S. Bacha, J. Rognon, J. Ferrieux, M. Bendaas. To cite this version: HAL Id: jpa

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Submitted on 1 Jan 1995

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Approche dynamique du premier harmonique pour la modélisation de convertisseurs AC-AC à étage intermédiaire continu. Application aux générateurs à

induction

S. Bacha, J. Rognon, J. Ferrieux, M. Bendaas

To cite this version:

S. Bacha, J. Rognon, J. Ferrieux, M. Bendaas. Approche dynamique du premier harmonique pour la modélisation de convertisseurs AC-AC à étage intermédiaire continu. Application aux générateurs à induction. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1995, 5 (2), pp.145-160. �10.1051/jp3:1995116�.

�jpa-00249300�

J.

Phys.

III France 5 (1995) 145-160 FEBRUARY1995, PAGE 145

Classification

Physics

Abstracts

02.70 02.10 02.60 02.90

Apprpche dynamique du premier harmonique _pour la

mod61isation _de convertisseurs AC-AC h stage interm6diaire continu. Application

_aux

g6n6rateurs h induction

S. Bacha, J. P.

Rognon,

J. P Fe«ieux _et M. L. Bendaas

Laboratoire d'Electrotechnique de Grenoble, URA CNRS 355, ENSIEG, B-P 46, 38402 St Martin d'Hbres Cedex, France

(Repu le 29 _mars J994, rdvisd le 6 octobre J994, acceptd le 8 novembre J994)

R4sum4. Dans _cet article, ii est prdsent6 _une technique de mod61isation de convertisseurs pr6-

sentant h la fois des stages continus et altematifs. Cette technique _est bas6e _{sur une} approche

dynamique de la m6thode du premier harrronique. La technique est tout d'abord appliqu6e h _un convertisseur id6alis6 pour due ensuite dtendue h _une structure travaillant _en conduction discon- tinue. En demier lieu, des simulations viennent valider le mod61e continu mis _au point.

Abstract. In this paper, we present a modelling technique for power electronics converters with both DC and AC stages. ^This technique is based _{on a} dynamical approach of the first har-

monic method. The approach ^is first applied to an idealized _converter and second is extended _to

a framework working under discontinuous conduction mode. At the end, comparative simula- tions _are done _to validate the continuous built model.

1. Introduction

Du

point

de vue

lnath6matique,

les circuits

61ectriques

comprenant des convertisseurs stati- ques peuvent ^{ttre d6crits} par un ensemble

cyclique d'6quations

d'6tat

co«espondant

aux

diff6rentes

configurations 61ectriques r6pertori6es

sur le

cycle

de fonctionnement des _conver-

tisseurs. Le concepteur des

systbmes

de commande doit transformer le modble

original

^dis-

continu _{en un} modble continu

repr6sentant macroscopiquement

au mieux les comportements

dynarniques

et

statiques

^du circuit, tout en restant d'un

emploi

ais6. Pour _ce faire,

l'approche

moyenne ^est tout h fait

indiqu6e

[1, 2].

Toutefois, le modble moyen

classique

ne peut

s'appliquer

tel

quel

aux convertisseurs _tra-

vaillant _en conduction discontinue _ou

lorsque

^certaines variables d'6tat sont h valeur

moyenne nulle. Afin de

pallier

cette insuffisance, des modbles d6riv6s _ant 6t6

d6velopp6s,

chacun

s'appliquant plus

ou mains h _{un cas} de

figure particulier.

Pour les convertisseurs

pr6-

sentant un

4tage

interm6diaire altematif, _nous citerons le modble dit du _« G6n6rateur

Moyen

Q

Les Editions de Physique 1995

Equivalent

_» (G.M.E.) [3, 4], et le mod~le du

premier harmonique, qui

suscite _encore des

travaux r6cents

[5].

Ces deux modmes

pr6sentent

des inconv6nients _et des

qualit6s comp16-

mentaires le

premier ignore

la

dynamique

de

l'6tage

altematif et le second la

dynamique

de

l'6tage

^continu. L'id6e de cet article _est de faire le lien _entre les deux m6thodes _en

couplant

les

grandeurs

^continues et altematives. Le

point

de

d6part

en est l'article de Sanders _et al. [6]

qui

a servi de base h l'61aboration d'une m6thode de mod61isation pour les alimentations h

d6coupage sym6trique

[7,

8]

_; cette m6thode moyenne est bas6e _{sur un}

d6veloppement

en sd- rie de Fourier

complexe

^des

grandeurs 61ectriques

_; faute de

terminologie ad6quate

_nous la

d6nommerons _« m6thode

dynamique

du

premier harmonique

»

(D.P.H.).

Ceci _a abouti, entre

autres, h l'61aboration d'une loi de commande

perforrnante, simple

de mise _{en ~euvre et}

g6n6-

ralis6e h la farnille des convertisseurs h

d6coupage sym6trique

[1Ii.

L'article d6bute _{par un}

rappel

^{des m6thodes du}

g6n6rateur

_moyen

6quivalent

et du

premier harmonique,

_{et par une}

application

de _ces m6thodes h la mod61isation d'un

g6n6rateur

h in-

duction id6alis6 le circuit de

puissance

est

compos6

d'une _source de tension, d'une induc-

tance de

lissage

et d'un comrnutateur de _courant commands h

fr6quence

fixe alimentant _une

charge

oscillante

parallble.

Dans un second temps nous introduisons la m6thode

dynamique

du

premier harmonique

et, sur

l'exemple pr6c6dent,

_{nous comparons en} simulation les r6- sultats des diff6rents modbles _{avec ceux} du modme _exact discontinu. En demibre

partie,

un

gradateur

est

ajout6

en s6rie _avec l'inducteur dans

l'optique

de l'alimentation de

plusieurs charges

^h

partir

d'un seul commutateur de courant la

puissance

est modu16e individuelle-

ment sur

chaque charge

en commandant

l'angle

de

phase

du

gradateur

_par rapport au passage

h z6ro du _courant de sortie du commutateur.

2. Pr4sentation et modkle discontinu d'un

g4n4rateur

id4alis4

2,I. PRtSENTATION _{Du CIRCUIT DE PUISSANCB.} Le circuit consid6r6 pour l'6tude _{est cons-}

titu6 d'une _source de

tension,

d'une inductance de

lissage

et d'un commutateur de _courant par- fait alimentant _une

charge

oscillante

paralmle (Fig, ii.

Le commutateur est commands h fr6-

quence fixe.

Ce convertisseur permet, h

partir

d'une _source de tension variable

(redresseur

commands, mod61is6 ici par la _source El, d'alimenter _un inducteur de

chauffage

_par induction

(L).

La

charge

de _cet inducteur _est moddlisde par une r6sistance R _et la

puissance

r6active de cet

ensemble _est

compens6e

_par le condensateur C.

Lf L

Rf i~

i~

~Tl

E v R

~

T2

Fig. I. Converfisseur id6alis6.

[Idealized converter.]

N° 2 MODELISATION DE CONVERTISSEURS AC-AC 147

On _retrouve alors _un convertisseur direct courant-tension,

sym6trique,

dent les

interrup-

teurs devront

pr6senter

un comportement

statique

unidirectionnel _{en courant}

(de

0 h i~) ^et

bidirectionnel _en tension

(

+

u~).

^Le comportement

dynamique d6pend

de la valeur relative de la

fr6quence

de

d6coupage (f= I/T)

_{par rapport} h la

fr6quence

de r6sonance propre du

circuit R, L, C

(f~). Ainsi,

la commutation command6e h

l'amorgage (thyristors)

est

requise

pour

f> f,

2.2. PRINCIPB Du MOD~LE BXACT DISCONTINU. Un convertisseur peut fitre

repr6sent6

_sous la

forme des N

systbmes d'6quations

suivants

~/~ _~i~~~~

~

~i ~~~~'

> ~ ~ ~ avec

~

N

_~i~~t-l~~

>=I

off

x(t)

_est le _vecteur d'6tat

In), e(t)

le vecteur

repr6sentant

les _sources

inddpendantes

du

systbme (p),

_A, la matrice d'6tat

In xn),

_B, la matrice d'entr6e

In xp),

T la

p6riode

de fonctionnement du convertisseur _et N le nombre de

configurations prises

par

pdriode

_; les t,

reprdsentent

les instants de commutation d'une

configuration

h l'autre.

Une 6criture

plus

compacte ^donne : N

I=

£[A~x+B,e]h,.

i=i

Pour

comp16ter

cette

description,

it faut inclure la fonction H

qui

commande le passage ^d'une

configuration

h _{une autre :}

h( t)

=

HI

_{x, e,}

t)

oh

hit )

₌

[hj, h~,..

,

h~]§

les diffdrents scalaires h~(

t)

prenant des valeurs dans l'ensemble discret

(u~, u~), gdn6ralement (0, II-

2.3. APPLICATION Au GtNtRATBUR IDtALISt. En posant ^{le vecteur d'6tat suivant}

X#

[i~v~ i~]~

Le modble exact du convertisseur est alors donn6 _{par :}

I ₌

(A~

x + B~

E)h~

+

(A~

_x +

B~ E)h~

(la)

avec

R~ i R~

-j j

⁰

-j +j

0 1

I f I ^f

[

A ~ ^{l A} ~ ^{l B =B =}

~

(lb)

C C ^{' ~} C C ^{' ~} °

~ l

_R

~ l

_R

0

L L

Les fonctions

hj

^et h~ ^sent d6finies _comme suit

I si

Tj

et

T(

ferm6set T~ et

T[

ouverts

~i"

_{o si}

T~ et

T[

ferm6set _T~ et

T(

ouverts

h~ ^est

comp16mentaire

_{de h~.}

En d6finissant la fonction

u(t)

telle que:

u=2h~-1;

it est

possible

de mettre le

systbme (I)

sous une forme

unique

I =

(A~

+

uA~)x

^{+ BE}

^(2a)

avec

A~ +

A~

A~

A~

A~

=

,

Ap ⁼ ~ et B

= B~ =

B~

d'ob

)

°

°10 ⁾

⁰

A~

= o o I

A~

^{= 1} _{~ ~} ^{B =} ~~

(2b)

~ 1 ~ ~

o

L L

Ceci aboutit _au sch6ma

61ectrique

de la

figure

2

qui

reflbte le modble exact.

Lf

L

Rf

if IL

lv~,u

if-u

l~

E v~

Fig. 2. Sch6ma exact 6quivalent.

[Exact equivalent circuit.]

3. Mod41isation _par la m4thode du

g4n4rateur

_moyen

4quivalent

3.I. PRINCIPB Du GfNtRATBUR MOYBN

fQUIVALBNT.

-Le convertisseur est h deux

stages,

l'un continu,

gouvem6

_{par une} constante de temps ^{dite «lente} », l'autre altematif, dit _«ra-

pide

_». II peut se ramener h un

syst~me

continu oh les oscillations dues h la

dynamique

alter-

native _sent

ignor6es

[2].

Pour _{ce, on}

procbde

h _une

s6paration

des variables altematives et continues

respectivement

index6es _{par «} a » et _« c »,

N

X~

=

£ (A~~ X~

+ A [(~X~ ⁺

Bj'~

e

) h, ⁽³⁾

N

X~ =

£ _(A)[~ X~+A)(~X

_{+ B)~~}

e) h~. ⁽⁴⁾

~

N° 2 MODELISATION DE CONVERTISSEURS AC-AC 149

De

l'6quation (3),

on d6termine l'6tat stationnaire des variables altematives

i~ _(X~, t), lequel

est introduit dans

l'6quation (4),

ce

qui

donne

kc

N

"

lL _{i~1[~ '~c}

_{~ ~ll~}

la (

~'~°c

)

_~

~l~

_~

~i

(~)

En

proc6dant

h la moyenne sur la

p6riode

T, _on aboutit _au comportement moyen :

k~

₌

j ii~

oh

N

,~

f~ (

_X~

)

=

£ _(A)(~

_{X~ +}

_{A)[~ X~ (}

_{t, X~}

₎

_{+ B)~~}

e

) h,

dt.

(6)

~

i i

i~ ,

Ce modble

ignore

donc la

dynamique

de

l'6tage

altematif, mais

pr6serve

la

dynamique

basse

fr6quence

de la

partie

continue.

3.2. APPLICATION Au GfNfRATBUR iDfAList. En reprenant les notations

pr6c6dentes

et _en

posant:

X~=i~

et

X)= _[u~i~],

_on

_s6pare

les variables altematives _u~ et i~ de la variable continue

I~.

On obtient alors les deux

systbmes

:

i~

=

~~

X~ + 0

X~.u

+ E

(7)

f ^f f

et

1

o -)j

i~=

C X~ ^u+ _~

X~. (8)

o~

L -z

Pour chercher

i~(X~, t),

_{nous pouvons}

employer

la m6thode du

premier harmonique,

_en la

justifiant

_par le fait _que

l'6quation

de la

partie

^altemative

(8)

_se caract6rise _{par un}

systbme d'6quations

diff6rentielles ordinaires h coefficients constants et h entr6e

p6riodique (X~ u)

de

plus

la

puissance

est transmise h la

charge

essentiellement par le

premier harmonique

;

nous sommes ramen6s _au sch6ma de la

figure

3.

En

remplagant

_{X~ par}

i~ _{(X~, t),}

c'est-h-dire _en d6terminant _i~~ et

u~~

(respectivement

les fon- damentaux du courant i~ ^{et de la tension} u~ dans le sch6ma de la

Fig. 3)

_en fonction du _cou- rant ip

l'6quation (7)

_se transforme _{en :}

i~=f~(i~)=jl~(-)X~+[-£ 0ji~(t,X~).u+)E)dt. (9)

o I I f

En prenant comme

origine

des

phases

le passage h I de _{u, et} connaissant le module (Z~( ^et

l'argument

_p de

l'imp6dance

_Z~:

jl~([~ 0ji~.U)dt#- §~)~COS(p)X~#-~~ [. ^(lo)

0 R f f

1-

~ Ze

n Vc ^~ n

Fig. 3. Sch6ma Equivalent _au sens du premier harrnonique.

[First harmonic equivalent circuit.]

Soit

i~=-~~)~~ i~+£

_{E (11)}

I I

avec :

(Z~( cos

( p)

₌

~ ~ ~ ~ R~ =

~ (Z~( cos

Iv ) (12)

II

-LCm

)

+R C m n

Ce

qui

donne le sch6ma

Equivalent

de la

figure

4.

Lf

Rf

if

fE

^{Rc ve}

Fig. 4. Modble GME du convertisseur de base.

[Average equivalent _generator model of the idealized converter.]

4.

Approche dynamique

du

premier harmonique

Nous remarquons que le modble GME Elude la

dynamique

de

l'6tage

altematif _{et ne} donne

en

cons6quence qu'une repr6sentation

du

premier

ordre

co«espondant

h la

dynamique

lente de

l'6tage

continu.

Pour que l'interaction des

dynamiques

des deux

stages

soit co«ectement d6crite, it faut que le

couplage

entre les variables continues et altematives

apparaisse.

En sachant que ^du c0t6 continu la variable d'6tat

i~ est co«ectement

repr6sent6e

_par sa valeur moyenne, ^et que

du c0t6 altematif le

premier harrnonique pr6domine,

it semble int6ressant de

remplacer,

dans le schdma de la

figure

2, les tenures de

couplages

_{u~ u} et i~ ^u

respectivement

_par la valeur

moyenne

(u~ u)~

et par le

premier harrnonique complexe

(i~

u)~.

N° 2 MODELISATION DE CONVERTISSEURS AC-AC IS1

4,I. PRfSBNTATION _{DE LA} MtTHODB. Sous les conditions de

l'application

de la mdthode du

premier harmonique,

une onde altemative

xl t)

peut dtre

reprdsentde

_{par sa} valeur moyenne

((x)~)

_sur la

pdriode

T de l'onde _{et par} le module _et

l'argument

du

premier harmonique (xl

+

).

Si _ces composantes sent variables _en fonction du temps, ^it est

possible

d'dcrire

xl t)

=

(x)~( t)

₊

(x)~ It ) e~~'

+

(x)_ It )

e~ ^~~~

(13)

avec

T

(x)~ t)

₌

j _x(

t T _{+ s} e~ ^{J~~' ~ ~ ~~} ds _{s e}

[0, T]

_m

=

~ji (14)

0

Sachant que

(x)j

et

(x)_

sont

conjuguds,

it est

possible

d'6crire

x( t)

=

(x)~

+

2(Re ( (x)~ )

cos

(

cot

)

Im

( (x)~

^sin

( cot) )

Dans le cas d'une

grandeur

h valeur moyenne nulle, _{on remarquera que} l'information relative h l'onde est contenue dans le tenure

(x)~;

_argument et module sent donn6s par les

expressions

suivantes

Im

(x)~

~ ~

p(x)

= arctg et

ix

=

~/Re _(x)~

+ Im

(x)~

Re

( (x)~ )

Dans le cas d'une

grandeur

continue dent _on

n6glige

les oscillations dues _aux

harmoniques

en ne s'int6ressant

qu'h

sa valeur moyenne

(k

₌

0),

_on retrouve le modble moyen

classique.

Si la

p6riode

Test constante au vane faiblement, _on peut ^{d6duire de}

l'expression (13)

_:

) _(xi~

=

(j _{x( t)}

)~ ^-Jk~o ixi~

(15)

Par ailleurs, _on montre ais6ment que :

(X y)k

_"

~ _{(X)k (Y)k}

_~~~~

4.2. APPLICATION _Au GtNtRATBUR iDtALIst. En _ne s'int6ressant

qu'h

la valeur moyenne

de X~ ^{et au}

premier harmonique

de X~, ^les

Equations

(7) et

(8)

du convertisseur s'dcrivent

) _(Xc10

"

)(~c10

^~

[~ ^~ °j (xa

_{~10 ~}

^~

~ (~~)

~ i

o -jl

j lxall

"

~JC° (xall

~

Cj

l~c ~ll

~

i R

lxall (~~)

0

z z

En

ddveloppant

les vecteurs X~ ^et X~, ^et en

distinguant

les

parties

rdelles et

imaginaires

des

grandeurs complexes,

on obtient

(X~)~

=

(i~)~

= x~

(~c)1

~2

~J~3

(lL Ii

~4 ~JXS

Sachant que :

(v~ u)~

=

~ Im

(v~)j ⁾

=

~

x~ ^et

(i~ u)~

=

~. (i~)~ )

=

~

xj

n n nJ nJ

Les

systbmes (17)

_et

jig)

deviennent:

g

Ri~

~

4

~

~E

1-~~

l nL ³ L

f f f

g _~~~

l~

2

3~c

4

~3

"~(Xi~°~~2~~~5 ~~~~

g

_l~ R~

4 -~

2~£

4 ~~~ 5

~5 " ~3 ~°X4

f

~5 II leur

correspond

le sch6ma

6quivalent

continu de la

figure

5.

Lf

Rf

<if>0

^~

<iL

fE ~~C~~°

<v~>i

^R

c

Fig.

5. Mod61e DPH du convertisseur de base.

[Dynamic first harmonic model of the idealized converter.]

5. R4sultats

comparatifs

Les

figures

6 et 7 comparent en simulation le comportement « exact » du convertisseur h

celui des modbles G-M-E- et D.PH. On remarquera la diff6rence de

pr6cision

entre les deux

modbles

quand

on

s'610igne

des conditions de bon

filtrage.

On _a considdrd _un

ddma«age

du

gdndrateur,

avec les valeurs suivantes des composants : E

= 297 V R

= I Q C

= 6

pF

f=

6,8 kHz R~ = 0,01 Q _; L ₌ 100

pH

et L~ = 600

pH (foible filtrage),

_{L~ =} 6 nflI

(fort

fil-

trage).

6. Introduction d'un

gradateur

darts le circuit de

charge

Le sch6ma id6alis6 du circuit de

charge

est

repr6sent6 figures,

le

gradateur

est destin6 h

contr01er la

puissance

sur l'inducteur R, L. Ce

systbme

perrnet, ^h

partir

d'un seul

g6n6rateur,

d'alimenter de

fagon quasi-ind6pendante plusieurs

inducteurs munis chacun d'un

gradateur.

N° 2 MODELISATION DE CONVERTISSEURS AC-AC 153

Energie (W)

15

la)

io

5e3

ici 16) 0

o,5e-3 1,oe-3

if 25

la)

15

(bi io

5

0

0.5e.3

_t

(s)

Fig. 6. a) ^Evolution de l'dnergie dissip6e dons la charge (fort filtrage) (a):modme exact;

(b): G-M-E- _; (cl _: D-P-H- b) Evolution du _courant dons le filtre (fort filtrage) la) :modme exact;

(b) G-M-E,, (cl D,P,H.

[al Evolution of the load dissipated _energy (strong filtering) jai _: Exact model _; (b) _{: average} generator equivalent scheme (AGE) (cl ^{first harmonic} dynamic appmach (FHD). b) Evolution of the filter _cu«ent (strong filtering) (al exact model (b) AGE _; (cl FHD.]

6.I. MODtLISATION _{DE L'BNSBMBLB} GRADATBUR-CHARGB. Dans un

premier

temps ^l'en-

semble

gradateur-charge

est mod61is6 par un circuit continu

Equivalent

_{R~, L~} sous la condi- tion de conservation de

l'6nergie.

Ce modme est ensuite

int6gr6

dans le mod~le D.PH.

pr6c6-

dent.

Soient

. fl~

l'angle

de retard h

l'amorgage

du

gradateur

_par rapport au passage par z6ro de la tension u~

. fly

l'angle

d'extinction du _courant i~;

. p le

d6phasage

_propre de la

charge, Q

son facteur de

qualit6

et Z=

(R~

+

L~w~)~~

_son

imp6dance caract6ristique

_;

. V~ la valeur efficace de la tension d'entr6e

u~(t).

JOURNAL DE PHYSIQUE ill T 5.N°2. FEBRUARY tW5

Energie (W)

25 e3

20 e3

15 e3 (cl

lo e3

5e3

,

(I

0

0 _o-S e-3 _{1_0}e+3 ^t(S)

If IA) 50

40

(C) 30

( ^l

' j j

2

:/

10

o

0 _o-S e.3 _1.0 e+3 _t(s)

Fig. 7. a) Evolution de l'6nergie dissip6e dans la charge (foible filtrage) (a): mod61e exact;

16) G-M-E- (cl D-P-H- b) Evolution du courant dons le filtre (faible filtrage) (al :modble exact;

(b) _: G.M,E, (c) D,PH.

[a) Evolution of the load dissipated _energy (low filtering) (al _: exact model _; (b) _: AGE _; (c) _: FHD. b) E- volution of the filter current (low filtering) (a) exact model _; (b) _: AGE _; (c) FHD.]

IL

v~ j~

v

Fig, 8. Schema du gradateur, [Load circuit including _a dimmer.]

N° 2 MODELISATION DE CONVERTISSEURS AC-AC 155

Dans le cas d'une

charge

R, L, le courant i~ ^est la somme d'une sinusoide _et d'une expo- nentielle _; si l'on _se

place

dans les conditions norrnales de fonctionnement d'un

gradateur (c'est-h-dire

_fl~ ?

p), l'angle

d'extinction _fly est donn6 par une relation transcendante _en temps

sin

(fl~ p)

sin

(flo w) exp(- ^~i j~°)

₌ o

(20)

Si l'on pose

uj(t)

_{et i~}

(t)

le

premier harrnonique respectivement

de

u( t)

_et de

i~(t)

v,(t)=Ajcos(mt)+Bjsin(mt); Vj=~; _{I~ =Vj/Z (21)}

avec

1

=

~~/~ _{[fly flo} ) ₍

_sin

₍

₂

_{fli )}

_sin

₍

₂

fl~

)

~~

~

V~ Vd

i = ~ _~

loos

2

flo)

_cos

j2

_fl~

)j

Les caractbres gras

d6signant

des

grandeurs

efficaces.

Si

9'~

et 9'j~ ^{sent les}

d6phasages

de u~ ^et i~, relativement h _u~, alors

Vf~

=arctg(Bj/Aj),

_Vf~

=p+Vf~.

La tension

u~ 6tant sinusoidale _ou

suppos6e

telle, la

puissance

active absorb6e par ^la

charge

est

6gale

h:

P~=V~I~

cos

9'j~;

cette

puissance

est

dissip6e

dans la r6sistance R, d'ob

l'6galitd

:

T

~a ~c

_~Lj ~°~ ~'Jj ~~~ejt ^~~ ~~c~ _T ~~~ ~~ ~~ ~~~~

0

A

partir

de cette

6galit6,

il est

possible

d'6tablir _un sch6ma continu du

gradateur

et de _sa

charge

_sous la femme d'un circuit

R~ ^et L~ directement aliment6 _{par u~, et} travers6 par i~~, ^la condition de conservation de

l'6nergie implique

_que

P~

=

R~(

fl~

) j

I~~ )~

En introduisant le facteur de d6fonnation _v=

=fi,

on en d6duit

~~

R~( flo )

~

~ ⁼ ~ (24)

si d'autre part, _Z~ est

l'imp6dance

du circuit

6quivalent

_{R~, L~,} alors _pour conserver le mdme

d6phasage 9'j,

on

impose

:

Une autre approche m~ne

aux

(a):q=0.8rd;(b):q=1.0rd;(c):q=1.2rd;(J):q=I.4rd left

(d) 0.8

0.6

DA

0.2

0

1.5 2 ~° _~~~~

(a)

jai:

_q

jbj:

_{q =1 ;} ^~(

(cl: _{q =} rd (Al: _{q =} i.

~d) 1.6

1.4

.2

1

1.5 2

~°

_~~~~

Lq/L

jai: _{q =} 0.8

(b):

_{q =}

~ (C)~ Q " (J)~Q =

6

2

(a)

(c)

I 1.5

ig, 9. -

a)

xpression

R~ /R

onction de fl~ pour _diff6rents

p.

c) Expression de L~ IL en de fl~ _pour

[a) ^{of the veraged}nergy function of _{fl~ for} various p.

b)

of R~ /R nction of fl~

for various p, c) Expression _of L~ IL nction of fl~

for ^arious p.]

N° 2 MODELISATION DE CONVERTISSEURS AC-AC 157

Si l'on pose d'une part

I~~

I~~

~l"@

~~

~CH"@'

On aboutit alors,

grfice

_aux

6quivalences 6nerg6tiques,

_aux

expressions

:

Z I R Z 2 i~~ ² L sin V'~

#

i~ ^'

# #)

^~H

i~

~~

/

sin _p

ij

^~~~~

Les

figures

9

indiquent

l'6volution des 616ments du circuit

Equivalent

avec

l'angle

de

phase

fl~ ^on remarque que dans la _zone de fonctionnement du

gradateur (de

loo 9b h lo 9b de la

pleine charge)

ii est

possible

d'identifier

R~(fl~)

^et

L~(fl~)

par ^des

polyn0mes

du second

degrd

au

plus,

ce

qui

facilite

grandement l'exploitation

du schdma

Equivalent.

6.2. MOD~LB _{GLOBAL Du} GtNtRATBUR. II faut savoir que le

gradateur

n'a pas de

dynan~i-

que au sens du

premier harrnonique,

du fait de la conduction discontinue. Ainsi les conditions initiates _au d6but de

chaque p6riode

sent un courant

i~(t~)

= 0. La

charge

_{R~, L~} sera alors

introduite sous femme d'une

imp6dance

_R~ +

jL~

w saris

rajout

d'un terrne inductif pur L~.

Par ailleurs, la source de tension continue dtant foumie _{par un} redresseur commandd, il _est

possible

de la

reprdsenter

dans le modble _en substituant h E

l'expression

_U~~ cos

(a),

a dtant

l'angle

de retard h

l'arnorgage

de _ce redresseur. On aboutit au sch6ma

Equivalent

de la

figure

lob

qui

est le modble du convertisseur

global

de la

figure

loa,

Lf Rf

~do

~"" ~c

~

~

Li

"

<i~>i

Ud~

COSIX <V~ ^>I Rq

C

~~

_~

Fig, 10. a) Schema du convertisseur global. b) ^Schema 6quivalent continu du converfisseur

global.

[a) Whole circuit scheme. b) Equivalent model of the whole circuit.]

6.3. VALIDATION Du MOD~LB _GLOBAL. Afin de valider _ce modble, on

procbde

h des simu- lations

comparatives

entre le modble exact

(Fig, loa)

et _son

Equivalent

continu

(D.P.H.) (Fig. lob).

Les valeurs des Elements du circuit sont

identiques

aux conditions d'essai du cha-

pitre5

avec un fort

filtrage (L~=6mH)

mais _avec l'introduction d'un

gradateur r6gld

h fl~ = 2 rd.

Les rdsultats perrnettent ^de

juger

_que la

pr6cision dynamique

_ou

statique

ne se trouve

aucunement altdr6e par l'introduction du modble continu du

gradateur.

On peut noter la

concordance du modble exact et du modble continu _sur les

figures

II _a et I16

reprdsentant

le

courant dans le filtre _au

d6marrage.

Dans la mdme 6chelle de temps

qu'en figure

I16, l'6tude

de la tension

u~(t)

_aux bomes du condensateur C

(Fig,12a)

et du courant dans la

charge

i~( t) (Fig. 12b)

confirme _cette bonne

pr6cision.

If ,<lf>0 IA)

150

(a)

ioo

50

o

t

(s)

If ,<lf>0 IA)

16)

135

130 ja)

125

0.01 0.0108 ~~)

Fig. II, a) Evolution du courant dans le filtre la) _: mod61e exact ; (b) _: D,P,H, b) Evolution du courant dans le filtre, d6tail de la figure I la (a) mod61e exact ; (b) D,PH,

[a) Evolution of the filter _current (a) exact model _; (b) FHD, b) Evolution of the filter current, detail of Figure la (a) _: exact model _; (b) _: FHD.]

Conclusion

La m6thode

dynamique

du

prenfier harrnonique

_propose une

approche

unifi6e _pour la mod6-

lisation des

parties

continues et altematives des circuits comprenant ^des convbrtisseurs stati-

N° 2 MODELISATION DE CONVERTISSEURS AC-AC 159

~~~ (a) (b)

o

-1

0.010 0.0104 0.0108 ~~~

iLlt)

IA)

jai

ioo

50

o

50

-ioo

t

(s)

0.010 0.0104 0.0108

Fig, 12, a) Evolution de la tension _aux bomes du condensateur C la) mod~le exact (b) D,P.H.

b) Evolution du courant dans la charge _; (a) _: modme exact ; (b) D,P,H.

[a) Evolution of the capacitor C voltage (a) exact model (b) FHD. b) Evolution of the load _current

(a) exact model (b)_: FHD.]

ques; ^elle est bas6e _sur le

d6veloppement

en sine de Fourier

complexe

des

grandeurs

61ectriques

_au

premier

^{ordre; les} coefficients de Fourier, variables dans le temps, sent calcu16s _{sur une} fendtre

glissante

dent la dur6e _est

6gale

^h la

p6riode

de fonctionnement du convertisseur _{; comme nous} le _montrons dans l'article _cette m6thode perrnet de

prendre

en

compte de manibre satisfaisante le

couplage

des

dynamiques

des

grandeurs

altematives et continues _; la mod61isation des

g6n6rateurs

h induction, _{en vue} de leur

pilotage

et de

l'opti-

misation des installations, _par

exemple

en alimentant

plusieurs charges

h

partir

^{d'un seul}

convertisseur, est un domaine

d'application

trbs int6ressant de cette m6thode.

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