HAL Id: jpa-00249235
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00249235
Submitted on 1 Jan 1994
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Etude théorique des paramètres principaux réglant la sensibilité des capteurs d’accélération à cristal de quartz
R. Delaite, Y. Aïch
To cite this version:
R. Delaite, Y. Aïch. Etude théorique des paramètres principaux réglant la sensibilité des capteurs d’accélération à cristal de quartz. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1994, 4 (10), pp.1957-1970.
�10.1051/jp3:1994250�. �jpa-00249235�
J. Phys. III Franc-e 4 (1994j 1957-1970 OCTOBER 1994, PAGE 1957
Classification Phj>sic.s Abstracts
77.60 62.90
Etude thdorique des paramktres principaux rdglant la
sensibilitd des capteurs d'accdldration h cristal de quartz
R. Delaite et Y. Aich
E-N-S-M-M-, Physique et Electronique des Capteurs, Route de Gray. 25030 Besan~on Cedex, France
(Re~,u 1e ?4 f/i,fief /994, a£cepi/1e 4 juillei /994)
Rksumd. Une Etude th60rique de la sensibilit6 des capteurs d'accd16ration h cri~tal de quartz eM
prdsentde. Son but est d'optimi~er les performances mdcaniques et mdtrologique, de ces capteurs.
Les paramdtres sen~ibles sont mi, en Evidence. L'analyse des caractdristiques physiques d6montre que la faisabilitd et les performances des accdldromktres h quartz d6pendent, pour une coupe
donnde du cristal~ de trois facteurs : les dimensions de la lame de quartz~ le nombre de liaisons h la
pdriph6rie du cristal et la position de ces liaison~ par rapport h la r6fdrence cristallographique.
L~dtude est appliqude aux cas des capteurs bipodes, multipodes et monopodes. Pour chaque type de capteur~ les valeurs des paramktre~ ~ensibles correspondant aux performances optimales sont
prdcisdes.
Abstract. A theoretical analysis of quartz accelerometers is performed to determine their optimal mechanical and sen~itivity performances. A general analytical model is used to investigate the parameters and their effects on the sensitivity of these sensors. The analysis of physical
characteristics show~ that feasibility and performances depend on three factors such as dimensions of the quartz plate, quantity of holders located at the crystal edge and location of these holders with
respect to the crystal's crystallographic reference. This study is applied to various design sensors with different supporting quartz cry~tal. The conditions on parameters are given to achieve
optimum performances.
1. Introduction.
Dans une chaine de mesure~ le premier dldment transducteur est le capteur. Cet dldment
essentiel du dispositif de mesure doit Etre capable de transformer directement ou indirectement
une grandeur physique en une variable dlectrique pouvant dtre transmise au dispositif
indicateur ou de traitement. La mesure directe d'une force peut s'effectuer par l'intermddiaire de la polarisation dlectrique de certains matdriaux lorsqu'ils sont soumis h des ddformations.
Ainsi, la rdsonance dlectromdcanique du quartz est plus particulikrement utilisde pour (es
mesures de vibration ou d'accdldration, sa frdquence dtant sensible h ces grandeurs physiques.
La conversion sous la forme numdrique d~une information life h la frdquence ainsi que la
1958 JOURNAL DE PHYSIQUE III N° 10
possibilitd d'obtenir de grandes prdcisions dans de bonnes conditions de stabilitd thermique~ en sont ses principaux intdrdts [I].
Le capteur constitud d'une lame de quartz vibrante associde h ses Electrodes, peut prdsenter
diffdrents modes de vibrations mdcaniques en fonction des ddformations particulikres subit par la lame, tels la flexion, le cisaillement de surface ou le cisaillement d'dpaisseur. Lors de son
Etude de la variation de frdquence d'un rdsonateur h quartz soumis h des contraintes
extdrieures~ Perdigues [2] a mis en dvidence l~intdrdt de choisir le cisaillement d~dpaisseur,
dans le cas d'une utilisation en capteur, pour obtenir )es meilleures performances en stabilitd notamment.
Un paramktre essentiel de la sensibilitd des capteurs accdldromdtriques correspond au type
de liaison mdcanique existant entre la lame de quartz et son support; ce paramktre est
caractdrisd par le nombre d~attaches, [es dimensions, la gdomdtrie et la rigiditd du support [3].
De manikre gdndrale, ces capteurs sont constituds d~un cristal de quartz maintenu par deux
attaches positionndes de manikre conventionnelle diamdtralement opposdes et prdsentent
l'inconvdnient de fournir une sensibilitd h l~accdldration relativement faible. Pour amdliorer la sensibilitd de ces dispositifs~ une solution originate a dtd proposde avec un maintien de la lame de quartz par une liaison unique [4] il a dtd montrd que ce moyen foumit aussi une excellente
stabilitd en tempdrature en utilisant ces capteurs monopodes avec un thermostat intdgrd h faible consommation. Ce principe, protdgd par brevet d'invention [5], prdsente aussi un intdrdt pour les applications du domaine des bases de temps lorsque l'on cherche h obtenir une stabilitd de
frdquence dlevde pour )es matdriels embarquds [4].
Pour dviter l'endommagement dans le cas d'une utilisation en conditions d'environnement trks sdvkre, il a dtd aussi ddmontrd que la forme de la lame de quartz ddpendait essentiellement des valeurs limites atteintes par le mesurande pour un type de liaison cristal-structure donna [6]. Ce domaine de non-ddtdrioration ou de non-destruction permet de choisir, dans la plupart
des cas, des cristaux taillds en lames circulaires souvent rdalisds par les fabricants de
rdsonateurs. Des formes diffdrentes ont cependant dtd proposdes [7] pour que ces capteurs puissent rdsister mdcaniquement dans des cas d'utilisations extrdmes.
Lorsqu'un capteur h quartz est soumis h une accdldration, il enregistre une sensibilitd directement proportionnelle aux contraintes induites dans la zone centrale du cristal rdsonnant,
et fonction de la position relative de la liaison par rapport aux axes cristallographiques. Dans le cas particulier des capteurs monopodes placds dans un champ accdldromdtrique axial, le calcul
de sensibilitd a permis de mettre en Evidence une influence non ndgligeable de l~effet de
cisaillement lid au champ accdldromdtrique [7]. Ce point dtant acquis, nous proposons ici une Etude gdndrale de la sensibilitd des capteurs pidzodlectriques, en tenant compte de l'ensemble
des effets dus h la ddformation de la lame quelle que soft la configuration de maintien du
cristal. Cette gdndralisation a pour but l~optimisation de la sensibilitd accdldromdtrique des capteurs h quartz, des capteurs conventionnels h deux liaisons diamdtralement opposdes ou des capteurs spdcifiques tels que les capteurs h encastrement pdriphdrique intdgral.
2. sensibilitk accklkromktrique des capteurs h quartz.
Les cristaux considdrds ici sent de forme circulaire, symdtriques par rapport h leur plan
mddian, taillds dans une lame de quartz plane de coupe AT et dquipds d~dlectrodes ddposdes
sous vide. Dans cette configuration [es cristaux peuvent vibrer en cisaillement d'dpaisseur tout en prdsentant une compensation suffisante en tempdrature.
Le cristal-rdsonateur, d'dpaisseur faible par rapport h son diambtre, possbde une ou plusieurs
liaisons h sa pdriphdrie. La fixation du capteur sur la structure dtant considdrde comme
parfaitement rigide, seule la ddforrnation de la plaque cristalline intervient sur la sensibilitd
accdldromdtrique du systdme ainsi constitud. Les ddformations subies par le cristal engendrent
N° IO ETUDE THtORIQUE DES PARAM#TRES PRINCIPAUX 1959
des contraintes mdcaniques proportionnelles h l~accdldration appliqude, qui par effets non lindaires sent coupldes h la frdquence de l'onde acoustique du rdsonateur.
L'dquation diffdrentielle de l'dquilibre d'un cristal-rdsonateur considdrd comme plaque
mince et vibrant en cisaillement d~dpaisseur, s'dcrit :
d~Uj dUj
P fi " C'66 fi (I)
dt~ dX~
avec p la masse volumique du quanz~ c~~ le coefficient dlastique du second ordre relatif h la
vibration et oh uj correspond au ddplacement dans la direction xi.
Pour cette plaque mince, (es conditions de l'dquilibre aux limites sent donndes par :
uj = 0 pour x~ = 0 et T6 " 0 pour a-j = ± ho, avec T~ la contrainte relative au cisaillement dans
le cristal et 2 ho l'dpaisseur de la lame de quartz.
Dans le modkle de la plaque plane infinie (es solutions sont harmoniques et pour
k impair, la frdquence de rdsonance d'un cristal libre de toute contrainte s'dcrit
~ c~~ i12
~'
4 ho P ~~~
La modification des caractdristiques de la frdquence de rdsonance d'un cristal sous contraintes
statiques a dtd dtudide par Thurston [8] par la suite, plusieurs auteurs se sont inspirds de ce modkle thdorique [2, 3, 9, 10]. En effet, lorsque des forces extdrieures de surface ou de volume sent appliqudes h un cristal, celui-ci est soumis h une ddforrnation statique modifiant ses
propridtds dlastiques par phdnomkne non lindaire d'ordre physique ou gdomdtrique. Perdigues [2] a effectud [es calculs d'dlasticitd pour une lame de ce type en tenant compte des effets non
lindaires ; la vibration dynamique du cristal dtant supposde d'amplitude infiniment petite, it a ddmontrd ensuite que par rapport h la frdquence initiate donnde par l'dquation (2) en l'absence de prdcontrainte, seul le coefficient dlastique du second ordre relatif h la vibration dtait modifid
tars de la ddtermination de la nouvelle frdquence.
La frdquence modifide par l'application d'une contrainte statique est donc donnde par la relation [2]
~' lo
~l~~
~~~
avec 2 ho et p, respectivement l'dpaisseur de la lame et la masse volumique du quartz aprbs ddformation statique.
L'expression de Bj~j~ s'dcrit sous la forme
,=4
B j~j~ = t~ + ~ (l + 2 S~ + 2 (~) c~~ + £ c~~, S, (4)
P
,=l
oh la symbolisation avec barre est relative h l'dtat final, T~ est la contrainte normale et les S, sent les ddformations statiques ; les c,~ et c,j, correspondent aux coefficients dlastiques du
quartz du second ordre et du troisibme ordre.
si l'on ndglige la compressibilitd du quartz et si l'on remplace (es ddformations en fonction des contraintes au centre de la lame, la variation relative de frdquence peut s'dcrire h partir des
dquations (2) (3) et (4)
~~ i~~
2
66 ~~
~ )~ ~~ ~ ~~~
1960 JOURNAL DE PHYSIQUE III N° IO
oh les k, sent des coefficients donnds pour une coupe cristalline, suivant l'expression :
j b
~> ~ ~ C66 Sl + I C6b
j Sji (~)
j
Dans le cas particulier d'une lame cristalline de coupe AT les coefficients k~ et k~ sent nuts, ce qui permet d'dcrire la variation relative de frdquence sous la tonne :
f f j , =4
' '=-- jjk,T~ (7)
j, 2 cm
avec k, [es coefficients relatifs b la coupe AT et fonction des coefficients dlastiques et de
souplesse du cristal, le coefficient k~ intdgrant dans ce cas la contrainte T~ apparaissant dans
l'Equation (5).
L'anisotropie du cristal dtant introduite au niveau du calcul de la variation de frdquence par
le biais des relations contraintes-ddformations, le calcul de la distribution des contraintes dans le capteur soumis h l~accdldration est effectud dans le cas de l~approximation isotropique pour des probldmes similaires de contraintes planes, h noter que cette technique de calcul a ddjh dtd
utilisde avec succbs par diffdrents auteurs [2, II ].
Un angle de position V/ dolt dtre introduit pour tenir compte de la position relative des
liaisons cristal-structure par rapport au repbre cristallographique de la lame de quartz
(O~,rj~,r~,,rj) dans lequel a dtd ddterminde la variation de frdquence. Le tenseur des contraintes au centre du capteur est calculd dans le nouveau repkre (O~ .r(, x(, x]) aprks rotation
d'angle V/ autour de l'axe Ox~, les axes O~r~ et Ox( restant confondus.
La reprdsentation matricielle du tenseur des corJtraintes [T] dans le repkre d'origine (O~ ,i
j, >.~, .rj) est la suivante
fj f~ f~
T~ T~ T~
N° IO ETUDE THtORIQUE DES PARAMfTRES PRINCIPAUX 1961
Les contraintes dans le repbre cristallographique s'dcrivent en fonction des contraintes h
calculer dans le repbre mobile de la lame associde h ses liaisons, en appliquant la relation (10).
On obtient
Tj = T( cos~ V' + T( sin~ V'- 2 T) sin V'cos V' T~ = T(
T~ = T( sin~ V' + T( cos~ V' + 2 T) sin V'cos V'
(12) T~ = T( cos V/ + T( sin V/
T~ = (T( T() sin V/ cos V/ + T)(cos~ V/ sin~ V/
T~ = T( sin V/ + T( cos V/
oh la symbolisation avec barre est relative h l'dtat final et oh la notation utilisde est I h 3 pour les contraintes normales et 4 h 6 pour les contraintes de cisaillement.
Une lame de quartz, soumise h l'accdldration~ subit des ddformations en fonction du type de maintien choisi les ddformations typiques sont des Elongations ou compressions longitudina-
les et des flexions simples ou h effet de cisaillement. Au centre de la lame et dans le repbre mobile~ I'(tat de contrainte caractdristique de la sensibilitd gdndrale du capteur rdsulte de la
combinaison des composantes norrnales (f), f)) et de cisaillement (fj, f]).
A partir des Equations (12) ddfinies prdcddemment lors du charigement de repbre et h partir
de la combinaison des composantes du repbre mobile, le tenseur des contraintes dans le repbre
cristallin devient
fj
=
f( cos~ V/ + fj sin~ V/ 2 fj sin V/ cos V/
T~ = T( sin~ V'+ Tj cos~ V/ + ? Tj sin V/ cos V/ (13)
f~
= T] sin V/
Pour un capteur de coupe AT soumis h une accdldration quelconque et maintenu h sa pdriphdrie
de manibre symdtrique par une ou plusieurs liaisons, une formulation gdndrale de la variation relative de frdquence peut dtre donnde h partir de l'dquation (7) et en fonction des contraintes ddfinies en (13)
+ 2(k~ kj) sin V'cos V'Tj + k~ sin V'T( (14)
Cette formulation de la sensibilitd accdldromdtrique s'applique h diffdrents types de capteurs pidzodlectriques : [es capteurs conventionnels avec plaque cristalline maintenue par deux liaisons diamdtralement opposdes, (es capteurs monopodes dquipds d'une liaison unique ou (es capteurs h encastrement pdriphdrique intdgral. Ce calcul de sensibilitd peut aussi dtre appliqud
aux capteurs dquipds de dispositifs amplificateurs lets (es masses sismiques.
En introduisant un coefficient de sensibilitd accdldromdtrique Qna Pour caractdriser (es capteurs soumis h une accdldration r, l'dquation (14) s dcrit :
~~ ~~
# Qna t~~~~
r (15)
f, 2 c~~ 2 ho
1962 jOURNAL DE PHYSIQUE III N° lo
avec t~ le coefficient de liaison non nut fonction du nombre n de liaisons rdalisdes entre le cristal et la structure (I w n
~ + co ).
Ainsi, la sensibilitd accdldromdtrique d'un capteur ddpend des paramdtres suivants : . R et 2h~ [es paramktres dimensionnels, respectivement le rayon du cristal et son
dpaisseur ;
. t~ le coefficient de liaison relatif au nombre de liaisons n entre le cristal et la structure
. Qua le coefficient de sensibilitd fonction de la position des liaisons par rapport au repdre cristallographique du quartz, pour un nombre de liaisons n donna.
Pour des paramktres dimensionnels fix6s, la sensibilitd accdldromdtrique d'un capteur ddpendra donc du nombre de liaisons et de leur. position relative. Selon le nombre de liaisons et
l'orientation de l'accdldration appliqude h la lame circulaire, la ddformation rdsultante dans la
zone centrale sera considdrde suivant soft une surface cylindrique, soft une surface sphdrique,
soit une extension ou une compression dans le plan du capteur. Les composantes des
contraintes qui correspondent h ces ddformations peuvent Etre directement intdgrdes h
l'Equation (14) de la variation relative de frdquence pour diffdrents types de capteurs.
3. Capteurs bipodes k effet de flexion simple.
Une accdldration axiale constante est appliqude h un capteur en quartz relid h son support rigide
par l'intermddiaire de deux liaisons (n = 2) non dlastiques, diamdtralement opposdes et
positionndes sur l'axe O.rl'du repdre mobile lid k la lame (O, x(, a-j, xj). Ces conditions, reprdsentdes figure I, permettent de considdrer, en premikre approximation, que la ddformation de la lame est rdalisde sous la forme d'une surface cylindrique symdtrique, la flkche maximale
dtant obtenue au centre de la plaque.
L'influence des efforts tranchants dtant nut suivant l'axe Ox~ du capteur, l'dtat de contrainte rdsultant au centre du cristal n'est lid qu'aux effets des moments de flexion dans cette zone. La
contrainte normale dtant nulle au centre gdomdtrique de la lame, la valeur de la contrainte
K<
2 ~l
X3 ~i
~< i
xi
Fig. I.
N° 10 ETUDE THfORIQUE DES PARAMfTRES PRINCIPAUX 1963
T( retenue tient compte de l'hypothdse d'une variation de la frdquence proportionnelle h la
valeur maximale de la contrainte de flexion a(,~~~, situde h la surface du cristal, par
l'intermddiaire d'un coefficient de proportionnalitd a
~.
Ce coefficient est ddtermind expdrimen-
talement [12]. Sa valeur est agate h 2 x 10~~.
A partir de la variation relative de frdquence donnde par l'dquation(14), on ddduit la sensibilitd des capteurs bipodes soumis h l'accdldration axiale r~.
~fl~~
~
66
~~~ ~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~ ~ ~~ ~~~~
avec I( la contrainte normale due h la flexion et reprdsentative de la sensibilitd du cristal en son centre
it
= «a al,m~~, ('?)
En fonction de l'accdldration r~ appliqude suivant l'axe O,i~, la contrainte de flexion
a( atteint sa valeur maximale au centre de l'une des faces du capteur. Les rdsultats classiques
de rdsistance des matdriaux [131 Permettent de ddterminer le coefficient de liaison
t,, ddfini par l'dquation abrdgde (15) dans le cas des capteurs dquipds de deux liaisons
(n
= 2) diamdtralement opposdes on obtient t~ =
f a~, (181
Le coefficient de sensibilitd du capteur ainsi constitud est ddfini h partir de l'dquation (16) pour
n = 2 ce coefficient Q2a, directement lid h la position des liaisons et h la direction de
l'application de l'accdldration, s'dcrit :
Q~
~ =
kj cos~ V' + ki sin~ V' (l 9)
ou encore en fonction de l'angle double :
Q~
~ =
(kj ki) cos 2 V' + (kj + k~ (20)
Le coefficient de sensibilitd accdldromdtrique axial des capteurs bipodes prend sa valeur
maximale pour cos 2 V'= l, avec [es facteurs (kj + k~) et (kj L~) positifs, soft pour une
position des liaisons :
V'~~ = (0, w ). (21)
La valeur maximale du coefficient de sensibilitd Q~~ devient Q2a,
maxi
~l ~~~)
A partir des Equations (15), (18) et (22), la sensibilitd accdldromdtrique axiale maximale des capteurs bipodes est obtenue pour un angle de position des liaisons V'
=
(0, w et calculde
pour une coupe AT elle se met sous la forme
~~ ~~
= kj " a~ ~~~
r~ (23)
fl ~ C66 ~ ~ ~0
1964 JOURNAL DE PHYSIQUE III N° 10
Ainsi, [es capteurs conventionnels utilisant deux liaisons, peuvent atteindre une sensibilitd
maximale pour deux positions particulibres (0, WI de leurs liaisons par rapport au repdre
cristallographique de la lame de quartz. Cette valeur de la sensibilitd maximale dtablie
dquation (23) dolt Etre comparde aux sensibilitds atteintes par d'autres configurations ; le
paragraphe suivant a pour but d'analyser la sensibilitd des capteurs relids h leur structure par l'intermddiaire de plusieurs liaisons (nm3), jusqu'au cas particulier de l'encastrement
pdriphdrique complet de la lame (n
- oJ ).
4, Capteurs multipodes h effet de flexion simple.
Les capteurs multipodes prdsentent des caractdristiques identiques h celles que possbdent )es capteurs bipodes dtudids prdcddemment, h l'exception du nombre de liaison n qui est >gal ou
supdrieur h trots avec une rdpartition symdtrique h leur pdriphdrie. En prem16re approximation, lorsqu'un capteur de ce type est soumis h une accdldration axiale r~, la lame de cristal accuse
une ddformation qui prend la forme d'une surface sphdrique, attei.gnant sa flbche maximale en
son centre. A titre d'exemple, la figure 2 reprdsente un capteur maintenu en quatre points situds
h la pdriphdrie de la lame circulaire et formant entre eux des secteurs angulaires dgaux.
jri
xi
xi
Fig. 2.
Les contraintes dues aux efforts tranchants sont nulles au centre du cristal et seules
subsistent, dans cette zone, [es contraintes de flexion dues aux effets des moments de flexion suivant )es directions O,rj et O.ri du repbre cristallographique. Avec la mEme hypothbse de proportionnalitd que celle utilisde prdcddemment, la variation relative de frdquence des
capteurs multipodes soumis h une accdldration axiale s dcrit
~~ ~~
= j(kj cos~ V'+ kj sin~ V') f( + (kj sin~ V'+ ki cos" V') fjl (24)
f~ 2 c~~
