Etude de fonctions Sylvain Dotti
𝐼 La notion la plus élémentaire de fonction vient du tableau de proportionnalité. Prenons la relation entre le prix de l’essence et la quantité d’essence achetée. Un tel tableau peut se représenter de la manière suivante :
Quantité
d’essence 1 litre 2 litres 35 litres 40 litres 45 litres
Prix de l’essence 1,57 euro 3,14 euros 54,95 euros 62,80 euros 70,65 euros Bien entendu on pourrait rajouter de nombreuses colonnes à ce tableau pour le rendre plus complet.
Une manière plus complète d’avoir le lien entre le prix de l’essence et la quantité d’essence achetée, est d’en faire une représentation graphique : (quantité en abscisses à lire horizontalement, prix en ordonnées à lire verticalement)
On peut même être plus précis et calculer le prix pour des quantités d’essence non entières (par exemple pour 1,01 litre ; 1,02 litre ; 1,03 litre … ) pour obtenir le graphique suivant :
Cela donne plus d’informations, mais la lecture exacte du prix peut être approximative, et nous n’avons pas d’informations pour des quantités supérieures à 50 litres.
En réalité, le lien essentiel entre le prix de l’essence et la quantité achetée est la multiplication par 1,57. Cette opération est une fonction et s’écrit
𝑥 ↦ 1,57 × 𝑥
ou bien
𝑃(𝑥) = 1,57 × 𝑥
ou bien
𝑃: 𝑥 ↦ 1,57 × 𝑥
𝑃(𝑥) désigne le prix en fonction de la quantité 𝑥.
L’ensemble des fonctions du type 𝑥 ↦ 𝑎 × 𝑥 où 𝑎 est un nombre quelconque s’appelle les fonctions linéaires, on peut aussi les écrire 𝑓(𝑥) = 𝑎 × 𝑥, on peut bien sûr remplacer 𝑓 par 𝑔, ℎ, 𝑘…
Remarque : 1,57 × 𝑥 s’écrit en général 1,57𝑥, de même 𝑎 × 𝑥 s’écrit le plus souvent 𝑎𝑥.
Un exemple similaire est celui du prix de location d’une voiture : la location à la semaine demande un forfait de 150 euros auquel il faut ajouter 0,50 euro par kilomètre parcouru. On peut représenter le prix à payer par un vacancier qui loue la voiture pour une semaine par un tableau :
Kilomètres parcourus
0 𝑘𝑚 20 𝑘𝑚 50 𝑘𝑚 200 𝑘𝑚
Prix à payer 150 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠 150 + 20 × 0,50
= 160 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠 150 + 50 × 0,50= 175 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠 150 + 200 × 0,50= 250 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠 Bien entendu on pourrait rajouter de nombreuses colonnes à ce tableau pour le rendre plus complet.
Une manière plus complète d’avoir le lien entre le prix à payer et le nombre de kilomètres parcourus, est d’en faire une représentation graphique : (kilomètres en abscisses à lire horizontalement, prix en ordonnées à lire
verticalement)
Cette droite a été obtenue en ayant calculé le prix pour 0 km ; 0,1 km ; 0,2 km … jusqu’à 200 km parcouru.
Cela donne plus d’informations que le tableau précédent, mais la lecture exacte du prix peut être approximative, et nous n’avons pas d’informations pour des distances parcourues supérieures à 200 km.
En réalité, le lien essentiel entre le prix de la location et la distance parcourue est la multiplication par 0,50 suivie de l’addition par 150. Cette opération est une fonction et s’écrit
𝑥 ↦ 0,50𝑥 + 150 ou bien
𝑃(𝑥) = 0,50𝑥 + 150 ou bien
𝑃: 𝑥 ↦ 0,50𝑥 + 150 𝑃(𝑥) désigne le prix en fonction de la distance parcourue 𝑥.
L’ensemble des fonctions du type 𝑥 ↦ 𝑎𝑥 + 𝑏 où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres quelconques s’appelle les fonctions affines, on peut aussi les écrire 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, on peut bien sûr remplacer 𝑓 par 𝑔, ℎ, 𝑘…
On peut bien entendu créer toutes sortes de fonctions en utilisant les opérations élémentaires (+, −,×,/). Par exemple :
𝑃(𝑥) = 𝑥2 est le prix d’une pierre semi-précieuse où 𝑥 est la masse de la pierre (en grammes)
Remarque : je rappelle que 𝑥2= 𝑥 × 𝑥, c’est-à-dire 32 = 9 ; 52 = 25 ; 102= 100 ; 1,52= 2,25
𝐶(𝑥) = 𝑥2+ 50𝑥 + 900 est le coût mensuel de production en euros de 𝑥 meubles d’un artisan.
Remarque : 𝐶(0) = 02+ 50 × 0 + 900 = 900 est le coût fixe de l’artisan, cela signifie qu’il dépense 900 euros
même sans fabriquer un seul meuble. Cela peut correspondre au loyer de son atelier.
Pour un article vendu au prix de 𝑥 euros, la demande est de 𝐷(𝑥) =−0,1𝑥−0,2𝑥−4 centaines d’articles.
𝐼𝐼 Si la fonction représentant un certain prix (ou tout autre chose) est connue, par exemple 𝑃(𝑥) = 𝑥2, il est
pratique d’en connaître une représentation graphique.
Pour tracer la courbe qui représente 𝑃(𝑥), il faut effectuer le calcul 𝑥2 pour certaines valeurs de 𝑥.
En effet :
la courbe représentant une fonction 𝑃(𝑥) est l’ensemble des points de coordonnées (𝑥 ; 𝑃(𝑥))
Donnons différentes valeurs de 𝑥2 sous forme d’un tableau :
𝑥 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2
𝑃(𝑥) 0 0,16 0,64 1,44 2,56 4 5,76 7,84 10,24
Cela me donne l’allure de la courbe, pour la tracer, je n’ai qu’à relier ces points de manière cohérente. Si je choisis de calculer plus de valeurs de 𝑥2, je peux obtenir par exemple
Le but est d’obtenir la courbe de 𝑃(𝑥) suivante (pour 𝑥 variant de 0 à 3,2) :
De même essayons de construire la courbe de la fonction 𝐷(𝑥) =−0,1𝑥−0,2𝑥−4 . 𝑥 étant un prix, je me contente de calculer les valeurs de −0,1𝑥−0,2𝑥−4 pour des 𝑥 positifs :
𝑥 0,50 1 1,50 2 2,50 3 3,50 4 4,50
𝐷(𝑥) 14 10 7,14 5 3,33 2 0,90 0 -0,77
Cela me donne l’allure de la courbe, pour la tracer, je n’ai qu’à relier ces points de manière cohérente. Si je choisis de calculer plus de valeurs de −0,1𝑥−0,2𝑥−4 je peux obtenir par exemple
On remarque d’un coup d’œil que si l’article est vendu 4 euros ou plus, il n’aura plus d’acheteur.
Remarque : Pour les fonctions linéaires 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 et les fonctions affines 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, il n’est pas nécessaire de calculer 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥) pour autant de valeurs 𝑥. En effet, les courbes qui représentent 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥) sont des droites, il suffit donc d’avoir deux points pour les tracer.
Et même pour 𝑓(𝑥), un seul point autre que l’origine suffit car la droite représentant 𝑓(𝑥) passe toujours par l’origine du repère. (en effet 𝑓(0) = 𝑎 × 0 = 0)
𝐼𝐼𝐼 Si la fonction représentant un certain prix (ou tout autre chose) est connue, on peut aussi vouloir connaître ses caractéristiques essentielles en un coup d’œil :
Quand est-ce que la fonction est croissante i.e. quand la courbe monte ? (pour savoir par exemple quand un bénéfice augmente)
Quand est-ce que la fonction est décroissante i.e. quand la courbe descend ? (pour savoir par exemple quand un coût moyen de production diminue)
Quand est-ce que la fonction atteint son minimum i.e. quand la courbe est au plus bas ? (pour savoir par exemple quel est le coût moyen de production minimal)
Quand est-ce que la fonction atteint son maximum i.e. quand la courbe est au plus haut ? (pour savoir par exemple quel est le bénéfice maximal)
Prenons une fonction 𝐵(𝑥) = −𝑥3+ 27𝑥2− 96𝑥 − 200 donnant le bénéfice réalisé lors de la vente de 𝑥 articles
produits dans la journée. La courbe de cette fonction est la suivante :
Cela veut dire que l’entreprise perd de l’argent si elle vend 6 articles ou moins. La plus grosse perte a lieu pour 2 articles vendus. Au-delà de 6 articles vendus, l’entreprise gagne de l’argent. Le bénéfice maximal étant lorsqu’elle vend 16 articles. On peut résumer ceci grâce au tableau de variations suivant :
𝑥 0 2 6,16467 16 20 𝐵(𝑥) -200 ↘ -292 ↗ 0 ↗ 1080 ↘ 680
Regardons maintenant la fonction 𝑓(𝑥) = −0,2𝑥 + 50 +80𝑥 donnant le prix moyen unitaire en euros d’un kg de chocolats pour une commande de 𝑥 kg. La courbe de cette fonction est la suivante :
Son tableau de variations est très simple car la fonction est décroissante, c’est-à-dire qu’au plus on commande de chocolat, au plus le prix baisse :
𝑥 10 100 𝑓(𝑥) 56 ↘ 30,80
𝐼𝑉 L’utilité des fonctions en économie étant maintenant acquise, énumérons les différentes fonctions principalement utilisées en économie :
1) La fonction polynôme :
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛+ 𝑎
𝑛−1𝑥𝑛−1+ ⋯ + 𝑎2𝑥2+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 Je rappelle que 𝑥𝑛= 𝑥 × 𝑥 × … × 𝑥⏟
𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠
où 𝑛 est un entier naturel quelconque. Par exemple 𝑥3= 𝑥 × 𝑥 × 𝑥. Je rappelle
aussi que par convention 𝑥1 = 𝑥 et que 𝑥0 = 1.
a) Lorsque 𝑛 = 0, la fonction polynôme est tout simplement une fonction constante : 𝑓(𝑥) = 𝑎0
Par exemple la fonction 𝑓(𝑥) = 3 est représentée par la droite horizontale suivante :
b) Lorsque 𝑛 = 1, la fonction polynôme est une fonction affine : 𝑓(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑎0
On aura par exemple utilisé le tableau de valeurs suivant :
𝑥 0 1
3𝑥 + 1 1 4
c) Lorsque 𝑛 = 2, la fonction polynôme s’écrit :
𝑓(𝑥) = 𝑎2𝑥2+ 𝑎
1𝑥 + 𝑎0
Sa courbe est une parabole tournée vers le haut lorsque 𝑎2> 0, et une parabole tournée vers le bas
lorsque 𝑎2< 0.
Par exemple la courbe de 𝑓(𝑥) = 3𝑥2+ 1 est
Remarque : on peut aussi écrire 𝑓(𝑥) = 3𝑥2+ 0𝑥 + 1
2) La fonction rationnelle : c’est le quotient de deux fonctions polynômes, elle s’écrit
𝑔(𝑥) =𝑎𝑛𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+ ⋯ + 𝑎2𝑥2+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 𝑏𝑝𝑥𝑝+ 𝑏𝑝−1𝑥𝑝−1+ ⋯ + 𝑏2𝑥2+ 𝑏1𝑥 + 𝑏0
Elle n’est définie que pour des valeurs de 𝑥 telles que 𝑏𝑝𝑥𝑝+ 𝑏𝑝−1𝑥𝑝−1+ ⋯ + 𝑏2𝑥2+ 𝑏1𝑥 + 𝑏0≠ 0. En
effet, la division par 0 n’existe pas.
a) Lorsque 𝑔(𝑥) =1𝑥 on parle de la fonction inverse. Sa courbe est la suivante :
Remarquons que cette fonction n’est pas définie pour 𝑥 = 0. b) Lorsque 𝑔(𝑥) =𝑎1𝑥+𝑎0
𝑏1𝑥+𝑏0 , on parle de fonction homographique. Par exemple, si 𝑔(𝑥) =−2𝑥+1𝑥+1 on obtient la courbe suivante
Remarquons que cette fonction n’est pas définie pour 𝑥 = 0,5 car −2 × 0,5 + 1 = 0.
3) La fonction exponentielle exp(𝑥) = 𝑒𝑥.
Elle a toutes les propriétés des puissances, c’est-à-dire :
Quels que soient 𝑥, 𝑦 réels et 𝑛 entier : 𝑒𝑥× 𝑒𝑦= 𝑒𝑥+𝑦, 𝑒𝑥 𝑒𝑦 = 𝑒𝑥−𝑦, 1 𝑒𝑥= 𝑒−𝑥 (𝑒𝑥)𝑛= 𝑒𝑥×𝑛 𝑒0 = 1, 𝑒1 = 𝑒 ≈ 2,718 Elle vérifie aussi quel que soit le nombre réel 𝑥
𝑒𝑥 > 0 Sa courbe est la suivante :
Elle est caractérisée par le fait que sa croissance est très rapide, bien plus rapide que 𝑓(𝑥) = 𝑥, que 𝑔(𝑥) = 𝑥2 ou que n’importe quelle fonction ℎ(𝑥) = 𝑥𝑛
4) La fonction logarithme népérien notée ln (𝑥). Elle n’est définie que pour des 𝑥 > 0.
Par exemple ln(1) = 0, ln(2) ≈ 0,693 mais ln(0) et ln(−3) n’existent pas !
On dit que c’est la fonction réciproque de la fonction exponentielle, dans le sens où elle vérifie :
ln(𝑒𝑥) = 𝑥 ∀𝑥 ∈ ℝ et
𝑒ln(𝑥)= 𝑥 ∀𝑥 > 0
Grâce à cette propriété qui la lie à la fonction exponentielle, la fonction logarithme népérien a des propriétés similaires à celles de l’exponentielle :
Quels que soient 𝑥, 𝑦 > 0 et 𝑛 entier : ln(𝑥) + ln(𝑦) = ln(𝑥 × 𝑦) ln(𝑥) − ln(𝑦) = ln (𝑥 𝑦) 𝑛 × ln(𝑥) = ln(𝑥𝑛) − ln(𝑥) = ln (1 𝑥) ln(1) = 0 ln(𝑒) = 1
Elle vérifie ln(𝑥) > 0 si 𝑥 > 1 et ln(𝑥) < 0 si 0 < 𝑥 < 1 comme le montre sa courbe :
Elle est caractérisée par le fait que sa croissance est très lente, bien plus lente que 𝑓(𝑥) = 𝑥, que 𝑔(𝑥) = √𝑥 ou que n’importe quelle fonction ℎ(𝑥) = 𝑥𝛼 (cf paragraphe suivant).
Exemples numériques des propriétés de la fonction exp et de la fonction ln : 𝑒5𝑒7= 𝑒5+7= 𝑒12 𝑒7 𝑒5= 𝑒7−5= 𝑒2 (𝑒3)2= 𝑒3×2= 𝑒6 𝑒11 𝑒3𝑒8= 𝑒11−3−8= 𝑒0= 1 ln(3) + ln(5) = ln(3 × 5) = ln(15) ln(50) − ln(5) = ln (50 5) = ln(10) 2 ln(7) = ln(72) = ln(49) ln(4) − ln(2) − ln(2) = ln ( 4 2 × 2) = ln(1) = 0 ln(3) − ln(5) − ln(10) + ln(7) = ln (5 × 103 × 7) = ln (2150) 𝑒3 ln(5)= 𝑒ln(53) = 53= 125 ln (𝑒 6 𝑒5) = ln(𝑒6−5) = ln(𝑒1) = 1
Exercice corrigé 1 :
Simplifier les écritures suivantes a) 𝑒12𝑒5𝑒3 b) 𝑒−3× 1 𝑒−2× 𝑒7 c) ln(25) + 2 ln(5) − ln (15) d) ln(12) − ln(6) + ln(2) e) (ln(√5+1)+ln(√5−1))2 f) 2 ln(√2 + 1) + ln(−2√2 + 3) g) ln(√7) + ln (2√7 + 3 √7) h) 𝑒𝑒ln(𝑥)+1ln(𝑥)−1 i) ln(𝑒7) − ln (𝑒3 𝑒) Correction : a) 𝑒12𝑒5𝑒3 = 𝑒12+3 𝑒5 = 𝑒15 𝑒5 = 𝑒15−5= 𝑒10 b) 𝑒−3× 1 𝑒−2× 𝑒7= 𝑒−3×1×𝑒7 𝑒−2 = 𝑒−3+7 𝑒−2 = 𝑒4 𝑒−2 = 𝑒4−(−2)= 𝑒6 c) ln(25) + 2 ln(5) − ln (15) = ln(52) + 2 ln(5) − (− ln(5)) = 2 ln(5) + 2 ln(5) + 1 ln(5) = 5ln (5) d) ln(12) − ln(6) + ln(2) = ln (126) + ln(2) = ln(2) + ln(2) = ln(2 × 2) = ln(4) (ou = 2ln (2)) e) ln(√5+1)+ln(√5−1)2 =ln((√5+1)(√5−1)) 2 = ln(√52−12) 2 = ln(4) 2 = ln(22) 2 = 2 ln(2) 2 = ln (2) f) 2 ln(√2 + 1) + ln(−2√2 + 3) = ln ((√2 + 1)2) + ln(−2√2 + 3) = ln (√22+ 2 × √2 × 1 + 12) + ln(−2√2 + 3) = ln(3 + 2√2) + ln(3 − 2√2) = ln ((3 + 2√2)(3 − 2√2)) = ln (32− (2√2)2) = ln(9 − 8) = ln(1) = 0 g) ln(√7) + ln (2√7 + 3 √7) = ln (√7 (2√7 + 3 √7)) = ln(14 + 3) = ln(17) h) 𝑒𝑒ln(𝑥)+1ln(𝑥)−1= 𝑒ln(𝑥)+1−(ln(𝑥)−1)= 𝑒ln(𝑥)+1−ln(𝑥)+1 = 𝑒2 i) ln(𝑒7) − ln (𝑒3 𝑒) = 7 − ln(𝑒3−1) = 7 − ln(𝑒2) = 7 − 2 = 5
5) Les fonctions puissances𝑥 ↦ 𝑥𝛼 où 𝑥 > 0 définies par
𝑥𝛼= 𝑒𝛼ln (𝑥) Cette définition est naturelle dans le sens où
𝑥𝛼 = 𝑒ln(𝑥𝛼)
car
𝑦 = 𝑒ln(𝑦)
et que
ln(𝑥𝛼) = 𝛼ln (𝑥)
Elles ont bien sûr toutes les propriétés des puissances, c’est-à-dire :
Quels que soient 𝛼, 𝛽 réels et 𝑥 > 0 : 𝑥𝛼𝑥𝛽 = 𝑥𝛼+𝛽, 𝑥𝛼 𝑥𝛽 = 𝑥𝛼−𝛽, 1 𝑥𝛽 = 𝑥−𝛽 (𝑥𝛼)𝛽 = 𝑥𝛼𝛽, 𝑥0 = 1,
(𝑥𝛼)1𝛼 = 𝑥 Certains cas particuliers sont faciles à comprendre
a) 𝛼 = 𝑛, alors 𝑥𝛼 = 𝑥𝑛 = 𝑥 × 𝑥 × … × 𝑥 et où 𝑛 est un entier positif
b) 𝛼 = −𝑛, alors 𝑥𝛼 = 𝑥−𝑛 = 1
𝑥𝑛 et où 𝑛 est un entier positif
c) 𝛼 =12, alors 𝑥𝛼 =𝑥12= 𝑥0,5= √𝑥
C’est la fonction racine carrée , qui n’est définie que pour des 𝑥 ≥ 0. Sa courbe est la suivante :
c’est la fonction réciproque de la fonction carrée, dans le sens où elle vérifie :
√𝑥2= 𝑥 ∀𝑥 ≥ 0 et
(√𝑥)2= 𝑥 ∀𝑥 ≥ 0
Elle a aussi les propriétés suivantes
√𝑥 × 𝑦 = √𝑥√𝑦
et
√𝑥𝑦=√𝑥 √𝑦
Quels que soient 𝑥 ≥ 0 et 𝑦 > 0
Exemples : √8 = √4 × 2 = √4 × √2 = 2√2 √4 3= √4 √3= 2 √3 d) 𝛼 =13, alors 𝑥𝛼 =𝑥13= √𝑥3
C’est la fonction racine cubique, sa courbe est la suivante :
c’est la fonction réciproque de la fonction cube, dans le sens où elle vérifie :
√𝑥3 3 = 𝑥 ∀𝑥 > 0 et (√𝑥3 )3 = 𝑥 ∀𝑥 > 0
Exemples : 2 × 2 × 2 = 8 donc √83 = 2 3 × 3 × 3 = 27 donc √273 = 3 √7 3 × √73 × √73 = 7 513× 5 1 3× 5 1 3= 5 e) 𝛼 =1𝑛, alors 𝑥𝛼 =𝑥1𝑛= √𝑥𝑛
C’est la fonction racine 𝑛𝑖è𝑚𝑒. C’est la fonction réciproque de la fonction puissance 𝑛, dans le sens où elle vérifie : √𝑥𝑛 𝑛 = 𝑥 ∀𝑥 > 0 et ( √𝑥𝑛 )𝑛 = 𝑥 ∀𝑥 > 0
Remarque : cette fonction sert en particulier à résoudre les équations du type "𝑡𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑥 > 0, 𝑞𝑢𝑖 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒 𝑥5 = 200"
La solution est alors
𝑥 = 20015≈ 2,88
Exemples numériques des propriétés des fonctions puissances 37× 32 = 37+2= 39 37 32= 37−2= 35 (24)3 2−2 = 24×3 2−2 = 212 2−2= 212−(−2) = 214 (54× 516)12= (520)12= 520×12= 510 (3 −15 32) −115 = (3−15−2) −115 = (3−115) −115 = 3−115 ×(−11)5 = 31= 3 Exercice corrigé 2 :
soit 𝑥 > 0, simplifier les écritures suivantes : a) (𝑥12) 3 4 c) 𝑥 × 𝑥−2× 𝑒ln(𝑥) e) 𝑥−0,5𝑥2,3 (𝑥5)−1 g) (𝑥√2)√2 𝑥 b) 𝑥2 𝑥15+2 d) 𝑥 1 3𝑥 2 3𝑒 f) (𝑥3) 1 3− (𝑥−0,5)−2 Correction : a) (𝑥12) 3 4 = 𝑥12× 3 4= 𝑥 3 8 b) 𝑥2 𝑥15+2 = 𝑥2−(15+2)= 𝑥2− 1 5−2= 𝑥− 1 5 c) 𝑥 × 𝑥−2× 𝑒ln(𝑥)= 𝑥 × 𝑥−2× 𝑥 = 𝑥1−2+1= 𝑥0 = 1 d) 𝑥13𝑥 2 3𝑒 = 𝑥 1 3+ 2 3𝑒 = 𝑥1𝑒 = 𝑥𝑒 e) 𝑥(𝑥−0,55)𝑥−12,3 = 𝑥−0,5+2,3 𝑥5×(−1) = 𝑥1,8 𝑥−5= 𝑥1,8−(−5) = 𝑥6,8 f) (𝑥3)13− (𝑥−0,5)−2= 𝑥3×13− 𝑥−0,5×(−2)= 𝑥1− 𝑥1= 0 g) (𝑥√2) √2 𝑥 = 𝑥√2×√2 𝑥 = 𝑥2 𝑥1= 𝑥2−1= 𝑥1 = 𝑥
6) La fonction valeur absolue qui permet d’enlever le signe négatif d’un nombre. Plus précisément, la fonction valeur absolue notée |𝑥| est définie par :
|𝑥| = { 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0
En effet,
|−3| = 3, |5| = 5 Que l’on peut aussi écrire
|−3| = −(−3) 𝑐𝑎𝑟 − 3 < 0, |5| = 5 𝑐𝑎𝑟 5 > 0 La courbe de cette fonction est la suivante :
7) Les fonctions composées des fonctions précédentes Premier exemple :
Soit 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 1 et 𝑔(𝑥) = 𝑥3 alors 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(−3𝑥 + 1) = (−3𝑥 + 1)3, c’est-à-dire qu’on a
appliqué 𝑓 à 𝑥, puis 𝑔 à 𝑓(𝑥).
En langage mathématique, on dit qu’on a composé 𝑓 par 𝑔 et on note la nouvelle fonction 𝑔 ∘ 𝑓, de sorte que
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = (−3𝑥 + 1)3
Deuxième exemple :
Soit 𝑓(𝑥) = 𝑥2 et 𝑔(𝑥) = exp (𝑥), alors si on compose 𝑓 par 𝑔, on obtient la fonction
𝑔(𝑓(𝑥)) = exp(𝑥2) = 𝑒𝑥2
Que l’on note aussi
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑒𝑥2
Cette opération sur les fonctions permet de créer toute sorte de fonctions utilisées en économie du type : 𝑥 ↦ √−2𝑥 + 4, 𝑥 ↦ (−1 + 𝑥2)13, 𝑥 ↦ ln(4𝑥2− 𝑥 + 5) …
La définition formelle de la composition de fonction est :
La composée d’une fonction 𝑓(𝑥) par une fonction 𝑔(𝑥) est la fonction notée (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) et définie par (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))
Remarque : En général, la fonction (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) est différente de la fonction (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥). Si on reprend le premier exemple, (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = (−3𝑥 + 1)3 et (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = −3𝑥3+ 1
On voit bien que ces deux fonctions sont différentes. Par exemple
(𝑔 ∘ 𝑓)(1) = (−3 × 1 + 1)3= (−2)3= −8
Alors que
Exercice corrigé 3 :
Calculer 𝑔 ∘ 𝑓(0), 𝑔 ∘ 𝑓(1), 𝑓 ∘ 𝑔(2) pour les fonctions suivantes (en donnant éventuellement une valeur approchée avec deux chiffres après la virgule) :
Pour la question e), on calculera 𝑔 ∘ 𝑓(0), 𝑔 ∘ 𝑓(−1), 𝑓 ∘ 𝑔(2). a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2, 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 1 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3, 𝑔(𝑥) = 1 − 4𝑥 c) 𝑓(𝑥) = exp(𝑥) , 𝑔(𝑥) = 𝑥12+ 4 d) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 + 1) , 𝑔(𝑥) = 3𝑥 e) 𝑓(𝑥) = |𝑥|, 𝑔(𝑥) = −𝑥3+ 2𝑥 Correction : a) 𝑔 ∘ 𝑓(0) = 𝑔(𝑓(0)) = 𝑔(02) = 𝑔(0) = 2 × 0 + 1 = 1 𝑔 ∘ 𝑓(1) = 𝑔(𝑓(1)) = 𝑔(12) = 𝑔(1) = 2 × 1 + 1 = 3 𝑓 ∘ 𝑔(2) = 𝑓(𝑔(2)) = 𝑓(2 × 2 + 1) = 𝑓(5) = 52= 25 b) 𝑔 ∘ 𝑓(0) = 𝑔(𝑓(0)) = 𝑔(03) = 𝑔(0) = 1 − 4 × 0 = 1 𝑔 ∘ 𝑓(1) = 𝑔(𝑓(1)) = 𝑔(13) = 𝑔(1) = 1 − 4 × 1 = −3 𝑓 ∘ 𝑔(2) = 𝑓(𝑔(2)) = 𝑓(1 − 4 × 2) = 𝑓(−7) = (−7)3 = −343 c) 𝑔 ∘ 𝑓(0) = 𝑔(𝑓(0)) = 𝑔(𝑒0) = 𝑔(1) = 112+ 4 = 1 + 4 = 5 𝑔 ∘ 𝑓(1) = 𝑔(𝑓(1)) = 𝑔(𝑒1) = 𝑔(𝑒) = 𝑒12+ 4 ≈ 5,65 𝑓 ∘ 𝑔(2) = 𝑓(𝑔(2)) = 𝑓 (212+ 4) = exp (2 1 2+ 4) ≈ 224,58 d) 𝑔 ∘ 𝑓(0) = 𝑔(𝑓(0)) = 𝑔(ln(1)) = 𝑔(0) = 3 × 0 = 0 𝑔 ∘ 𝑓(1) = 𝑔(𝑓(1)) = 𝑔(ln(2)) = 3 ln(2) ≈ 2,08 𝑓 ∘ 𝑔(2) = 𝑓(𝑔(2)) = 𝑓(3 × 2) = 𝑓(6) = ln(6 + 1) = ln(7) ≈ 1,95 e) 𝑔 ∘ 𝑓(0) = 𝑔(𝑓(0)) = 𝑔(|0|) = 𝑔(0) = −03+ 2 × 0 = 0 𝑔 ∘ 𝑓(−1) = 𝑔(𝑓(−1)) = 𝑔(|−1|) = 𝑔(1) = −13+ 2 × 1 = −1 + 2 = 1 𝑓 ∘ 𝑔(2) = 𝑓(𝑔(2)) = 𝑓(−23+ 2 × 2) = 𝑓(−4) = |−4| = 4
𝑉 Reprenons les questions fondamentales de l’étude des fonctions :
Quand est-ce que la fonction est croissante i.e. quand la courbe monte ? (pour savoir par exemple quand un bénéfice augmente)
Quand est-ce que la fonction est décroissante i.e. quand la courbe descend ? (pour savoir par exemple quand un coût moyen de production diminue)
Quand est-ce que la fonction atteint son minimum i.e. quand la courbe est au plus bas ? (pour savoir par exemple quel est le coût moyen de production minimal)
Quand est-ce que la fonction atteint son maximum i.e. quand la courbe est au plus haut ? (pour savoir par exemple quel est le bénéfice maximal)
La technique qui permet de répondre très souvent à ces questions estla dérivation.
Bien entendu toutes les fonctions ne sont pas dérivables, mais la plupart des fonctions utilisées pour modéliser des situations économiques le sont.
1) Je ne donnerai pas de définition formelle de la dérivation en un point (qui utilise les limites), mais l’idée est assez simple si on regarde les courbes des fonctions. En gros, si la courbe d’une fonction est lisse, sans pointe, la fonction est dérivable.
Par exemple :
Celle qui représente cette courbe aussi (c’est 𝑥 ↦ 𝑒−𝑥+7 ) :
Celle qui représente cette courbe aussi (c’est 𝑥 ↦ 𝑒−𝑥2
Par contre, la fonction valeur absolue n’est pas dérivable pour 𝑥 = 0 car sa courbe a une pointe au point d’abscisse 𝑥 = 0 (elle est cependant dérivable partout ailleurs)
De même, la fonction représentée par la courbe d’un graphique boursier n’est nulle part dérivable (elle se nomme mouvement brownien).
Ces deux dernières fonctions restent cependant continues car leurs graphes se tracent sans lever le crayon. D’autres fonctions ne sont pas continues, dans ce cas elles ne sont pas dérivables.
Par exemple la fonction dont la courbe est la suivante est discontinue donc pas dérivable (aux points de discontinuité) :
2) La dérivation est une opération sur les fonctions, c’est-à-dire si on se donne une fonction 𝑓(𝑥) et qu’on la dérive, on obtient une autre fonction que l’on note 𝑓′(𝑥) et qui s’appelle la dérivée de la fonction 𝑓(𝑥). Voici un tableau qui énumère les dérivées des fonctions de référence :
𝑓(𝑥) = 𝑓′(𝑥) = 𝐶𝑠𝑡𝑒 0 𝑥 1 𝑥2 2𝑥 𝑥3 3𝑥2 𝑥𝑛 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑥𝑛−1 1 𝑥 − 1 𝑥2 𝑥𝛼 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛼 𝑟é𝑒𝑙 𝛼𝑥𝛼−1 √𝑥 1 2√𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥 ln (𝑥) 1 𝑥
Pour pouvoir dériver toutes les fonctions usuelles, il faut savoir dériver une somme, un produit, un quotient et une composée de fonctions dérivables. Complétons le tableau précédent par :
𝑓(𝑥) = 𝑓′(𝑥) = 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥) 𝑢′(𝑥) + 𝑣′(𝑥) 𝑢(𝑥) × 𝑣(𝑥) 𝑢′(𝑥) × 𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥) × 𝑣′(𝑥) 𝐶𝑠𝑡𝑒 × 𝑣(𝑥) 𝐶𝑠𝑡𝑒 × 𝑣′(𝑥) 𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥) 𝑢′(𝑥) × 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) × 𝑣′(𝑥) (𝑣(𝑥))2 1 𝑣(𝑥) −𝑣′(𝑥) (𝑣(𝑥))2 (𝑢 ∘ 𝑣)(𝑥) 𝑣′(𝑥) × (𝑢′∘ 𝑣)(𝑥) = 𝑣′(𝑥) × 𝑢′(𝑣(𝑥)) 𝑒𝑣(𝑥) 𝑣′(𝑥) × 𝑒𝑣(𝑥) ln(𝑣(𝑥)) 𝑣′(𝑥) × 1 𝑣(𝑥)= 𝑣′(𝑥) 𝑣(𝑥) (𝑣(𝑥))𝛼 𝑣′(𝑥) × 𝛼(𝑣(𝑥))𝛼−1 √𝑣(𝑥) 𝑣′(𝑥) × 1 2√𝑣(𝑥) = 𝑣′(𝑥) 2√𝑣(𝑥)
Exemples : a) Si 𝑓(𝑥) = 3 alors 𝑓′(𝑥) = 0 b) Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5 alors 𝑓′(𝑥) = 1 + 0 = 1 c) Si 𝑓(𝑥) = −5𝑥 alors 𝑓′(𝑥) = −5 × 1 = −5 d) Si 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 4 alors 𝑓′(𝑥) = 2 × 1 + 0 = 2 e) Si 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 alors 𝑓′(𝑥) = 4 × 2𝑥 = 8𝑥 f) Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2− 𝑥 + 4 alors 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 1 + 0 = 2𝑥 − 1 g) Si 𝑓(𝑥) = 5𝑥3 alors 𝑓′(𝑥) = 5 × 3𝑥2= 15𝑥2 h) Si 𝑓(𝑥) = −𝑥3+ 7𝑥 alors 𝑓′(𝑥) = −3𝑥2+ 7 i) Si 𝑓(𝑥) = 𝑥4+ 7𝑥2− 4 alors 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3+ 7 × 2𝑥 − 0 = 4𝑥3+ 14𝑥 j) Si 𝑓(𝑥) = 4𝑥2(𝑥 + 5) alors 𝑓′(𝑥) = 8𝑥(𝑥 + 5) + 4𝑥2× 1 = 8𝑥2+ 40𝑥 + 4𝑥2 = 12𝑥2+ 40𝑥 car 8𝑥(𝑥 + 5) = 8𝑥 × 𝑥 + 8𝑥 × 5 = 8𝑥2+ 8 × 5 × 𝑥 = 8𝑥2+ 40𝑥 k) Si 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 1)𝑒𝑥 alors 𝑓′(𝑥) = 2𝑒𝑥+ (2𝑥 − 1)𝑒𝑥 = (2 + (2𝑥 − 1))𝑒𝑥= (1 + 2𝑥)𝑒𝑥 l) Si 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) × (2𝑥2− 1) alors 𝑓′(𝑥) =1 𝑥× (2𝑥 2− 1) + ln(𝑥) × (2 × 2𝑥 − 0) = 2𝑥 −1 𝑥+ 4𝑥 ln(𝑥) car 1 𝑥× 2𝑥2= 2 × 𝑥 × 𝑥 𝑥 = 2𝑥 m) Si 𝑓(𝑥) = √𝑥 × (1 − 5𝑥) alors 𝑓′(𝑥) = 1 2√𝑥× (1 − 5𝑥) + √𝑥 × (−5) = 1 2√𝑥− 5 2√𝑥 − 5√𝑥 = 1 2√𝑥− 15 2 √𝑥 Car 1 2√𝑥× (−5𝑥) = −5𝑥 2√𝑥= − 5 2× 𝑥 √𝑥= − 5 2× √𝑥 × √𝑥 √𝑥 = − 5 2 √𝑥 −5 2− 5 = − 5 2− 5 1= − 5 2− 5 × 2 1 × 2 = − 5 2− 10 2 = − 15 2 n) Si 𝑓(𝑥) =2𝑥−11 alors 𝑓′(𝑥) = −2 (2𝑥−1)2 o) Si 𝑓(𝑥) =4𝑥12+2 alors 𝑓′(𝑥) = −(4×2𝑥+0) (4𝑥2+2)2 = −8𝑥 (4𝑥2+2)2 p) Si 𝑓(𝑥) =𝑥3+2𝑥1 alors 𝑓′(𝑥) = −(3𝑥2+2) (𝑥3+2𝑥)2 = −3𝑥2−2 (𝑥3+2𝑥)2 q) Si 𝑓(𝑥) =3𝑥−1𝑥+2 alors 𝑓′(𝑥) =1×(3𝑥−1)−(𝑥+2)×3 (3𝑥−1)2 = 1×(3𝑥−1)−3(𝑥+2) (3𝑥−1)2 = 3𝑥−1−3𝑥−6 (3𝑥−1)2 = −7 (3𝑥−1)2
r) Si 𝑓(𝑥) =𝑥3 alors on peut écrire 𝑓(𝑥) =13𝑥 donc 𝑓′(𝑥) =1 3× 1 = 1 3 s) Si 𝑓(𝑥) =4𝑥𝑥23+1 alors 𝑓′(𝑥) = 8𝑥×𝑥3−(4𝑥2+1)×3𝑥2 (𝑥3)2 = 8𝑥1+3−3𝑥2(4𝑥2+1) 𝑥3×2 = 8𝑥1+3−3×4𝑥2+2−3𝑥2 𝑥3×2 = 8𝑥4−12𝑥4−3𝑥2 𝑥6 = −4𝑥4−3𝑥2 𝑥6 = 𝑥2(−4𝑥2−3) 𝑥6 car −4𝑥4− 3𝑥2= −4𝑥2𝑥2− 3𝑥2 = 𝑥2(−4𝑥2− 3) t) Si 𝑓(𝑥) = 𝑥15 alors 𝑓′(𝑥) =1 5× 𝑥 1 5−1=1 5× 𝑥 −45 Car 1 5− 1 = 1 5− 5 5= 1 − 5 5 = − 4 5 u) Si 𝑓(𝑥) = (3𝑥)15 alors 𝑓′(𝑥) = 3 ×1 5× (3𝑥) 1 5−1=3 5× (3𝑥) −45 v) Si 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)3 alors 𝑓′(𝑥) = 2 × 3 × (2𝑥 + 1)3−1= 6(2𝑥 + 1)2 w) Si 𝑓(𝑥) = 𝑒−2𝑥+1 alors 𝑓′(𝑥) = −2 × 𝑒−2𝑥+1 x) Si 𝑓(𝑥) = ln (4𝑥2+ 1) alors 𝑓′(𝑥) =4×2𝑥+0 4𝑥2+1 = 8𝑥 4𝑥2+1 y) Si 𝑓(𝑥) = √𝑥2− 𝑥 + 4 alors 𝑓′(𝑥) = 2𝑥−1 2√𝑥2−𝑥+4 z) Si 𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥2−2𝑥+1 alors 𝑓′(𝑥) = (3 × 2𝑥 − 2)𝑒3𝑥2−2𝑥+1 = (6𝑥 − 2)𝑒3𝑥2−2𝑥+1 aa) Si 𝑓(𝑥) = ln (5𝑥 − 1) alors 𝑓′(𝑥) = 5 5𝑥−1 bb) Si 𝑓(𝑥) = (1 − 5𝑥)𝑒−3𝑥 alors 𝑓′(𝑥) = −5𝑒−3𝑥+ (1 − 5𝑥) × (−3)𝑒−3𝑥= (−5 + (1 − 5𝑥) × (−3))𝑒−3𝑥= (−5 − 3 + 15𝑥)𝑒−3𝑥 = (−8 + 15𝑥)𝑒−3𝑥
cc) Si 𝑓(𝑥) = −2 ln(1 + 𝑥) − 3𝑥 alors 𝑓′(𝑥) = −2 × 1 1+𝑥− 3 = −2 1+𝑥− 3 1= −2 1+𝑥− 3(1+𝑥) 1(1+𝑥)= −2−3−3𝑥 1+𝑥 = −5−3𝑥 1+𝑥 dd) Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln (𝑥) alors 𝑓′(𝑥) = 1 × ln(𝑥) + 𝑥 ×1 𝑥= ln(𝑥) + 1 ee) Si 𝑓(𝑥) = 4𝑒−2𝑥+ (3𝑥 − 1)𝑒2𝑥 alors 𝑓′(𝑥) = 4 × (−2)𝑒−2𝑥+ 3𝑒2𝑥+ (3𝑥 − 1) × 2𝑒2𝑥= −8𝑒−2𝑥+ (3 + (3𝑥 − 1) × 2)𝑒2𝑥 = −8𝑒−2𝑥+ (3 + 6𝑥 − 2)𝑒2𝑥 = −8𝑒−2𝑥+ (1 + 6𝑥)𝑒2𝑥 ff) Si 𝑓(𝑥) =1+3𝑥𝑒2𝑥 alors 𝑓′(𝑥) =2𝑒2𝑥(1+3𝑥)−𝑒2𝑥×3 (1+3𝑥)2 = (2(1+3𝑥)−3)𝑒2𝑥 (1+3𝑥)2 = (−1+6𝑥)𝑒2𝑥 (1+3𝑥)2 gg) Si 𝑓(𝑥) = (1 − 4𝑥2)ln (1 + 2𝑥) alors 𝑓′(𝑥) = −4 × 2𝑥 ln(1 + 2𝑥) + (1 − 4𝑥2) × 2 1+2𝑥= −8𝑥 ln(1 + 2𝑥) + (1 − 2𝑥)(1 + 2𝑥) ×1+2𝑥2 = −8𝑥 ln(1 + 2𝑥) + (1 − 2𝑥) × 2 = −8𝑥 ln(1 + 2𝑥) + 2 − 4𝑥 Car 1 − 4𝑥2 = 12− (2𝑥)2 = (1 − 2𝑥)(1 + 2𝑥)
3) La propriété fondamentale qui fait le lien entre le sens de variation d’une fonction et le signe de sa dérivée est la suivante :
Soit 𝐼 un intervalle réel, 𝐼 = [𝑎 ; 𝑏], ]𝑎 ; 𝑏], [𝑎 ; 𝑏[ 𝑜𝑢 ]𝑎 ; 𝑏[ avec −∞ ≤ 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ +∞, et 𝑓: 𝐼 → ℝ une fonction dérivable sur l’intervalle 𝐼 alors :
a) Si 𝑓′(𝑥) ≥ 0 sur l’intervalle 𝐼, alors 𝑓(𝑥) est croissante sur l’intervalle 𝐼
b) Si 𝑓′(𝑥) > 0 sur l’intervalle 𝐼, alors 𝑓(𝑥) est strictement croissante sur l’intervalle 𝐼
c) Si 𝑓′(𝑥) ≤ 0 sur l’intervalle 𝐼, alors 𝑓(𝑥) est décroissante sur l’intervalle 𝐼
d) Si 𝑓′(𝑥) < 0 sur l’intervalle 𝐼, alors 𝑓(𝑥) est strictement décroissante sur l’intervalle 𝐼
e) Si 𝑓′(𝑥) = 0 sur l’intervalle 𝐼, alors 𝑓(𝑥) est constante sur l’intervalle 𝐼 Exemple : 𝑓(𝑥) = 4𝑥2, 𝑓′(𝑥) = 8𝑥. 8𝑥 ≥ 0 ? 8𝑥 8 ≥ 0 8 𝑥 ≥ 0 8𝑥 ≤ 0 ? 8𝑥 8 ≤ 0 8 𝑥 ≤ 0
Pour 𝑥 ∈] −∞ ; 0], 𝑓(𝑥) est décroissante. Autrement dit, 𝑓 est décroissante sur ] −∞ ; 0]. Pour 𝑥 ∈ [0 ; +∞[, 𝑓(𝑥) est croissante. Autrement dit, 𝑓 est croissante sur [0 ; +∞[.
Remarque : une fonction croissante a « le droit » d’être parfois constante, une fonction strictement croissante non ! idem pour la différence éventuelle entre fonction décroissante et fonction strictement décroissante.
Cette propriété nous invite à connaître le signe de 𝑓′(𝑥) (lorsque cela est possible), c’est-à-dire à résoudre les inéquations du type 𝑓′(𝑥) ≥ 0 …
4) Rappelons différentes méthodes de résolution d’équations et d’inéquations :
Une équation est une égalité du type 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) mais qui peut toujours s’écrire ℎ(𝑥) = 0.
Résoudre l’équation ℎ(𝑥) = 0 signifie : « trouver tous les nombres 𝑥 qui vérifient l’égalité ℎ(𝑥) = 0 ». Une inéquation est une inégalité du type 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) ou du type 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥), mais qui peut toujours s’écrire ℎ(𝑥) < 0 ou ℎ(𝑥) ≤ 0.
Résoudre l’inéquation ℎ(𝑥) < 0 signifie : « trouver tous les nombres 𝑥 qui vérifient l’inégalité ℎ(𝑥) < 0 ». a) Equations de degré 1
Pour résoudre 2𝑥 + 3 = 5𝑥 − 1, on met les termes en 𝑥 d’un côté, les nombres de l’autre à l’aide de la
transposition : 3 + 1 = 5𝑥 − 2𝑥, on réduit : 4 = 3𝑥, puis on divise des deux côtés par 3 pour isoler le 𝑥 pour obtenir 4 3= 3𝑥 3 = 𝑥 b) Inéquations de degré 1
Pour résoudre 2𝑥 + 3 < 5𝑥 − 1, on transpose pour obtenir 3 + 1 < 5𝑥 − 2𝑥 ou 2𝑥 − 5𝑥 < −1 − 3, c’est-à-dire 4 < 3𝑥 ou −3𝑥 < −4. Pour isoler le 𝑥, il reste à diviser par 3 ou par -3, mais il faut faire très attention, en divisant par un nombre négatif -3, on change le sens de l’inégalité, pour obtenir
4 3< 𝑥 𝑜𝑢 𝑥 > −4 −3= 4 3 Ce qui est la même chose.
Tous les nombres strictement plus grands que 43 sont les solutions de l’inéquation. On note parfois 𝒮 = ]4
3; +∞[ c) Equations de degré 2
Pour résoudre 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, on doit calculer le discriminant Δ = 𝑏2− 4𝑎𝑐
Si Δ > 0, il y a deux solutions 𝑥1 et 𝑥2 qui sont données par
𝑥1= −𝑏 + √Δ
2𝑎 𝑒𝑡 𝑥2=
−𝑏 − √Δ 2𝑎 Si Δ = 0, il y a une solutions 𝑥1 qui est donnée par
𝑥1=−𝑏 2𝑎 Si Δ < 0, il n’y a pas de solution réelle.
Remarque : 𝑥1 et 𝑥2 sont aussi appelées les racines du polynôme 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 Par exemple, pour résoudre 𝑥2− 3𝑥 + 2 = 0,
on doit calculer le discriminant Δ = (−3)2− 4 × 1 × 2 = 1 > 0
Il y a donc deux solutions qui sont
𝑥1=−(−3) + √1
2 × 1 = 2 𝑒𝑡 𝑥2=
−(−3) − √1 2 × 1 = 1 Pour résoudre 𝑥2− 2𝑥 + 1 = 0,
on doit calculer le discriminant Δ = (−2)2− 4 × 1 × 1 = 0
Il y a donc une seule solution qui est
𝑥1= 𝑥2=
−(−2) 2 × 1 = 1
Pour résoudre 𝑥2+ 𝑥 + 1 = 0,
on doit calculer le discriminant Δ = 12− 4 × 1 × 1 = −3 < 0
Il n’y a pas de solutions réelles. d) Inéquations de degré 2
Tout polynôme 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 est du signe de 𝑎 sauf pour les 𝑥 entre ses racines 𝑥
1 et 𝑥2 s’il en a C’est-à-dire
Si 𝑎 > 0, 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 { ∀𝑥 sauf pour 𝑥 ∈ [𝑥 ∀𝑥 sauf pour 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2] si Δ > 0 1 si Δ = 0
∀ 𝑥 ∈ ℝ si Δ < 0 De même,
Si 𝑎 < 0, 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 { ∀𝑥 sauf pour 𝑥 ∈ [𝑥 ∀𝑥 sauf pour 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2] si Δ > 0 1 si Δ = 0
∀ 𝑥 ∈ ℝ si Δ < 0 Par exemple :
Pour résoudre 4𝑥2− 5𝑥 + 3 < 0, on calcule Δ = (−5)2− 4 × 4 × 3 = 25 − 48 = −23 < 0,
cela veut dire que 4𝑥2− 5𝑥 + 3 > 0 quel que soit le nombre 𝑥 (car 4> 0)
donc l’inéquation 4𝑥2− 5𝑥 + 3 < 0 n’a aucune solution. On note parfois 𝒮 = ∅
Pour résoudre 2𝑥2+ 2𝑥 − 20 ≥ 0, on calcule Δ = 22− 4 × 2 × (−20) = 164, on trouve deux racines
𝑥1=−2 − √164 2 × 2 = −2 − √4 × 41 4 = −2 − √4√41 4 = −2 4 − 2√41 4 = − 1 2− 1 2√41 𝑒𝑡 𝑥2=−2 + √1642 × 2 = − 1 2+ 1 2√41 cela veut dire que 2𝑥2+ 2𝑥 − 20 > 0 sauf pour 𝑥 ∈ [𝑥
1, 𝑥2] (car 2> 0).
Les solutions de l’inéquation appartiennent donc à ] − ∞ ; −12−12√41] ∪ [−12+12√41 ; +∞[, que l’on peut noter : 𝒮 =] − ∞, −1 2− 1 2√41] ∪ [− 1 2+ 1 2√41, +∞[ ou 𝒮 =] −∞ ; 𝑥1] ∪ [𝑥2 ; +∞[ ou 𝒮 = ℝ−] −1 2− 1 2√41 ; − 1 2+ 1 2√41[ ou 𝒮 = ℝ−] 𝑥1; 𝑥2[
e) Les équations du type 𝑒𝑥 = 𝑎 où 𝑎 est un nombre réel quelconque
Pour que cette équation ait une solution, c’est-à-dire pour qu’il existe un nombre 𝑥 tel que 𝑒𝑥= 𝑎, il
faut que 𝑎 > 0, sinon l’équation n’a pas de solution et on note 𝒮 = ∅
Si maintenant 𝑎 > 0, pour isoler le 𝑥, il suffit d’utiliser la fonction 𝑙𝑛 pour obtenir : ln(𝑒𝑥) = ln(𝑎)
D’où
𝑥 = ln (𝑎) Par exemple :
L’équation 𝑒5𝑥−3= 1 devient ln(𝑒5𝑥−3) = ln (1), c’est-à-dire 5𝑥 − 3 = 0, d’où 5𝑥 = 3 et enfin 𝑥 =3 5
f) Les équations du type ln(𝑥) = 𝑎 où 𝑎 est un nombre réel quelconque Pour isoler le 𝑥, il suffit d’utiliser la fonction exp(. ) pour obtenir :
𝑒ln(𝑥)= 𝑒𝑎
D’où
𝑥 = 𝑒𝑎
Par exemple :
ln(2𝑥 − 3) = −2 devient 𝑒ln(2𝑥−3)= 𝑒−2 donc 2𝑥 − 3 = 𝑒−2 c’est-à-dire 2𝑥 = 3 + 𝑒−2 pour obtenir
𝑥 =3 + 𝑒−2 2 Exercice corrigé 4 :
Résoudre les équations suivantes a) 4𝑥 + 1 = 0 k) 𝑒3𝑥−1= 4 u) 2𝑥14= 7 b) 5(2𝑥 − 1) + 𝑥 = 4 l) 𝑒1−2𝑥= 𝑒2 v) 5𝑥−25− 3 = 0 c) (−3𝑥 + 5) × 2𝑥 = 0 m) 𝑒𝑥2−1 = −1 d) (5𝑥 + 2)(3𝑥 − 3) = 0 n) 𝑒𝑥2−5𝑥 = 𝑒 e) 2𝑥2− 5𝑥 + 2 = 0 o) ln(2𝑥 − 4) = 7 f) 𝑥2− 𝑥 − 3 = 0 p) ln(3 − 2𝑥) = −4 g) 9𝑥2+ 6𝑥 + 1 = 0 q) ln(𝑥2− 2𝑥) = ln (3) h) 1 − 4𝑥 − 4𝑥2= 0 r) ln(3 − 𝑥) + ln(3 + 𝑥) = ln(1 + 𝑥2) i) 𝑥2+ 𝑥 + 3 = 0 s) 5𝑥7= 1000 j) −𝑥2+ 2𝑥 = 9 t) 4𝑥3− 𝑥 = 2(1 − 0,5𝑥) Correction : a) 4𝑥 + 1 = 0 ⇔ 4𝑥 = −1 ⇔ 𝑥 = −14 b) 5(2𝑥 − 1) + 𝑥 = 4 ⇔ 10𝑥 − 5 + 1𝑥 = 4 ⇔ 11𝑥 = 4 + 5 ⇔ 𝑥 =119 c) (−3𝑥 + 5) × 2𝑥 = 0 ⇔ −3𝑥 + 5 = 0 𝑜𝑢 2𝑥 = 0 ⇔ −3𝑥 = −5 𝑜𝑢 𝑥 =02 ⇔ 𝑥 =−5 −3= 5 3 𝑜𝑢 𝑥 = 0 d) (5𝑥 + 2)(3𝑥 − 3) = 0 ⇔ 5𝑥 + 2 = 0 𝑜𝑢 3𝑥 − 3 = 0 ⇔ 5𝑥 = −2 𝑜𝑢 3𝑥 = 3 ⇔ 𝑥 = −2 5 𝑜𝑢 𝑥 = 3 3= 1 e) 2𝑥2− 5𝑥 + 2 = 0 𝛥 = (−5)2− 4 × 2 × 2 = 25 − 16 = 9 > 0
L’équation a deux solutions : 𝑥1 =−(−5) − √9 2 × 2 = 5 − 3 4 = 0,5 𝑒𝑡 𝑥2= −(−5) + √9 2 × 2 = 5 + 3 4 = 2 f) 𝑥2− 𝑥 − 3 = 0 𝛥 = (−1)2− 4 × 1 × (−3) = 1 + 12 = 13 > 0
L’équation a deux solutions : 𝑥1=−(−1) − √13 2 × 1 = 1 − √13 2 𝑒𝑡 𝑥2= −(−1) + √13 2 × 1 = 1 + √13 2 g) 9𝑥2+ 6𝑥 + 1 = 0 𝛥 = 62− 4 × 9 × 1 = 0
L’équation a une seule solution
𝑥1= 𝑥2= −6 2 × 9= − 6 18= − 6 × 1 6 × 3= − 1 3 h) 1 − 4𝑥 − 4𝑥2= 0 ⇔ −4𝑥2− 4𝑥 + 1 = 0 𝛥 = (−4)2− 4 × 1 × (−4) = 16 + 16 = 32 > 0
L’équation a deux solutions 𝑥1 =−(−4)+√32 2×(−4) = 4+√32 −8 = 4+√16×2 −8 = 4+√16√2 −8 = 4+4√2 4×(−2)= 4 4×(−2)+ 4√2 4×(−2)= − 1 2− √2 2 et
𝑥2=−(−4) − √32 2 × (−4) = − 1 2+ √2 2 i) 𝑥2+ 𝑥 + 3 = 0 𝛥 = 12− 4 × 1 × 3 = −11 < 0
L’équation n’a pas de solution réelle. j) −𝑥2+ 2𝑥 = 9 ⇔ −1𝑥2+ 2𝑥 − 9 = 0
𝛥 = 22− 4 × (−1) × (−9) = 4 − 36 = −32 < 0
L’équation n’a pas de solution réelle.
k) 𝑒3𝑥−1= 4 ⇔ ln(𝑒3𝑥−1) = ln(4) ⇔ 3𝑥 − 1 = ln(4) ⇔ 3𝑥 = ln(4) + 1 ⇔ 𝑥 =ln(4)+1 3
l) 𝑒1−2𝑥= 𝑒2 ⇔ ln(𝑒1−2𝑥) = ln(𝑒2) ⇔ 1 − 2𝑥 = 2 ⇔ −2𝑥 = 2 − 1 ⇔ 𝑥 = 1 −2
m) 𝑒𝑥2−1
= −1 n’a pas de solution car 𝑒𝑥2−1
> 0 et −1 < 0. On note parfois 𝒮 = ∅
où 𝒮 est l’ensemble des solution et ∅ est l’ensemble vide. n) 𝑒𝑥2−5𝑥
= 𝑒 ⇔ ln(𝑒𝑥2−5𝑥
) = ln(𝑒) ⇔ 𝑥2− 5𝑥 = 1 ⇔ 𝑥2− 5𝑥 − 1 = 0
𝛥 = (−5)2− 4 × 1 × (−1) = 25 + 4 = 29 > 0
L’équation a deux solutions :
𝑥1=−(−5) − √292 × 1 =5 − √292 𝑒𝑡 𝑥2=−(−5) + √292 × 1 =5 + √292
o) ln(2𝑥 − 4) = 7 ⇔ exp(ln(2𝑥 − 4)) = exp(7) ⇔ 2𝑥 − 4 = 𝑒7 ⇔ 2𝑥 = 𝑒7+ 4
⇔ 𝑥 =𝑒7+ 4 2 Remarque : 2𝑥 − 4 = 𝑒7 > 0, donc pour 𝑥 =𝑒7+4
2 , ln(2𝑥 − 4) est bien défini.
p) ln(3 − 2𝑥) = −4 ⇔ exp(ln(3 − 2𝑥)) = exp(−4) ⇔ 3 − 2𝑥 = 𝑒−4 ⇔ 3 − 𝑒−4= 2𝑥 ⇔ 3 − 𝑒 −4 2 = 𝑥 q) ln(𝑥2− 2𝑥) = ln(3) ⇔ exp(ln(𝑥2− 2𝑥)) = exp(ln(3)) ⇔ 𝑥2− 2𝑥 = 3 ⇔ 1𝑥2− 2𝑥 − 3 = 0 𝛥 = (−2)2− 4 × 1 × (−3) = 4 + 12 = 16 > 0
L’équation a deux solutions :
𝑥1=−(−2) − √16 2 × 1 = −1 𝑒𝑡 𝑥2= −(−2) + √16 2 × 1 = 3 r) ln(3 − 𝑥) + ln(3 + 𝑥) = ln(1 + 𝑥2) implique ln((3 − 𝑥)(3 + 𝑥)) = ln(1 + 𝑥2) ⇔ exp(ln((3 − 𝑥)(3 + 𝑥))) = exp(ln(1 + 𝑥2)) ⇔ (3 − 𝑥)(3 + 𝑥) = 1 + 𝑥2 ⇔ 32− 𝑥2= 1 + 𝑥2 ⇔ 9 − 1 = 𝑥2+ 𝑥2 ⇔ 8 = 2𝑥2 ⇔8 2= 𝑥2 ⇔ 4 = 𝑥2 ⇔ 0 = 𝑥2− 4 ⇔ 0 = 𝑥2− 22 ⇔ 0 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) ⇔ 𝑥 = −2 𝑜𝑢 𝑥 = 2 Remarque : 3 − 2 = 1 > 0 ; 3 − (−2) = 5 > 0 ; 3 + (−2) = 1 > 0 ; 3 + 2 = 5 > 0 donc ln(3 − 𝑥) et ln(3 + 𝑥) sont bien définis pour 𝑥 = −2 et 𝑥 = 2. Ces deux nombres sont donc les solutions de l’équation ln(3 − 𝑥) + ln(3 + 𝑥) = ln(1 + 𝑥2).
t) 4𝑥3− 𝑥 = 2(1 − 0,5𝑥) ⇔ 4𝑥3− 𝑥 = 2 − 𝑥 ⇔ 4𝑥3= 2 ⇔ 𝑥3 =2 4= 1 2= 0,5 ⇔ (𝑥3)13= 0,513 ⇔ 𝑥 = 0,513≈ 0,7937 u) 2𝑥14= 7 ⇔ 𝑥 1 4=7 2= 3,5 ⇔ (𝑥 1 4 ) 4 = 3,54 ⇔ 𝑥 = 3,54= 150,0625 v) 5𝑥−25− 3 = 0 ⇔ 𝑥− 2 5=3 5= 0,6 ⇔ (𝑥 −25)− 5 2 = 0,6−52 ⇔ 𝑥 = 0,6− 5 2≈ 3,58
g) Les inéquations du type 𝑒𝑥 < 𝑎, ln(𝑥) < 𝑎, 𝑥𝛼 < 𝑎 …
On va se servir d’une définition plus précise de fonction croissante ou fonction décroissante pour résoudre ces inéquations :
Une fonction 𝑓: 𝐼 → ℝ est croissante sur l’intervalle 𝐼, si quels que soient 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼 on a 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑦)
Une fonction 𝑓: 𝐼 → ℝ est strictement croissante sur l’intervalle 𝐼, si quels que soient 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼 on a 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑦)
Une fonction 𝑓: 𝐼 → ℝ est décroissante sur l’intervalle 𝐼, si quels que soient 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼 on a 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑦)
Une fonction 𝑓: 𝐼 → ℝ est strictement décroissante sur l’intervalle 𝐼, si quels que soient 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼 on a 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑦)
On se servira par exemple du fait que 𝑒𝑥, ln(𝑥) sont strictement croissantes, que 𝑥𝛼𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛼 > 0 est
strictement croissante sur ]0, +∞[ ou que 1𝑥, 𝑥𝛼𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛼 < 0 sont strictement décroissantes sur ]0, +∞[
pour résoudre certaines inéquations Par exemple :
Pour résoudre 𝑒5𝑥−3 > 4, on compose les deux termes par ln (. ) qui est une fonction strictement
croissante pour obtenir ln(𝑒5𝑥−3) > ln(4), c’est-à-dire 5𝑥 − 3 > ln (4).
Il est facile de conclure :
5𝑥 > ln(4) + 3 et enfin 𝑥 >ln(4) 5 + 3 5
Finalement on considère que les nombres 𝑥 plus grands que ln(4)5 +35 sont aussi plus petits que +∞ +∞> 𝑥 >ln(4)
5 +
3 5
Ce qui nous permet d’écrire l’ensemble des solutions 𝒮 de l’inéquation 𝑒5𝑥−3 > 4 sous forme d’un
intervalle
𝒮 = ]ln(4)
5 +
3
5 ; +∞[ Pour résoudre ln(2𝑥 + 1) ≤ 10, il faut d’abord se poser la question :
Pour quelles valeurs de 𝑥, ln (2𝑥 + 1) existe ? c’est-à-dire, pour quelles valeurs de 𝑥, 2𝑥 + 1 > 0 ? La réponse est simple : pour les 𝑥 > −12 . Pour ces nombres 𝑥, on peut résoudre cette inéquation en composant par la fonction exponentielle :
𝑒ln(2𝑥+1) ≤ 𝑒10
2𝑥 + 1 ≤ 𝑒10 Et enfin 𝑥 ≤𝑒10− 1 2 = 𝑒10 2 − 1 2= − 1 2+ 𝑒10 2 Conclusion : −1 2< 𝑥 ≤ 𝑒10− 1 2
Donc les nombres 𝑥, solutions de l’inéquation appartiennent à l’intervalle ]−12 ; 𝑒10−1
2 ], ce que l’on peut
écrire aussi
𝒮 = ]−1 2 ;
𝑒10− 1
2 ]
Si on veut résoudre l’inéquation 𝑥15< 20, on remarque d’abord que 𝑥 > 0 sinon 𝑥 1
5 n’existe pas, puis on
compose par la fonction 𝑥 ↦ 𝑥5 qui est strictement croissante pour 𝑥 ∈]0, +∞[ et on obtient :
(𝑥15) 5 < 205 C’est-à-dire 𝑥 < 3 200 000 Conclusion : 0 < 𝑥 < 3 200 000 L’ensemble des solutions de l’inéquation 𝑥15 < 20 est donc
𝒮 = ]0 ; 3 200 000[
h) Les inéquations produit
On utilise la règle des signes
(− × −= + ; − × += − ; + × −= − ; + × += +)
et un tableau de signe pour résoudre ce type d’inéquations : Exemple 1 : Résoudre (2𝑥 + 4)(−𝑥 + 2) > 0 comme 2𝑥 + 4 = 0 ⇔ 2𝑥 = −4 ⇔ 𝑥 = −4 2= −2 et −𝑥 + 2 = 0 ⇔ 2 = 𝑥 On a le tableau de signes suivant :
𝑥 −∞ −2 2 +∞ 2𝑥 + 4 − 0 + +
−𝑥 + 2 + + 0 − (2𝑥 + 4)(−𝑥 + 2) − 0 + 0 − Ce qui nous permet de conclure :
Les solutions de l’inéquations (2𝑥 + 4)(−𝑥 + 2) > 0 appartiennent à l’intervalle ]−2 ; 2[ C’est à dire
𝒮 = ]−2 ; 2[ Exemple 2 :
Résoudre
comme
−2𝑥 + 4 = 0 ⇔ −2𝑥 = −4 ⇔ 𝑥 =−4 −2= 2 et
exp(3𝑥) > 0 On a le tableau de signes suivant :
𝑥 −∞ 2 +∞ −2𝑥 + 4 + 0 −
exp (3𝑥) + + (−2𝑥 + 4)exp (3𝑥) + 0 − Ce qui nous permet de conclure :
Les solutions de l’inéquation (−2𝑥 + 4) exp(3𝑥) ≤ 0 appartiennent à l’intervalle [2 ; +∞[ C’est à dire 𝒮 = [2 ; +∞[ Exemple 3 : Résoudre ln(𝑥) × (𝑥 − 3) ≤ 0 comme ln(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 = 1 et 𝑥 − 3 = 0 ⇔ 𝑥 = 3 On a le tableau de signes suivant :
𝑥 0 1 3 +∞ 𝑥 − 3 − − 0 +
ln (𝑥) ∥ − 0 + + ln(𝑥) × (𝑥 − 3) ∥ + 0 − 0 +
∥ signifie que la valeur 0 est interdite ou impossible (ln (0) n’existe pas) Ce qui nous permet de conclure :
Les solutions de l’inéquations ln(𝑥) × (𝑥 − 3) ≤ 0 appartiennent à l’intervalle [1 ; 3] C’est à dire
𝒮 = [1 ; 3] i) Les inéquations quotient
On utilise la règle des signes
(− ÷ −= + ; − ÷ += − ; + ÷ −= − ; + ÷ += +)
et un tableau de signe pour résoudre ce type d’inéquations : Exemple 1 :
Résoudre
3𝑥 − 1 2𝑥 + 3≥ 0
Cette inégalité ne peut être vraie lorsque 2𝑥 + 3 = 0, c’est à dire lorsque 𝑥 = −32 car le dénominateur d’une fraction ne peut être égal à 0. Cela se traduira dans le tableau de signe par une double barre. Comme
3𝑥 − 1 = 0 ⇔ 𝑥 =13 on a le tableau de signe suivant :
𝑥 −∞ −3 2 1 3 +∞ 3𝑥 − 1 − − 0 + 2𝑥 + 3 − 0 + + 3𝑥 − 1 2𝑥 + 3 + ∥ − 0 +
L’ensemble des solutions de l’inéquation 3𝑥−12𝑥+3≥ 0 est donc 𝒮 = ]−∞; −3 2[ ∪ [ 1 3; +∞[ Exemple 2 : Résoudre −𝑥 + 4 ln (2𝑥 + 1)≥ 0 2𝑥 + 1 > 0 2𝑥 > −1 𝑥 > −1 2
Cette inégalité ne peut être vraie lorsque 2𝑥 + 1 ≤ 0, c’est à dire lorsque 𝑥 ≤ −12 car seul le logarithme d’un nombre strictement positif existe.
De plus, pour que la fraction existe, il faut que ln(2𝑥 + 1) ≠ 0, c’est à dire 2𝑥 + 1 ≠ 1 donc 𝑥 ≠ 0, Et
ln(2𝑥 + 1) > 0 ⇔ 2𝑥 + 1 > 𝑒0 ⇔ 2𝑥 > 1 − 1 ⇔ 𝑥 >0
2 ⇔ 𝑥 > 0 Comme
−𝑥 + 4 = 0 ⇔ 4 = 𝑥 on a le tableau de signe suivant :
𝑥 −1 2 0 4 +∞ −𝑥 + 4 + + 0 − ln(2𝑥 + 1) ∥ − 0 + + −𝑥 + 4 ln (2𝑥 + 1) ∥ − ∥ + 0 −
L’ensemble des solutions de l’inéquation ln (2𝑥+1)−𝑥+4 ≥ 0 est donc 𝒮 = ]0 ; 4]
Exercice corrigé 5 :
Résoudre les inéquations suivantes a) 1 − 10𝑥 + 25𝑥2 > 0 b) 4 − 4𝑥 + 4𝑥2≤ −4𝑥 c) 2𝑥2− 3𝑥 > 2(2 + 𝑥) d) 𝑒−3𝑥+5≤ 2 e) 𝑒𝑥+2𝑥−1 ≥ 1 f) ln(−3𝑥 + 5) < 7 g) ln(𝑥2− 2𝑥) > ln (3) h) (𝑥 − 2) ln(𝑥) > 0 i) 2√𝑥 < 4
j) {5𝑥3− 2 < 7 𝑥 > 0 k) {−2𝑥4− 2,5 ≥ −3 𝑥 > 0 l) 2𝑥−35− 7 > 0 Correction : a) 1 − 10𝑥+ 25𝑥2 > 0 𝛥 = (−10)2− 4 × 25 × 1 = 0
Le polynôme 1 − 10𝑥 + 25𝑥2 a une seule racine :
𝑥1= 𝑥2=
−(−10) 2 × 25 = 0,2
25> 0 donc 1 − 10𝑥 + 25𝑥2 > 0 pour tout 𝑥 ∈ ℝ − [0,2 ; 0,2] = ℝ − {0,2}
(pour 𝑥 = 0,2, le polynôme 1 − 10𝑥 + 25𝑥2 vaut 0)
Donc l’ensemble des solutions de l’inéquation 1 − 10𝑥 + 25𝑥2> 0 est :
𝒮 = ℝ − {0,2} que l’on peut aussi écrire
𝒮 =] −∞ ; +∞[ − {0,2} ou bien
𝒮 =] −∞ ; 0,2[ ∪]0,2 ; +∞[
c’est à dire tous les nombres réels sont solutions de l’inéquation sauf 0,2. b) 4 − 4𝑥 + 4𝑥2≤ −4𝑥 ⇔ 4 + 4𝑥2 ≤ −4𝑥 + 4𝑥 ⇔ 4 + 4𝑥2 ≤ 0
or
4𝑥2≥ 0 donc 4 + 4𝑥2 ≥ 4
donc il n’existe aucun nombre 𝑥 tel que 4 + 4𝑥2 ≤ 0. On peut conclure
𝒮 = ∅
c) 2𝑥2− 3𝑥 > 2(2 + 𝑥) ⇔ 2𝑥2− 3𝑥 > 4 + 2𝑥 ⇔ 2𝑥2− 5𝑥 − 4 > 0
𝛥 = (−5)2− 4 × 2 × (−4) = 25 + 32 = 57
Le polynôme 2𝑥2− 5𝑥 − 4 a donc deux racines
𝑥1=−(−5) − √57 2 × 2 = 5 − √57 4 𝑒𝑡 𝑥2= −(−5) + √57 2 × 2 = 5 + √57 4
2> 0 donc 2𝑥2− 5𝑥 − 4 > 0 pour tout 𝑥 ∈ ℝ − [𝑥
1 ; 𝑥2] donc 𝒮 = ℝ − [𝑥1 ; 𝑥2] = ]−∞ ; 𝑥1[ ∪ ]𝑥2 ; +∞[ d) 𝑒−3𝑥+5≤ 2 ⇔ ln(𝑒−3𝑥+5) ≤ ln(2) ⇔ −3𝑥 + 5 ≤ ln(2) ⇔ −3𝑥 ≤ ln(2) − 5 𝑥 ≥ln(2) − 5 −3 d’où 𝒮 = [ln(2) − 5 −3 ; +∞[ e) 𝑒𝑥+2𝑥−1 ≥ 1 ⇔ ln (𝑒 𝑥+2 𝑥−1) ≥ ln(1) ⇔ 𝑥+2 𝑥−1≥ 0
Cette inégalité ne peut être vraie lorsque 𝑥 − 1 = 0, c’est à dire lorsque 𝑥 = 1 car le dénominateur d’une fraction ne peut être égal à 0. Cela se traduira dans le tableau de signe par une double barre. Comme
𝑥 + 2 = 0 ⇔ 𝑥 = −2 on a le tableau de signe suivant :
𝑥 −∞ −2 1 +∞ 𝑥 + 2 − 0 + +
𝑥 − 1 − − 0 + 𝑥 + 2
𝑥 − 1
+ 0 − ∥ +
L’ensemble des solutions de l’inéquation 𝑥+2𝑥−1≥ 0 est donc 𝒮 = ]−∞; −2] ∪ ]1; +∞[
f) ln(−3𝑥 + 5) < 7 ⇒ exp(ln(−3𝑥 + 5)) < 𝑒7 ⇔ −3𝑥 + 5 < 𝑒7 ⇔ −3𝑥 < 𝑒7− 5
𝑥 >𝑒7− 5 −3
Il faut aussi que −3𝑥 + 5 > 0 pour que ln(−3𝑥 + 5) existe, c’est à dire que −3𝑥 > −5 Donc que 𝑥 <−5−3 ⇔ 𝑥 <5 3 Or 𝑒7− 5 −3 = 5 − 𝑒7 3 = 5 3− 𝑒7 3 ≈ −363,877 et 5 3≈ 1,666 Conclusion : 5 3− 𝑒7 3 < 𝑥 < 5 3 L’ensemble des solutions de l’inéquation précédente est :
𝒮 = ]5 3− 𝑒7 3 ; 5 3[ g) ln(𝑥2− 2𝑥) > ln(3) ⇔ exp(ln(𝑥2− 2𝑥)) > exp(ln(3)) ⇔ 𝑥2− 2𝑥 > 3 ⇔1𝑥2− 2𝑥 − 3 > 0 𝛥 = (−2)2− 4 × 1 × (−3) = 16
Le polynôme 𝑥2− 2𝑥 − 3 a deux racines
𝑥1=−(−2) − √16
2 × 1 = −1 𝑒𝑡 𝑥2=
−(−2) + √16 2 × 1 = 3 comme 1> 0, 𝑥2− 2𝑥 − 3 > 0 pour tout 𝑥 ∈ ℝ − [−1 ; 3]
Si 𝑥 ∈ ℝ − [−1 ; 3], alors 𝑥2− 2𝑥 − 3 > 0 donc 𝑥2− 2𝑥 > 3 > 0 donc
ln(𝑥2− 2𝑥) existe
Conclusion : l’inéquation ln(𝑥2− 2𝑥) > ln(3) a pour ensemble de solutions
𝒮 = ℝ − [−1 ; 3] = ]−∞ ; −1[ ∪ ]3 ; +∞[ h) (𝑥 − 2) ln(𝑥) > 0 Comme ln(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 = 1 et 𝑥 − 2 = 0 ⇔ 𝑥 = 2 On a le tableau de signes suivant :
𝑥 0 1 2 +∞ 𝑥 − 2 − − 0 +
ln (𝑥) ∥ − 0 + + (𝑥 − 2) ln(𝑥) ∥ + 0 − 0 +
Ce qui nous permet de conclure :
Les solutions de l’inéquations ln(𝑥) × (𝑥 − 2) > 0 appartiennent à l’intervalle ]0 ; 1[ ou à l’intervalle ]2 ; +∞[
C’est à dire 𝒮 = ]0 ; 1[ ∪ ]2 ; +∞[ i) 2√𝑥 < 4 ⇔ √𝑥 < 42 ⇔ {(√𝑥)2< 22 𝑒𝑡 𝑥 ≥ 0} ⇔ {𝑥 < 4 𝑒𝑡 𝑥 ≥ 0} ⇔ 0 ≤ 𝑥 < 4 donc 𝒮 = [0; 4[ j) {5𝑥3− 2 < 7 𝑥 > 0 ⇔ {5𝑥 3< 9 𝑥 > 0 ⇔ {𝑥 3<9 5 𝑥 > 0 ⇔ {(𝑥 3)13< (9 5) 1 3 𝑥 > 0 ⇔ {𝑥 < (95) 1 3 𝑥 > 0 ⇔ 0 < 𝑥 < (9 5) 1 3 donc 𝒮 = ]0; (9 5) 1 3 [ k) {−2𝑥4− 2,5 ≥ −3 𝑥 > 0 ⇔ {−2𝑥 4≥ −0,5 𝑥 > 0 ⇔ {𝑥 4≤−0,5 −2 𝑥 > 0 ⇔ {𝑥 4≤ 0,25 𝑥 > 0 ⇔ {(𝑥4)14≤ 0,2514 𝑥 > 0 ⇔ {𝑥 ≤ 0,25 1 4 𝑥 > 0 ⇔ 0 < 𝑥 ≤ 0,25 1 4 donc 𝒮 = ]0; 0,2514] l) 2𝑥−35− 7 > 0 ⇔ {2𝑥− 3 5> 7 𝑥 > 0 ⇔ {𝑥 −35>7 2 𝑥 > 0 ⇔ {(𝑥 −35)− 5 3 < 3,5−53 𝑥 > 0 ⇔ {𝑥 < 3,5− 5 3 𝑥 > 0 donc 𝒮 = ]0; 3,5−53[
5) On a maintenant tous les outils pour dresser le tableau de variations d’une fonction 𝑓(𝑥)
a) Etape 1 : dériver la fonction et trouver 𝑓′(𝑥)
b) Etape 2 : étudier le signe de 𝑓′(𝑥), c’est-à-dire résoudre l’inéquation 𝑓′(𝑥) > 0 (on obtient ainsi
facilement les solutions de l’inéquation 𝑓′(𝑥) < 0 et de l’équation 𝑓′(𝑥) = 0)
Remarque : si 𝑓′(𝑥) s’écrit sous la forme d’un produit 𝑓′(𝑥) = 𝑔(𝑥) × ℎ(𝑥) obtenu grâce à une
factorisation ou d’un quotient 𝑓′(𝑥) =𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥) , on étudiera le signe de 𝑔(𝑥), le signe de ℎ(𝑥) pour trouver
le signe de 𝑓′(𝑥) grâce à la règle des signes de la multiplication et de la division
(− × −= + ; − × += − ; + × −= − ; + × += +)
c) Etape 3 : On en déduit les variations de la fonction 𝑓(𝑥)
Exemple 1 : dresser le tableau de variations de la fonction 𝑓(𝑥) = 2𝑥3− 4𝑥2+ 5𝑥 − 1
𝑓′(𝑥) = 2 × 3𝑥2− 4 × 2𝑥 + 5 × 1 + 0 = 6𝑥2− 8𝑥 + 5
Pour connaître le signe du polynôme 6𝑥2− 8𝑥 + 5, il suffit de chercher ses racines éventuelles :
Δ = (−8)2− 4 × 6 × 5 = 64 − 120 = −56 < 0
Donc le polynôme n’a pas de racine, il est toujours du signe de 6, c’est-à-dire toujours positif. Donc la fonction 𝑓(𝑥) est toujours croissante.
𝑥 −∞ +∞ 𝑓′(𝑥) +
𝑓(𝑥) ↗
Exemple 2 : dresser le tableau de variations de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥 × 𝑒−2𝑥+1
𝑓′(𝑥) = 1 × 𝑒−2𝑥+1+ 𝑥 × (−2) × 𝑒−2𝑥+1= (1 + 𝑥 × (−2))𝑒−2𝑥+1= (1 − 2𝑥)𝑒−2𝑥+1
La fonction exponentielle étant toujours positive, 𝑒−2𝑥+1> 0.
L’inéquation 1 − 2𝑥 > 0 est équivalente à 1 > 2𝑥 c’est-à-dire 12> 𝑥 Cela nous donne le tableau suivant :
𝑥 −∞ 1 2 +∞ 𝑒−2𝑥+1 + + 1 − 2𝑥 + 0 − 𝑓′(𝑥) + 0 − 𝑓(𝑥) ↗ 1 2 ↘ Car 𝑓 (12) =1 2× 𝑒 −2×12+1=1 2× 𝑒 0 =1 2× 1 = 1 2
Exemple 3 : dresser le tableau de variations de la fonction 𝑓(𝑥) =− ln(𝑥)𝑥 pour 𝑥 ∈ [0,2 ; 20] 𝑓′(𝑥) =− 1 𝑥 × 𝑥 − (− ln(𝑥)) × 1 𝑥2 = −1 + ln(𝑥) 𝑥2
La fonction carrée est toujours positive donc pour 𝑥 ∈ [0,2 ; 20], on a 𝑥2> 0.
L’inéquation −1 + ln(𝑥) > 0 est équivalente à ln(𝑥) > 1 donc par croissance de la fonction exponentielle, cela nous donne 𝑒ln(𝑥)> 𝑒1, c’est-à-dire 𝑥 > 𝑒
Cela nous donne le tableau suivant :
𝑥 0,2 𝑒 20 𝑥2 + + −1 + ln(𝑥) − 0 + 𝑓′(𝑥) − 0 + 𝑓(𝑥) 8,05 ↘ −0,37 ↗ −0,15 Car 𝑓(0,2) = −ln(0,2)0,2 ≈ 8,05 𝑓(𝑒) = −ln(𝑒)𝑒 = −1 𝑒≈ −0,37 et 𝑓(20) = − ln(20) 20 ≈ −0,15
6) On voit sur les tableaux de variations précédents qu’un minimum ou un maximum d’une fonction est atteint lorsque la dérivée de la fonction s’annule en changeant de signe. L’autre possibilité pour obtenir un
maximum ou un minimum est d’être aux extrémités de l’intervalle dans lequel la fonction est définie. Donnons quelques nuances entre les différents maximums, tout d’abord grâce à des exemples :
La fonction 𝑓(𝑥) dont la courbe est la suivante a un minimum qui est atteint pour 𝑥 = −0,46, on dit que c’est un minimum local car ∀𝑥 ∈ [−2 ; 1], 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(−0,46), mais ce n’est pas un minimum global car 𝑓(−0,46) > 𝑓(2)
De la même manière, la fonction 𝑓(𝑥) a un maximum qui est atteint pour 𝑥 = 0,56, on dit que c’est un
maximum local car ∀𝑥 ∈ [−0,5 ; 2], 𝑓(0,56) ≥ 𝑓(𝑥), mais ce n’est pas un maximum global car 𝑓(−2) > 𝑓(0,56).
Par contre, si on prend la courbe de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 1, on voit bien que le minimum qui est atteint
pour 𝑥 = 0 est un minimum global car 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(0) ∀𝑥 ∈ ℝ
𝑉𝐼 Etant donné une fonction 𝑓(𝑥) dérivable, il est possible de calculer sa dérivée 𝑓′(𝑥) pour étudier la fonction 𝑓(𝑥). Si maintenant on décide d’étudier cette fonction 𝑓′(𝑥), il faudra à nouveau la dériver…et ainsi de suite
1) Ladérivée d’une fonction dérivée 𝑓′(𝑥) s’appelle dérivée seconde de 𝑓(𝑥) et se note 𝑓′′(𝑥)
Calculons quelques dérivées secondes pour se familiariser avec cette notion : Si 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥 alors 𝑓′(𝑥) = 2𝑒2𝑥 et donc 𝑓′′(𝑥) = 2 × 2𝑒2𝑥 = 4𝑒2𝑥 Si 𝑓(𝑥) = ln (𝑥) alors 𝑓′(𝑥) =1 𝑥 et donc 𝑓 ′′(𝑥) = − 1 𝑥2 Si 𝑓(𝑥) = 4𝑥3− 2𝑥 + 1 alors 𝑓′(𝑥) = 4 × 3𝑥2− 2 × 1 = 12𝑥2− 2 et donc 𝑓′′(𝑥) = 12 × 2𝑥 = 24𝑥
Si 𝑓(𝑥) = 2𝑥14+1 𝑥 alors 𝑓′(𝑥) = 2 × 1 4× 𝑥 1 4−1− 1 𝑥2= 2 4𝑥 −34− 𝑥−2 et donc 𝑓′′(𝑥) =1 2× (− 3 4) 𝑥 −34−1− (−2) × 𝑥−2−1 = −3 8𝑥 −74+ 2𝑥−3 1 4− 1 = 1 4− 4 4= − 3 4 Remarque : (− 1 𝑥2) ′ = − (− 2𝑥 (𝑥2)2) = 2𝑥 𝑥2×2= 2𝑥1 𝑥4 = 2𝑥1−4= 2𝑥−3
On peut bien sûr continuer à dériver successivement ces fonctions pour obtenir la dérivée troisième notée
𝑓′′′(𝑥) ou 𝑓(3)(𝑥) et continuer jusqu’à la dérivée 𝑛𝑖è𝑚𝑒 notée 𝑓(𝑛)(𝑥)
2) La croissance ou la décroissance d’une fonction n’est parfois pas une information suffisante pour quelqu’un qui analyse une courbe. Un politicien qui parle de la courbe du chômage (même si elle augmente) aimerait savoir si l’augmentation diminue ou si l’augmentation s’accélère.
La dérivée d’une fonction ne donne pas cette information, c’est la dérivée seconde qui va la donner.
Lorsque la dérivée seconde d’une fonction est positive, on sera face à ce type de courbe :
On parlera de fonction convexe. C’est à dire que si la fonction est décroissante, la décroissance aura tendance à s’estomper, alors que si la fonction est croissante, la croissance aura tendance à s’accélérer. Lorsque la dérivée seconde d’une fonction est négative, on sera face à ce type de courbe :
On parlera de fonction concave. C’est à dire que si la fonction est décroissante, la décroissance aura tendance à s’accélérer, alors que si la fonction est croissante, la croissance aura tendance à s’estomper. Bien entendu, une fonction n’est pas forcément toujours convexe ou toujours concave, par exemple la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥3 est concave pour 𝑥 ∈ ]−∞ ; 0] et convexe pour 𝑥 ∈ [0 ; +∞[.
Donnons une définition formelle de ces notions :
Soit 𝑓 ∶ 𝐼 → ℝ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle 𝐼 ⊂ ℝ, alors
𝑓(𝑥) est convexe sur tout intervalle où 𝑓′′(𝑥) ≥ 0
𝑓(𝑥) est strictement convexe sur tout intervalle où 𝑓′′(𝑥) > 0
𝑓(𝑥) est concave sur tout intervalle où 𝑓′′(𝑥) ≤ 0
𝑓(𝑥) est strictement concave sur tout intervalle où 𝑓′′(𝑥) < 0
Graphiquement, la convexité (non stricte) ou la concavité (non stricte) autorise une fonction à n’avoir de courbure ni vers le bas, ni vers le haut, c’est à dire à être droite, donc autorise la fonction à être affine. Par exemple, si 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1, on a 𝑓′(𝑥) = 3 donc 𝑓′′(𝑥) = 0. Donc cette fonction est à la fois concave et
convexe.
Etudier la convexité d’une fonction, revient à étudier le signe de sa dérivée seconde
Exemple 1 : 𝑓(𝑥) = 𝑒−3𝑥−1 donc 𝑓′(𝑥) = −3𝑒−3𝑥−1 donc 𝑓′′(𝑥) = −3 × (−3)𝑒−3𝑥−1= 9𝑒−3𝑥−1> 0 donc
𝑓(𝑥) = 𝑒−3𝑥−1 est une fonction strictement convexe (∀𝑥 ∈ ℝ).
Exemple 2 : 𝑔(𝑥) = ln (3𝑥 + 4) donc 𝑔′(𝑥) = 3 3𝑥 + 4= 3 × 1 3𝑥 + 4
donc 𝑔′′(𝑥) = 3 × (− 3 (3𝑥 + 4)2) = −9 (3𝑥 + 4)2< 0 donc
𝑔(𝑥) = ln (3𝑥 + 4) est strictement concave ∀𝑥 ∈ ]−43; +∞[
(en effet, ln (3𝑥 + 4) existe à condition que 3𝑥 + 4 > 0, c’est à dire 3𝑥 > −4, et donc 𝑥 > −43 )
Exemple 3 : ℎ(𝑥) = 4𝑥3− 2𝑥2+ 𝑥 − 1 donc ℎ′(𝑥) = 4 × 3𝑥2− 2 × 2𝑥 + 1 = 12𝑥2− 4𝑥 + 1 donc ℎ′′(𝑥) = 12 × 2𝑥 − 4 × 1 = 24𝑥 − 4 Or 24𝑥 − 4 > 0 ⇔ 24𝑥 > 4 ⇔ 𝑥 >244 ⇔ 𝑥 >16 et donc 24𝑥 − 4 < 0 ⇔ 24𝑥 < 4 ⇔ 𝑥 < 4 24 ⇔ 𝑥 < 1 6 Ce qui signifie que ℎ(𝑥) = 4𝑥3− 2𝑥2+ 𝑥 − 1 est convexe ∀𝑥 ∈ [1
6; +∞[ et concave ∀𝑥 ∈ ]−∞; 1 6] Exemple 4 : 𝑖(𝑥) = 5𝑥4− 2𝑥3− 7𝑥2− 𝑥 + 1 donc 𝑖′(𝑥) = 5 × 4𝑥3− 2 × 3𝑥2− 7 × 2𝑥 − 1 = 20𝑥3− 6𝑥2− 14𝑥 − 1 donc 𝑖′′(𝑥) = 20 × 3𝑥2− 6 × 2𝑥 − 14 × 1 = 60𝑥2− 12𝑥 − 14 or 𝛥 = (−12)2− 4 × 60 × (−14) = 144 + 3360 = 3 504 Donc 𝑥1=12 − √3 504 2 × 60 = 0,1 − √3 504 120 𝑒𝑡 𝑥2= 12 + √3 504 2 × 60 = 0,1 + √3 504 120 et donc 60𝑥2− 12𝑥 − 14 > 0 𝑠𝑎𝑢𝑓 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ∈ [𝑥 1; 𝑥2] c’est à dire 𝑖′′(𝑥) > 0 𝑠𝑎𝑢𝑓 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ∈ [𝑥 1; 𝑥2] donc
𝑖(𝑥) = 5𝑥4− 2𝑥3− 7𝑥2− 𝑥 + 1 est convexe pour 𝑥 ∈ ]−∞ ; 𝑥
1] puis concave pour 𝑥 ∈ [𝑥1; 𝑥2] et enfin
convexe pour 𝑥 ∈ [𝑥2 ; +∞[ Exemple 5 : 𝑗(𝑥) = (𝑥 − 1)𝑒−𝑥 donc 𝑗′(𝑥) = 1 × 𝑒−𝑥+ (𝑥 − 1) × (−1)𝑒−𝑥= (1 + (𝑥 − 1) × (−1))𝑒−𝑥= (1 − 𝑥 + 1)𝑒−𝑥= (2 − 𝑥)𝑒−𝑥 donc 𝑗′′(𝑥) = −1 × 𝑒−𝑥+ (2 − 𝑥) × (−1)𝑒−𝑥 = (−1 + (2 − 𝑥) × (−1))𝑒−𝑥= (−1 − 2 + 𝑥)𝑒−𝑥 = (−3 + 𝑥)𝑒−𝑥
en utilisant le tableau de signe suivant
𝑥 −∞ 3 +∞ −3 + 𝑥 − 0 +
𝑒−𝑥 + +
