D204 – Le principe des tiroirs en géométrie
Exercice n°1
Il y a quatre classes de parité pour les points de coordonnées entières : (pair, pair), (pair, impair), (impair, pair), (impair, impair). D’après le principe des tiroirs, deux des cinq points entiers (a,b) et (c,d) par exemple appartiennent à la même classe. Il en résulte que (a+c)/2 et (b+d)/2 sont tous eux des nombres pairs et par conséquent le point milieu du segment joignant les deux points et de coordonnées (a+c)/2 et (b+d)/2 est un point entier du plan.
Exercice n°2
On fait un raisonnement par l’absurde en supposant que six cercles de même rayon R et de centres respectifs A, B, C, D, E et F ont au moins un point commun O sans qu’aucun d’eux ne contienne le centre d’un autre cercle. On joint O aux six centres A, B, C, D, E et F. Deux centres quelconques ne peuvent pas être alignés avec O car aucun cercle ne contient le centre d’un autre cercle et que tous les cercles contiennent O. En conséquence, les six segments de droite sont en étoile autour de O. Soit OA et OB deux branches consécutives de l’étoile.
Comme O appartient à tous les cercles on a OARet OBR. Mais aucun cercle ne peut contenir un autre centre, la distance AB doit être plus grande que R. Il s’en suit que dans le triangle AOB, l’angle AOB est le plus grand des trois angles du triangle. Il est donc supérieur à 60°. Comme d’après le principe des tiroirs, on peut caser au maximum six angles de 60°
dans les 360 degrés autour de O, on aboutit à une contradiction car la somme des angles AOB, BOC, COD, DOE, EOF et FOA dépasse 360°.
Exercice n°3
Si l’on partage la table carrée en 100 carrés de même surface égale à 10000/100 = 100 cm , 2 d’après le principe des tiroirs avec 201 points disséminés sur la table, au moins trois de ces points sont contenus dans l’un des 100 carrés. Le triangle formé par ces trois points a une aire au plus égale à la moitié de l’aire du carré dans lequel il est inscrit soit A = 50 cm²
Exercice n°4
On dispose 650 copies de l’anneau A sur le domaine délimité par le cercle C de telle sorte que chaque point de l’ensemble E des 650 points soit le centre de l’un des anneaux. Pour les points de E situés près du pourtour de C, l’anneau correspondant s’étend au-delà du cercle mais un cercle C’ concentrique à C et de rayon 16 + 3 = 19 contient toutes les copies de A.La surface de C’ est égale à π.192361π et comme la surface de A est égale à π.(3222)5π, les 650 copies de A ont une surface totale de 3 250π.
On fait alors un raisonnement par l’absurde en supposant que toute partie du cercle C’ est recouverte au maximum par neuf copies différentes de A. Dans ce cas, la surface totale des copies ne peut excéder neuf fois la surface de C’. Or ceci est impossible car 9. 361π = 3249π alors que la surface totale des anneaux est égale à 3 250π. Le principe des tiroirs entraîne alors qu’au moins un point X de C’ doit être recouvert par au moins dix copies de A.
Soit Y le centre de l’une de ces dix copies de A. Dans ce cas, la distance entre X et Y est supérieure ou égale au rayon interne de A et inférieure ou égale au rayon externe de A et dans ce cas il existe une copie B de A centrée en X qui recouvre Y. Comme il y a au moins neuf autres centres tels que Y, B doit recouvrir au moins dix points de E et la proposition est ainsi démontrée.
