e3a Maths 1 PSI 2016 — Corrigé

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e3a Maths 1 PSI 2016 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Guillaume Batog (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l’université) et Benjamin Monmege (Enseignant-chercheur à l’université).

Le sujet est constitué de cinq exercices indépendants.

• Le premier exercice compare la nature d’une série Pan, où (an)_n∈N∗ est une suite décroissante de réels positifs, à celle de la série Pn(an−an+1). Après l’étude de deux exemples, on démontre que les deux séries sont de même nature, et de même somme en cas de convergence. C’est l’occasion de mettre en pratique un grand nombre de techniques sur les séries numériques.

• Le deuxième exercice étudie deux endomorphismes sur le sous-espace vectorielE de C¹(R₊,R) engendré par les fonctions x 7−→ xⁿe^−x pour 0 6 n 6 N: l’opérateur de dérivation et l’opérateurΦdéfini par

∀f∈E ∀x>0 Φ(f)(x) =

+∞

P

n=0

f(x+n)

On justifie qu’il s’agit bien d’endomorphismes deE et on étudie leur diagona- lisabilité après avoir écrit leurs matrices dans une base. Aucune connaissance sur les séries de fonctions n’est utile pour l’étude deΦ, on se contente d’outils simples sur les séries numériques.

• Le troisième exercice porte sur le langage Python. D’abord, on doit décrire des programmes donnés dans l’énoncé portant sur les nombres premiers. Ensuite, trois questions amènent à la rédaction d’un programme court qui calcule une liste de couples de nombres premiers jumeaux, c’est-à-dire de la forme(p, p+ 2) avecpetp+ 2premiers. Enfin, on détermine les valeurs prises par une fonction Python définie (doublement) récursivement.

• Le quatrième exercice commence par des questions de cours sur les images, noyaux et éléments propres d’un endomorphisme. La suite est indépendante et porte (sans le dire) sur la construction des projecteurs spectraux d’une ma- triceM∈M_n(R), possédantnvaleurs propres distinctes, à partir des vecteurs propres de M et de ^tM. L’étude est entièrement matricielle, avec une légère excursion dans la structure euclidienne canonique deRⁿ.

• Le cinquième exercice s’intéresse à l’imageY = Φ(X)d’une variable aléatoire réelleXpar la fonction intégraleΦdéfinie par

∀x∈R Φ(x) = Z 1

0

max(x, t) dt

Après avoir étudié la fonctionΦ, on traite les cas particuliers d’une variableX suivant une loi géométrique, une loi binomiale et une loi artificielle de support constitué de quatre valeurs. Les outils de probabilités sont de niveau 1^re S (tableau d’une loi, calcul d’espérance) et les techniques de calcul de niveau collège (addition de fractions). Cet exercice devait être traité très rapidement.

Globalement, ce sujet teste la maîtrise du calcul (sommes, matrices, fractions) et les compétences de base sur les chapitres abordés, tout en proposant des exercices originaux et accessibles au plus grand nombre des étudiants.

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Indications

Exo1-1.1 C’est une série géométrique.

Exo1-1.2 C’est une série dérivée.

Exo1-1.3 Prendrex= 1/2dans la série de la question 1.2.

Exo1-2.2 Effectuer une comparaison série/intégrale.

Exo1-2.3 Développer l’écriture de bn et trouver un équivalent de bn à l’aide de développements limités en0deln(1 +h)et 1/(1 +h).

Exo1-3.1 Utiliser la décroissance de la suite(an)_n∈N∗.

Exo1-3.2 Majorer la somme par le reste d’une série convergente.

Exo1-3.3 Montrer que06nan64⌊n/2⌋a2⌊n/2⌋ pour toutn>2.

Exo1-3.4 Faire apparaître un terme télescopique dans l’écriture debn.

Exo1-4.1 À l’aide d’une décomposition télescopique debnobtenue à la question 3.4, démontrer queBn = An+1−(n+ 1)an+1 pour tout n>1. Puis étudier le signe deBn−Am+m an+1 pour m6n.

Exo1-4.2 Considérerp=n−m>0 dans l’inégalité de la question 4.1 ; puis faire tendrepvers⁺∞pourm∈N^∗ quelconque fixé.

Exo2-1 Utiliser la définition de la liberté.

Exo2-2.1 Montrer que, pour toute fonctiong∈E, la dérivée∆(g)est bien dansE en calculant les dérivées des fonctionsek pour06k6N.

Exo2-2.3 Raisonner sur la matriceA.

Exo2-3 Comparer la sérieP

wn avec une série de Riemann.

Exo2-4.2 Partir d’une décompositionλ0e0+· · ·+λNeNdef dansE(λi∈R).

Exo2-4.4 Reprendre la décomposition de f introduite à la question 4.2, échanger les sommes dans l’expression deF(x)puis utiliser la formule du binôme.

Exo3-1.1 Attention à l’indentation de l’instructionreturn True.

Exo3-1.3 Écrire une bouclewhileavec une variablepincrémentée à chaque étape.

Exo3-1.4a Utiliser la fonctionnextPrimepour ne tester que des nombres premiers.

Exo3-1.4b L’énoncé interdit d’utiliser la fonctionjumeau.

Exo3-2.4 Traiter d’abord le cas oùn ∈[[ 90 ; 100 ]], puis le cas où n <90en intro- duisant le plus petit entierk∈Ntel quen+ 11k>90.

Exo4-P.4 Trouver des relations sur les multiplicités des valeurs propres.

Exo4-1 Montrer queMet ^tMont le même polynôme caractéristique.

Exo4-2 Démontrer que(λi−λj)^tVi Wj= 0à partir des définitions deVietWj. Exo4-3 Raisonner par l’absurde en se rappelant que le vecteur nul est le seul

vecteur orthogonal à tous les vecteurs d’un espace euclidien.

Exo4-5 La matriceBk est le produit d’une colonne par une ligne. Pour le calcul deBk2, se souvenir que le produit d’une ligne par une colonne n’est rien d’autre qu’un scalaire.

Exo4-6 CalculerPVi etQVi pour touti∈[[ 1 ;n]].

Exo5-1.2 Distinguer trois cas suivant la position dexpar rapport à0et 1.

Exo5-2 Les valeurs deXsont toutes supérieures à1.

Exo5-3.2 Remarquer queY(ω) = Φ X(ω)

pour toutω∈Ω.

Exo5-4.3 Déterminer les produits possibles entre une image deXet une image deY.

Exo5-4.4 Passer son chemin ! Sinon, décomposer les entiers en produits de facteurs premiers afin de simplifier les calculs sur les fractions.

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Exercice 1

Exo1-1.1 La sérieP

an est géométrique de raison1/2∈]−1 ; 1 [donc La sériePan converge.

Sa somme vaut

+∞

P

n=1

1 2ⁿ⁻¹ =

[k=n−1]

+∞

P

k=0

1

2^k = 1 1−1/2 = 2 soit

+∞

P

n=1

an= 2

Exo1-1.2 La série entièreP

nxⁿ⁻¹ est la série dérivée de la série entièreP xⁿ de rayon1. D’après le cours, ces deux séries entières ont même rayon de convergence d’où

Le rayon de convergence de la série entièrePnxⁿ⁻¹ vaut 1.

Exo1-1.3 Pour toutn>1, bn=n(an−an+1) =n

1 2ⁿ⁻¹ − 1

2ⁿ

= n 2ⁿ = 1

2·n 1

2 n−1

En prenantx= 1/2∈]−1 ; 1 [dans la question 1.2, on conclut par linéarité que La sérieP

bn converge.

On peut dériver terme à terme la somme d’une série entière sur son disque ouvert de convergence. Ici, six∈]−1 ; 1 [,

+∞

P

n=1

d dx

xⁿ

= d dx

+∞

P

n=1

xⁿ

d’où

+∞

P

n=1

nxⁿ⁻¹= d dx

+∞

P

n=0

xⁿ−1

= d dx

1 1−x−1

= 1

(1−x)² soit

+∞

P

n=1

nxⁿ= x (1−x)² Pourx= 1/2, on a

+∞

P

n=1

bn= 1/2

(1−1/2)² = 2

Exo1-2.1 La suite (nlnn)n>2 est croissante de limite ⁺∞ car c’est le produit de deux fonctions usuelles positives qui le sont. Par inverse,

La suite(an)n>2 est décroissante de limite nulle.

Exo1-2.2 La fonction x 7−→ 1/(xlnx) est positive et décroissante sur [ 2 ;⁺∞[.

Par croissance de l’intégrale sur[k;k+ 1 ]pourk>2,

∀k>2 ak= 1 klnk =

Z k+1

k

1

klnkdx>

Z k+1

k

1 xlnxdx

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Sommons cette inégalité pourkallant de2àn>2. D’après la relation de Chasles,

∀n>2 An= Pⁿ

k=1

ak= 0 + Pⁿ

k=2

ak>

n

X

k=2

Z k+1

k

1

xlnxdx= Z n+1

2

1 xlnxdx Or,

Z n+1

2

1

xlnxdx=h

ln|lnx|in+1

2 = ln ln(n+ 1)

−ln(ln 2)−−−−→

n→∞

+∞ Par comparaison, la suite(An)_n∈N∗ des sommes partielles de la sérieP

an diverge, c’est-à-dire que

La sériePan diverge.

La série Pan est une série de BertrandP1/

n^α(lnn)^β

avecα=β = 1.

Rappelons que ces séries ne sont pas au programme, ce qui nécessite d’étudier leur nature à la main. Siα6= 1ouα= 1etβ >0, il suffit de comparer la série de Bertrand à une série de Riemann. Sinon, une comparaison série/intégrale permet de répondre.

Exo1-2.3 Pourn>2, nan= 1/lnn

d’où lim

n→⁺∞nan = 0

Exo1-2.4 Déjà, comme la suite (an)n>2 est décroissante (question 2.1), la suite (bn)n>2 est positive à partir du rang 2. Ensuite, pour toutn>2,

06bn=n 1

nlnn− 1

(n+ 1) ln(n+ 1)

= 1

lnn− n

n+ 1 × 1 ln(n+ 1) Déterminons un équivalent debn à l’aide d’un développement limité. D’une part,

n

n+ 1 = 1

1 + 1/n= 1−1 n+o

1 n

D’autre part, ln(n+ 1) = lnn+ ln

1 + 1 n

= lnn+ 1 n+o

1 n

d’où 1

ln(n+ 1) = 1

lnn· 1

1 +o(1/n)= 1 lnn

1−o

1 n

Finalement, bn = 1 lnn− 1

lnn

1− 1 n+o

1

n 1 +o 1

n

= 1

lnn

1−1 + 1 n+o

1 n

bn ∼

n→⁺∞

1 lnn· 1

n =an

D’après le théorème de comparaison pour les séries à termes positifs, la question 2.2 implique que

La sériePbn diverge.

Exo1-3.1 Soitn∈N^∗. Puisque la suite(an)_n∈N∗ est décroissante, on a a2n 6ak

pour toutk∈[[n+ 1 ; 2n]]. En sommant ces2n−(n+ 1) + 1 =ninégalités, on obtient

∀n∈N^∗ na2n 6

2n

P

k=n+1

ak=un