 10 sur.
la modification correspondante des différents opé-
rateurs.
II. Effets du second ordre sur les expressions
relatives aux particules « habillées ». -10 EFFETS D E
SECOND ORDRE DE SELF-ÉNERGIE.
Passant en représentation d’interaction, avec
les notations adoptées, nous avons les propaga- teurs suivants pour les bosons àp (x, m) a pour
transformée de Fourier :
Pour les Fermions :
On considère alors pour les nucléons le graphe
de self-énergie du 2e ordre figure 1, avec les possi-
bilités :
La matrice de diffusion 8 pour ce processus est donnée par :
~ ~
L’existence de z È apporte un facteur 2 pour les processus virtuels (a) et (c), un facteur 1 pour (b) et (d) (1). Ces facteurs mis à part, 8 a la même expres- sion dans tous les cas. On peut donc supprimer
et multiplier par 3 le résultat obtenu : g2 -4- 3g2.
( 1) Avec (a), seul le terme :
~ ~
de T S apporte une contribution :
On obtient ainsi avec (9) et (10) l’élément de
matrice de 8 :
avec :
Si le graphe figure 1- fait partie d’un graphe plus compliqué, on aura à remplacer :
correspondant à une ligne par :
en posant :
Si maintenant on considère un diagramme conte-
nant des itérations successives du diagramme
propre (fig. 1) on aura à considérer :
Donc, en remplaçant :
dans l’expression de S on tient compte automati-
quement de tous les diagrammes (fig. 1) de self- énergie itérés. (12) s’écrit aussi :
qui expriment la propriété caractéristique du pro-
pagateur modifié S’.
De même pour une ligne externe, si Ç(p) est le spi-
neur correspondant à une onde plane avec le
nucléon « nu », on obtient en plaçant sur cette ligne externe tous les diagrammes 1 répétés :
oÙ, d’après la 1re relation (14) :
(-,’est-à-dire que :
Pour urne ligne externe, donc :
pour le nucléon physique « habillé ».
(11) nous donne :
où
avec :
L’intégrale 1 est à divergence logarithmique ; le
terme
-in2/4 provient du changement d’origine
pour k sur l’intégrale en
-iyk à divergence linéaire (réduite ensuite par intégration symétrique).
Le second terme
L’intégrale J(p2) est aussi à divergence logarith- mique. Soient L et a les intégrales obtenues en rem- plaçant p2 par
-Mil. Elles sont à divergence loga- rithmique (ou dépendantes du cut-off si l’on prend
un cut-off A 2 pour k2)
Par contre Bt(p2) et A,(p2) sont convergentes et s’annulent pour p2 = - M2.
Ainsi d’après (9) :
avec :
Pour un nucléon « habillé n sur une ligne externe
p = PI où p12 == 2013 lVl2 ( M étant la masse phy- sique) et :
En réavité, si M, ME@ ME: sont les masses phy- siques, l’hamiltonien III en représentation d’inter-
action contient aussi des « contre-termes » de
masse :
-
Snj pour les champs spinoriels lV et S,
-
8m2 cp+ y pour le champ de Bosons K.
Il faut donc à chaque graphe figure 1, asso-
cier celui du contre-terme (fig. 2) qui donne l’élé-
ment de matrice de diffusion :
Le calcul de 1(- M2), J(--- M2) avec un cut-off
A montre bien que L et a sont réels. Ainsi, quand
A » MT. :
Comme on pouvait le prévoir, à cause du terme 2JLY5iyp¡, le nucléon physique n’a pas une parité intrinsèque bien définie par rapport à celle du
nucléon nu.
Mais comme, en fait, le nucléon nu n’a pas de
signification physique il n’est pas possible de le
comparer au nucléon « habillé ».
D’ailleurs, sur les équations d’évolution des
champs nus, comme sur celles des champs habillés,
on peut toujours effectuer une transformation canonique (I) qui, comme on l’a vu, change l’opé-
rateur P. Ceci nous conduit à essayer de définir de nouvelles matrices de Dirac y’ telles que (18)
s’écrive :
Nous définissons 0 tel que :
fi étant réel si :
En choisissant SM tel que :
ont bien les mêmes relations d’anticommutation que les YIJ. -. Les y§ et Ç’ peuvent être consi- dérés comme les transformées des y,, et ’f (1) :
a) si e = + 1, par la transformation canonique (I) appliquée au champ N seul.
b) si E = - 1, par le produit des transforma- tiQns (I) et (II) appliquées au champ N seul.
Lorsque A est très grand, on se trouve dans ce
second cas d’après (19).
La possibilité de définir les y§ résulte principa-
,
(1) §’et § diffèrent en plus par un facteur de norma-
lisation (renormalisation de la fonction d’onde).
lement du fait que la matrice 1- -ly,, a un inverse lors ue 1 ui est : 1 + Ayr,
lorsque n #+ 1, qui est : :1 - ’>l 2 .
Elle n’est singulière (projecteur) que pour
-1 = _+ 1. Si l’inégalité contraire de (21) est véri- fiée, on peut en effet définir encore 0’ tel que :
s’ ayant le signe de 2xL
remplace alors (22), de sorte que :
ce qui conduirait à : pi = + M2.
Nous devons exclure cette éventualité (qui
conduirait à une masse imaginaire du nucléon
habillé) et supposer que (21) est vérifiée (2).
Remarquons que :
de sorte que (21) se trouve vérifiée Jorsque À i=- :1: 1
et que le eut-off A-> 00. Dans ces conditions,
0 ne dépend que de À ; d’après (20) :
ce résultat était prévisible, puisque, si JXJ =t- 1, on
on peut écrire :
pour
et que (en supposant ixl 1 par exemple) :
(2) Comme dans tout ce qui précède nous supposons évidemment que l’on peut,calculer les effets de l’habillage
par l’interaction (1) à chaque ordre successif de la méthode
de perturbation.
Quand
e ayant le signe de
Donc :
Pour étudier les champs N, Y,, K couplés, il faut
évidemment calculer aussi les corrections de self-
énergie pour Y,, correspondant au diagramme figure 3, et pour K, figure 4.
Pour 1, il faut remplacer 8’-’ de (17) par
S’-1(£) obtenu en y échangeant JkI et Mu, el
À en - À.
On a en effet :
qu’il faut comparer à S pour le diagramme figure 1.
Le champ l’ habillé libre satisfait à : où les :
sont définis de manière analogue aux y’, OE étant
défini par (20) où LE remplace L.
Ainsi, le champ physique Y,’ n’a pas une parité intrinsèque bien définie par rapport à celle du
champ physique lV’ mais correspond à un mélange
d’états de parités intrinsèques opposées dans un rapport donné par th (OE
-6) puisque :
Pour K, nous devons calculer :
où II2 correspond au diagramme figure 4 et à :
L’effet de (1) est donc du même type que celui d’une interaction conservant la parité, l’intégrale
étant à divergence quadratique, comme pour X =0.
Apparemment, le champ K habillé qp’ a une parité bien définie. Cependant, un état de champ physique résultant de la superposition de 2 parités intrinsèques différentes satisferait à la même équa-
tion de Klein-Gordon.
Nous voyons pourtant que (1) est compatible avec
une parité bien définie du méson K par rapport à celle du nucléon tandis que l’hypéron E n’a pas une
parité bien définie.
En résumé, au 2e ordre on a (1) :
et de même pour 1 :
où v2, YÉ ont les mêmes expressions que u2, y’ en remplaçant L2 par L2(l), 0 par 6s (l’indice 2 pré-
cise qu’il s’agit du 2e ordre). Enfin pour K : 20 CORRECTIONS VERTEX DU 2e ORDRE.
-Pour être complet, il faut calculer les corrections vertex.
1) Pour l’interaction N XIK : la correction corres-
pond au graphe figure 5.
Mais ce processus est interdit par la conservation (1) En se reportant à (17), on voit que l’expression E2f
ne dépend que des (1 + Yy5)2 ym qui, lorsque L2 ~ ~,
se confondent avec les y§. En général on pourrait évi.
demment l’exprimer à l’aide des y§ et de 0 (c’est-à-dire
de L2).
de l’étrangeté, comme les auteurs [3] le font remar-
quer. En effet celle-ci ne peut être conservée au
vertex 3 (les valeurs des étrangetés des différentes
particules sont indiquées entre parenthèses).
2. Pour l’interaction électromagnétique sur un
proton par exemple : la correction correspond aux
deux graphes figures 6a et 6b.
FIG. 6.
Les termes de la matrice 8 correspondants sont
Il faut pour tenir compte de la correction, rem- placer YfJ. par YIL + A(2) (pp) dans l’interactioii
avec le champ électromagnétique ieyA.
On véri fie que l’on a toujours l’identité de Warcl :
lorsque p’ = p (photon de fréquence nulle).
Il en résulte que l’on peut écrire :
où A2) est finie, toute la partie divergente de A42)
étant contenue dans , (pp).
Ainsi :
De même, pour un hypéron :f: :
III. Renormalisation.
-Nous avons admis
jusqu’ici que les constantes g, À de l’interaction (1)
sont les constantes « nues » et qu’elles sont pour-
tant bien connues. Nous avons alors calculé au
2e ordre les effets de l’habillage par l’interaction
en prenant un cut-off. Adoptons maintenant le
point de vue classique de la renormalisation où les constantes nues sont inconnues et doivent être
exprimées en fonction des constantes renorma- lisées.
03A3(p) étant la somme de toutes les contributions à la matrice 8 de tous les diagrammes « propres » de self-énergie, on a toujours :
pour le nucléon et pour l’hypéron S.
D’autre part, considérons les diagrammes propres de vertex à tonus les ordres obtenus, soit en insérant
des diagrammes du type figure 6 à un vertex, soit
en insérant le diagramme figure 7 d’interactions
électromagnétiques (1). On a par exemple avec 6n :
qui présente une divergence log, et apporte à 8 la
contribution :
Faisant passer à gauche l’opérateur iyp’ de
,
tenant compte de :
On obtenait (2) :
pouvant être choisi de manière que.
Ceci se généralise à un diagramme d’ordre
2n + 1 de type 6, CYv. + Ci Y5 Yv. provenant de (1 :1: ÀY5)2n Y(1.’ (1 + ÀY5)2n-2 Yv.’ etc..., et à un dia- gramme mixte de type 6 et 7. Si ce diagramme V
est connecté à des lignes intérieures on ne peut plus opérer comme ci-dessus avec iyp’, iyp mais :
(1) La renormalisation de charge due à l’interaction (1)
et celle due à l’interaction électromagnétique sont ainsi
pour le moment effectuées simultanément.
(2) On avait : C(20) Yp. + C(2a) Ys Ym * L2a(1 + XYS) Y>.
où :
et :
Au total, on a donc une relation du type (29) pour
A,(p’p). D’autre part si A,(p) = A(p,p) on a toujours l’identité de Ward :
De (28) et (30) on déduit
en prenant le paramètre x :
Nous essayons de définir les quantités renorma-
lisées g,, ar, e,, S;, Sr (Y-), dr que nous substituons à g, x, e, S’, S’(Y-), A aux seconds membres des équa-
tions (31) pour nucléon et E, après les avoir conve-
nablement modifiés. Avec cette modification, le premier membre est remplacé par :
et les équations (31) deviennent des équations intégrales définissant Sr, S’(S) et A§ ; il faut évi- demment y joindre l’équation analogue à (31)
pour A’(k) :
Comme en électromagnétisme nous définissons :
pour le substituer à r (1. au 2e membre de (31), cette expression (32) ne contenant plus de terme dive’r- gent. Mais ici Igr) comme P., est la somme d’un
vecteur et d’un pseudo-vecteur. En principe, il
faudrait définir les constantes nues g, x, e = ke,
de manière que :
constantes de renormalisation)
Le premier membre de cette relation, en parti-
culier le rapport des termes pseudo-vectoriel et
vectoriel qui s’y trouvent, ne dépend pas du cut-
off ; le rapport des termes analogues au second membre, en dépend par Cl 1 + C et par le choix de’ À.
On ne peut donc pas satisfaire à (33) ; ainsi pour p’ = p = pi le premier membre se réduit à Yf1.’ le second à : U[ YIL + Cyf1. + Cl y5 Ytt] où Ci :A 0 quel que soit , =71-- 0.
Ceci nous conduit à remplacer la relation (33)
par :
r f1. (g, À, e ...) - U eaY. r f1.,(g r, Àr, e" ...) e--,cyt (34)
qui contient la constante a supplémentaire. Il
faut d’ailleurs éventuellement remplacer eaYa par Y6 eaYa d’après les résultats du § II, c’est-à-dire que :
-- ..
Nous inspirant des résultats du § II nous pose-
rons de même :
Enfin, les opérateurs vertex pour l’interaction (1)
doivent être aussi renormalisés ; si le diagramme 5
ci-dessus est interdit par la conservation da
l’étrangeté, il existe des diagrammes permis d’ordre supérieur à 3, comme celui de la figure 8 d’ordre 5.
Ainsi :
et l’on en déduit des expressions convergentes en
retranchant :
où les lignes terminales sont remplacées par des lignes externes
Chaque ligne interne Y, va d’un vertex F(-) à
un vertex F(+) il lui correspond le propagateur :
De même :
On obtient alors une relation constante entre
expressions normalisées et non renormalisées en
posant :
-A priori, il faudrait introduire des constantes différentes Z+, Z dans (39a) et (39b). Mais nous
avons admis dans (38) que Ir(-) se déduit de F(+) par le changement de Y5 en
-Y5, c’est-à-dire que l’interaction (1) renormalisée reste hermitique ;
rw’ se déduisant de F(+) de la même manière, il
faut que :
Considérons le terme de [-) provenant du graphe figure 8 par exemple, il s’obtient en rempla- çant dans:
ou en passant aux expressions S’, r, pour les parti-
cules « habillées » :
Après division par g, et posant :
En général, pour un vertex d’ordre
nn v
Cette relation doit être la même quel que soit ( V).
Pour qu’il en soit ainsi, il faut et suffit que :
et elle est alors la même que (39b).
-De même
pour un diagramme de type r+) on a (39a).
Dans (37), exprimant G(Iz) (pi, p2, gÀ) en fonc-
tion de gf, ar et remplaçant f:!:> en fonction de
r§+> à l’aide de (39) il vient :
Comparant à (
donnent Z et À. Pour des raisons de covariance :
De même, partant de la définition :
Remplaçant e:l:ays, , e-l-ly,. par les expressions générales (34b) :
nous cherchons à exprimer chaque terme de A,(ge) en fonction des expressions renormalisées
gr, e" "’Ar, 8’li 8’,(1), etc.... Ainsi avec les expres- sions pour les particules habillées :
compte tenu de (35, 36, 39).
Maintenant limitons-nous à des diagrammes ver-
tex V2n contenant 2n vertex r:!:) de l’interaction (1)
et un seul r (J. de l’interaction électromagnétique :
nous effectuons seulement la renormalisation due à
(1) en laissant de côté la renormalisation électro-
magnétique ; alors e n’a pas à être modifié. L’ana-
lyse du terme associé à V2n pour un nucléon
(lignes externes de nucléons) montre que (43) est toujours vérifiée.
De même pour le 1
Dans (42) pour un nucléon, exprimant 1w (gx...) en fonction de g" x,, et remplaçant IP,,
en fonction de r IL’ à l’aide de (34) nous obtenons :
Comparant à (
tantes Cr, Cl, un eut-off ayant été choisi
-(les
calculs de tous les graphes étant effectués avec les
constantes gr, "r renormalisées).
Vérifions la compatibilité de ces relations avec
les équations intégales (31) et les nouvelles équa-
tions intégrales qui les remplacent pour les
expressions renormalisées.
(31) pour le nucléon a été remplacée par :
compte tenu de (44).
Cette équation intégrale est bien compatible
avec (31) et les relations (36), puisque avec (43) :
est équivalente à (31) compte tenu de (36) qui
s’écrit aussi :
Rappelons que pi est un quadrivecteur p fixé
tel que p’2 = - M2, correspondant à une ligne externe ; la particule nue dans cet état est repré-
sentée par Ç(pi) tel que :
La relation :
peut aussi s’intégrer par :
d’où :
On peut alors choisir la constante pour que :
en prenant :
malisation de masse), d’où :
La possibilité de ce choix résulte du fait que :
Par contre, cette relation n’est pas vérifiée par
de sorte que Ç’(pi) satisfaisant à :
est : ’(pt) oc eay· Ç«pi) en accord avec le § II.
Pour retrouver (36) à partir des relations de
commutation, il faut prendre :
D’une manière générale, les constantes Ua et Vb ne sont pas indépendantes puisqu’on passe de
. - -
