Sur les intervalles de confiance bilatéraux en modèle exponentiel discret

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Preprint submitted on 23 Mar 2013

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Sur les intervalles de confiance bilatéraux en modèle exponentiel discret

Francis Maisonneuve

To cite this version:

Francis Maisonneuve. Sur les intervalles de confiance bilatéraux en modèle exponentiel discret. 2013.

�hal-00803849�

Sur les intervalles de confiance bilat´eraux en mod`ele exponentiel discret

Francis Maisonneuve

MINES ParisTech

R´ esum´ e

La construction d’intervalles de confiance pour le param` etre d’un mod` ele exponentiel pose un probl` eme structurel dans le cas discret. On cherche dans cette ´ etude ` a r´ eduire autant qu’il est possible les intervalles fournis par la proc´ edure standard, tout en conservant une propri´ et´ e naturelle d’emboˆıtement d´ egag´ ee par H. Blaker. On obtient par une d´ emarche fort diff´ erente des r´ esultats voisins des siens.

Abstract

About Bilateral Confidence Intervals for Discrete Exponential Families

The definition of confidence intervals for the parameter of an exponential family raises a structural problem in the discrete case. The aim of this study is to reduce as much as possible intervals provided by the standard procedure, while preserving a natural nesting condition outlined by H. Blaker. We obtain, by a quite different approach, results similar to his own.

1. Introduction

L’estimation par intervalles de confiance bilat´ eraux du param` etre r´ eel d’un mod` ele est un probl` eme classique, qui n’a pas dans le cas discret de solution parfaite dans le cadre de la statistique fr´ equentiste. Le cas binomial en particulier a donn´ e lieu ` a de nombreuses propositions de m´ ethodes et variantes : formules asymptotiques (Wald et Wilson avec ou sans correction de continuit´ e), m´ ethodes ` a couverture exacte (Clopper-Pearson [3]) ou en moyenne (Agresti et Coull [1]), proc´ edures bay´ esiennes (Jeffreys), intervalles randomis´ es (Stevens [7]) ou flous (Geyer and Meeden [5]). . .

Plutˆ ot que la d´ emarche habituelle par inversion d’un test bilat´ eral ´ equilibr´ e bien choisi, nous par- tons d’une fonction pivotale d´ efinie sur mesure, qui nous permet en section 2 de retrouver plusieurs des m´ ethodes classiques et de proposer une m´ ethode de r´ eduction des intervalles de confiance standards en conservant la couverture exacte. Le cas binomial illustre en section 3 les r´ esultats obtenus.

Soit T = τ(X 1 , . . . , X n ) la statistique canonique d’un mod` ele exponentiel relatif ` a une variable r´ eelle

discr` ete X , de param` etre θ ∈ Θ intervalle ouvert. Le mod` ele image par T est aussi exponentiel, de mesure

dominante discr` ete µ port´ ee par ∆ ^d´ = ^ef

t ∈ R : µ({t}) > 0 . On sait que, quitte ` a remplacer T par −T , le rapport f _θ ^T

2

/f _θ ^T

1

des densit´ es de T par rapport ` a µ est pour tout θ <sub>1</sub> < θ <sub>2</sub> une fonction croissante de t ; et que, ` a t ∈ R fix´ e, f _t ^T (θ) ^d´ = ^ef f _θ ^T (t) = e ^{n [α(θ) t+β(θ)]} est une fonction de θ strictement monotone ou unimodale sur Θ, du fait que son logarithme est strictement concave en param´ etrisation canonique.

Notons pour tout θ ∈ Θ, F _θ ^g (t) ^d´ = ^ef P _θ (T ≥ t) et F _θ ^d (t) ^d´ = ^ef P _θ (T > t) (F _θ ^g ≥ F _θ ^d ),

les versions continues ` a gauche et ` a droite de la fonction de r´ epartition compl´ ementaire de T , qui diff` erent en tout t ∈ ∆ de la quantit´ e P θ (T = t) = f <sub>θ</sub> <sup>T</sup> (t) µ({t}) > 0. Comme µ est discr` ete, les variables compos´ ees F _θ ^d (T ) et F _θ ^g (T ) ne sont plus que des approximations (non diffuses) d’une variable uniforme sur ]0, 1[ , qui de plus d´ ependent de θ. On obtient une vraie fonction pivotale par m´ elange al´ eatoire :

Proposition 1.1 Soit T une variable r´ eelle de fonctions de r´ epartition compl´ ementaires continue ` a droite F <sup>d</sup> et ` a gauche F ^g ≥ F ^d ; et soit U une variable uniforme sur ]0, 1[ ind´ ependante de T .

La variable compos´ ee ψ(T, U) ^d´ = (1 ^ef − U ) F ^d (T ) + U F ^g (T ) v´ erifie ψ(T, U) ≡

^L

U . Preuve Il suffit de montrer que P ψ(T, U ) < y

= y en tout point y ∈ ]0, 1[. On suppose d’abord que y = F ^d (t) pour un t ∈ R, et on pose ¯ t = sup{s ≥ t : F ^d (s) = F ^d (t)}. On a {ψ(T, U ) < F ^d (t)} = {T > ¯ t } si F ^d (t) = F ^d (¯ t ) (c’est le cas si ¯ t = t ou si pas de saut en ¯ t > t), et {ψ(T, U) < F ^d (t)} = {T ≥ ¯ t } si F ^d (t) = F ^g (¯ t ) > F ^d (¯ t ), car U < 1 ; d’o` u le r´ esultat. On suppose ensuite que y = F ^d (t)+u F ^g (t)−F ^d (t) pour un t ∈ R et un u ∈ ]0, 1] ; on a {ψ(T, U) < y} = {T > t} ] {T = t} ∩ {U < u}

, de sorte que P ψ(T, U) < y

= F ^d (t) + u F ^g (t) − F ^d (t)

= y ; d’o` u ` a nouveau le r´ esultat. 2 Ainsi l’application ψ θ (t, u) ^d´ = (1 ^ef − u) F _θ ^d (t) + u F _θ ^g (t) = F _θ ^d (t) + u P θ (T = t)

v´ erifie ψ θ (T, U) ≡

^L

U d’apr` es la proposition : ψ est donc une fonction pivotale intrins` eque au mod` ele exponentiel, mais qui d´ epend d’une variable suppl´ ementaire u ∈ [0, 1]. On sait qu’` a t fix´ e, les applications F _t ^d et F _t ^g sont continues et croissantes (au sens large) sur Θ (croissance stochastique). Soit I le plus petit intervalle ouvert de R dont l’adh´ erence contient ∆ ; comme f _θ ^T > 0 partout, on a I = {0 < F _θ ^d ≤ F _θ ^g < 1}

pour tout θ ∈ Θ, et on peut pr´ eciser que F _t ^d et F _t ^g sont strictement croissantes pour tout t ∈ I : en effet la croissance de F _t ^d et F _t ^g s’´ etablit classiquement en montrant que pour tous θ ₁ < θ ₂ dans Θ, on a (F d´ esignant ici F ^g ou F ^d )

∀t ∈ R,







F _θ

₂

(t) ≥ λ _t F _θ

₁

(t)

1 − F _θ

₂

(t) ≤ λ _t 1 − F _θ

₁

(t) o` u λ t = f _θ ^T

2

(t) f _θ ^T

1

(t) ,

du fait de la croissance de l’application s ∈ R 7→ λ s ; de sorte que F θ

₂

(t) ≥ F θ

₁

(t), d’apr` es la premi` ere in´ egalit´ e si λ t ≥ 1 et d’apr` es la seconde in´ egalit´ e si λ t < 1. Supposons par l’absurde l’existence d’un t ∈ I tel que F t est constante sur un intervalle non trivial de Θ ; pour tous θ 1 < θ 2 dans cet intervalle, l’´ egalit´ e F θ

₁

(t) = F θ

₂

(t) impliquerait dans les in´ egalit´ es ci-dessus λ t = 1 et donc f _θ ^T

1

(t) = f _θ ^T

2

(t), puisque t ∈ I exclut qu’on ait F θ

₁

(t) = F θ

₂

(t) ∈ {0, 1}. La fonction f _t ^T serait donc aussi constante sur l’intervalle en question, contradiction car f _t ^T est strictement monotone ou unimodale sur Θ. En cons´ equence l’application ψ _(t,u) : θ ∈ Θ 7−→ ψ _θ (t, u) est aussi continue et croissante sur Θ pour tout (t, u) ∈ R × [0, 1] fix´ e, avec croissance stricte pour t ∈ I.

L’intervalle I n’est pas porteur de µ d` es que ∆ a un minimum t _min ou un maximum t _max . Dans le premier cas, on a F _t ^g

min

(θ) = 1 pour tout θ ∈ Θ. Comme 1 = F _t ^g

min

= F _t ^d

min

+ µ({t _min }) f _t ^T

min

avec F _t ^d

min

croissante, f _t ^T

min

est par ´ elimination strictement d´ ecroissante, et donc F _t ^d

min

ainsi que ψ _(t

_min

_,u) pour tout u ∈ [0, 1[

sont strictement croissantes sur Θ. De mani` ere analogue dans le second cas, F _t ^g

_max

= 0 + µ({t max }) f _t ^T

max

, donc f _t ^T

_max

, F _t ^g

_max

ainsi que ψ _(t

_max

_,u) pour tout u ∈ ]0, 1] sont strictement croissantes sur Θ.

On fait les hypoth` eses compl´ ementaires (couramment v´ erifi´ ees) d’´ etalement de F ^g et F ^d , qui permettent d’´ eviter tout paradoxe apparent dans l’usage de la fonction pivotale ψ

2

∀t ∈ I,







inf F _t ^g (Θ) = 0 sup F _t ^d (Θ) = 1

, si ∃t min ,







inf F _t ^d

_min

(Θ) = 0 sup F _t ^d

_min

(Θ) = 1

et si ∃t max ,







inf F _t ^g

_max

(Θ) = 0 sup F _t ^g

_max

(Θ) = 1

;

de sorte que ∀(t, u) ∈ I × [0, 1], ψ _(t,u) (Θ) = ]0, 1[ . Comme ∀t ∈ ∆, µ({t}) f _t ^T = F _t ^g − F _t ^d , on en d´ eduit

∀t ∈ I ∩∆, lim g f _t ^T = lim d f _t ^T = 0 (limites en les extr´ emit´ es gauche et droite de Θ) et f _t ^T est unimodale. Si

∆ a un minimum t min , on conclut lim d f _t ^T

_min

= 0 ; et si ∆ a un maximum t max , on conclut lim g f _t ^T

_max

= 0.

2. Divers intervalles de confiance li´ es ` a la fonction pivotale

Fixons un niveau de confiance γ ∈ ]0, 1[ et consid´ erons l’intervalle associ´ e B = 1−γ 2 , ^1+γ ₂

` a risque

´

equilibr´ e

. Comme ∀(t, u) ∈ ∆× ]0, 1[ , ψ _(t,u) est continue et strictement croisssante, {ψ (t,u) ∈ B} est un intervalle ouvert

θ ¹ _(t,u) , θ _(t,u) ²

, ´ eventuellement vide si t = t min ou t = t max , avec θ ¹ _(t,u) et θ _(t,u) ² caract´ eris´ es par : ∀t ∈ I ∩ ∆ , ψ (t,u) θ ¹ _(t,u)

= 1 − γ

2 et ψ (t,u) θ ² _(t,u)

= 1 + γ 2 ; mˆ eme chose si possible pour t min et t max , sinon θ _(t ¹

min

,u) = inf Θ ≤ θ ² _(t

min

,u) et θ _(t ¹

max

,u) ≤ sup Θ = θ ² _(t

max

,u) . Comme ∀θ ∈ Θ, U ≡

^L

ψ θ (T, U) = ψ _{(T ,U)} (θ) et {ψ _{(T ,U)} (θ) ∈ B} =

θ ¹ _{(T ,U)} , θ _{(T ,U)} ²

3 θ , on a

∀θ ∈ Θ, γ = P _θ

θ ¹ _{(T ,U)} , θ _{(T ,U)} ² 3 θ

= Z

R×

]0,1[

1 _]θ

1

(t,u)

, θ

²_(t,u)

[ (θ) f _θ ^T (t) dµ(t) du ; soit γ = X

t∈∆

P _θ (T = t) Θ e ^γ _t (θ) o` u Θ e ^γ _t (θ) ^d´ = ^ef Z 1

0

1 _]θ

1

(t,u)

, θ

²_(t,u)

[ (θ) du .

Pour tous t ∈ ∆, l’application Θ e ^γ _t , ` a valeurs dans [0, 1], est ainsi un intervalle flou de support et noyau

Θ e ^γ _t > 0 = [

0<u<1

θ _(t,u) ¹ , θ ² _(t,u)

= θ ˆ ¹ _t , θ ˆ ² _t et

Θ e ^γ _t = 1 = \

0<u<1

θ _(t,u) ¹ , θ ² _(t,u)

= θ ˇ ¹ _t , θ ˇ _t ² pour ˆ θ ¹ _t ^d´ = lim ^ef

u→1 θ ¹ _(t,u) , ˆ θ _t ^{2 d´} = lim ^ef

u→0 θ ² _(t,u) , ˇ θ ¹ _t ^d´ = lim ^ef

u→0 θ _(t,u) ¹ et ˇ θ ² _t ^d´ = lim ^ef

u→1 θ ² _(t,u) (avec θ ˇ ¹ _t , θ ˇ ² _t

= ∅ si ˇ θ ¹ _t > θ ˇ ² _t ) ; en effet la croissance (stricte) de la fonction affine u 7→ ψ _θ (t, u) pour (t, θ) ∈ ∆×Θ entraine la d´ ecroissance de u 7→ θ _(t,u) ¹ et u 7→ θ _(t,u) ² (stricte pour t ∈ I ∩ ∆).

En cons´ equence ∀t ∈ ∆ les deux valeurs ˆ θ _t ¹ < θ ˆ _t ² , sont caract´ eris´ es par pour t 6= t min , F _t ^g (ˆ θ _t ¹ ) = 1 − γ

2 et ˆ θ ¹ _t

_min

= inf Θ ; pour t 6= t max , F _t ^d (ˆ θ ² _t ) = 1 + γ

2 et ˆ θ ² _t

_max

= sup Θ ; et les deux valeurs ˇ θ ¹ _t et ˇ θ _t ² , telles que ˇ θ _t ¹ , θ ˇ _t ² ∈ θ ˆ ¹ _t , θ ˆ ² _t

pour t ∈ I ∩ ∆, sont caract´ eris´ ees par pour t 6= t max , F _t ^d (ˇ θ ¹ _t ) = 1 − γ

2 et ˇ θ ¹ _t

_max

= sup Θ ; pour t 6= t min , F _t ^g (ˇ θ ² _t ) = 1 + γ

2 et ˇ θ ² _t

_min

= inf Θ . La d´ ecroissance stricte en t et la croissance en θ des applications F ^g et F ^d sur ∆ × Θ assurent que les 4 applications t 7→ θ ˆ ¹ _t , t 7→ θ ˆ _t ² , t 7→ θ ˇ ¹ _t et t 7→ θ ˇ ² _t sont strictement croissantes sur ∆. On note que l’application F _t ^d +F _t ^g ´ etant pour tout t ∈ I ∩ ∆ continue , strictement croissante sur Θ et d’image ]0, 2[ , il existe une unique valeur θ ^med _t de θ, l’estimation T -m´ ediane ponctuelle de θ sachant t ∈ I ∩ ∆, telle que

F _t ^d + F _t ^g

(θ ^med _t ) = 1 ⇐⇒ P _θ

med

t

(T < t) = P _θ

med

t

(T > t).

On v´ erifie ais´ ement que ∀γ ∈ ]0, 1[ , on a θ ^med _t ∈

min(ˇ θ ¹ _t , θ ˇ ² _t ) , max(ˇ θ ¹ _t , θ ˇ ² _t )

⊂ θ ˆ ¹ _t , θ ˆ ² _t ,

avec

Θ e ^γ _t = 1 = θ ˇ ¹ _t , θ ˇ ² _t

6= ∅ ⇐⇒ θ ˇ ¹ _t ≤ θ ^med _t ≤ θ ˇ ² _t ⇐⇒ γ ≥ P _θ

med

t

(T = t).

En fait on veut disposer de vrais intervalles pour l’estimation de θ sachant t. Une premi` ere solution serait de se r´ ef´ erer directement ` a l’intervalle al´ eatoire de confiance randomis´ e

θ _{(T ,U)} ¹ , θ ² _{(T ,U)}

, de niveau pr´ ecis γ, pour retenir l’intervalle

θ ¹ _(t,u) , θ ² _(t,u)

. Mais il parait inacceptable que pour une mˆ eme r´ ealisation

t ∈ ∆ de T , l’intervalle de confiance de θ puisse varier au gr´ e d’une valeur al´ eatoire u ind´ ependante du

mod` ele ´ etudi´ e et qui ne porte en cons´ equence aucune information le concernant ! On cherche ` a d´ efinir de vrais intervalles de confiance d´ eterministes. Une seconde solution plus int´ eressante est de remarquer que

∀(t, u) ∈ ∆× ]0, 1[ , θ ˆ _t ¹ , θ ˆ ² _t

⊇

θ ¹ _(t,u) , θ ² _(t,u) = ⇒ θ ˆ ¹ _T , θ ˆ _T ²

⊇

θ _{(T ,U)} ¹ , θ ² _{(T ,U)} . On a donc ∀θ ∈ Θ, P θ θ ˆ ¹ _T , θ ˆ _T ²

3 θ

≥ γ, ce qui exprime qu’on peut attribuer ` a l’intervalle al´ eatoire Θ b ^γ _T ^d´ = ^ef θ ˆ ¹ _T , θ ˆ ² _T

un niveau de confiance au moins ´ egal ` a γ. On retrouve ici la m´ ethode standard de couver- ture exacte, qui a l’inconv´ enient d’ˆ etre conservatrice car les intervalles Θ b ^γ _t associ´ es sont surdimensionn´ es.

On va s’employer dans la suite ` a les r´ eduire de mani` ere fine sous la contrainte de couverture exacte. Pour cela on se r´ ef` ere ` a la formule de calcul

∀θ ∈ Θ , P θ θ ˆ _T ¹ , θ ˆ ² _T 3 θ

= X

t∈∆ : ˆ θ

_t¹

<θ< θ ˆ

²_t

P θ (T = t), (1)

et on cherche ` a d´ efinir au mieux θ ¹ _t < θ ² _t dans θ ˆ ¹ _t , θ ˆ ² _t

pour tout t ∈ ∆, v´ erifiant encore P θ

θ ¹ _T , θ ² _T 3 θ

= X

t∈∆ : θ

¹_t

<θ<θ

_t²

P θ (T = t) ≥ γ

pour presque tout θ ∈ Θ (au sens de sauf pour un nombre au plus d´ enombrable de θ) : on dira alors que l’intervalle al´ eatoire Θ ^γ _T ^d´ = ^ef

θ ¹ _T , θ ² _T

est ` a couverture presque exacte.

On suppose dor´ enavant que ∆ est fini ou localement fini, de sorte que chaque t ∈ ∆ a un pr´ ed´ ecesseur not´ e t

₋

(si t 6= t min ) et un successeur not´ e t + (si t 6= t max ). Comme {T ≥ t} = {T > t

₋

} et {T ≥ t + } = {T > t}, on a F _t ^d

₋

θ ˆ ² _t

₋

= 1 + γ

2 = F _t ^g θ ˇ _t ²

= F _t ^d

₋

θ ˇ ² _t

et F _t ^g

₊

θ ˆ ¹ _t

₊

= 1 − γ

2 = F _t ^d θ ˇ _t ¹

= F _t ^g

₊

θ ˇ ¹ _t

; de sorte que ˆ θ ² _t

₋

= ˇ θ ² _t (si t 6= t min ) et ˆ θ ¹ _t

₊

= ˇ θ _t ¹ (si t 6= t max ). La formule ´ el´ ementaire (1) se pr´ ecise alors en

∀θ ∈ Θ , γ ≤ P _θ θ ˆ _T ¹ , θ ˆ ² _T 3 θ

= X

t∈∆ : t

⁰≤t≤t⁰⁰

P _θ (T = t) = F _t ^g

0

(θ) − F _t ^d

00

(θ) o` u







θ ˇ _t ²

0

≤ θ < θ ˆ ² _t

0

θ ˆ _t ¹

00

< θ ≤ θ ˇ ¹ _t

00

, (2)

ces derni` eres in´ egalit´ es caract´ erisant t

⁰

< t

⁰⁰

dans ∆. On d´ emontre : Th´ eor` eme 2.1 Soient t

⁰

< t

⁰⁰

dans ∆ ; l’´ equation sur Θ F _t ^g

00

+ F _t ^d

0

(θ) = 1 a une unique solution θ _t ^t

⁰00

, et on a θ ˆ _t ¹

00

< θ ˆ ² _t

0

(avec θ _t ^t

⁰00

∈ θ ˆ _t ¹

00

, θ ˆ ² _t

0

) si et seulement si γ > b γ ^t _t

00⁰

d´ ef

= (F _t ^d

0

− F _t ^g

00

) θ ^t _t

00⁰

, o` u b γ ^t _t

00⁰

∈ [0, 1[ . Pour tous γ ∈ ]0, 1[ et t

⁰⁰

∈ ∆, soit t

⁰

< t

⁰⁰

l’unique ´ el´ ement de ∆ tel que θ ˇ ² _t

0

≤ θ ˆ _t ¹

00

< θ ˆ ² _t

0

. On pose :

θ ¹ _t

00

= la plus grande valeur de θ ∈ θ ˆ _t ¹

00

, min θ _t ^t

⁰00

, θ ˇ ¹ _t

00

telle que (F _t ^g

0

− F _t ^g

00

)(θ) ≥ γ sur θ ˆ _t ¹

00

, θ . Pour tous γ ∈ ]0, 1[ et t

⁰

∈ ∆, soit t

⁰⁰

> t

⁰

l’unique ´ el´ ement de ∆ tel que θ ˆ ¹ _t

00

< θ ˆ ² _t

0

≤ θ ˇ _t ¹

00

. On pose :

θ ² _t

0

= la plus petite valeur de θ ∈

max θ ^t _t

00⁰

, θ ˇ ² _t

0

, θ ˆ ² _t

0

telle que (F _t ^d

0

− F _t ^d

00

)(θ) ≥ γ sur θ, θ ˆ ² _t

0

. Alors Θ ^γ _T =

θ _T ¹ , θ _T ²

est ` a couverture presque exacte. De plus ∀t ∈ ∆, l’application γ ∈ ]0, 1[ 7→ Θ ^γ _t est croissante (propri´ et´ e naturelle d’ emboˆıtement des intervalles) et on a

Θ e ^γ _t = 1 ⊆ Θ ^γ _t ⊆ Θ b ^γ _t =

Θ e ^γ _t > 0 . Preuve La fonction F _t ^g

00

+F _t ^d

0

est continue et strictement croissante sur Θ, d’image ]0, 2[ ; d’o` u l’existence et l’unicit´ e de θ ^t _t

⁰00

. On a t

⁰⁰

≥ t

⁰

₊ , donc F _t ^g

00

≤ F _t ^g

0

+

= F _t ^d

0

et b γ _t ^t

00⁰

∈ [0, 1[ . Et comme F _t ^g

00

θ _t ^t

⁰00

= ¹⁻ b ^γ

t0 t00

2 et F _t ^d

0

θ ^t _t

00⁰

= ¹⁺ b ^γ

t0 t00

2 , on a l’´ equivalence avanc´ ee, par d´ efinition de ˆ θ ¹ _t

00

, ˆ θ _t ²

0

et croissance stricte de F _t ^g

00

et F _t ^d

0

. 1) Consid´ erons d’abord tous les couples (t

⁰

, t

⁰⁰

) ∈ ∆ ² tels que t

⁰

< t

⁰⁰

et ˇ θ _t ²

0

≤ θ ˆ ¹ _t

00

< θ ˆ ² _t

0

≤ θ ˇ _t ¹

00

(figure 1).

On a (formule (2)) ∀θ ∈ θ ˆ ¹ _t

00

, θ ˆ ² _t

0

, F _t ^g

0

(θ) − F _t ^d

00

(θ) = P θ θ ˆ ¹ _T , θ ˆ ² _T 3 θ

≥ γ. Remplacer ˆ θ ¹ _t

00

et θ ˆ ² _t

0

par θ _t ¹

00

et θ ² _t

0

permet de r´ eduire

au mieux

(cf. la remarque 1 ci-dessous) les intervalles de confiance de θ sous la contrainte de couverture exacte (sauf en θ _t ^t

⁰00

si θ _t ¹

00

= θ ² _t

0

= θ _t ^t

⁰00

) ; en effet les niveaux de confiance des θ affect´ es sont :

4

(t ⁰⁰ ) (t ⁰⁰ ₊ ) Θ (t ⁰ )

Θ (t ⁰ ₋ )

θ ˆ ^t _t

00⁰

[ θ ˆ ² _t

0

[ θ ² _t

0

] θ ˆ _t ¹

00

] θ ¹ _t

00

] θ ˇ ¹ _t

00

ˇ [ θ ² _t

0

Figure 1. Cas de chevauchement minimal des intervalles b ^Θ

γ t⁰

et b ^Θ

γ t⁰⁰



 

 

 

 

pour θ ∈ θ ˆ ¹ _t

00

, θ _t ¹

00

, θ 6= θ ^t _t

00⁰

, X

t∈∆, t

⁰≤t<t⁰⁰

P θ (T = t) = F _t ^g

0

(θ) − F _t ^g

00

(θ) ≥ γ pour θ ∈

θ ² _t

0

, θ ˆ ² _t

0

, θ 6= θ ^t _t

⁰00

, X

t∈∆, t

⁰

<t≤t

⁰⁰

P _θ (T = t) = F _t ^d

0

(θ) − F _t ^d

00

(θ) ≥ γ .

De plus vu leurs d´ efinitions θ _t ¹

00

croˆıt et θ ² _t

0

d´ ecroˆıt quand γ d´ ecroˆıt, jusqu’` a atteindre la valeur commune θ _t ^t

⁰00

` a partir d’un certain γ _t ^t

⁰00

et rester stables jusqu’` a la valeur b γ _t ^t

00⁰

≤ γ _t ^t

⁰00

o` u ils sont rejoints par ˆ θ ¹ _t

00

et ˆ θ ² _t

0

.

2) Consid´ erons ensuite les t

⁰⁰

∈ ∆ \ {t max } pour lesquels il existe t

⁰

< t

⁰⁰

(t

⁰

unique dans ∆) tel que θ ˇ _t ²

0

≤ θ ˆ ¹ _t

00

< θ ˇ _t ¹

00

= ˆ θ ¹ _t

00

+

< θ ˆ ² _t

0

; pour eux θ _t ²

0

∈ θ ˆ _t ¹

00

+

, θ ˆ ² _t

0

a ´ et´ e d´ efini ` a l’´ etape 1. A t

⁰

fix´ e les θ ¹ _t

00

∈ θ ˆ ¹ _t

00

, θ ˆ ¹ _t

00 +

respectent entre eux les mˆ emes in´ egalit´ es que les ˆ θ _t ¹

00

, en ´ etant tous inf´ erieurs au θ _t ¹

00

0

relatif au t

⁰⁰

₀ du couple (t

⁰

, t

⁰⁰

₀ ) d´ etermin´ e

`

a l’´ etape 1, qui succ` ede aux t

⁰⁰

consid´ er´ es ici ; et la d´ efinition des θ ¹ _t

00

assure qu’ils croissent quand γ d´ ecroˆıt. On a des r´ esultats analogues pour les t

⁰

∈ ∆ \ {t min } pour lesquels il existe t

⁰⁰

> t

⁰

(t

⁰⁰

unique dans ∆) tel que ˆ θ _t ¹

00

< θ ˆ ² _t

0

−

= ˇ θ ² _t

0

< θ ˆ ² _t

0

≤ θ ˇ ¹ _t

00

, en changeant le signe des in´ egalit´ es. Et les mˆ emes consid´ erations qu’` a l’´ etape 1 sur les niveaux de confiance des θ affect´ es permettent de conclure que Θ ^γ _T ^d´ = ^ef

θ _T ¹ , θ _T ²

est bien ` a couverture presque exacte. 2

Remarque 1 La condition θ ¹ _t

00

(≤ θ ^t _t

00⁰

) ≤ θ ² _t

0

qui assure le maintien local des chevauchements entre inter- valles ` a l’´ etape 1 ci-dessus est indispensable, car sinon on aurait :

– soit θ _t ²

0

, θ ¹ _t

00

⊆ θ ˆ ¹ _t

00

, θ ˆ _t ²

0

, et le niveau de confiance des θ ∈ θ ² _t

0

, θ ¹ _t

00

serait X

t∈∆ , t

⁰

<t<t

⁰⁰

P _θ (T = t) = F _t ^d

0

(θ) − F _t ^g

00

(θ) < F _t ^d

0

θ ˆ _t ²

0

− F _t ^g

00

θ ˆ ¹ _t

00

= 1 + γ

2 − 1 − γ 2 = γ.

– soit θ ¹ _t

00

> θ ˆ _t ²

0

et le niveau de confiance des θ ∈ θ ˆ ² _t

0

, θ ¹ _t

00

voisins de θ ˆ ² _t

0

serait X

t∈∆, t

⁰

<t<t

⁰⁰

P θ (T = t) = F _t ^d

0

(θ) − F _t ^g

00

(θ) ≈ F _t ^d

0

θ ˆ ² _t

0

− F _t ^g

00

θ ˆ _t ²

0

< F _t ^d

0

θ ˆ _t ²

0

− F _t ^g

00

θ ˆ ¹ _t

00

= γ par continuit´ e de F _t ^d

0

et F _t ^g

00

et croissance stricte de F _t ^g

00

.

– soit θ ² _t

0

< θ ˆ _t ¹

00

et mˆ eme conclusion pour le niveau de confiance des θ ∈ θ ² _t

0

, θ ˆ ¹ _t

00

voisins de θ ˆ _t ¹

00

. Remarque 2 On a θ ¹ _t

00

> θ ˆ _t ¹

00

d` es que θ ˇ ² _t

0

< θ ˆ ¹ _t

00

: en effet cette in´ egalit´ e assure

F _t ^g

0

θ ˆ _t ¹

00

− F _t ^g

00

θ ˆ ¹ _t

00

> F _t ^g

0

θ ˇ _t ²

0

− F _t ^g

00

θ ˆ ¹ _t

00

= 1 + γ

2 − 1 − γ

2 = γ si t

⁰

6= t _min , et F _tmin ^g θ ˆ ¹ _t

00

− F _t ^g

00

θ ˆ ¹ _t

00

= 1 − 1 − γ

2 > γ ; on a donc aussi F _t ^g

0

− F _t ^g

00

> γ au voisinage (droit) de θ ˆ ¹ _t

00

par continuit´ e de F _t ^g

0

− F _t ^g

00

. De mˆ eme, on a θ ² _t

0

< θ ˆ _t ²

0

d` es que θ ˇ ¹ _t

00

> θ ˆ _t ²

0

.

Remarque 3 Dans le cas sp´ ecial o` u t

⁰

₊ = t

⁰⁰₋

^d´ = ^ef t, on a θ _t ^t

⁰00

= θ ^med _t puisqu’alors F _t ^g

00

+ F _t ^d

0

= F _t ^d + F _t ^g .

Remarque 4 Contrairement au cas des mod` eles de loi µ diffuse, faire tendre γ > 0 vers 0 ne conduit pas ` a des estimations ponctuelles de θ : en effet par principe (presque) aucune valeur possible de θ n’est exclue des estimations par intervalles, autrement dit la r´ eunion de ceux-ci co¨ıncide toujours (presque) avec Θ.

Simplement les intervalles θ ˆ _t ¹ , θ ˆ _t ²

, t ∈ ∆ tendent ` a ˆ etre 2 ` a 2 disjoints et contigus car ∀t ∈ ∆, t 6= t _max , F _t ^d θ ˆ ² _t

= 1 + γ

2 ≈ 1 − γ

2 = F _t ^d θ ˇ ¹ _t

= ⇒ θ ˆ _t ² ≈ θ ˇ _t ¹ = ˆ θ _t ¹

₊

≈ θ ˆ _t ^t

₊

. Pour γ = 0, les intervalles contigus Θ b ^γ _t ^d´ = ^ef θ ˆ ¹ _t , θ ˆ _t ²

, qui pour t ∈ I ∩ ∆ sont les

θ _t ^t

⁻

, θ _t ^t

₊

et contiennent les estimations T -m´ edianes ponctuelles θ _t ^med , apparaissent comme les estimations T-m´ edianes par inter- valles de θ sachant t. Les Θ ^γ _t =

θ _t ¹ , θ ² _t

co¨ıncident avec eux d` es que γ ≤ γ 0 d´ ef

= min

t∈∆\{t

max}

γ ^t _t

₊

: la valeur γ ₀ est le (faible) niveau de confiance qu’on peut accorder ` a ce mode m´ edian d’estimation du param` etre.

3. Exemple du mod` ele exponentiel des lois binomiales On a ici ∆ =

0, _n ¹ , _n ² , . . . , 1 , µ uniforme de masse n+1 sur ∆, Θ = ]0, 1[ et f _θ ^T (t) = θ ^{n t} (1−θ) ^{n (1−t)} : la loi de n T =

n

X

i=1

X i est binomiale. De plus F _t ^d et F _t ^g v´ erifient les hypoth` eses compl´ ementaires d’´ etalement.

En effet :

– ∀t ∈ I = ]0, 1[ , inf F _t ^g (Θ) = 0 et sup F _t ^d (Θ) = 1 car θ 7→ F _t ^g (θ)

θ et θ 7→ 1 − F _t ^d (θ)

1 − θ sont des polynˆ omes ; – F ₀ ^d (θ) = 1 − (1 − θ) ⁿ , donc inf F ₀ ^d (Θ) = 0 et sup F ₀ ^d (Θ) = 1 ;

– F ₁ ^g (θ) = θ ⁿ , donc inf F ₁ ^g (Θ) = 0 et sup F ₁ ^g (Θ) = 1.

On peut illustrer la d´ emarche en examinant les demi-graphes gauches des applications ε et ˆ ε (figure 2) avec ε(θ) = P θ

θ ¹ _T , θ ² _T 3 θ

=

n

X

j=0

n j

θ ^j (1 − θ) ^n−j 1 _Θ

^γ

j n

(θ) et de mˆ eme ˆ ε(θ) = P θ

θ ˆ _T ¹ , θ ˆ _T ² 3 θ

.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.96 0.97 0.98 0.99 1.00

(a) γ = 0.95, n = 100

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.96 0.97 0.98 0.99 1.00

(b) γ = 0.95, n = 25

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.85 0.90 0.95 1.00

(c) γ = 0.8, n = 5

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

(d) valeur limite γ

₀

≈ 0.3, n = 5

Figure 2. Demi-graphes gauches de ε (m´ ethode propos´ ee ici) et de ε ˆ (m´ ethode standard de Clopper-Pearson)

6

4. Conclusion

En quˆ ete d’une nouvelle proc´ edure d’estimation exacte par intervalles de confiance bilat´ eraux dans le cas discret selon une d´ emarche originale, nous sommes retomb´ es — en la pr´ ecisant l´ eg` erement — sur la proposition de H. Blaker. Sur le plan pratique, cette proc´ edure implique des calculs num´ eriques limit´ es pour la d´ etermination d’un intervalle d’int´ erˆ et ; elle peut donc ˆ etre mise en œuvre aussi bien pour de tr` es petits et pour de grands ´ echantillons, quel que soit le niveau de confiance souhait´ e. L’emploi de m´ ethodes approch´ ees, fond´ ees sur le th´ eor` eme central limite, devrait donc ˆ etre cantonn´ e aux ´ echantillons de tailles vraiment consid´ erables.

R´ ef´ erences

[1] A. Agresti, B. A. Coull, Approximate is better than ”exact” for interval estimation of binomial proportions, Amer.

Statist. 52 (1998) 119-126.

[2] H. Blaker, Confidence curves and improved exact confidence intervals for discrete distributions, Canad. J. Statist. 28 (2000) 783-798.

[3] C. J. Clopper, E. S. Pearson, The use of confidence or fiducial limits illustrated in the case of the binomial, Biometrika 26 (1934) 404-413.

[4] G. Casella, Refining binomial confidence intervals, Canad. J. Statist. 14 (1986) 113-129.

[5] C. J. Geyer, G. D. Meeden, Fuzzy and randomized confidence intervals and P-values, Statistical Science 20 (4) (2005) 358-366.

[6] T. E. Sterne, Some remarks on confidence or fiducial limits, Biometrika 41 (1954) 275-278.

[7] W. L. Stevens, Fiducial limits of the parameter of a discontinuous distribution, Biometrika 37 (1950) 117–129.