HAL Id: jpa-00246227
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Submitted on 1 Jan 1990
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Méthode des intégrales de frontières pour les problèmes magnétiques à symétrie axiale et couplage avec la
méthode des éléments finis
Xavier Brunotte, Jean-François Imhoff, Gérard Meunier
To cite this version:
Xavier Brunotte, Jean-François Imhoff, Gérard Meunier. Méthode des intégrales de frontières pour les problèmes magnétiques à symétrie axiale et couplage avec la méthode des éléments fi- nis. Revue de Physique Appliquée, Société française de physique / EDP, 1990, 25 (7), pp.613-626.
�10.1051/rphysap:01990002507061300�. �jpa-00246227�
Méthode des intégrales de frontières pour les problèmes magnétiques à symétrie axiale et couplage
avecla méthode des éléments finis
Xavier Brunotte
(1), Jean-François
Imhoff(2)
et Gérard Meunier(2)
(1)
Laboratoire deMagnétisme
du Navire, ENSIEG, BP 46, 38402 Saint Martin d’HèresCedex,
France(2)
Laboratoired’Electrotechnique
deGrenoble, ENSIEG,
BP 46, 38402 Saint Martin d’Hères Cedex, France(Reçu
le 3juillet
1989, révisé le 14 mars 1990,accepté
le 3 avril1990)
Résumé. 2014 Le but de cet article est de faire part de notre
expérience
dans lescouplages
des Méthodes élémentsfinis-équations intégrales
de frontières pourproblèmes
àsymétrie
axiale. Ilrappelle
d’abord laformulation
intégrales
de frontières pour le cas degéométries
axiales enpotentiel
scalaire(total
ouréduit).
Ildéveloppe
les formulations pour lepotentiel
vecteur avec des formulations en(A03B8)
et en(rA03B8) ;
cette dernièreétant
particulièrement
intéressante dansl’optique
ducouplage.
Ilprésente
ensuite desexemples
decouplages
avec la méthode des éléments finis et les compare avec ceux donnés
analytiquement
ou par une méthode purement éléments finis.Abstract. 2014 This article presents a
hybrid
FiniteElement/Boundary
ElementAnalysis
method foraxisymmetric
geometry. First, aboundary
formulation for scalarpotentials (total
orreduced)
ispresented,
then
equations
for vectorialpotential
aredeveloped.
The(rA03B8)
formulationhappens
to be much moreconvenient for the
coupling
than the(A03B8)
formulation. Some numerical resultsgiven by
thishybrid
method arepresented
andcompared
with results obtainedusing analytical
and other numerical methods.Classification
Physics
Abstracts41.10 - 41.10D 2013 41.10F 2013 02.60 - 02.70
1. Introduction.
L’utilisation
conjointe
des éléments finis et desintégrales
de frontièrespermet
de regrouper leurspotentialités :
- les
régions
àproblèmes physiques complexes (matériaux
non linéaires parexemple)
seront alorstraitées par éléments
finis ;
- tandis que les
problèmes
à frontières ouvertes(prise
encompte
del’infini)
seront facilement traités parintégrales
de frontières(perméabilité constante).
On traitera aussi par
intégrales
de frontières l’inter-ace en re eux pièces mo i es en re e
par
exemple),
car de cette manière on n’a pas à faire évoluer lemaillage
au cours dutemps.
Cette association « éléments
finis-intégrales
defrontières » a
prouvé
son intérêt à travers de nom-breux articles
[1-5], qui
traitent de telscouplages,
enparticulier
pour lesproblèmes
bidimensionnelsplans
et tridimensionnels. Par contre, le
couplage
pour desproblèmes axisymétriques
n’est que rarement abordéen
partie
à cause de lacomplexité plus grande
desintégrales
de frontières.Cet article
développe
les formulationsintégrales
en
axisymétrique
pourpotentiels
scalaires(total
etréduit), puis potentiel
vecteur avec ledéveloppement original
en(rA 8 )
que nous avonsdéveloppé parallè-
lement à L. Pichon
[6, 7] ;
enfin ilprésente quelques exemples
de mise en oeuvre ducouplage.
On pourra noter que les formulations
intégrales
de frontières choisies sont basées sur l’identité de Green. D’autres formulations
existent,
basées enparticulier
sur la théorie des distributions. Pour lecas
axisymétrique
et comme le montre[6, 7],
onpeut
mener de manière similaire le calcul des noyaux ; cequi
conduit aussi à la définition desonctions notees ans a smte axi, axi, axi vec rA ···
2.
Rappel
sur lesintégrales
de frontièresUne variable V de classe
C2,
dont leLaplacien
estnul dans une
région peut s’exprimer
en toutpoint
Pde cette
région
en fonction de V et de sa dérivée normale sur la frontière suivant :Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/rphysap:01990002507061300
où G est la fonction de Green :
Dans le cas
général,
on ne connaît pas entièrement V et sa dérivée normale sur les frontières. Pour lesdéterminer,
ongénère
unmaillage
des frontières. Cemaillage
permet comme dans la méthode des élé-ments finis de définir un ensemble
(W,)
de fonctionsd’approximations
pour la frontière. Onpeut
alors chercher une solutionapprochée
V * dupotentiel V
et 1/1’ * de sa dérivée normale sur les frontières en
écrivant :
Les N
valeurs Vi (respectivement
les N1/1’)
sont parconséquent
les valeurs de V *(resp. 1/1’ *)
aux noeudscorrespondants.
Pour trouver les valeursinconnues,
une solution est d’écrire
(comme nous)
Néquations intégrales (1)
aux N noeuds de lafrontière,
Le
système
linéaire ainsi obtenu estcomplété
par soit les conditions auxlimites,
soit N autreséquations
écrites sur cette même frontière pour les autres
régions.
On obtient ainsi unsystème
linéaire(7) qu’il
suffit alors derésoudre,
où
[eVi] ]
est une matricediagonale.
Dans ce cas, comme le montre
[8],
il est intéressant de calculernumériquement
le coefficient c par leséquations
de définition del’angle
solide(8)
et(9) :
-
problème
intérieur-
problème
extérieurRemarques :
- Au lieu d’écrire les N
équations
aux noeuds dela
frontière,
il estenvisageable
de les écrire en Npoints
d’une surface extérieure audomaine ;
dans cecas, le coefficient
angulaire
c souslequel
lepoint
Pvoit la
région
estnul,
et on obtient lesystème
matriciel :
L’inconvénient
majeur
de cette méthode est lanécessité de
générer
cette surface.- Une troisième
possibilité
est deprojeter l’équa-
tion
(1)
sur les fonctionsW .
Dans ce cas, c étant unefonction de la frontière presque
partout égale
à1/2
sauf
peut-être
auxnoeud,
on obtient lesystème :
où ( 1 )
est leproduit
scalaire del’espace
desfonctions
intégrables
de la frontière.3. Cas du
potentiel
scalaire engéométrie
axiale.3.1 MODÈLES
MAGNÉTOSTATIQUES
SCALAIRES. - Enmagnétostatique,
sous condition d’existence d’une loibiunivoque (de type B
=1£H)
constitutive dumatériau,
lepotentiel V duquel
dérive lechamp
d’excitation H en l’absence de courants, vérifie
l’équation
qui
dans l’air ou pour unerégion
linéaire etisotrope
devient
V vérifie par
conséquent l’équation (1),
que l’onpréfère
écrire en faisant intervenir lacomposante
normale duchamp magnétique
d’induction :Cette dernière
expression présente
en effet l’avan-tage
d’assurer facilement la conservation de lacomposante
normale de B.En
présence
de courants, ou d’unchamp
sourceextérieur
d’origine quelconque,
lepotentiel Vred
créé par la matière vérifie aussi
l’équation (13),
etpar
conséquent l’équation (15)
que l’on
préfère
écrire(toujours
dans le but d’assurer facilement la conservation de lacomposante
normale duchamp
totalmagnétique d’induction)
Bntot
étant la nouvelle inconnue sur lafrontière,
etH,
lechamp
source.Fig.
2. - Problèmeaxisymétrique typique.
[Typical axisymmetric problem.]
3.2 FORMULATION
AXISYMÉTRIQUE. -
Un pro-eme p ysique a
symetrie
axia e es un pro eme tridimensionnel pourlequel
lesgrandeurs physiques
intéressantes
(ici
V etBn
oudV /dn)
sontindépen-
dantes de
l’angle
8.La fonction de Green du
point
P calculée aupoint Q (ainsi
que sa dérivée normale enQ) dépendant
par contre de
l’angle 8,
il est intéressant depréinté-
grer les noyaux G et
dG/dn
sur(C). L’équation intégrale (14)
s’écrit alors(cf. [9]) :
où
G axi
etG’xi s’expriment
paret
Le calcul des
intégrales (18)
et(19)
donne avec lesnotations de la
figure
3où
Jl
etJ2
sont lesintégrales elliptiques complètes
depremière
et deuxièmeespèce
avec
Remarque.
- Le coefficient c est calculé numéri-quement
parC =
G âxi dQ
pour unproblème
intérieur(22)
c=-1+
LGâxidf
pour un
problème
extérieur .(23)
4. Cas du
potentiel
vecteur engéométrie
axiale.Le
potentiel
vecteur,duquel
dérive lechamp magné- tique B
vérifiel’équation
sous condition d’existence d’une loi d’aimantation H = vB(où v
est la relucti-vité et J la densité de
courant)
En l’absence de courants et pour des
régions
à. reluctivité constante et
isotrope, (24)
se transformeen
l’équation
vectorielle(25)
La formulation
intégrale
de frontières enpotentiel
vecteur ne pose pas de
problèmes particuliers
en 2Dcartésien,
car alorsl’équation
vectorielle dA = 0implique
la nullité duLaplacien
del’unique
compo- sante de A(dAz = 0).
Onpeut
parconséquent
écrire
l’équation (1)
pourAz.
Par contre, une formulation
intégrale
de frontièresest
plus
difficile à obtenir pour unproblème axisymé- trique,
carl’équation
AA = 0n’implique
pas0394A03B8
= 0(le
vecteur As’exprime
par A =A e . u,,).
Une méthode
simple
est de remarquer que lesLaplaciens
descomposantes Ax
etAy
de A sont nulsdans un
repère
cartésien tridimensionnel fixe. Onpeut
donc écrirel’équation (1)
pourAx
ouAy.
On aen
particulier :
En coordonnées
cylindriques (r, 0, z ), Ay s’exprime
par
Or pour un
problème
àsymétrie axiale, Ar
estégale
à zéro et
A 0
estindépendant
de 0(on
aA(}(r, 0, z )
=A B (r, 0,
z)).
Parconséquent,
en écri-vant
l’équation (26)
en unpoint
duplan 0
=0,
on obtientDe
plus
On
peut
alors écrire de la même manièrequ’en
3où
et
Les calculs montrent
et
Remarques.
- En écrivant
l’équation ( 1 )
pourA x
à laplace
deAy,
on aurait obtenul’équation
dont l’inconvénient est de ne pas donner le
champ
àl’intérieur du domaine.
- Nous avons retrouvé
l’équation (30) complétée
par
(31)
et(32),
enpartant,
comme certains auteurs de l’identité vectorielle(36), analogue
à la seconde identité de Green dont découle(1)
Les calculs que nécessite cette méthode sont cepen- dant
plus complexes (elle
nécessite enparticulier
ladéfinition d’une fonction vectorielle de
Green)
et neprésentent
pas d’intérêt à êtredéveloppés
ici.- Le terme c dans
l’expression (30)
esttoujours
calculé par les relations
(22)
ou(23).
5. Formulation en
(rA03B8).
Dans le code de calcul de
Fluxlab,
la formulation éléments finisaxisymétrique
choisie fait intervenir de manièreclassique
la variable(rAo) (cf.
paragra-phe 7).
Nous avons donc transformél’équation (30)
en écrivant
(avec
les notations de laFig. 3)
On obtient alors
avec
De
(33), (34), (41)
et(42)
on déduit :et
Remarques.
- On
peut
remarquer que(44)
est relativementplus simple
que(34).
Mais l’intérêt essentiel de las formulation en(rA 0) s’explique
par lasimplification
dus au
couplage (cf. paragraphe 7).
- Dans la
pratique,
pour faciliter lecouplage
etassurer la conservation de la
composante tangentielle
du
champ magnétique
d’excitationH,
nous avons introduit la variable(rHt)
dans(40),
comme nousavions introduit
Bn
en3 ;
cequi
donne :6.
Couplage
enpotentiels
scalaires etexemple.
6.1 FORMULATION ÉLÉMENTS FINIS POTENTIEL TOTAL. - La méthode des éléments finis est basée
sur un
maillage
en éléments finis du domaine. Cemaillage permet,
dans le cadre de la méthode deGalerkin,
la construction d’un ensemble de fonctionspoids (W¡). L’équation div » grad V
= 0(12),
que l’on cherche à résoudreimplique
l’ensembled’équa-
tions
(46)
pour toutW
ensemble
d’équations, qui intégrées
parpartie,
don-nent pour tout
W
.r
A
partir
deséquations (47),
on cherche uneapproxi-
mation
(48)
deV, qui
conduit à la résolution d’unsystème
matriciel(49)
Remarques.
- Le
terme g peut
être dans un contexte élé-ments finis un tenseur
(anisotropie
de lamatière)
et,par une méthode de
type Newton-Raphson, dépen-
dant de H
(matériaux
nonlinéaires,
enparticulier
aucoude de
saturation).
- A l’interface entre deux
régions
deperméabili-
tés
différentes,
lesintégrales
de contour calculéespour une fonction de
projection W
sur les deuxrégions,
sontégales (conservation
de lacomposante
normale del’induction). L’équation (47)
conduitalors à
- Dans une méthode
uniquement
élémentsfinis,
le terme de contour de la matrice[Ri ]
est nul pour presque tous lesW ; quand
il n’est pasnul,
il est donné par les conditions aux limites.6.2 FORMULATION ÉLÉMENTS FINIS POTENTIEL
RÉDUIT. - En
potentiel
réduit et si larégion
estlinéaire et
isotrope,
le terme source se ramène à uneintégrale surfacique
sur les interfaces entre différen-tes
régions. L’équation équivalente
à(50)
s’écritalors
Si la
région
est nonlinéaire,
il fautintégrer
envolume le terme source suivant
6.3 CAS
AXISYMÉTRIQUE. -
La formulationaxisy- métrique
ne pose aucunproblème particulier
pour lespotentiels
scalaires. Les termes des matrices[Su] ]
et[Ri ]
valent alorsoù r est le rayon au
point
courantd’intégration.
6.4 COUPLAGE. -
L’équation (47),
delaquelle
ontire le
système
matriciel(49),
fait intervenir lepotentiel
sur toute larégion
et sa dérivée normalesur sa frontière. Le contour de la
région
sesépare
enune interface avec la
région
que l’on traite parintégrales
defrontières,
et le reste du contour. On obtient alors(55),
oùBn
est inconnue sur l’interface et V dans le domained’où l’on tire le
système (56)
que l’on résout simultanément avec
(7)
En
potentiel réduit,
onintègre
le terme source ducôté éléments finis
[10].
Remarque.
- Une autretechnique
de résolution dusystème couplé (7)
et(56)
estd’exprimer
la matrice[Bnl] 1
en fonction de[Tu] - 1, [Ru], [Vi],
àpartir
de(7)
et de laremplacer
dans(56) ;
l’intérêt est que la matrice que l’on obtient estsymétrisable.
6.5 EXEMPLE: SPHÈRE
FERROMAGNÉTIQUE
DANSUN CHAMP UNIFORME. COMPARAISON AVEC LA
SOLUTION ANALYTIQUE. - La
sphère (de
rayona = 1
m)
est constituée d’un matériau linéaire deperméabilité
10(Fig. 4).
Elle estplongée
dans unchamp
uniforme de21 x 10- 5 T
ou encore16,71 A/m.
Fig.
4. - Cas de lasphère plongée
dans unchamp
uniforme.[Case
of asphere
in an uniformmagnetic field.]
La solution
analytique
donnée par[11]
s’écrit aupoint M,
où
ce
qui
donne pour lepotentiel
réduitqui
est lavariable d’état choisie
Pour la résolution
numérique,
on n’entrequ’un quart
de lagéométrie,
à cause del’antisymétrie
parrapport
à l’axe des x, et de lasymétrie
radialesuivant z
(Fig. 5).
Lafigure
6 montre leséquipoten-
Fig.
6. -Equipotentielles
dans lesrégions
ElémentsFinis.
[Equipotential
lines in the Finite Elementareas.]
tielles dans les
régions
traitées par éléments finis. Lafigure
7 donne lepotentiel
sur lesegment
de droite[(1,4, 90°) ; (1,4, 5°)]
en coordonnéespolaires,
etl’erreur absolue
multipliée
par cent sur cesegment ;
tandis que lafigure
8 donne lepotentiel
sur l’arc decercle de rayon
1,9
et donne l’erreur relative enpourcentage.
7.
Couplage
enpotentiel
vecteur etexemple.
7.1 FORMULATION ÉLÉMENTS FINIS. - On veut
résoudre
l’équation
vectorielle rot( v
rot(A))
=J, qu’on projette
sur des vecteurs fonctionspoids
En
l’intégrant
parpartie,
on obtient comme en6,
des termesvolumiques
etsurfaciques
Fig.
7. - Potentiel et erreurs absolues (x 100) sur le segment.[Potential
and absolute errors(x 100)
on thesegment.]
Fig.
8. - Potentiel et erreurs relatives (x 100) sur l’arc.[Potential
and relative errors(x 100)
on thearc.]
En 2d cartésien
(géométrie
infinimentlongue
dans ladirection
Z),
la seulecomposante
non nulle duvecteur A est
AZ.
On choisit l’axe Z comme directiondes vecteurs fonctions de
poids,
cequi
donne unensemble
d’équations (60)
qu’on
résume par7.2 FORMULATION ÉLÉMENTS FINIS. GÉOMÉTRIE
AXIALE. - Pour un
problème axisymétrique
pourlequel
A estaxial,
on choisit comme vecteurs fonctionspoids
des vecteurs axiaux. Enexprimant
les rotationnels en coordonnées
cylindriques
dans(59),
on obtientEn introduisant la variable rA ainsi que les fonctions
poids Wi* = (rWj),
où r est le rayon aupoint d’intégration,
on obtient leséquations
7.3 COUPLAGE. - Le
couplage
des deux méthodesne
présente,
àpartir
des formulations(rA)
élémentsfinis et
intégrales
de frontières et parrapport
aupotentiel scalaire,
aucune difficultésupplémentaire.
La seule différence est
qu’une équation intégrale
defrontière calculée en un noeud de l’axe donne une
ligne composée
de termes tous nuls : il faut donc l’éliminer enremarquant
que(rA)
et(rHt)
valentzéros sur l’axe.
On remarquera que l’intérêt de la formulation
(rA )
esttriple
lors ducouplage
parrapport
à la formulation(A ) :
-
légère simplification
de la formulationintégrale
de frontières seule
-
simplification
de la formulation éléments finis seuleFig.
10. - Domaine d’étude en modélisant l’infini par conditions aux limites.[Studying
area whenmodelling
the infiniteby boundary conditions.]
-
simplification
ducouplage
enlui-même, puisqu’il
nerajoute
sur la frontière pour larégion
traitée par éléments
finis, qu’un
terme enrHt (alors
que la formulation en A donne deux termes en A et
dA/dn).
7.4 EXEMPLE ET COMPARAISON AVEC UNE SOLU- TION DONNÉE PAR DES CONDITIONS AUX LIMITES. -
Le
problème
est décrit par lafigure
9. Pour lemodéliser par éléments finis
seuls,
onimpose
desFig.
11. -Equipotentielles (rA )
données par éléments finis.[ (rA ) equipotential
linesgiven by
finite elementanalysis.]
Fig.
12. -Equipotentielles (rA )
données par lecouplage (interface
dansl’air).
[ (rA ) equipotential
linesgiven by
thehybrid
method(interface
in theair).] Fig.
13. -Equipotentielles
(rA ) données par lecouplage (interfaces
entre les deux méthodes étantégalement
interfaces entre
régions physiques).
[(rA) equipotential
linesgiven by
thehybrid
method(interfaces
between both methods are also interfaces betweenphysical regions).]
Fig.
14. - Potential(rA )
donné par éléments finis sur le segment.[ (rA ) potential given by
finite elementanalysis
on thesegment.]
Fig.
15. - Potentiel (rA ) donné par la méthodecouplée.
[(rA ) potential given by
thehybrid method.]
Fig.
16. -Champ
donné par éléments finis sur le segment.[Flux density given by
finite elementanalysis
on thesegment.]
Fig.
17. -Champ
donné par lecouplage.
[Flux density given by
thehybrid method.]
conditions aux limites de
type
Dirichlet(A
=0 )
etNeumann
homogène
sur des frontières suffisammentéloignées
des sources(Fig. 10).
Lesfigures 11, 12,
13montrent les
équipotentielles
calculées par éléments finis seuls(Fig. 11),
par EF-EIF avec interface entre les deux méthodes dans l’air(Fig. 12)
et EF-EIFavec interfaces étant aussi interfaces entre
régions physiques (Fig. 13).
Lesfigures 14,
15(resp. 16, 17)
donnent le
potentiel
rA(resp.
lechamp)
sur lesegment
droit de lafigure
9 calculé par les méthodes EF seule et EF-EIF avec interface dansl’air ;
la méthode EF-EIF avec interface sur les matériaux donnant des résultats moins bons(différence
= 4%)
à cause de la
complexité
de la frontière(on
atou’ours intérêt à choisir l’interface la
plus simple géométriquement
etphysiquement).
8. Conclusion.
Nous avons
présenté
les formulationsintégrales
defrontières des
problèmes axisymétriques
pourpoten-
tiels scalaires(total
ouréduit)
et vecteur avec enparticulier
la formulation en(rA ),
et nous avonscouplé
ces formulations avec leséquations
donnéespar la méthode des éléments finis. Les résultats
présentés
montrent la validité des différentscoupla-
ges. L’intérêt des méthodes
hybrides
est de concilier lespoints
forts des deux méthodes : non-linéarité des matériaux pour les élémentsfinis, prise
encompte
del’infini,
non-évolution dumaillage
lors dedéplacement
depièces
mobiles pour lesintégrales
defrontières. Des travaux restent
cependant
à fairepour améliorer le
système
matriciel o tenu.Bibliographie [1]
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Hybrid
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de frontiè-res)
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