Métrologie des particules

Métrologie des particules

partie 2: Théories

Kuan Fang REN

UMR 6614/ CORIA

CNRS - Université et INSA de Rouen

Théories de diffusion de la lumière

 Théories rigoureuses

• Théorique de Lorenz-Mie

• Théorie de Lorenz-Mie Généralisée

 Modèles et théories approchés

• Optique géométrique

• Diffraction

• Théorie de Rayleigh

• Théorie de Rayleigh-Gans

• . . . . . .

Optique géométrique

Conditions d’utilisation:

l << l

longueur d’onde l est très petite devant la dimension de l’objet l.

1. Propagation rectiligne dans un milieu homogène:

Imagerie

f’

Photographie

d’

d

Condition et applications directes

Optique géométrique – réflexion et réfraction

Réflexion et réfraction sur la surface séparant deux milieux d’indices différents

Lois de Descartes

' i i 

La célérité v dépend de l’indice de réfraction n du milieu:

n c

 v

Réflexion:

sin 'sin n i n  r

Réfraction:

I

i

r n

n’>n

R’

R i’

Milieu plus réfringent Dioptre ou

surface réfractante

Définition et sens physique de l’indice de réfraction

Optique géométrique – réflexion et réfraction

Angle limite

Partie interdite

n’>n n

2 1

2 1

:

/ 1/ 1.333 48.6 / 1/ 1.500 41.8

l l

Exemples

n n i

n n i

  

  

Réflexion totale

Angle limite:

Réflexion total:

n

n’<n

Angle limite Réflexion totale

arcsin '

l

n

i

^_

n

^_

 



i i 

l

Applications

 Fibre optique

• Télécommunication

• Transport de faisceaux lumineux

 Angle critique pour mesure de bulles

 Jauge optique

 Mirage naturel

Optique géométrique – réflexion et réfraction

Propagation d’un rayon lumineux dans un milieu stratifié parallèle:

n

_i

 jusqu’à i

_j

=90°, c-à-d réflexion totale.

n₁ n₂ n₃ n₄ ...

n_p

n

₁

>n

₂

>n

₃

>… >n

_p

i

j

j

sin

j

n i C 

Réflexion totale - applications

Application 1:

Fibre optique

Application 2:

Effet de mirage

grad T grad n

A

A’

Optique géométrique – réflexion et réfraction

 

 

//

cos cos tan

cos cos tan

i t

t i i t

i t t i i t

n n

r n n

   

   

 

 

 



_{i t}

 

ⁱ _i^t _t



i t t i

i i

n n

t n





















 

 

cos sin

cos sin 2 cos

cos cos 2

//

 



i t



t i t

t i i

t t i i

n n

n r n



















 

 

 

 sin

sin cos

cos

cos cos



_iⁱ _t



^t

t t i i

i i

n n

t n















 

 

 sin

cos sin 2 cos cos

cos 2

Équations de Fresnel – relation entre les amplitudes des ondes réfléchie/réfractée et incidente

E

i

E

^r

E

_ⁱ

E

_^r

,

r t

X X

X i X i

X X

E E

r t

E E

 

Relation des amplitudes et des intensités

ou état de polarisation : amplitudes de l'ondeincidente

, amplitudes des ondes réfléchie/réfractée

iX

r r

X X

X E E E



E

t

E

_t

Ei

E

^r

E

_ⁱ

_E

^r



Optique géométrique – réflexion et réfraction

Partie interdite

n’>n n

n n’<n

Tau x de réflex io n d’inten sité r

2

Angle d’incidence

┴ ║

réflexion totale Angle limite

┴ ║

Relation des amplitudes et des intensités

Optique géométrique – application à la diffusion

ds

A

B

Chemin optique:



 B

A n s ds AB ) ( )

 ( d  =n ds

• Différence de phase:   ( AB )  k  r  km r  S

• Absorption: I B ( ) I A ( )exp( 2 k ) I A ( )exp( 2 km S )

i i



    

• Si n est constant:

km r S



  

exp( 2 ) I  I  km S 

Propagation de la lumière dans un milieu:

Chemin optique, phase et intensité

Indice de réfraction complexe:

r i

m  m  im

Optique géométrique – application à la diffusion

A O

B

• Intensité :

où p indique l’ordre de diffusion, X représente l’état de polarisation ( ou || ), r

_X

coefficients de Fresnel.

• Longueur du trajet dans la particule:

• Angle de déviation:

Application à la diffusion par une sphère:

Réflexion et réfraction dans une particule

F E

D C

 ₀

 ₁

Optique géométrique – application à la diffusion

Phases:

• Différence de phase due à la différence de chemin optique :

• Sauts de phase dûs aux : réflexion sur la surface et ligne focale cos sin

sin

i

p p

D d

d

 

 



 

 Facteur de divergence:

car

2 2

0 0

2 2 0

cos sin sin

X i X

s X

s p p

I dS I a d d a

I I D

dS r d d r

      

  

  

Réflexion et réfraction dans une particule

Optique géométrique – application à la diffusion

Diagramme de diffusion d’après l’optique géométrique

• Sphère d’eau

• Polarisation 

• Intensité  

à l’angle d’arc-en-ciel

Sans

interférence entre les

différents modes

Réflexion et réfraction dans une particule

Optique géométrique – application à la diffusion

1.E+00 1.E+02 1.E+04 1.E+06 1.E+08 1.E+10

0 60 120 180

Scatte ring angle [de g.]

S c tt e re d i n te n s it y

total p=0 p=1 p=2 p=3 p=4

Avec interférence entre les différents modes

Diagramme de diffusion d’après l’optique géométrique

Diffraction

Optique géométrique – application à la diffusion

Intensité totale avec interférence:

Une sphère d’eau ou une bulle d’aire dans l’eau éclairée par une onde plane de

longueur d’onde de 0,6328 µm.

Comparaison avec la théorie rigoureuse Cas d’une sphère

homogène

Optique géométrique – application à la diffusion

Intensité totale avec interférence

Un cylindre circulaire d’eau de rayon de 5 µm (gauche) ou de 10 µm (droite) éclairé par une onde plane de longueur d’onde de 0,6328 µm.

L’optique géométrique marche encore très bien pour a ~ 10l.

GO GO

Comparaison avec la théorie rigoureuse

Cas d’un cylindre homogène infini

Optique géométrique – VCRM

 Principle:

 Wave and dioptric surface described by their local curvature,

 Ray in vector ➙ easy for 3D tracing,

 Complex Ray (phases) ➙ interference + diffraction.

 Curvature of wave front ➙ divergence and focal lines ,

 Advantages:

 Incident wave: arbitrary shape,

 Particle: arbitrary shape with smooth surface,

 Sufficiently precise: Scattering diagram in all direction,

 Prediction of all scattering properties of the scatterer.

VCRM: Vectorial complex ray model

Ren et al, Opt. Lett. 2010

Pour un objet de forme irrégulière:

Optique géométrique – VCRM

 Vectorial complex Ray :

 Wave front – curvature matrix:

 Surface of dioptry:

 Projection matrix:

ˆ

i

i

i i i

S  Ae ^{ } k

11 12

21 22

q q

Q q q

 

  

 

11 12

21 22

c c

C c c

 

  

 

1 1 1 2

2 1 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ t s t s t s t s

   

       

Sphere : 0 0 Cylinder : 0

0 : r Examples

r r

 

 

 

 

  

 

Essentiel du VCRM

Optique géométrique – VCRM

Fundamental laws:

Snell law:

Wave front equation:

• Amplitude:

• Phase :

• Total field:

N

diff i

E  S   S

A  D 

(

/2

)

inc fl path l

        

1 2

1 2

( )( ) ...

D R R

d R d R

  

Divergence factor:

Fresnel coefficients : ε

 ^k

ⁿⁱ

^{ k C}

^nt

 ^{  k ' '}

^T

^{Q '     ' k}

^T

^Q

i t

k _  k _

Q C

Q’

Essentiel du VCRM

Optique géométrique – VCRM

 Sphere

 Reflection:

 Refraction p =1:

 After 1

^st

refraction:

 After 2

^nd

refraction:

 Divergence factor:

 Cylinder: R

₂

=∞

 Reflection :

 Refraction p=1:

Applications to a sphere and a cylinder

1 2

cos 2 1

2 cos 4

R a R D

a



      

2

11 12

' cos '

cos cos cos cos

am am

R R

m m



   

   

 

21 22

cos 2cos 2 cos ( cos cos )

' cos '

2( cos cos ) 2( cos cos )(sin sin sin sin )

m a m m

R R

m m

     

       

  

 

  

sin(2 ) cos

4sin[2( )](cos cos ) D m

m

 

   

  

Identical to the classical one.

cos 2

D a 



cos cos 2(cos cos ) D m

m

 

 

 

Application du VCRM

Ray tracing Module

 Tracing of all the rays or a part of them

 Any number of rays

 Any position of rays

Optique géométrique – VCRM

Application du VCRM Software for

an ellipsoid

www.amocops.eu

Software for an ellipsoid

Scattering diagram

Module

 Intensité de chaque ordre

 Intensité totale de tous les rayons:

- Interférence - Diffraction

Optique géométrique – VCRM

Application du VCRM

www.amocops.eu

Optique géométrique – VCRM

Toward the Ray theory of wave

p=3, a=100 µm

Fig. 3 Comparison of Airy structure calculated with the three methods.

VCRM can predict much better Airy structure than the Airy theory and can be applied directly to non-spherical particle.

p=3, a=50 µm

Oblate:

a = c = 139.17 µm b = 133.86 μm,

a/b =

^0.8938,

0.9608

, 0.9816 (eq. Vol)

m = 1.4465 λ = 0.6328 µm

Optique géométrique – VCRM

Experimental set-up results

Results and discussion

Comparison of VCRM and experimental normalized equatorial scattering diagrams for the droplets of 3 different aspect ratios. From (a) to (c), the droplet's aspect ratio b/a increases and refractive index decreases when the amplitude of the acoustic field is reduced.

Fig. 3 in Opt. Exp. 2015 Onofri, Ren et al

DEHS:

Di-Ethyl-Hexyl- Sebacat

HUDC:

Hyperbolic Umbilic Diffraction Catastrophe

Comparison with VCRM

Results and discussion

 Morphology (a, b)

 Refractive index m

 Time evolution a(t), b(t), m(t)

(a) Principal radii measured with the rainbow refractometry and imaging system and (b) corresponding evolution of the droplet refractive index during the course of the experiment.

Application to Characterization of non-spherical droplets

Diffraction

La diffraction est le comportement des ondes lorsqu’elles rencontrent un obstacle.

Le phénomène de la diffraction se manifeste lorsque

• la dimension de l’objet est de l’ordre de la longueur d’onde

• la variation de la densité/amplitude est brutale.

L’onde rencontre un obstacle Diffraction par deux fentes. L’effet de diffraction dans l’arc-en-ciel.

Phénomènes de diffraction

Diffraction

Principe de Huygens –Fresnel

(1) La contribution de Huygens (1678)

La lumière se propage de proche en proche. Chaque élément de surface atteint par elle se comporte comme une source secondaire qui émet des ondelettes sphériques dont l'amplitude est proportionnelle à cet élément.

t+  t

(2) La contribution de Fresnel (1818)

L'amplitude complexe de la vibration lumineuse en un point est la somme des amplitudes complexes des

vibrations produites par toutes les sources secondaires. On dit que toutes ces vibrations interfèrent pour former la vibration au point considéré.

t

Théorie de diffraction

Diffraction

Diffraction de Fresnel (R « petit »):

Diffraction de Fraunhofer (R « infini »):

Théorie de diffraction

Diffraction

Diffraction par un disque (sphère):

L’ouverture circulaire de rayon r :

Puisqu’il y a une symétrie de

révolution, on peut placer dans un plan passant par l’axe optique:

 

²

1 0

sin sin I I J  

 

 

  

 

2pr/l

Applications de diffraction

cos , sin ,

x    y    dS  dxdy     d d

sin et 0

    

Diffraction

Critère de Rayleigh:

Le premier minimum nul de J

₁

(x) s’obtient pour x=3.832, c’est-à-dire:

1.22 D

  l

D

écran

 A

₁

A

₂

Donc il est intéressant d’avoir une ouverture importante pour une meilleur résolution (lunette astronomique, appareil photo, …)

Applications de diffraction

Diffraction et Interférence

Diffraction par une fente:

2

0 2

sin u I I

 u

Largeur de la tache centrale:

L₀ ^2D a



l

Fente d’Yong: N=2

Interfrange : D

i b

 l

2

2

0 2

sin u cos b

I I u

a u

 

  

 

Applications de diffraction

2 2

0 2 2

sin sin sin

u Nv

I I

u v



sin sin

,

a b

u p  v p 

l l

 

N fentes:

Théorie de Rayleigh

1 1 1

1 cos

cos 2 2

d

r d r r

r

 



 

    

Champ du dipôle

• Deux charges +q et – q

• Distant de d .

• p=qd

2

1 1

4

cos

4

dipôle

ext

ext

q

r r

p r p

p 

 

 

    

 



Champ statique d’un dipôle

Théorie de Rayleigh

Approximation électrostatique Conditions:

1. Champ électrique

• statique

• uniforme

2. Taille de particule l<< l

Potentiel du champ induit:

Champ « diffusé »:

2 . 3 2 0

4 sin

2

i ext

i ext

E a E e

r ^

p   

l  

  

   

3 .

2 0

cos

2

i ext

ext

i ext

a E

r

   

 

 



4 2

2

,

8 1

= Re

3 2

ext

d

d m

Q m

l p

l



  

 

 

  

   

Champ diffusé par un dipôle induit

Théorie de Rayleigh

Diagramme de diffusion

Éléments de la matrice de diffusion:

3

1

4

S ik 

  p

3

2

cos

4

S ik  

  p

Polarisation perpendiculaire Polarisation parallèle

Champ diffusé par un dipôle induit

Théorie de Rayleigh-Gans

Conditions:

1. Onde incidente plane 2. Indice de réfraction m ~ 1:



 |m-1|<<1

3. Surface d’égale phase plane

Principe:

1. Chaque élément de volume dV est considéré comme un dipôle induit par l’onde incident

2. Champ diffusé est la somme des champs émis par tous les dipôles

Conditions et principe

1 1

| |

d m p

l ^{ }

Théorie de Rayleigh -Gans

Contribution d’un élément dV à l’amplitude du champ diffusé:

Champ total en P:

dA

2 2

2

2 2 2

3 ( 1) ( 1)

car 2 3

( 2)

m m

m m

p p

l l

    

2 2 

( )

dV p a r dr



_^a_a^{(a2r2) cos(br dr) 4 sin(}



^{ab)abcos(ab) /}



^b3

4 asin( / 2)

u p 

 l

Théorie

Théorie de Rayleigh -Gans

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0 5 10 15 20 25 30

Angle [deg.]

Intensité (log I)

u=100 sin(/2)

=2pa/l=50

2

0 3

sin cos

| |

/ 3 u u u I E I

u

  

4 asin( / 2)

u p 

 l

Diagramme de diffusion selon Rayleigh-Gans

Théorie de Lorenz-Mie

Conditions:

1. Onde incidente plane 2. Particule :

• Sphérique

• Homogène ou stratifiée concentrique

• Isotrope

Champs EM:

E

_n

= A

_n

R

_n

(r)  

H

_n

= B

_n

R

_n

(r)  

Conditions aux limites:

, , ,

, , ,

i s e

i s e

E E E

H H H

  

  

 

 

Conditions et principe

Théorie de Lorenz-Mie

Champ incident:

           

           



















 p





 p







E E H H

E E H H

S kr ikr

ib E n a

n ikr n

kr E E

S kr ikr

ib iE n a

n ikr n

kr E iE

H E

n

n n n

n n

n n n

n r

r

0 0 0

0

1 1

0 0

2 1

0 0

sin exp

cos 1 cos

1 sin 2

exp

cos exp

cos 1 cos

1 cos 2

exp 0







 



 

 

 





 

 



















     



^

 

 

 







 

 

 





1

1 1

2

sin

cos cos 1

1 2 1 1

n

n n n

i TE i

TM

kr P

n n

n i

U k U



 



Champ diffusé (lointain):

a

_n

, b

_n

coefficients de diffusion dépendants des propriétés de la particule



_n

, p

_n

fonctions angulaire de Legendre

S

₁

, S

₂

éléments de la matrice de diffusion

Conditions et principe

Théorie de Lorenz-Mie

Intensités de diffusion:

I

_

()=|S

₁

|

²

I

_||

()=|S

₂

|

²

Sections efficaces:

C

_ext

=C

_sca

+C

_abs

Pression de radiation:

C

_x

=C

_y

=0

Grandeurs physiques

Théorie de Lorenz-Mie Généralisée

Conditions:

1. Onde incidente quelconque 2. Particule :

• Sphérique

• Homogène ou stratifiée concentrique

• Isotrope

Particularités:

1. Lorsque l’objet est grand, l’éclairage n’est plus uniforme

2. Faisceau incident est décrit par deux séries de coefficients :

Conditions et principe

Théorie de Lorenz-Mie Généralisée

Champs diffusés:

Éléments de matrice de diffusion:

Expressions du champ diffusé

Théorie de Lorenz-Mie Généralisée

Scattering diagram

Scatterin angle [°]

340 320 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

log(I)

7 6 5 4 3 2 1 0

Scattering diagram

Scatterin angle [°]

350 300

250 200

150 100

50 0

log(I)

6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3

Scattering diagram

Scatterin angle [°]

340 320 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

log(I)

6 5 4 3 2 1 0 -1

Particule : a = 5 µm m = 1.33

Faisceau gaussien:

l = 0.6328 µm w

₀

= 5 µm

Onde plane

Faisceau gaussien sur axe

Faisceau gaussien hors axe: d=w

₀

Diagramme de diffusion:

Sur axe - symétrique

Hors axe - non-symétrique

Champs diffusés – onde plane/faisceau gaussien

TLM et TLMG pour la sphère

E i

H i

n,TM

g ^m

n,TE

g ^m

a n

b n _s

E _s H

I P

Structure de la TLMG

Cas d’une sphère

GLMT pour le cylindre

Introduction de la méthode spectrale

E i

H i

n,TM

I (g )

n,TE

I (g ) E ^s

H s I

a _nI , a _nII b _nI , b _nII

Théorique et numérique

Structure de la TLMG

Cas d’un cylindre

Diffusion d’un pulse par une sphère

t = 3400

t =  120 t = 20

Champs internes

Sphère homogène d=40 µm, =50 fs Faisceau gaussien

t = 120 t = 1080

Diffusion d’une impulsion ultra rapide

Diffusion d’un pulse par une sphère

t = 3400

t =  120 t = 20

Champs internes

Sphère à 2 couches d

_e

=40 µm, d

_i

=20 µm

=50 fs Onde plane

t = 120 t = 1060

Diffusion d’une impulsion ultra rapide

Diffusion d’un pulse par une sphère

Diffusion d’une impulsion ultra rapide