Influence of an Interface Condition and Exact Linearization in the Newton Iterations for Two-Phase Flow in Heterogeneous Porous Media

Texte intégral

(1)Influence of an Interface Condition and Exact Linearization in the Newton Iterations for Two-Phase Flow in Heterogeneous Porous Media Jennifer Niessner, Jean Roberts, Rainer Helmig. To cite this version: Jennifer Niessner, Jean Roberts, Rainer Helmig. Influence of an Interface Condition and Exact Linearization in the Newton Iterations for Two-Phase Flow in Heterogeneous Porous Media. [Research Report] RR-4903, INRIA. 2003. �inria-00071680�. HAL Id: inria-00071680 https://hal.inria.fr/inria-00071680 Submitted on 23 May 2006. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. Influence of an Interface Condition and Exact Linearization in the Newton Iterations for Two-Phase Flow in Heterogeneous Porous Media Jennifer Niessner — Jean Roberts — Rainer Helmig. N° 4903 Aout 2003. ISSN 0249-6399. ISRN INRIA/RR--4903--FR+ENG. THÈME 4. apport de recherche.

(3)

(4)

(5) '(!)*,+-),

(6) ACB,

(7) D3. .

(8) !

(9) . !. /.10234

(10) . !. E2*

(11) F-

(12) 7G>

(13) *

(14) 7IH. . "$#% &. 56!

(15) 78

(16) ):9;3<

(17) 6=?>@. 7 !. JKMLL*NPOQKMR%STNUKMVWVWL/KXRZY\[]J5K_^5La`cbedfKMR!gWVih%[&`T^5NjL/KXRlkmKMnUoCNPprq s-tvu!wTx)yz {X|}w~v|} lx!_|}wm|}|} xMu!wTx!D!wmv}x _x! ix!|}wmx v x)xtvx!tvx 5y ¡z. ¢D~_¤£ z. cv¥x. ¦ §*¨!©Wªi«?¬©$® }M¯°tvx,x¥x! vx|±|}x!ct?Z²x ³|´wT µ|´ _¶?~vx! vx· CwlZ}x%wµ~_´|¹¸ % vt?x¶?~v| ¶?Wº» ve6|´ ¼e~v6wmx |}_½)¾°xµ¿PM~v6x!x!|´´ ¼tvx|´ Àx¿Ux Á x!Âºxx |´Ãexx fwlx|´] ´|} vx|´ÄZ|} tvx!wTx!|´ x!)|}wmvW²xtvx-x,ÅT!|}x! v! ¿/tvx) À~vwmx|}ZÆ|´wµ~v!½ ÇÈÉrÊËµÌ ªÍ/¨ wµ~_´|¹¸Âvtvx6¶?Wº)ÎÆtvx,x!¥x! vx~v6MxwmÎÏ À~vwmx|}Z*}~_|} rÎe|´ Àx¿Ux |´|} rÎ_ v _}|} _xZ-´²x. Ð/Ñ ÒiÒÓ,ÔjÕ/ÖW×ØPÕÙÑ Ú!×]Öi×]ÛÜÝ/Þß×ØjØjài×Ô á*âÔjÓ,ãP×QÕäØUÕjÞæå×,Üeçè,ééêëWè!ìeíïîê èððéè!ìZñêéWìê òíëìÜ ó âÔjÓ,ãP×QÕäØUÕjÞæå×,ÜeçèZò éÆíïôiõ,öiè!ìZ÷ð,ñêéWìêòíïëìÜ øÆù àØPÕúÞûÕúüWÕý¹þiÔÿµÑ,ØúØj×Ô Ñ ü /àiÞ !×ÔÙØUÞßÕ . Õ ÕjüWÕjÕjÚÑ ÔjÕÜvôiòêéè!ìrí

(18) iè XêiñêðXí

(19) éê!ð÷W÷÷iò,ìZ÷íZèÜ. Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone : +33 1 39 63 55 11 — Télécopie : +33 1 39 63 53 30.

(20) %\ . . Q 1

(21) ,,

(22) . . IB!! )*!7/6,

(23) . ¼

(24) % 7

(25) B, /7< ·. 7Ï T7 !B,, ¼

(26) *l# . *

(27) F

(28) 7 ¨ x!]t!¥ |´ x Á }M À]~v vx|´ _¶?~vx! vx|´wT x&~_]! ~_}xwmx *x! }x) v wµ~_´|´vt?| À~vx"!T$#%!tvx´}xwlv| À~vxx ¡wm|}´|}x!~·x~Xe½'¤ & ¡(û# |} )! x!x ?|}!~v}|úxwmx !µwm|}x6x +*~X²Xx) M~_w,!| À~vx #ß~v _x! |±|} ß# |´ x¿Ux6x! x x!~X wl)|~M |±Ã-!x Î/|} _|.À~/#%!·$#æw,!}|}|} xc0#ûx!ÅmZ|´ ~;±²x~_ _ X¸Â´|} |}x1! 0#ß| x #û~v vx}|} Z |}|} lx,_,x½ 2 Ì ©W¨ Ê ¬43 ¨ ~v}x!wTx! À%wµ~v´|}vtv|5M ~_xÎMuwmx t! ¥u vxÎ }~_|} ³ À~vw,! |5M ~_xÎ |´|} û# |} x¿UxÎ?´²x~v v X¸Â´|} |}x # . . . Ù* . · 7IB,7I ]6,

(29) 7. . 023I

(30) .

(31)

(32) . . "!#

(33) $% &' (*)+ ,.

(34) c/7 -. 5 >. 2. . 4. _½IH. Í/« /. «X©2?. _½ £. `. yv½IH yv½ £ yv½æ yv½ßy. . /. -3-. 3 6ª1 / ¬819 3 È ¨« / Í;: È8< / 1ï©21 Ì / ¨ 7 È °«X©21j¬«3 2 Ì Í È 3 31 /A@ ÌBDCËÌ?Ê 6E?/«?¨ È 5 3 ÌMË È / W© «. J v|´~_|±²xx|} vtv|´va½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ _½*H ½IH J v|}´lx~vx)¸ {_~v|} x}|´ vtv|} ½½½½½)½½½½½½ _½*H ½ £ x}|±²x)/xwmxZ Á |}´|´Âç {_~_|} x}|´ vt_|} ½½½)½½½½½½ {Xx´x,|} _¥ctvx|}wTM& L | Á }x½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ _½æ£X½IH x~vxO?N wµ~_|} ½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ _½æ£X½ £ {X~v|´ P?N w~v|} \½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½. . 32. 3. È ªa1U¬« Ì Í È Z |}x!|´ÄZ|} ½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ {X~ Á wT|}S J }}MZ|} cN|´ v|´xdLf}~_wTxfe·x!t_ hgj® jiwTx,tv 3k ½½½½½ J v|}x |´ vxZ|}Ä|´ ½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ R wT_}xwmx |´ ¿tvx s/ v|´|}l J |´|´ º|´t _, |} _xZ|}ÄZ|} |} tvE x enmdNs³ x ½)½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ yv½ûyvI½ H s/ ²x!²M|}x,º ¿/tvx R wmv}x!wTx! À|´ ½½½½½½½½)½½½½½½ yv½ûyv½ £ +x Jv|´}}Xx!~_x ½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ yv½ûyv½æ s/ v|±|}3 J |±|´ ½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ yv½ûyv½ßy _,( o! Á | vs* v ½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ yv½ûyvW½ V J vx!p Z x!|´²|´²xs/ v ½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ yv½ûyvY½ X T|}x!tÀ%¿*tvx R wT_}xwmx x N?~v v!|} _ ½½½½½½½)½½½½½½ s-tvr x qtsvu_wAx"y{z|~}%3%2x"ye·x!t_ ½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½. . &. yv½WV . ÐÐ. d XV ½IH. -8=. _½æ£X½æ x~vx ¸{_~v|´ ·¿Pwµ~v}|´ ½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ ® ~v SR v|´|3L&}~_x ½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ R v´~v|´ ¿UTDx!x¥x _x|´Â ½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ s-tvx R x¿UO x J |´|´ ½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ Z xZ}|} _¥µº|´S t [ v}|´ vxZ|´|}x!&½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ _^½ X_I½ H ¾(xZ_ ¯ [D _}|} _xZ|´|´x ½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ _^½ X_½ £ {À v ¥ [D v´|} vx|±|´x ½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½. _½æ _½ßy _W½ V _Y½ X. =. . ©Zª Ì Í /¬©21 Ì. .0/. «. h9 3 È ¨. &. . H+ Z ]_wmv´x ½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ VX½*H½IH |} v!|}v´x¤?wTx,x!-~ |}x! ½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ VX½* H ½£ _wmv}x6~_|} _¥mx Xex!|}wmx ½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ VX½* H ½æ x~v´¿*tvxH+@ Z |} ²x!|´¥|} va½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½. àQ . -GF H+K H+K HW HW. £. £QH £QH ££ £ £y £]\ £]\ £]\ 43b £ K £ K H G. y. ]X. 8\ Ày £ Ày £ y y#V ={F y \ # y \ # V£ V£.

(35) y. & (

(36) E VM½ £. XX½ £ F. . . X. 2. ª *¨,© lÈ @ 1 Ì / È ©+? Ì Í x|´_|´ · ¢ v_}|} Á ´| }|´Â ½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ f|} v!|}v´x ¢D}¥|´tvw ½ ½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½. C ? n È C XX½IH Z . Fv \]V \]\. °«vª É « / Í Ì / ¬43$/Í 1 /A@ lÈ («vªÏ¨ F ¦ / « 3 É ©21U¬« 3v: È ª1_«_©21 È ¨ Ì3B"! #$&%('*) +-, !.0/ BúÌ ª 6 Ì 3 É / Ì h1U« 3132-4658794T« / Í;:=<>?>A@CBED FG>?<?HJI KL65M794 % È U3 «_©+1 Ì / ¨ ?%19*¨ % ' bON ¦ / « 3 É ©21U¬« 3 : È ª1 v«_©+1 È ¨ Ì3B;*"! #$&%(') +-, !Q.R/ BÙÌ ªS:=<>?>A@CBEDFG>T<?HJIU12V4W5X794$« / Í % ' KLY5Z794 % È U3 «_©+1 Ì / ¨ ?%19*¨ b34 «X©21 Ì / ÌB ©2? È C È ª ¨ BÙÌ ªm©2? È Ì / ¨ 1U¨!© È / ©\[ 1 / È «vª1Q]«_©+1 Ì / v« 3 / bv= . ¦ P. . J *½ H J. ½æ£ ½ß . J. ½ûy. J. J Y½ V :. ¢ £aZ@x _wT_}x ½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½. s*x!w R^ s* v¥x! ´xwmx de\|± ½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ s*x!w R R^ Lfx!¿/tvxtmD _¯M _iº _ K4 _79` ½½½½½½½½½)½½½½½½ 2 2 s*x!w R R'R^ Lfx!!ba cg 9dfe nm6 vWº R x|´ ({Mx! ) c9dfe 6tvx #*hji3k l s-|}wmx{Mx!¯porH ½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ s*x!w R L ½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ [D|´ %¿P-wTt x e\|´x!D Lfx!!½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½. Ky K X ]. . q«vª1P«_©21. 3. . Ì / 3Ì B 2© ? È A1Pªi© /« ¨!«_© ª«X©21 Ì 9 ª È ¨¨ /ª È ¨vuxww È / Z© ª É /. . /. 79`. e r"s. 2VtcÍ. È 9. È / Í%1 /A@ Ì /. K]X K \ 8 K]K. ©2? È ªi«_©21 Ì Ì3B. u xw. ON. '(!7Æ8

(37) $AC,F*7 H. £ . y. V X \. x¿PwT v!x¿ t_x·! x~v|} v¥ t_x|´ Àx¿Ux |´|} g &&{ R J Î&vt?x * vx!~_x)~v|} l¿Pw~v|} cº|´t|} x!¿U!x¤ |´|} k |´ %wm?|} g f{Î_t?xvx!~vxµ~_|} ¿Pw~v|} º|´t t_xwTwm wTx,tv º|´t_~_|} x¿Ux6 |´|} k ½ y H2V{z:½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ Z ( x |? _|´|´ ¿/tvx)x!vx!x! À|±²xx´xwmx %²}~vwmx g " L k ½)½½½½½½ Z ( x |? _|´|´ ¿/tvx6t_x)xwTºx!|} _¥l _ X¸Ùºx!|´ v¥¶?~v| Î?xex!!|´²x!Ć½ s&Mv|´Z~ } x"x"0z*dxAs x!|} º|´tC²M|´~?´|}Ä|´ ¿¤?wmx!x KO ½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ _ x!|´²x6xwTx Á |´}|´Â¸Ù~v|} mx!|} _tv|´ ¿ïx!8 }&x"x"0zdxAs ½½ Z ( x |? _|´|´ ¿ Á ~_ |´|} va½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ Z |} |´ À~v|´Â¿?wmx!x-tvx)|´ Àx¿Ux ½½½½½½½)½½½½½½. HW . HZy H V 2 HW £ ££ £ . ù Ý*Ð ù.

(38)

(39) . . HW H H ] Hi£ HW . HZy H V 2 H+X H \ 2 H+K. HW. £ £QH ££ £ £y £]V £X. ÐÐ. V. ¿-v|´}¡_x~vxÎ |´! |} À~v|±Â ¿-~v|´ tvx |} x!¿U!x ½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ £y J |´ M~_|´Â)¿?v|´}¤_x~vxÎ |´! |} À~v|±Â)¿?~v|´ *tvx |´ x¿Ux³£]V g }x,¿ï k x!}xwmx |´x x ¥| g |}¥tÀt? | x k y H+X{z ½½ ]£ V tv|}x x J v~_!|´ ·¿]! Æ²´~vwTx ½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ £ ® iwmx!tv ~v|} v ¥ N?~v´´ mDº|} |} vW ¥ y H+X{z ½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ £ ]²}~?|} ¿*tvx)wT|´ v|}wµ~_w4v|´}mvx!~vx)¿P- v x)|r½½½)½½½½½½ ]K s* v|´|´ |´|} -tvx)|} x¿Ux½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ y {_~v|} _-tvx)|´ Àx¿Ux ½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ yÀ£ {Xx!~v ·Á ~_ |´|} v ¿*tv x H+Z@x,_wmv}x ½½½½½)½½½½½½ 8y K KOL{5 794 x}|´ vtv|}vÏ¿P |´Ãexx ²´~vx*¿vtvx |±Ãrx!x! vx s-tvx 12 5 794 8 |} x vx~vx g Zx ^ |´¥tZÎ Á ^&Á wI}x!¿ïÎ_ ^&Á wI|}¥tÀ k ½ y KOL5 794 x!|} _tv|´vÏ¿P |±Ãrx!x! À*²}~vx!*¿vtvx }&x"x"0z s-tvx 12 5 794 dxAs°?wTx,x! g x ^ l|}¥tZÎ Á ^Á w<´x!¿ïÎX ^]Á w»|}¥tÀ k ½½½)½½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ V KL5\794 x}|´ vt_|}v¿P |±Ãrx!x! À*²}~vx!]¿?tvx-x,X vx s-tvx 12 5\794 ~ xl¿tvxTe´M vwm| 132 ¿P~v v,|´ v g Zx% ^ (|´¥tZÎ Á ^Á w }x,¿ïZÎ ^ Á w |´¥t k ½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ VQH s-tvx 12 5 794 KOL95 794 x}|´ vtv|}vf¿P&tvx º Zx w Á |} v|´ ¿*?wTx,xÎ KO *_Î

(40) Î ½ ½½½½½½½)½½½½½½ VQH {X|}w~v|} |}wmx ¿P~v v,|} %¿wTv~X|} _¥|´wTx À~vw Á x!¿ v _}|} M¸ xZ|´x|´ v6x)|}wmxcx°¿P KO *_Î Î* ! ½½½)½½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ V {X|}w~v|} c|´wTx¤¿P~v v,|} wmv~_|} v¥|}wmx6 À~vw Á x!-¿ _ v}|´ vxZ |´x|} vx-|´wTx¤x!·¿P" KO#$ *_Î % Î? ! ½½½½ Vy {X|}w~v|} |}wmx ¿P~v v,|} %¿wTv~X|} _¥|´wTx À~vw Á x!¿ v _}|} M¸ xZ|´x|´ v6x)|}wmxcx°¿P KO&' *_Î Î* ! ½½½)½½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ V]V {X|}w~v|} |}wmx ¿P~v v,|} %¿wTv~X|} _¥|´wTx À~vw Á x!¿ v _}|} M¸ xZ|´x|´ v6x)|}wmxcx°¿P KO *_Î ( )! Î* ! ½½½)½½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ VX {X|}w~v|} |}wmx ¿P~v v,|} %¿wTv~X|} _¥|´wTx À~vw Á x!¿ v _}|} M¸ xZ|´x|´ v6x)|}wmxcx°¿P KO *_Î

(41) Î* ! ½½½)½½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ V]\ {X|}w~v|} ¼|}wmxlµ¿P~v v,|} ¿-!wT_~_|´ v¥|}wmxl M~_w Á x!µ¿- _ X¸ }|´ vxZ|´x|´ v xD|}wmxx! ¿P* KO+,- _Î ./ ÎÆ , ½½½)½½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ VK J |´ M~_|´Â. K. "!#

(42) $% &' (*)+ ,. àQ . &.

(43) X. & (

(44) E . £\ £aK £ QH £ y ]V X. ]\ K y. yGH. X{ |}wµ~_|} ¼|´wTxT·¿P~v v!|} °¿-wTv~X|} _¥|´wTxT À~vw Á x!µ¿- v X¸ }|} _xZ|´x|} v x |}wmxx¼¿P KO+,- *_Î ./% ÎÏ ½½½)½½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ {X|}wµ~_|} ¼|´wTxT·¿P~v v!|} °¿-wTv~X|} _¥|´wTxT À~vw Á x!µ¿- v X¸ }|} _xZ|´x|} v x |}wmxx¼¿P KO+ *_Î ./

(45) ÎÏ ½½½)½½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ L&|}|´ ¿/t_x _ ²X|´~? ¿*tvx¤²M|´~v g k ~v|´ ½½½½½ 132-4;5X794 ¿P~v _!|´ v6 x!xv _xx 794 & ¿P¤tvx º)Zx x! ¿vwmx!x8½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ {X|}wµ~_|} |}wmx-W²x!&!wmv~_|´ v¥¤|´wTx v v´|} vx]|´x|´ v¿P X¸ g ~vvx|}¥tÀ k Î vµ À~vwmx|´ gPÁ w ´x!¿ï k _x,_, gUÁ w |}¥t k ½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ Lfx|}Æ~v|´ vE |?}x!¿P ¿P~v-tvx ·|´wTx¤x!v ½½ Lfx|}Æ~v|´ vE |?}x!¿P v- À~vwmx|´ ¿P~v-t_x! |´wTx x!v Lfx|}Æ~v|´ vE |?}x!¿P v-x,_, -¿P~v-tvx ·|´wTx¤x!v {Xx!~v¿*tvx)x,Xex!|´wTx! ÀD! |} _¥c 3s ½½½½½½½½)½½½½½½ {_~_|} }x!²x´ ¿fs J¿PDtvxµx,Xx|}wmx 6¿ïx 3s x,)j½e.

(46) ½s/ ^ Î?wm| v }x ^ v M~_wTx!|}Î Á w ^ vx,_!½ ½½ {_~_|} }x!²x´ ¿fs J¿PDtvxµx,Xx|}wmx 6¿ïx 3s x,)j½e.

(47) ½s/ ^ Î?wm| v }x ^ v M~_wTx!|}Î Á w ^ vx,_!½ ½½ {_~_|} }x!²x´ ¿fs J¿PDtvxµx,Xx|}wmx 6¿ïx 3s x,)j½e.

(48)

(49) ½s/ ^ Î?wm| v }x ^ v M~_wTx!|}Î Á w ^ vx,_!½ ½½ {X|}wµ~_|} |´wTxTi²xcwTv~X|} _¥\|´wTxl v v´|} vx|±x!|} v¿Ptvx wT xx!~v! |} v¥t_x x,Xx|}wmx / ¿ 3s % ½ mD_ex!*|}¥t ^ X¸ Î Á w ´x!¿ï v À~vwmx|} Î Á w |´¥t vx v! ½ ½½½ Z x v|} v¿P-}MZÏ ¥} Á e²x|}!x ½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ Z ( x |? _|´|´ ¿/tvx6²|}|´ v ½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½. V. X. X£ X . Xy X X ] X \ 8 X]K X. \QH \£ \ . \y \ X H G. '(!7Æ8

(50) 9° B,7. . £. H. wTx,x!~vx ¿Ptvx6v|} v!|}v´x¤?wTx,x!-~ |}x! ½½½½½)½½½½½½ wTx,x!T²}~_xc¿PT!x¼ wTx |}~_w ¯x ¿Pw L66¢6{ x,Xex!|´wTx! À½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½½½½½)½½½½½½ {_ vex!|´x¿Ptv x %3s (x,Xx|}wmx ½½½½½½½½½½)½½½½½½. y V£ \. ù Ý*Ð ù.

(51)

(52) . "!#

(53) $% &' (*)+ ,. \. 02

(54) /6,

(55) . .

(56) . s.

(57) . . . . s. . (. . # 12%$ * /. 02143 0 u6567 3 8 9s a. (. KO. C$ ÐÐ. : ; =!. A@. l. C. :<; =!. KOL. K. "!. '&( )! + ,! - "!. a. K. ÀÆ²}~_wTxÎ Á Z¿P²xx s qtsvu_wAxUy |}x!|} }|´ v¥¿U!¿P|}wmx¤x x´xwmx x, ¿x!}xwmx x, ¿x!}xwmx |´ vx ²xx, s |´¥t¸Ùt? | x¤¿P o! Á |} Mxw x,¿Px!x!w x À~?|} Xx!w

(58) ¥W²M|±Â%²x!! |´x,|´ ¿*tvx)¥ |}x! À wT|´ ¿|´ xx 5 x!|´²x6ex!wmxZ Á |´}|±ÂT¿vtvx |} |} _|} ex!wmxZ Á |´}|±ÂlZ} |} |} _|} ex!wmxZ Á |´}|±ÂTx v ÎvwT|±T¿P o Á | Xx!w v¥x x´xwmx wl|¹ ~v x À~vw Á x¿*}|´ vx6xt·xv À~vw Á x¿*vt?x g tvx!x)x À~?£ k vwlr²x!!¿P Á Z¿U!x|} x!¥|} e|´ tvex)¿P~v v,|´ ¿²xx, s vx~vx Zv|}´lvx~vx |´v}x!wTx! À_x~vxÎ ® M¯À QJ x,?wTx,x! x vx~vx 5Zv|´}}Tvx!~vx¿/tvx Á |´¥¥xex À~vw Á x¿!~?Ï´|} vx¤xZt

(59) Îvx!| |?)¶?~X

(60) ~v!xxwI¿P-vt?x. ?>. D&E GF6IHJGF i K!. àQ . +<; =! B<; =! L K!.

(61) K. & (

(62) E . )!. ~v|} 5 x!Ãex,|´²x~_|} ÆÎ 794 l % % ! 5 d % ! % ' ! x!| ~?Ï~v|´ 5 Æ´| À~v| ~_|} 5 |´wTx

(63) ²x!!D¿*~v v¯À vWº v¿P o! Á | Mxw·Î!x,|} v-¿P-v|´wlm²| Á }x! ²x!x Z¤!²x!}M|±Âl²x!! x, ¿/²x!|}x! º x!|}¥t|} v¥¿P~v v,|´ ¿P²x!x s ?|r²|} Á }x ²x!!Dtv |´ v¥µtvx)v|}wTm²|} Á ´x Á X!x x! ¿*x´xwmx " ?|r²|} Á }x ¥x x,|}6t_x|}¥tÀ. 7 7 l 792. K!. k s . L )! L !. . 79t. . !. s. !. ! !.

(64) . . & . (#. s. . 1s` ` 1 . s" ! $l # %. %. %. %'&. @. ~ Á |}_D|} |}|´ v¥ · Á |´%vt?x _ À¿Ptvxrqtsvu_wAx"y(wmx!tv x´x k m6 vx!¯x! û x!´ g |´ ¿ ¥| º| t À~vwTx!|´Zr|}wmx¤x

(65) !~v! ¿/tvx)´|} vx}~_|} |´ tvxrqtsvu_wAx"y;wTx,tv !~v! ¿/tvx) v v}|´ vxZ ´~_|´ |} t_x qfsvu_wAx"y(wmx!tv |} x!¥6i²x~ Á ¸Ù 6²}~vwmx¼¿Ux Á x!Âºxx ²xx, ²xx, s }xwmx ® ~v Á x,Âº x!x \ÂºT~ Á wT|} v-¿ |} x!¥|} ?t~v ÀÆ²}~_wTx s Z |}|}tv´x! Á ~v [Dx!~vwl v Á ~v . $ e( ,. $ e). 1. !. @. K!. #. (. ( . |} . ù Ý*Ð ù.

(66)

(67) . . wmv|´ v¥µ¿U!¿Ptvxrqtsvu_wAx"y°wmx!tv ® X¯À GJ x, ?wTx,x! 5

(68) 1 wm Á |}´|´Âm¿*vt?x M ?wm|}¤²M|´|´Â 1

(69) x! v|±Â 1 |´Â 5 Æx |}A yûE z v¥x Á x!Âºxx qtsvu_wAx"y |}x!!|} · ¥ |´x . %>. $ . . A F ! )!. . 0. # s. K . @ @. 1. 0. #. @. . # @. Á x } v¥|} _¥µc~ Á wT|´ _x½û¥v½ s , wT|} s |} x, ?~v x |} _|´|} |} x, ?~v x |} x, ?~v x |} x, ?~v x v M¸Ùºx!|} v¥cvtvx [D¢ vt?x ºx!|} v¥mvt?x)º x!Dvtvx. s. . + )! +&( H =! IHJ ?!.

(70) . #. . "!#

(71) $% &' (*)+ ,. @. . .

(72) !. |´wTx x! |´x|´ x 1. ". ® X¯À%>GJ x,. ! %$& #. ® J. &ji. ®. Z [¢¤ N]. ÐÐ. . àQ . Á W wTx,tv v M¸Q À~vx!~vvt?x´| À~v| x vxt? º x |? v|±x)x´xwmx . . . # s. ¿Pt_x_x~vx|´ ~ Á ¸.

(73) HW. & (

(74) E . N"m. ¿P~v}±l~_Àº|´ |? v|±x6²´~vwmx ¿P~v}±l~_Àº|´ \Á Zwmx!tv g ¿P~v}±l~vº|´ |v v|´x)²}~_wTx6wmx!tv k |} v!wmv}x,x x!wm|±|} ±²x |} ²x!xv|}´mvx!~_x~_|} x|} vtv|´%¿P-~ Áe wl|´ s v vx ¸Q À~vx!~vvt?x)}| À~v| t?xx!~_x{_~_|} g ¿Pwµ~v}|´ k M~_~?´´ K4=5M79` ¿Pwµ~v}|´ t?xx!~_x\{_~_|} g ¿Pwµ~_|} k º|´t R Àx¿Ux J |´|´ ~v~?}´ K4=5Z79` ¿Pwµ~v}|´ lº|±t x,Mx! x Zv|}´lvx~vxx M~_|}}| Á |´~vw |´|} x!vx!x! À|±²xf´xwmx Lf}~vwmx ² 6x À~vtx . N%L N"m. ®. . 0 u L ,. [D¢. f{ f{ D"L L . . . R J. . . #. @. . @. ù Ý*Ð ù.

(75)

(76) . "!#

(77) $% &' (*)+ ,. H]H. Ï

(78) m !

(79) 6~v ºx|} ;xx! À|fx!}xwmx ¿tvxct ´¥|´Z],M}x½ R |}6tvxTwm)|}wmeQ¸ Àm! | Á ~_|} |} _¯M|´ v¥¼ºxc~vvv± |} wT ~v |´xm´-~v tvxº ½ *}}~X|} ¼¿¥~v ºxx!~vx!Z (t_xx,¿Pxmx!|´~v±¼x v¥x!´|´²x½ms-tÀ~v|±)|} ²x!l|}wme & x!x!wm|} vx¶?Wº ve?tv|´ Ttvx¤~ Á ~v¿Ux½s-t_x M}f¿P vx |´!|´ ·x6 À~vwmx|}Æwm x!}!½ s-tvx6~ Á ~_¿U!x6tÀ Mxw |}wµ~v´|}vtvxMxwI v|}|} _¥µ¿¥~v º xÎX|´r|} ¿ïx ·´µ}´~_ Àºtv|´t·x6 v-´~ Á ´x¤|} %º x! tÀ~v¿PwI x,Mc_t?x g [¢¤ ^ [D X¸Â¢ À~vx!~vt?x | À~v| k ½s-tvx¶?Wº» v)_Mxx!¯xcv}x |±Ãrx!x! ÀZ´x- v¥|} _¥µ¿Pw4tvx)wm|}}x¤ tvx)x6Z´x¤t_xx¥|´ ?e}x ºtv|´t·ºtv}x6¥~v º xx!x²|´Z Á x) v| x!x ½ ¤ }5Z´x v¥µ?|}5²||} vf¿wlx|?_x|}x! wTZTM!~v½s-t_xx6tvW²x Á x ¯x |´ À6!~v ]ºt_x wm x!}´|} v¥-¶?Wº³ _vtvx _wTx! ?¤|} tvx ~ Á ~v¿Ux½ e\!Z´x6tvx!x¥x _x|´|}x!Î_ºtv|´tº|}} Á x¤tvx¤v|}¤¿/tv|}º¯Î_t?Z²x) Á x¤¯x ·|} !~v )²x!¼x,¿P~v}±¤tvx,¡t?Z²xT ¼x vwT~v6|} _¶v~vx v!x ¡t_xµ¶?Wº< _ Á xt?Z²M|}~_½ ® x!| x x!| Á |} v¥ct_xwmxx)vtM|´Z |´wTx! v|´ v vx|´x¿ Á }M¯ tvx,x¥x! vx|±ÂÎtvx |} x!¿U!x Á x,Âº x!x ctvx-wmx |Dº|±t |±Ãrx!x _x|}x!]t?* Á x ~vx!´ v| xx ½¢ vtM|}}±x!! x|}_|} T¿rtvxDx! x|} v¥ }xZZ²M|} _¥¿rt_x |±Ãrx!x M¯Àtv6 Á xvW²X| x wmx!i²x¥X ex!¿Pwl vx¿&t_xm À~vwmx|}tvx!wTx t?- Á x)x v~vx ½ s/x_xx 6t_x¶?Wº ve¤_Mxx! Á x,Âº x!x ¼Âº |´Ãexx! ¤ÂMex!¤¿fM¯À¤|} s qts3st?Z²x x!²x}vex ¡|´ Àx¿Ux lvtM|´Z´´ !x! wl v vx! Î hxQs3yA}%}6 |´|} mµx! v~_x¤tv tvx v X¸Ùºx!|} _¥µvt?x¤Z v v-x! x}x! xwTx Á ´x wTx!| ~v |´tvxvtM|}! |±|} v¿Ptvxx! Àx|} v¥ g ~_Åm|´x mx vx~vx k xlxZtvx Î x!_ x y XEzj½µs-tv|´

(80)

(81) g ,l

(82) ºtv|}t;|} ~vx M v ÀMwm~v´ º|´t |} x!¿U!x! |±|´ |} t_|}t_x|´ k |}-x Xv|´ vx |´ \{Mx!|} · _Y½ VX½ }6Ax &¤x!j½|} ²x!|}¥x tvxx¿PwT vx¿etvx À~vwmx|´Z?|}wµ~_ enmDNs¸Â~v¥~v¸ s qts3s |} _¥mtvx ® i tvx!wTx)º|´t·tvx|} x!¿U!x! |±|´ ¥|´²x Á

(83) hx s3y } }6° y H+XEzj½ J wm?|} vº|±t(wmv~_|´ vZ|}x ~_º|´tv~_~v|´ v¥tvx%|´ Àx¿UxT |±¸ |´ tvWº x ÎDt?Ttvx· v|±|} |´|} ³|}mx!Åm|´x ~v x%!x|´ |´|} v!Î Á ~_ x _~v x-_ Á ´xwm~_ x x|}|}~vwm v!x g xxx}|±²xex!wmxZ Á |´}|±Â¸]~_¸ |´ cx!|} vtv|}_ k ÎxD x N|}¥~v~ x H½ R Ttv|}A |?¥~_xÎ 12V4 xvxx &tvxx!|´²x-xwTx Á |´}|´Â ¿tvxºx!|} _¥lvt?xÎ 12V` t?D¿]tvx v X¸Ùºx!|} _¥%vt?x½s-tvxµ À~vw Á xÎr_½ £ VX% Î H½æ_Îe yv½ß ¡tvx} Á x} ¡tvxx}|±²xµxwTx Á |}´|´Â·~_²x!)|} |´Zxt_xx!xv _x¿ftvxx,¸ x,|±²xT¿P~_ v!|} (~v|} x M~vD HÎ/ºtv|´t°vW²x Á xctvxm~v|}|} )¿P6tvx x¿PwT vx6¿*tvx)tvx!wTx½ s/\excº|´t(t_xx |´Åm!~v´|}x) \|}wmvi²xtvxmex!¿Pwl vxc¿tvxm xmº|±t tvx v|´|´ ¼ |´|} tvxc| xZlº 6 w Á |} vxµtvx|} x¿Ux |´|} ¡º|±t x _! . . . . &. &. . ÐÐ. àQ .

(84) Hi£. & (

(85) E . . #. }|´ vxZ|}Ä|´ c¿ÏtvxD?| |´Ãexx! |x À~?|´ v g Z¤ ß k & ½ s-tvx x!|±²|} T¿Ïtvx ¥} Á }¥|±tvwI wT|}x!-|} x!!| Á x |} fs

(86)

(87) y H]H zj½ s-tvx|}w4¿tv|} ex ûs-tvx|}|}. (#. tvx)vMx!x!¤-tvx)|} x!¿U!x Á x,Âº x!x |´Ãexx! DX¯TÂXx Á ~v|´ v¥mx|}Ï|} x¿Ux6 |´|} rÎ. H½mx!!´%xvxx . £X½lw Á |} vx)tv|´ |´ Àx¿Ux |´|´ º|´t¡l _|}x! À¤}|} _xZ|}ÄZ|} ¿tvx?| |±Ãrx!x |Æx À~?|´ v!Î. . _½c|´wTv´xwmx -|±-|} tvxEenmdNs ! xÎ yv½;wT?xtvx·x¿PwT vx!c¿ tvx _x!º´ x!²x!}_ex À ~vwTx!|´Ztvxwmxº|±t ® ji tvxwmxº|´t_~_ t_x¿ex,X|}|} _¥ À~vwmx|}vt_xwmx g À~vwTx!|´Z´´}|´ vxZ|}Ä!x c º|´ttvx)|} x¿Ux6 |´|} k . &. VX½m_v´%tvxwIcwmx¤t_xx!|´Z . v,|´ZÆx _wT_}x!½. J t?_xµ£·tvxT¿P~v wmx x(|? v|±|´ v vxx x ¿P)tvxTwltvx!wl|}wT x! x,²x!±¸ vx |} lJ t?Xxm xx,Xv|} vx ½ Z xx |} v¥; t_|}wTtvx!wl|}&wT xtvx À~X¸ wTx!|´Zwm x! x!| Á x |} J t?_x!%y |} x|´²x ½ N*|} ?´´Ît_x¡ À~vwTx!|´Ztvx!wTx\|} vv´|}x °v|´ v|´v}x· xZ´|}|} H+Z: £Z x,_wmv}x!% tvx\x¿PwT v!x\¿ tvx vx!ºIt_xwmx%|}wm?x \tvxlex!¿Pwl _x¿tvxµ!~vx tvxwmx g J t?_xV k ½ |´ v¥¡·e| Á }xmwmx´|}|´ ¼x!¥;|}h J t?_xO X·ºx% _}~ xmº|±t(wmx |? v x!wl¯À g J t?_xD \ k½ R. ù Ý*Ð ù.

(88)

(89) . HW . "!#

(90) $% &' (*)+ ,. 1. 7000. krw0.25. Simulation Time [s]. Relative Permeability [−]. 6000 0.8. 0.6. 0.4. krn0.25. 0.2. 5000 4000 3000 2000. Simulation time PPSIC Simulation Time PPS. 1000 0. 0. 0.2. 0.4 0.6 Saturation [−]. 0.8. 0. 1. 10 15 Computing Time [s]. 20. 2500. 0.8. krn1.0. Simulation Time [s]. Relative Permeability [−]. 5. 3000. 1. krw1.0. 0.6. 0.4. 0.2. 0. 0. 2000 1500 1000. Simulation time PPSIC Simulation Time PPS. 500. 0. 0.2. 0.4 0.6 Saturation [−]. 0.8. 0. 1. 1. 0. 2. 4. 6 8 Computing Time [s]. 10. 12. 1400. Simulation Time [s]. Relative Permeability [−]. 1200. krn4.0. 0.8. 0.6. 0.4. 0.2. 0. krw4.0 0. 0.2. 0.4 0.6 Saturation [−]. 1000 800 600 400. Simulation time PPSIC Simulation Time PPS. 200. 0.8. 1. 0. 0. 5. 10 15 20 Computing Time [s]. 25. 30. x¿PwT vx¿&tvx xµ~_|} _¥ tvxµ|´ Àx¿Ux! |±|} g f&{ R J ÎÏvt?xvx¸ / ~_x~v|} ¿Pwµ~v}|´ lº|´t |} x!¿U!x! |±|´ k |´ ·!wm?|´ º|±ttvx)!wTwm wmx!t_ ng f&{eÎÀvt?xD_x~vx ~v|´ ¿Pw~v|} µº|±tv~_f|} x!¿U!xD! |±|´ k ½ y H2V{z N|´¥~vx. ÐÐ. H ^. àQ .

(91) HZy. & (

(92) E . . . A% . /)B > ! B,7. \ !

(93) 7. . ® |} x(|? _|´|´ v vx! v|´ v¥¤}x ?wTx,x!*x&vx!x! Àx |?½s-tvxx´x,x Z}x !x xwT|´ vxºtv|}t vtM|´ZvMx!xcxT¯x |´ ¡~v Z½ ¤ °tvx {

(94) * 6Z}x |´ v¥}xwT}x!~v}x!x! v| xx ½s-tvxxx x!|}|±²x ¿P*¶?~v| vex!|}x~vtm/²X|´!|±ÂÎ x _|´ÂÎ] |} x¿U|x! v|´ v½ ® ;Z²x¥|´ v¥W²xµ ¥xc À~vw Á x¿wm´x~_}x!ÎÏº x xt°t_x

(95) pIZ}x½Ts-tvxl! v| x!|} ¿·! |} À~v~_w º|}} Á xmex!~vx |´ ¼tvx ¿P}´Wº|} v¥v½ ¤ Ttvn x

(96) Z´x |}! |´ M~_|´|´x&&|} x¿Ux Á x,Âº x!x |±Ãrx!x! Àvt?xZ Á x x!x,x ½Ds-tÀ~v!ÎÆD vxe|´ D|´ ?!xÎrx _!´· vxvt?x|´Dvxx Z½¾tvx ´¯M|´ v¥ Á ~_tv_ x

(97) cZ´xÎtvxlwm|}!·}xTvx|´xxlW²x¥x W²xh + ,

(98) { g " L k ½*s-tv|´µ}x ¡ vx,º vwmx!x}|´¯xTe|±Â;~v|´ º|´t¡ vx!º x À~?|} v½ R ¿ºx v| xD vxµ¿tvxx?wTx,x!Îex½û¥v½e|±ÂÎe|´ Á x!wmx Á ²M|}~v!Î tvl|±¿Dºx\t_Xx¡ wT}Z²x¥|} v¥ ²}~vwmx |´mwT|´¥tº x!}}|´xx|±tvx!m´´ º|´tv|} ´| M¯·D´´lº|±tv|´ tvxxvxÎÆ|ú½ûx½ ½f _¥|} v¥ct_|} ²´~vwmxDºx º|}´x! v~v x-|´}}|´ v|} v¥¿Pwx Xx!wTx ²´~vx Á |}}|´Ä|´ v¥- wTx&´x* _ À*²}~vxÎxj x N|´¥~vx £}x!¿ï*t? | xÎ~v |}M¥x!/Z´x tvx,x!¥x! vx|±|´x x|´ v´~ x |} %tvxZ²x!¥|} v¥%²}~vwmx½)s-tvxc" L|}tvxwm|} v|´wµ~vw8²}~vwmx¿Pºtv|}t tvxZ²x!¥|´ v¥°vwmx!xmxwT|} ! v l¿PtvW x |vm|´wTx%ºt_x ¿P~vtvx!Tx! v¥|´ v¥ tv|´²}~vwmxÎ]xP x N|´¥~vx£XÎ]|}¥tt? | x g ¿Pw y H+XEz k ½¼s-tvx|´ v´~v|´ °¿¥xZ}x tvx!x¥x _x|´|}x!%}x l x|´²|´ vc¿Pw t_|}%! v %²}~_x½ s-tvx¼! v| x|´ ¿ wllZ}xµtvx,x!¥x! vx|±|´x¤ tÀ~v¤tvxµ vx!_)¿t_xD" L<º|´} Á xxx |]|´ \t_|} º ¯5½. &. &. (. P minimum REV length scale. 1. P = P + P’ physical property P e.g. porosity. 1: small averaging volume: φ = 0 2: larger averaging volume in a homogeneous medium: φ −> φ hom. V0 V1 mm µm sub−REV−scale heterogeneities. 2. boundary layer single pores. volume V. m km super−REV−scale heterogeneities block heterogeneities geological structures. N*|}¥~vx£ ^ Z x |? v|´|} ¿/t_xxvxx |´²xx!}xwmx %²}~_wTx g. D"L k. ® x!¿Px |´!~v|} v¥µtvx¤wTtvx!wl|}?wm x!tvx¤x}x,² -?wTx,x!¿Pt_x¤wlZ}x t?Z²x) Á x x|? vx ½s-t_x 0 Q l¿*vt?x |} x|? vx Á x6tvx)|}¿/tvx6²}~vwmx. D&. ù Ý*Ð ù.

(99)