CALCUL MATRICIEL
Dans la même collection :
A. BLAQUIÈRE : Calcul matriciel.
Tome 1 : Application à la Physique.
M. Y. BERNARD : Initiation à la mécanique quantique.
Austin BLAQUIÈRE
Maître de Conférences de l'Enseignement Supérieur
C A L C U L MATRICIEL
Tome II
Application
à la mécanique quantique
CLASSIQUES HACHETTE
79, Boulevard Saint - Germain, Paris V
« La vérité est concrète. » BERTOLT BRECHT.
@ Librairie Hachette, 1960.
Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays.
AVANT-PROPOS
CE TOME marque une deuxième étape dans l'étude et l'application du calcul matriciel.
La Mécanique Quantique, qui en constitue le thème, nécessitera l'acquisition de notions plus générales, plus abstraites, que celles du premier volume d'initiation. L'effort est justifié par l'importance de premier plan qu'a prise la Mécanique Quantique dans la Physique moderne.
Le lecteur, qui se sera exercé à l'usage du calcul matriciel sous sa forme la plus simple, doit s'adapter sans peine à sa généralisation, qui lui apparaîtra rapidement comme une gymnastique formelle.
Le principal écueil sera ce que l'on considère ordinairement comme l'abandon de certains principes de logique traditionnelle. Il résulte sans doute d'un classement des faits physiques qui a habitué parfois l'étudiant à penser de façon dogmatique. L'idée que les phénomènes classiques sont « concrets » est si couramment admise qu'elle lui masque la nature toujours abstraite de leur des- cription, et lui évite de réfléchir aux relations entre ce cadre mathé- matique et le réel. Or il n'est pas plus naturel de représenter une vitesse par un vecteur qu'une grandeur de la Physique Quantique par un opérateur matriciel.
Le formalisme mathématique n'est jamais qu'un moyen abstrait, mais commode, de classer un ensemble de phénomènes connus et d'en prédire de nouveaux. De ce point de vue, le symbolisme de la Méca- nique Quantique ne se distingue pas du symbolisme classique.
Il est très probable que si, contrairement à l'ordre actuel d'acqui- sition des connaissances, l'étudiant était d'abord mis au courant des phénomènes quantiques, ces derniers seraient tout naturellement démystifiés.
Néanmoins, tenant compte de la progression existante, nous nous sommes laissé guider par deux préoccupations :
la première, de n'introduire aucune abstraction gratuite, de nous tenir le plus près possible des faits classiques, et de ne nous en détacher que progressivement, en soulignant leur analogie avec la Physique moderne ;
la deuxième, d'alléger au maximum les développements mathé- matiques, ce qui conduira à un exposé volontairement incomplet, de ce point de vue.
Il s'agira plutôt, ici, de démonter un mécanisme pour montrer ensuite comment les diverses pièces peuvent s'emboîter les unes dans les autres, et non de donner un exposé général de Mécanique Quantique. Ce cours trouve d'ailleurs son complément naturel dans celui de M. Y. BERNARD, Initiation à la mécanique quantique, publié dans la même collection. Tous deux ont été professés en effet parallèlement aux mêmes élèves du Centre Associé du Conservatoire National des Arts et Métiers de Saclay. Il s'agissait de les initier aux notions de base de la Mécanique Quantique, en leur en montrant deux aspects : l'aspect mathématique et l'aspect physique.
Si le lecteur désire approfondir ses connaissances en calcul matriciel, il sera suffisamment armé pour aborder la lecture de traités plus spécialisés, et nous espérons que ces « variations » sur un thème particulièrement riche lui auront fait entrevoir la perspective de grandes voies de pénétration.
CALCUL MATRICIEL
CHAPITRE I
MATRICES CARRÉES DE RANG n
La première partie de ce cours a été limitée à l'étude de matrices très simples :
— matrices carrées à quatre éléments,
— matrices vecteurs à deux éléments.
Malgré les restrictions imposées par cette hypothèse un peu rudimentaire, nous avons vu qu'elle se prête bien à l'analyse de certains problèmes physiques.
D'autres problèmes, tels ceux de la Mécanique Quantique, font intervenir des matrices plus compliquées. Cependant les règles d'Algèbre avec lesquelles nous nous sommes familia- risés dans le cas le plus simple subsistent.
Le principal effort du lecteur va être maintenant de s'habi- tuer à une écriture un peu plus générale, et à dessein, plus condensée. Ce chapitre n'introduira aucune idée nouvelle, il servira principalement de revision.
1.1. Introduction des matrices carrées de rang n.
On rencontre fréquemment en Physique des systèmes de relations linéaires homogènes de la forme
(1)
Ces relations permettent de passer d'un système de va-
riables x1,x2 . . . xn à u n a u t r e s y s t è m e .
Les exemples abondent. Nous avons déjà rencontré le cas d'un quadripôle auquel on applique à l'entrée une tension V1, et qui consomme un courant i1.
A la sortie, on recueille le courant i2 qui développe entre les bornes de sortie la tension V2. Les relations
donnent les valeurs de V2 et i2 à partir de celles de V, et ilt
Fig. 1.
Inversement, on sait calculer x19 X2 ... xn lorsque
sont donnés, par application des règles de CRAMER. Nous nous contenterons de rappeler ici les étapes du calcul déve- loppé dans les cours de Mathématiques Générales.
1° On formera le déterminant A du système d'équations
2° Le calcul ne peut être poursuivi que si ce déterminant n'est pas nul. Supposons donc que l'on ait :
∆≠ 0
3° On remplacera dans le déterminant A la colonne de rang k par , d'où le nouveau déterminant
40 L'inconnue xk(k = 1, 2, ... ou n) est donnée par
5° Si on développe le déterminant du numérateur par rapport aux éléments de la colonne k, on obtient une formule d'apparence plus simple, en désignant par le mineur relatif
à la c o l o n n e k e t à la ligne i, affecté d u coefficient ( — l)i+k
(2)
1.1.1. UTILISATION DE DEUX INDICES.
La matrice A attachée au système d'équations linéaires (1) se présente sous la forme du tableau des coefficients :
L'utilisation de deux indices, un indice inférieur et un indice supérieur, pour désigner chacun de ses éléments, se montre maintenant nécessaire étant donné leur nombre.
Cependant, il n'existe actuellement aucune convention géné- ralement admise quant à ces indices, aussi adopterons-nous la règle suivante :
Chaque élément étant à l'intersection d'une ligne et d'une colonne, l'indice inférieur désignera le numéro de la ligne et l'indice supérieur le numéro de la colonne.
On pourra alors représenter la matrice A par la notation réduite
En donnant à i et à k les valeurs entières de 1 à n, on obtient tous les éléments de la matrice.
Une matrice carrée à n lignes et n colonnes est dite de rang n. Elle comporte n2 éléments.
Les éléments semblablement placés dans deux matrices de même rang sont appelés éléments homologues.
1.1.2. DÉTERMINANT — MATRICE RÉGULIÈRE — MATRICE SINGULIÈRE.
Le déterminant de la matrice est
S'il est différent de zéro, la matrice est dite régulière.
D a n s ce cas s e u l e m e n t , o n sait calculer xt, X2, . . . xn, l o r s q u e x[, x2 . . . xn' s o n t d o n n é s .
Si le déterminant A est nul, la matrice est dite singulière ou dégénérée.
1.1.3. MATRICE INVERSE.
S u p p o s o n s q u e la m a t r i c e A soit régulière.
étant donnés, on sait calculer X2 ... Xn par application des règles de CRAMER résumées plus haut.
On est conduit au système d'équations (2), qui s'écrit sous forme développée :
(3)
La matrice attachée à ce nouveau système, qui permet de
p a s s e r de à x ^ X2 . . . xn, est la matrice inverse de
A, soit :
Elle est construite à partir des mineurs de la matrice A.
Si la matrice A est singulière, elle n'admet évidemment pas de matrice inverse.
1.2. Représentation d'un opérateur linéaire par une matrice.
Nos remarques géométriques s'étaient appliquées jusque- là à des vecteurs du plan, ce qui ne nécessitait l'emploi que de deux composantes par vecteur.
Dans un espace à trois dimensions, les vecteurs seront décomposés sur trois axes.
Plus généralement, dans un espace à n dimensions, il faudra se donner n vecteurs de base el, e2, en, d'où n composantes par vecteur.
Considérons par exemple un espace à trois dimensions, rapporté à la base . A chaque vecteur de cet espace sont attachées les trois composantes x1, x2, x3.
On peut lui faire correspondre un vecteur , de composantes, x[, X2, x3, par la donnée du système de relations suivant :
Ce système d'équations linéaires homogènes définit donc une transformation vectorielle.
Fig. 2.
Il est équivalent de dire que la matrice
est un opérateur qui transforme V en V', suivant
L'opérateur A est linéaire car il possède certaines propriétés, dont on a reconnu la généralité, et qui ont été adoptées comme relations de définitions des opérateurs linéaires.
En particulier, on vérifie aisément que
1° Si et sont deux vecteurs quelconques, on a (4) —y
2° Si V est un vecteur quelconque et cc un scalaire quel- conque, on a
(5)
Ces propriétés sont tout à fait intuitives. Avec quelque attention, le lecteur pourra reconnaître qu'elles sont constam- ment utilisées, même dans les calculs les plus simples.
1.3. Algèbre des matrices carrées de rang n.
Nous rencontrerons ici un exemple d'application des notations condensées utilisant deux indices. Le lecteur devra maintenant s'habituer à cette « gymnastique » qui allège beaucoup l'écriture.
Nous l'engageons cependant au début à développer com- plètement les égalités condensées, ce qui aura deux avantages : 1° celui de lui apprendre à manipuler les signes de somma- tion sur un ou deux indices;
20 celui de lui montrer l'encombrement des relations déve- loppées, acceptables seulement lorsque les matrices sont très simples (par exemple à quatre éléments), et de lui faire claire- ment ressortir la nécessité de condenser l'écriture.
1.3.1. ÉGALITÉ DE DEUX MATRICES DE MÊME RANG.
Soient les deux matrices
Elles sont égales si, les faisant opérer sur un vecteur quel- conque , elles conduisent au même transformé .
On doit donc avoir
A V = BV quel que soit V Les composantes du vecteur A V sontl :
celles de BV sont :
L'égalité des matrices A et B est donc traduite par le système de n relations
Ces relations, devant être vérifiées quels que soient Xle X2 ... Xn, entraînent l'égalité des coefficients respectifs
(6)
Ainsi deux matrices de même rang sont égales si les élé- ments homologues sont égaux, et réciproquement.
1.3.2. SOMME DE DEUX MATRICES DE MÊME RANG.
Soit un vecteur V quelconque.
Faisant agir sur V la matrice A = | af J on obtient le vecteur transformé AV.
D'autre part, la matrice B = | bf | conduit au transformé BV.
n
1. Le signe E indique qu'il faut sommer sur l'indice k, en donnant à ce dernier les valeurs 1, 2, . . . n. Au cours de cette sommation, l'indice i est k=l maintenu constant; ce n'est qu'en suite qu'on lui donnera les valeurs successives 1,2, , .. n,
Faisons la somme des vecteurs A V et BV, ce qui conduit au —
vecteur résultant
Par définition, la matrice somme C = A + B est la matrice qui fait passer du vecteur V au vecteur somme .
On écrira :
ou C = A + B
Fig. 3.
a pour composantes de même pour BV
La relation de définition s'écrit alors :
Cette relation devant être vérifiée quel que soit le lot de valeurs x19 X2 ... Xn entraîne
(7)
Les éléments de la matrice somme s'obtiennent donc en faisant la somme des éléments homologues des deux matrices données.
La règle s'étend à la somme de plusieurs matrices.
1.3.3. MATRICE NULLE.
Une matrice est nulle si, opérant sur un vecteur V quel- conque, elle conduit à un vecteur nul.
La condition —> —
AV = 0 quel que soit V entraîne
quels q u e s o i e n t x1, x2 . . . xn.
D'où : (8)
Une matrice nulle a tous ses éléments nuls.
1.3.4. MATRICE UNITÉ.
Une matrice est dite « unité » si elle laisse inchangé tout vecteur sur lequel elle opère.
Quel que soit V on doit donc avoir . ce qui conduit à
quels q u e s o i e n t x1, x2 . . . xn.
On en déduit
La matrice unité a donc des éléments diagonaux tous égaux à l'unité. Tous les autres éléments sont nuls.
Elle s'écrit par conséquent :
(9)
Le nombre de lignes et de colonnes dépend évidemment du rang considéré.
est le symbole de Kronecker, égal à 1 pour i — k, égal à zéro pour i ≠ k
1.3.5. PRODUIT DE DEUX MATRICES DE MÊME RANG; COM- MUTATEUR.
Étant donné un vecteur V quelconque, faisons-lui subir une première transformation de matrice A
On obtient le vecteur V' —
Une deuxième transformation, opérant sur V', conduit au — vecteur V". Soit B sa matrice
On a
ce qui revient à écrire V" = CV
C désignant alors la matrice qui fait passer directement de à , on posera
C = BA
C est appelé produit à gauche de A par B. Généralement le produit C = BA n'est pas commutatif, d'où la nécessité de préciser l'ordre des facteurs.
BA ï AB La différence AB — BA
généralement différente de zéro, est appelée commutateur de A et B.
1.3.6. LOI DE FORMATION DU PRODUIT.
Les composantes de V' sont et celles de Y"
Afin d'expliciter la matrice produit C, qui fait passer direc- tement des composantes x aux composantes z, on rempla- cera ym dans l'égalité ci-dessus par son expression en fonction de x1, x2 ... xn. Il vient
La relation devant être vérifiée quels que soient x,, X2 ... xM on doit avoir
(10)
Cette formule très condensée, qui indique la loi de forma- tion des éléments de la matrice produit, sera plus claire appliquée à un exemple.
Soit donc à effectuer le produit des matrices de rang 3 :
Pour obtenir le premier élément du produit, on fait le produit des éléments de la première ligne de A par les éléments de la première colonne de B, et l'on ajoute ces produits partiels.
On opère de même pour les autres éléments. Nous dirons qu'on fait le produit « ligne à colonne » pour indiquer que la matrice de gauche est épuisée ligne après ligne, et la matrice de droite colonne après colonne.
On obtient la matrice produit C = AB
On reconnaît la même loi de formation que pour le produit de deux déterminants. Il s'ensuit que le déterminant du pro- duit des matrices A et B est égal au produit des déterminants de ces matrices :
Comme les déterminants sont des nombres ordinaires, le produit de deux déterminants est toujours commutatif, même si les matrices dont ils sont issus ne commutent pas.
On a donc :
dans tous les cas, même si AB ≠ BA
REMARQUES :
1° On vérifiera aisément la non-commutativité du produit AB dans le cas général sur l'exemple précédent.
20 On peut vérifier de même les relations d'associativité et de distributivité suivantes :
A(BC) = (AB) C associativité A(B + C) = AB + AC distributivité 30 Le produit de plusieurs matrices s'effectuera de proche en proche, en les associant de la manière la plus simple pos- sible, et compte tenu de la non-commutativité.
A part la non-commutativité des facteurs, les règles de l'Algèbre des matrices sont donc très voisines des règles de l'Algèbre des nombres ordinaires.
1.4. Opérations spécifiques de la théorie des matrices.
Dans la première partie de ce cours, nous avons rencontré des opérations spécifiques de la théorie des matrices, c'est-à- dire des opérations qui sortent du cadre de l'Algèbre élémen- taire résumée ci-dessus. Nous avons été conduits à définir les matrices transposées, conjuguées, associées ou adjointes.
Ces notions jouent un rôle très important en Mécanique Quantique, nous les rappellerons donc brièvement.
1.4.1. MATRICE TRANSPOSÉE.
On appelle matrice transposée A' d'une matrice A, la matrice obtenue en permutant les lignes et les colonnes de cette dernière.
Cela revient à effectuer une symétrie par rapport aux éléments de la diagonale principale. Soit
la matrice donnée.
La matrice transposée de A est
Par exemple, pour une matrice de rang 3, on aura
1.4.2. TRANSPOSITION D'UN PRODUIT.
On établit que la transposée d'un produit de deux matrices est égale au produit des transposées des facteurs pris dans l'ordre inverse.
Soient A et B les matrices données : Leurs transposées sont respectivement : Les éléments du produit C = AB sont
La transposée du produit aura donc pour éléments : Ce qui établit la loi de formation de C' :
(11)
Cette règle s'étend aisément à des produits comportant un plus grand nombre de facteurs.
1.4.3. MATRICE CONJUGUÉE.
Nous aurons à utiliser des matrices dont les éléments seront
des nombres complexes. -
Dans ces conditions, on appelle matrice conjuguée A d'une matrice donnée A, la matrice obtenue en prenant les conju- gués des éléments de la matrice donnée.
Ainsi les éléments homologues de deux matrices conjuguées sont par définition des nombres conjugués.
Il est bien clair que la matrice conjuguée d'un produit est égale au produit des matrices conjuguées des facteurs, on a :
(12)
1.4.4. MATRICE ASSOCIÉE OU ADJOINTE.
On appelle matrice associée ou adjointe d'une matrice donnée la matrice obtenue en faisant subir à cette dernière les deux transformations précédentes :
La matrice A étant donnée, on prend d'abord sa trans- posée A', puis on forme la conjuguée de A', soit S . Cette dernière est par définition l'adjointe de A. On la représente par A*.
Par exemple, pour une matrice de rang 3, la succession des opérations est la suivante :
On voit que l'on peut intervertir les deux transformations, prendre d'abord la conjuguée de A, soit A, puis la transposée de A, soit . Le résultat est le même,
Les lois concernant la transposition et la conjugaison con- duisent à la nouvelle règle :
La matrice adjointe d'un produit de deux matrices est égale au produit des adjointes des facteurs pris dans l'ordre inverse.
Si A et B sont les matrices données, on a:
(13)
Cette règle s'étend aux produits comportant un nombre quelconque de facteurs.
EXERCICES
I. - Soient les matrices
Calculer les produits AB et BA.
Rêp.
II. — Une matrice carrée est dite diagonale si tous ses éléments en dehors de la diagonale principale sont nuls. On utilise dans ce cas la notation suivante :
Si A = diag (a1, ... an) et B = diag (b1, ... bn), montrer que l'on a AB = BA
C désignant une matrice de rang 3 d'éléments , et A, une matrice diagonale de rang 3, A = diag (a1, a2, a3), calculer AB et BA.
III. — Établir que la condition nécessaire et suffisante pour que la matrice M commute avec toute matrice de la forme c1P + c2Q + c3R (c1, c2, c3, scalaires quelconques) est qu'elle commute séparément avec les matrices P, Q, R.
IV. — Établir que la condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice S de rang 2 commute avec toute matrice de rang 2, est qu'elle commute séparément avec les matrices
Quelles sont les matrices S vérifiant cette propriété?
V. — En utilisant la méthode de l'exercice IV, établir que les seules matrices qui commutent avec toute matrice de même rang qu'elles sont les matrices scalaires, c'est-à-dire les matrices de la forme :
où X est un scalaire quelconque.
VI. — Établir les règles de transposition suivantes : (A + B)' = A' + B'
(cA)' = c A' où A et B sont deux matrices, et c un scalaire.
VII. — Inverser la matrice
Généraliser.
VIII. — Trouver l'inverse de la matrice
où l'on suppose a ≠ b ≠ c
IX. — Une matrice P vérifiant la relation :
P2 + P + I = 0.
Montrer qu'elle admet une inverse et l'exprimer à l'aide de P.
X. — Si le produit de deux matrices est régulier, montrer que chacune de ces matrices est régulière.
CHAPITRE II
REPRÉSENTATION D'UN « ÉTAT » PAR UN VECTEUR
2.1. Généralisation de la notion de vecteur.
Les vecteurs jouent un rôle de premier plan dans la Physique moderne.
Ils se prêtent, en effet, à la représentation schématique la plus simple et la plus précise de l' « état d'un système ».
Mais qu'appellerons-nous « système » et « état » d'un système?
Le système le plus simple que nous aurons à examiner sera le point matériel, par exemple un photon, un électron ou une particule lourde telle qu'un proton.
Du point de vue classique, son « état » pourra être caracté- risé par sa position dans l'espace et sa vitesse.
Le choix de trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz permet de repérer la position de la particule M par ses trois coordonnées x, y, z, mais il est plus simple de la repérer par le vecteur OM.
Fig. 4.
La vitesse de la particule est, elle-même, définie par le vecteur :
dérivée du vecteur OM par rapport au temps de composantes
Vx, Vy, Vz,
2.1.1. ESPACE DE CONFIGURATION, OU EXTENSION EN PHASE.
La position et la vitesse de la particule peuvent être repré- sentées par un vecteur unique, grâce à une convention com- mode qui conduit à la notion d'espace de configuration, ou extension en phase.
Plaçons-nous dans le cas le plus simple, où la particule M se déplace sur un axe Ox. Le vecteur de position OM et le —^
vecteur de vitesse V ont même support Ox.
Fig. 5.
Choisissons un axe Oy, perpendiculaire à Ox, sur lequel nous porterons, à chaque instant, la mesure v de la vitesse du point M.
Ainsi, au point M de l'axe Ox, nous faisons correspondre le point m du plan xOy, de coordonnées :
La donnée du point m, ou du vecteur Om, renseigne à chaque instant sur la position et la vitesse du point M. Le
CHAP. VIII. — Moments angulaires. Spin 180
1. Définition d'un moment angulaire 180
2. Formalisme opérationnel 181
3. Commutateurs 182
4. Moment angulaire total 184
1° Interprétation physique, 185.
5. Symbolisme matriciel 186
6. Les opérateurs Lx + iLy et Lx - iLy 187 7. Projections sur oz du moment angulaire total, le s p i n . . . 188
1° Interprétation physique, 189. — 2° Valeurs entières et non entières de 1, 194. — 3° Les nombres quantiques. Etats 8, p, d, f, 197.
8. Spin et formalisme matriciel, théorie de Pauli 200 1° Mise en forme de la matrice Lz, 200. — 2° Mise en forme des matrices Lx et L y, 201. —3° Relation avec les nombres hypercomplexes. Définition matricielle du spin, 204. — 4° Les composantes du spin, 204. — 5° Manifestation physique du spin. Limite de validité de la théorie de Pauli, 206.
ANNEXE I. — Fonctions d'onde des particules à spin. 211 1. Vecteurs d'état d'une particule à spin 211 2. Produit hermétique de deux vecteurs d'état, dans le cas des
particules à spin 213
3. Opérateurs de spin et opérateurs de position 214 ANNEXE II. — Addition des moments angulaires . . 217
1. Principes généraux 217
2. Addition du moment angulaire orbital et du spin d'une
particule 219
3. Addition des spins de deux particules 223 1° Fonction d'onde d'un système formé de plusieurs parti- cules, 223. — 2° Système formé de deux particules à spin, 225.
Bibliographie 231
Index alphabétique . . . 233
Imprimé en France par Brodard-Taupin, Imprimeur-Relieur, Coulommiers-Paris.
55993-1-10-2698. Dépôt légal n° 2286, 4" trim. 1960.
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