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Méthode d’étude de séries statistiques du type
exponentiel. Application à la radioactivité
Martin Ferber
To cite this version:
MÉTHODE D’ÉTUDE
DESÉRIES STATISTIQUES
DU TYPE EXPONENTIELAPPLICATION A LA
RADIOACTIVITÉ
Par MARTIN FERBER.Institut de
Physique atomique,
Faculté des Sciences de Lyon.Sommaire. 2014 Exposé d’une méthode nouvelle d’étude de séries statistiques du type exponentiel, telles
qu’elles se présentent en radioactivité.
1° Contrairement à la méthode de Bateman-Poisson, qui étudie la distribution des nombres d’intervalles
contenus dans des fractions égales, le procédé décrit se réfère à des fractions contenant des nombres égaux
d’intervalles.
2° Pour cela, N intervalles sont classés d’après leur grandeur et numérotés de 1 à N. Chaque intervalle est
caractérisé par sa longueur xi et par son numéro d’ordre yi . xi, yi suivent une distribution bidimensionnelle en
relation étroite avec la distribution 03B2e201403B2x dont on retrouve d’ailleurs les caractéristiques (moyennes et
mo-ments) comme produits accessoires.
3° La distribution est caractérisée par un terme unique, le coefficient de corrélation entre xi et yi, dont on
donne l’expression.
4° La théorie est appliquée à un enregistrement automatique de particules 03B1 du polonium, obtenu par
M. J. Thibaud à l’Institut de Physique atomique.
5° L’accord entre la théorie et les observations paraît satisfaisant, cependant certaines particularités
relevées sur les courbes de fréquence totale et sur les moments observés nous ont suggéré une interprétation
possible qui est discutée.
PREMIÈRE
PARTIEL’étude des séries
statistiques
provenant
de ladésintégration
des substances radioactives se fait engénéral
par les deux méthodes suivantes :10 Par
comparaison
directe de la distribution des intervalles observés entre émissions avec ladistribu-tion
théorique exponentielle pe"".
La constante B, seule constante intervenant dans laloi,
est donnée par lequotient
du nombre n des intervalles par la durée totaled’enregistrement
desémissions ;
20 Par
application
de la loi de Bateman-Poisson :Dans cette
méthode,
ondécoupe
l’enregistrement
enh
parties égales.
La variable de cette distribution est lenombre y
d’intervalles entre émissionsqui
setrouvent dans
chaque
partie.
La constante a est le nombre moyend’intervalles,
donné par lequotient n
h . du nombre n des intervalles par le nombre h des
parties.
Dans la
première méthode,
les intervalles sont clas-sésd’après
leurgrandeur,
et l’on obtient ainsi unecourbe de
fréquence qui
avec sescaractéristiques
(moyennes,
momentsdivers) paraît,
enpremière
approximation,
en assez bon accord avec la courbe de distributionthéorique pe*".
Cette distributionpeut
êtreobtenue,
comme von Mises l’amontré,
enpar-tant de
l’hypothèse
de base que lesdésintégrations
des atomes ont lieu encomplète indépendance
les unesdes autres.
La seconde des méthodes mentionnées ci-dessus se
substitue comme méthode de
décomposition
à lapremière, qui
étudie l’ensemble des valeurs, et lacomplète
utilement.Cependant, l’application
de ces méthodes n’a pastoujours
donné un accord définitif entre l’observationet la théorie.
En
particulier,
J. Thibaud a montré(Bulletin
Soriétéfrançaise
dePhysique,
N°406,
J.Phy-sique,
p. 94S, 1937),
sur desenregistrements
automa-tiques
des émissions oc dupolonium,
faits dans des conditionsexpérimentales particulièrement étudiées,
l’existence d’écarts
systématiques, d’apparence
pério-diques,
entre la courbeexponentielle théorique
etle
graphique
représentant
les valeursexpérimentales.
L’accord entre l’observation et lathéorie, d’après
la secondeméthode,
et le désaccordplus
ou moinsprononcé,
d’après
lapremière, s’expliqueraient
par le fait que lesintervalles, quoique
suivant dans leur ensemble la loiexponentielle,
serépartiraient
dans leur suite naturelle « anormalement ».C’est ici
qu’intervient
la notion de « structured’ordre » d’une série
statistique.
Considérons n valeurs
statistiques
observées,
dont la courbede fréquence
est en bon accord avec la distributionthéorique.
Les nipermutations
pos-sibles de ces n valeurs nous donnent toutes la même courbe defréquence.
Parmi les nipermutations,
il yen a un certain nombre dans
lesquelles
les n valeurs se suivent en désordre et d’autres où les n valeurs sesuccèdent en ordre
déterminé,
comme parexemple
celle dans
laquelle
les n valeurs sontrangées
suivant leur ordre degrandeur.
Onpourrait
difficilement attribuer à ces dernières séries le caractèrestatistique ;
il faut que le
type
de ladistribution,
donné par l’en-semble des nvaleurs,
sereproduise
dans une certaine mesure pour des fractionsplus
ou moinslongues
de lasérie totale, ou alors que ces fractions
présentent
descaractères
qui
découlent de la distributionthéorique.
La méthode que nous allons introduire dans l’étudedes séries
statistiques
dutype
exponentiel
est,
commela seconde
(Bateman-Poisson),
une méthode dedécom-position.
Au lieu d’étudier des éléments de
longueur
fixe etpar cela d’un nombre
variable
d’intervalles,
nousétudions des éléments de
longueur
variable mais de nombre N fixe d’intervalles.338
Chacun des N
intervalles,
qui
constituent un desK
=
groupes obtenus par ledécoupage
de l’en-Nsemble des n intervalles en k groupes de N
intervalles,
suiventséparément
certaines distributions découlant de la distribution Ils déterminent dans leur ensemble unegrandeur,
fonction deN,
qui
lescaractérise. Cette
grandeur statistique,
dont nouscalcu-lerons aussi les
limites,
doit être retrouvée par l’obser-vation dans le cas où la série est normale.Considérons donc un groupe de N intervalles et
rangeons-les d’après
leur ordre degrandeur
décrois-sante en les numérotant dans cette suite de 1 à N. Par ceprocédé, chaque
intervalle est caractérisé par deuxgrandeurs :
l.~ salongueur xi
(xi
continuentre les limites 0 et
~ ) ;
20 son numérod’ordre yi
discontinu etprenant
les valeurs entières entre 1et
N).
La formule
(1)
donne la distribution bidimen-sionnelle de(zi,
~3 est le
quotient
du nombre total r~, desintervalles,
parla
longueur 1
du filmd’enregistrement ; pi,j;j
est laprobabilité
pourqu’un
intervalle réunisse les deuxqualités
suivantes : être de lagrandeur
xi, et avoircomme numéro d’ordre le nombre y;.
EXPLICITATION DE LA FORMULE
(1).
--- 10Dans
l’expression
calculée,
est une densité deproba-bilité. La
répartition
est continue parrapport
à zi, discontinue parrapport
à y;. Dans la notationusuelle,
pip serapporte,
engénéral,
à deux variablesconti-nues : afin d’éviter toute confusion dans les
notations,
on
pourrait
substituer dans notre cas à Pilj la nota-tionqui
exprimerait
que yj nepeut
prendre
que des valeurs entières.
20 Dans le cas le
plus général,
on considère ungroupe de 1V valeurs suivant une distribution
(xi).
La
probabilité
pourqu’une
valeur soit inférieure à xiest ~
(xi),
donc 1 -- ‘~(xi) représente
laprobabilité
pourqu’elle
soitsupérieure
à x2. est laproba-bilité totale de la distribution w
(xi).
La
probabilité
pourqu’une
valeur xi
soit laen
grandeur parmi
les N valeurs observées est alors :(1- W
(Xi)
Y>
Cette
expression
de pil[j] résulte du faitqu’il
existeN
possibilités
de grouper yj valeursparmi
Nyi
valeurs,
et que danschaque
groupe chacune de ces valeurspourrait
être layième
engrandeur.
Lapro-babilité pour que la
Yième
valeur ait lagrandeur x2
est le
produit
de çv(xi)
avec, d’unepart,
laprobabi-lité W
(xï).N-Yj
qui exprime
laprobabilité
que N - yi valeurs soientplus
petites
que zi,et,
d’autrepart,
laprobabilité
(1
2013W(~))~"~
qui
exprime
laproba-bilité que yj -’l valeurs soient
plus grandes
que zi.La constante e se détermine par la condition de l’aire.
Dans le cas de la distribution
exponentielle :
la formule
générale
précitée
devient :Dans ce
qui
suit,
nous traiterons cette distributiond’après
lesprocédés
classiques.
Ayant
pour dessein de la caractériser par un termeunique
etprécis,
nousdirigeons
notre attention sur la liaisonstochastique,
c’est-à-dire sur la corrélationqui
existe entre lesgrandeurs xi
et les numérosd’ordre Yi
des intervalles. La théorie de la corrélation nousprésente
de tels termesuniques
sous la forme du coeflicient de corréla-tion ou des deuxrapports
de corrélation.Avant de motiver notre choix du coefficient de
corrélation,
il faut insister sur unpoint
deprincipe.
Ilne
s’agit
pas de donner une mesure exacte de cettecorrélation,
qui
en elle-même n’a pas de sensphysique
direct. Nous désirons seulement caractériser par un
terme
unique
le faitphysique
d’unedécomposition
en des groupes de n intervalles.
Cette réserve
faite,
nous décidons de caractérisercette
décomposition par’le
coefficient de corrélationqui,
dans le cas de notredistribution,
seprésente
sous la forme d’une
expression algébrique simple.
Cetavantage nous
le faitpréférer
aurapport
de corrélationqui,
engénéral,
reflète mieux ledegré
decorrélation,
mais
qui,
dans le casprésent,
estplus
difficile à obtenir(et
d’ailleurs,
sous une forme nonexplicite).
Nous calculerons d’abord les moyennes miio, moji, et
quelques
momentsjusqu’à
l’ordre 4 : t£210, ~o ~ 2, ..., 1 de la distribution Les momentssont les moments calculés par
rapport
aupoint
moyen
mo 11),
centre degravité
de la distribution des massesqui figure
dans leplan
des zi, yj.De
(1)
se détachent lesprobabilités
à une seule339
p ~~
exprime
laprobabilité
pourqu’un
intervalle ait lagrandeur xi
etqu’il
porte
en outre le numéro laprobabilité
pourqu’un
intervalleil
portant
le numérod’ordre yj
ait,
enoutre,
lagrandeur
xi.
De
là,
nous parvenons aux moyennes et momentsliés
m
.... 1m(i)
Les moyennes liées don-1!’ 11 n1 n1 "nent les courbes de
régression
de yj
en xi, et dexi en y;. La
figure
1présente
ces deux courbesFig. 1. - Courbes de
régression théoriques et les 2 droites
ajustées aux courbes de régression.
théoriques
dans le cas de N = 5. Nous avons :Finalement,
les formules(5)
nous donnent cecoeffi-cient de corrélation
qui,
sous forme d’un termeunique,
doit caractériser notredécomposition,
ainsi quel’espérance
mathématique s (r’
B1)
du coefficient observédans
le cas de n observations et l’écartquadratique
(j2( r’ 111)
dpr1 ~
1’ °Nous avons :
La formule
(6)
nousdonne,
enoutre,
lerapport
de(4)
corrélation de xz en Yj.De l’ensemble des formules
(1)
et(6)
sedégagent
les conclusions suivantes :
I. Dans les moments de notre dis-tribution
(1)
sereproduisent
la moyenne et lesexponen-340
tielle (3e-x
elle-même. Ils serontdonc,
comme onle
voit,
obtenus par notreprocédé
commeproduits
accessoires.
I I. Le coefficient rl11
qui
en termeunique
carac-térise la
décomposition
en groupes de Nintervalles,
est une fonction
négative
de N dont la valeur absolue s’accroît avec N(voir
la conclusion3, ci-dessous) ;
nilui,
nil’espérance mathématique E(r"111)
der’ 111,
ni les limites de ladernière,
ne contiennentla constante ~3. Ainsi des résultats obtenus sur
des
enregistrements expérimentaux
ayant
descons-tantes ~3 différentes sont immédiatement
compa-rables.
III. Comme nous l’avons dit
plus
haut,
le seul but de notre étude était de nous procurer un termeunique
caractérisant le faitphysique
d’unedécomposition
en groupes de ,N intervalles. Toutefois notre terme
unique,
riii, comme coefficient decorrélation,
nousdonne aussi une certaine mesure de la corrélation
existante entre la
grandeur
et le numéro d’ordre des intervalles.Comme~on
voit par lafigure 2,
la valeurabsolue
de
nu va enaugmentant
avec N :la corrélation devient de
plus
enplus
étroite. Pour N = 1 nous avons riji .--- 0. Iln’y
a pas de liaisonstochastique
entre lagrandeur
et le numéro d’ordre desintervalles,
il y aindépendance
deprobabilité
entre ces deux
caractères,
cequi
estévident,
tous les intervallesportant
le même numérod’ordre,
à savoir« 1 ». La corrélation devient
rapidement
étroite,
déjà
avec N ---- 10 nous arrivons à un
1=
0,613636,
chiffrequi
accuse undegré
considérable de liaisonstochastique,
etcependant
il ne donne encorequ’une
idée insuffisante de l’intensité de cette liaison. C’est
une
qualité
bien connue etgénérale
du coefficient decorrélation,
que de sous-estimer l’intensité de la liaisonstochastique,
si la distribution ne montre pasdes
régressions
linéaires. Dans ce cas, on se référeraavec
avantage
au «rapport
de corrélation »qui
donne,
surtout dans des caslimites,
une mesureplus
précise
que le coefficient de corrélation. Dans le tableausuivant,
nous donnons pour N=1,
2...,
5et 10 les valeurs
comparables
du carré du coeffi-cient de corrélation.Nous voyons que pour des valeurs de N pas
trop
grandes
(nous
n’aurons affaire dans lapratique qu’à
de tellesvaleurs)
le coefficient de corrélation reflèteassez bien le
degré
de la liaisonstochastique.
Soncarré s’identifie pour ~h = let N = 2 avec le
rapport
de corrélationde xi
en yj, faitqui
prouve, pour N=1,
l’indépendance
deprobabilité
men-tionnée ci-dessus et pour N = 2 que la
régression
- de x2
en ya est linéaire.IV. Un autre moyen, pour caractériser notre
décomposition
en groupes de ,lVintervalles,
nous estfourni par la construction des courbes de
régressions
théoriques
et par lacomparaison
avec les courbes derégression
observées.On
peut
construire(voir fig. ~.)
les deux droitesajustées
auxlignes
derégression,
par la méthode desmoindres carrés :
Ces droites
passent
parle
centre degravité
(miio,
la
de la distribution.DEUXIÈME
PARTIEApplication
à l’étude des émissions du Polonium. Sur les conseils de M. J.
Thibaud,
nous avonsappliqué
ceprocédé
à l’un desenregistrements
obtenus par cet auteur(loc.
cit.)
dans son étude surles intervalles d’émission du
polonium.
Le film soumis à notre étude
comprenait
7 420in-tervalles ;
enoutre,
nous avons traitéséparément
le cas des n -=- 2 160
premiers
intervalles de cetenregistrement
pour unecomparaison
ultérieureavec un autre
enregistrement,
de 2 160 intervallescelui-là,
obtenu par J. Thibaud dans des conditionsexpérimentales
différentes.Nous avons
découpé
la bande de n = 7 420341
chacun. De même nous
découpions
lapartie
des2 160
premiers
intervalles en k’ =216, 432,
1 080 ’ groupes de 1V ==10,
5,
2 intervalles chacun(1).
On a
calculé,
dans tous les cas, le coefficient icaractérisant la
décomposition,
sonespérance
mathé-matique
et ladispersion
de Enoutre,
on a déterminé les moyennes liées
(i),
pour lescomparer aux valeurs
théoriques correspondantes
mll ’
21 .
Nous donnons les limites de’21
résul-m 11
2
1I 1P-21
tant des formules
générales
pour ladispersion
des moyennes ainsi que lesdispersions
observées.. ;, ,
10 Résultats obtenus sur n == 7
420,
N = 10 :On reconnaît que le
coefficient
observér’ili
setient
largement
en dedans des limitespermises.
Nous donnons encore
qui
re-produisent,
comme on l’a fait remarquer, la moyenneet l’écart type de la distribution initiale
Le tableau No 1 donne les valeurs observées de
en
comparaison
avec les valeursthéoriques
correspondantes
m1’~ ,
~2’~
et les limitesDans les
figures
3 et4,
nousprésentons
lesdiffé-rences m’l -
(j)
(i),et les limites
rences
mi 1 Mil P-21 - tl2
et les limites(1) Dans ce qui suivra, nous accentuerons les grandeurs
empiriques, pour les distinguer des grandeurs théoriques.
Fig. 3. - Les différences
et les limites
Fig. 4. - Les différences
’-
et le21 121 (
342
TABLEAU 2.
entre
lesquelles
elles devraient se tenir.2° Résultats obtenus sur n =
2 160,
N - - 10 :Le tableau N° 2 nous donne les valeurs :
Sur les
figures
5 et 6 nousprésentons
lesdiffé-rences -
2I
- (1.2B
et les limites 3° Résultats obtenus sur n =2 160,
lh = 5 : 11
1
Fig. 5. -Les différences et les limites l
0,674 B/~(~’)
dans le cas N = 10, n = 2160.‘1-
Observation
"-- Limites
théoriques
Tableau des Tableau N° 3 :
Fig. 6. - Les différences et les
limites = 0,674 dans le cas N = 10, n = 2160. 2013201320132013 Observation
- - - Limites
343
Fig. 9. - Courbes de
régression observées et courbes de régression théoriques.
li
B 201320132013
Courbes de régression observées2013201320132013 Courbes de
régression théoriques
’
Fig. 7. - Les différences et les
limites ± 0,674
~~
1
dans le cas N = 5, n = 2 160._ Observation
_._- Limites théoriques
Sur la
figure
7 sontreprésentées
les diff érencesn
et leslimites ±
0,674
~
(M (i),
La
figure
8 donne ladécomposition
de la courbe desprobabilités
totales et desfréquences
totales de la distributioninitiale p e-- %x
dans lescinq
courbes desprobabilités
etfréquences
totalescorrespondant
aux yj =1, 2..., 5.
Enfin la
figure
9 donne les courbes derégression
observées encomparaison
avec les courbes deré-gression
théoriques.
La
figure
10représente
comparativement
la pro-babilité totale 1 - e- P x de et lesfréquences
totales observées.La
figure
11 donne ladécomposition
de la fonction deprobabilité
totale dans le cas de lV = 5.40 Résultats obtenus sur n =
2 160,
7V =-= 2 :I (i) 0
Tableau des
mil.
Tableau Nu 4 :Fig. 8. - Décomposition de la courbe de probabilité totale et des fréquences totales dans le cas N
344
Fig. 10. - Fonction de probabilité totale 1 --- e -,3 x et fréquences totales observées.
Conclusions. - L’ensemble des intervalles suit la
distribution pe-Px.
Cela résulte des indicationssur ti2lo et de la
figure
10qui
donneles
fréquences
totales observées encomparaison
avec la courbe de
probabilité
totale.’
Les coefficients
r’ 1B1
caractérisant ladécompo-sition dans les divers cas N =
2, 5,
10 tombent sansexception
dans les limitespermises.
Cela nous mène à la conclusion que la loiexponentielle déjà
vérifiée pour l’ensemble des intervalles sereproduit
en toutFig. 11. -
Décomposition de la fonction de probabilité totale
1-e-,Bxdansle cas de N = 5.
moment,
et pour depetits
groupesd’intervalles,
fait
qui
prouve son caractèrestatistique.
Toutefois ladécomposition
en des groupes de N = 5 intervallesprésentée
par lafigure
8 décèle certainesparticu-larités sur
lesquelles
nous allons insister.On reconnaît par la
figure
7 et le tableau 3 que les intervalles du numéro d’ordre 1(les
plus grands
dans un groupe de ,N =5)
sont en moyenneplus
petits,
ceux du numéro d’ordre 2plus grands
que la théorie ne leprévoit.
Enoutre,
les intervalles dunuméro d’ordre 4 sont
plus
petits,
ceux du numéro~
(Tordre 5
plus grands,
que les intervallesthéoriques.
Si l’accordgénéral
entre la théorie et l’observation n’était pas trèsbon,
on serait par suite tenté deparler
d’unecompensation.
Une telletendance,
bien que trèslégère,
résulterait aussi du tableau4, qui
montre que dans le classement en groupes de 2intervalles,
le
grand
intervalle en moyenne esttrop
petit,
lepetit
intervalle en moyenne esttrop
grand.
La même tendance se
reproduit
aussi dans lesfigures
3 et 5 pour le classement en groupe de N= 10,
et cela autant pour les 2 160
premiers
intervalles que pour l’ensemble des 7 420. Toutefois nous nevoulons pas
insister,
puisque
l’accordgénéral
entrethéorie et observation est assez
bon,
comme celarésulte aussi de la
figure 9, qui
donne les courbes derégression
observées et les courbes derégression
théoriques.
. Nous remercions M. le
professeur
Thibaud,
direc--teur de l’Institut de
Physique atomique, qui
a misà notre
disposition
sesenregistrements
expérimen-taux, pour les
encouragements
et les conseilsprécieux
qu’il
nous aprodigués,
ainsi que M. A.Leprince,
_pour l’aide
qu’il
nous aapportée
dansl’étude,
assezlongue,
du matérielexpérimental.
_
