L'analyse est sans doute la plus grosse partie du programme de mathématiques du cycle terminal. La construction des connaissances et l'apprentissage des méthodes est progressif et s'appuie très fortement sur ce qui a été fait les années antérieures. En première apparaît le calcul différentiel (la dérivée), puis en terminale le calcul infinitésimal (les limites) et l'intégration. Seront aussi introduites deux nouvelles fonctions : la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien.
Une bonne maîtrise des méthodes, le soucis de la rigueur dans la rédaction et l'utilisation du vocabulaire (bien distinguer le champ lexical lié aux fonctions de celui lié aux représentations graphiques), la capacité à « jongler » entre une information graphique et son équivalent analytique, à distinguer la valeur d'une variable dans une équation et dans une expression, … Tout cela intervient dans l'étude des fonctions.
Cela nécessite un travail régulier, bien sûr, mais c'est une partie du programme assez facile pour celui qui le fournit. Celui qui, par contre, laisse, par manque de travail, s'accumuler le retard, décroche au bout d'un moment et il devient alors, à l'entrée en terminale, difficile de rattraper le retard...
Exercice 1 : La courbe ci-contre représente une fonction f. En utilisant le graphique, répondre aux questions.
1. Donner l'ensemble de définition de f. 2. Quelle est l'image de 4 par f ?
3. Donner le tableau de variations de f.
4. Résoudre graphiquement l'équation f (x )=2 . 5. Donner les antécédents de 0 (ou un encadrement à l'unité, si le graphique ne permet pas d'en connaître une valeur entière exacte) par f.
6. Résoudre graphiquement l'inéquation f (x )⩽2 (rédiger la méthode).
7. Tracer la droite (d) d'équation y=x +2 et
résoudre graphiquement l'inéquation f (x )⩾x +2 (rédiger la méthode).
Exercice 2 : Pour fabriquer une boîte parallélépipédique, on dispose d'une plaque carrée de côté 6 dm, dans laquelle on découpe à chaque coin un carré de côté x dm . On obtient ainsi le patron d'une boîte sans couvercle.
Soit V la fonction qui à la longueur x associe le volume V (x ) de la boîte.
1. a) Justifier que l'ensemble de définition de la fonction V est l'intervalle [0 ;3 ] . b) Déterminer, en fonction de x, les dimensions de cette boîte.
c) En déduire que pour tout réel x de l'intervalle [0 ;3 ] , V (x )=4 x3
− 24 x2+36 x . 2. Calculer V(1,5). Interpréter concrètement ce résultat.
3. Pour quelle(s) valeur(s) de x obtient-on une boîte cubique? Quel est alors le volume de cette boîte ? 4. Compléter le tableau de valeurs suivant à l'aide du mode TABL la calculatrice.
x 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3 V (x )
5. Construire la représentation graphique de la fonction V dans un repère orthogonal (unités : 4 cm en Généralités sur les fonctions
abscisses et 0,5 cm en ordonnées).
6. Conjecturer graphiquement le volume maximal de la boîte. Pour quelle(s) valeur(s) de x est-il atteint ? 7. Vérifier que pour tout réel x de l'intervalle [0 ;3 ] , V (x )−16=4(x −1)2
(x − 4) .
8. En déduire que, pour tout réel x de l'intervalle [0 ;3 ] , V (x )≤ 16 . Ceci permet-il de valider la conjecture de la question 6 ?
Exercice 3 : On connaît le tableau de variations d'une fonction f définie sur [−2 ;5 ] :
1. Répondre par Vrai, Faux ou On ne peut pas conclure : a) L'image de 0 par f est 1. e) f (−6)<0
b) f (2)=3 f) f est croissante sur [−6 ;−4 ] .
c) f (2)>0 g) 1 est un antécédent de 0 par f.
d) f (−5)< f (−2) h) 2 admet trois antécédents par f. 2. Donner un encadrement, le plus précis possible, de f (x ) , sachant que x vérifie : a) 1⩽x ⩽3 b) −5⩽x⩽3 c) −7⩽x ⩽3
Exercice 4 : Tracer une courbe susceptible de représenter la fonction f sachant que : - f est définie sur l'intervalle [−2 ;5 ] ;
- le maximum de f sur [−2 ;5 ] est 2 et est atteint en 1 ; - le minimum de f sur [−2 ;5 ] est −3 et est atteint en 4 ; - les antécédents de 0 par f sont −2 , 0, 3 et 5.
Exercice 5 : On s'intéresse à la fonction f définie sur ]−∞; 2[ ∪]2 ;+∞[ par f (x )=3 x−7 x−2 . On appelle c sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère.
1. Étudier le signe de f (x ) .
2. Calculer l'image de
√
7 par f . Écrire le résultat sans radical au dénominateur. 3. Montrer que pour tout x ≠ 2, f (x )=3− 1x −2 .
4. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur ]2 ;+∞ [ . 5. Résoudre l'équation f (x )=3 .
6. Déterminer les points d'intersection de la courbe représentative de f avec les axes de coordonnées. 7. Soit A le point de la courbe c qui a pour abscisse 3.
a) Déterminer les coordonnées du symétrique A' de A par rapport au point Ω(2; 3) . b) Montrer que A' ∈ c.
Exercice 6 :
ABCD est un carré de côté 4. On place les points E et F sur [AB ] et [BC ] tels que : BE=BF =x.
1. a) Faire une figure dynamique à l'aide de Geogebra.
b) Conjecturer la position de E sur [AB ] pour laquelle l’aire du triangle EFD semble être égale à 6.
2. On appelle f la fonction qui à x associe l’aire f x du triangle
EFD.
Quel est l’ensemble de définition df de f ?
3. Montrer que, pour tout x ∈ df , f x =–
1 2x
2 4 x .
4. Déterminer la position de E sur [AB ] pour laquelle l’aire du triangle EFD est égale à 6.
