D1912. Le ratio de la cocyclicité
On trace un triangle ABC dont le périmètre vaut quatre fois la longueur du côté BC. Le cercle inscrit de ce triangle a pour centre I et touche les côtés AC et AB respectivement en E et F. On désigne par K et L les symétriques de E et F par rapport à I. Démontrer que les quatre points B,C,K et L sont sur un même cercle et que celui-ci est tangent au cercle circonscrit au triangle AEF.
Les centres I et J des cercles inscrit et exinscrit dans le triangle ABC sont sur la bissectrice intérieure de Â. Le cercle de diamètre IJ passe par les sommets B et C. On sait que le centre de ce cercle, milieu de IJ, est le point P, milieu de l'arc de cercle BC.
PB = PI = PC = PJ.
Avec les notations habituelles, BC=a, CA=b, AB=c, a+b+c = 4a, donc demi périmètre p = 2a.
AF = AE = p-a = a = BC.
Sachant que AF = BC, on va montrer que IJ = AI :
Dans le triangle rectangle AFI, AI = AF/ cos Â/2 = a/cos Â/2
Les angles PBC et PAC sont égaux car ils interceptent le même arc PC, donc PBC = Â/2
et PB = (BC/2) /cos Â/2 = a/(2cosÂ/2 ). Le diamètre IJ vaut 2 fois le rayon PB donc IJ = a/cos Â/2 Les cercles AFIE et BICJ sont symétriques par rapport au point I.
Donc les points K et L, symétriques de E et F par rapport à I appartiennent au cercle BICJ.
Les 2 cercles verts sont égaux et tangents extérieurement en I.
