Lecture Notes in Physics
Edited by H. Araki, Kyoto, J. Ehlers, Manchen, K. Hepp, Zerich R. Kippenhahn, Menchen, H.A. Weidenmeller, Heidelberg and .I. Zittartz, K01n
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Stochastic Processes in Quantum Theory and Statistical Physics
Proceedings of the International Workshop Held in Marseille, France, June 29-July 4, 1981
Edited by S. Albeverio, Ph. Combe, and M. Sirugue-Collin
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York 1982
Editors
Sergio Albeverio
Mathematisches Institut, IRuhr-Universit~it D-4630 Bochum
Philippe Combe
Madeleine Sirugue-Collin
Centre de Physique Th~orique, CNRS Marseille-Luminy, B.P. 907
F43288 Marseille Cedex 9
ISBN 3-54041956-6 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-38?-11956-6 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin
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© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1982 Printed in Germany
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2153/3140-543210
AVANT-PROPOS
Depuis quelques ann~es, la thgorie des probabilit~s a acquis un statut important en physique math~matique, alors que jusque I~, ses concepts comale ses m~thodes n'avaient jou~ qu'un rSle marginal, ceci m~me en m~canique statistique classique, qui est un domaine naturel pour l'application de telles idles. La
formulation de Gibbs de la m~canique statistique a certainement jou~ un r$1e dans ce ph~nom~ne, dans la mesure oO elle fournissait un outil presque automatique pour calculer les moyennes que les physiciens pouvaient confronter avec l'exp~rience.
D'autre part, la th~orie des probabilit~s n'~tait pas alors d~veloppge comme elle l'est actuellement et son enseignement n'avait pas dans les ~tudes acad~miques une place importante. Cette situation n'a pas chang~ lors du d~veloppement de la m~canique quantique. En effet, s'il y a une interpretation probabiliste de la m~canique quantique, il n'y a pas un espace de probahilit~ sous-jacent.
La r~introduction massive des idles probabilistes s'est faite tout d'abord dans les ann~es soixante en m ~ c a n i q u e statistique classique; plus tardivement en th~orie des champs, quand on a identifi~ la th~orie des champs euclidienne ~ une th~orie de m~canique statistique classique. Aujourd'hui, ces notions ont diffusg m~me chez des physiciens moins proches de la phYSique math~matique, ceci dans la mesure o~ l'on a reconnu que les probabilit~s sont un outil trgs puissant dans l'~tude des s y ~ g m e s ~ grand nombre de degr~s de libertY. Pour ne prendre qu'un exemple, la notion de configuration typique et les algorithmes probabilistes sont maintenant largement utilis~s chez les physiciens qui calculent sur ordinateur les propri~tgs des modules de th~orie de jauge sur r~seau. On peut s'attendre ~ ce que d'autres concepts probabilistes deviennent d~terminants dans la description qualitati- ve et quantitative des systgmes complexes.
A c e point, on peut envisager pour les probabilit~s et les processus stochastiques un r$1e analogue g celui jou~ par l'analyse classlque dans le d~veloppement de la m~eanique au XVlII ~me sigcle. Cependant, il faut remarquer qu'il y a aujourd'hui une situation assez singuli~re : le langage probabiliste ne s'applique pas directement aux theories quantiques dans l'espace-temps rgel. On utilise en effet deux schemas conceptuels diff~rents, l'un pour parler de la r~alit~, l'autre pour faire des calculs dans la rggion euclidienne. II est int~ressant de se demander si cette dichotomie v a s e r~soudre un jour, et comment. On peut rappeler qu'il y a eu dans l'histoire des sciences un illustre precedent : celui du syst~me copernicien qui a ~t~ utilis~, bien avant sa reconnaissance comme description de la r~alit~, comme un instrument efficace de calcul. Notre question n'est pas complgte-
IV
ment acadgmique car une interprgtation rgaliste du langage euclidien est en principe possible : la mgcanique stochastique en offre un exemple.
Dans les travaux qui suivent, on trouvera repr~sentgs diff~rents aspects de la diffusion du langage probabiliste dans la physique th~orique et math~matique contemporaine° On y trouvera aussi des conceptions alternatives des probabilit~s.
Nous esp~rons que ce recueil pourra donner une orientation dans une situation qui est en plein mouvement.
G. JONA-LASINIO M. SIRUGUE
ACKNOWLEDGEMENTS
The Workshop took place~t C.I.R.M., Marseille, from June 29 to July 4, 1981.
We would like to thank all participants and contributors for creating a very stimulating scientific atmosphere. The Workshop would not have been possible without the interest and support of various persons and institutions. Our special thanks are due to Professor Andr4 Aragnol, Director of the C.I.R.M., Professor Mohammed Mebkhout, Doyen de la Facult4 des Sciences de Luminy, Professor Guy Pouzard, President de l'Universit4 de Provence, as well as the Centre National de la Recherche Scientifique, the U.E.R. de Physique Paris VII, and the University of Paris VII.
We are very grateful to Maryse Cohen-Solal for her very invaluable and generous help throughout all stages of the Workshop as well as to Professor Jean-Marie Souriau and the Centre de Physique Th@oriqu% C.N.R.S.~ Luminy, for the material facilities which were put at our disposal.
Marseille, July 1982
THE OROANIZINO COMMITTEE :
S. ALBEVERIO, Ph. COMBE, F. GUERRA, R. HOEGH-KROHN,
0. JONA-LASINIO, G. RIDEAU, R. RODRIOUEZ, M. SIRUOUE, M. SIRUGUE-COLLIN
- C O N T E N T S -
L. A c C A R D I - Q u a n t u m T h e o r y and N o n - K o l m o g o r o v i a n P r o b a b i l i t y . . . 1 J. B E R T R A N D , G. R I D E A U - S t o c h a s t i c J u m p P r o c e s s e s i n the P h a s e S p a c e
R e p r e s e n t a t i o n of Q u a n t u m M e c h a n i c s . . . 13 P. B L A N C H A R D - T r a n s f o r m a t i o n of W i e n e r I n t e g r a l s and the D e s i n g u l a r i z a t i o n
of the C o u l o m b P r o b l e m . . . 19 P. C O L L E T - D y n a m i c a l S y s t e m s w i t h F e w D e g r e e s of F r e e d o m . . . 2 9 I. DAVIS, A. T R U M A N - L a p l a c e E x p a n s i o n s of C o n d i t i o n a l W i e n e r I n t e g r a l s
a n d A p p l i c a t i o n s to Q u a n t u m P h y s i c s . . . 40 G.F. D e A N G E L I S , D. de FALCO, F. G U E R R A - S t o c h a s t i c P r o c e s s e s a n d
F e r m i F i e l d s . . . 56 S. D e G R E G O R I O , E. S C O P P O L A , B. T I R O Z Z I - P e r i o d i c O r b i t s of D y n a m i c a l
S y s t e m s w i t h C h a o t i c B e h a v i o r ... 67 G.E. D e l l ' A N T O N I O - T h e V a n H o v e L i m i t in C l a s s i c a l a n d Q u a n t u m M e c h a n i c s ... 75 M . D . D O N S K E R , S . R . S . V A R A D H A N - L a r g e D e v i a t i o n A s y m p t o t i c s and
the P o l a r o n . . . 111 D. D O R R - A l l T h a t B r o w n i a n M o t i o n . . . .. 119 K . D . E L W O R T H Y , A. T R U M A N - T h e D i f f u s i o n E q u a t i o n and C l a s s i c a l M e c h a n i c s :
A n E l e m e n t a r y F o r m u l a . . . 136 G . G . E M C H - S t o c h a s t i c i t y i n N o n - E q u i l i b r i u m S t a t i s t i c a l M e c h a n i c s . . . 147 W . G . F A R I S - A S t o c h a s t i c P i c t u r e of S p i n . . . 154 J. F R O H L I C H , C . E . P F I S T E R , T. S P E N C E R - O n the S t a t i s t i c a l M e c h a n i c s
of S u r f a c e s . . . 169 M. F U K U S H I M A - A N o t e in I r r e d u c i b i l i t y a n d E r g o d i c i t y of S y m m e t r i c
M a r k o v P r o c e s s e s . . . 200 F. G U E R R A , L. M O R A T O - M o m e n t u m - P o s i t i o n C o m p l e m e n t a r i t y in S t o c h a s t i c
M e c h a n i c s . . . 208 R . L . H U D S O N , R . F . S T R E A T E R - N o n - C o m m u t a t i v e M a r t i n g a l e s and S t o c h a s t i c
I n t e g r a l s in F o c k S p a c e . . . 216 W. K I R S C H , F. M A R T I N E L L I - Some R e s u l t s on the S p e c t r a of R a n d o m S c h r ~ d i n g e r
O p e r a t o r s and T h e i r A p p l i c a t i o n to R a n d o m P o i n t
I n t e r a c t i o n M o d e l s in O n e and T h r e e D i m e n s i o n s ... 223 J . R . K L A U D E R , I. D A U B E C H I E S - W i e n e r M e a s u r e s for Q u a n t u m M e c h a n i c a l
P a t h I n t e g r a l s . . . 245 R. K O T E C K X , S.B. S H L O S M A N - E x i s t e n c e of a F i r s t - O r d e r P h a s e T r a n s i t i o n
for the P o t t s M o d e l . . . 248
Vill
P. KREE - Lagrangians with Anticommuting Arguments for Dirac Fields ... 254 D. MERLINI - High-Temperature Path Method for a Two-Dimensional Random
Ising Model ... 274 J.C. RISSET - Stochastic Processes in Music and Art ... 281 W.R. SCHNEIDER - Hopping Transport in Disordered One-Dimensional Lattice
Systems: R a n d o m Walk in Random M e d i u m ... 289 H. S P O H N - Large Scale Behavior of Equilibrium Time Correlation Functions
for Some Stochastic Ising Models ... 304 R . ~ILELA MENDES - Quantum D i s s i p a t i o n and Stochastic Processes ... 332 List of Contributors and Participants ... 337
